文摘
在目前的贡献,非对称中心收缩突变(ACCM)模型提出了提高Ikeda时间延迟系统。修改后的Ikeda系统模型设计通过引入叠加双曲正切函数项到正弦非线性项。系统的稳定性和霍普夫分岔特性进行了理论分析。数值模拟,进行分岔图、李雅普诺夫指数谱,相位肖像,两个参数(2 d)最大李雅普诺夫指数图是用来突出的复杂动力学行为表现出增强的系统。结果表明,修改后的系统具有丰富的动力学行为,包括极限环,multiscroll超混沌,混沌和超混沌同步。此外,作为本文的主要结果,考虑到脆弱的混乱现象,ACCM-Ikeda延时系统具有更好的动态复杂性和较大的连接混沌参数空间(连通性意味着没有条纹对应nonchaotic动态嵌入式混乱地区)。
1。介绍
混沌系统有许多特定的属性,如初始状态和参数敏感性,不可预测性和拓扑混合1- - - - - -3]。虽然混沌系统是确定性的方程模型,预测其长期行为是不可能的。这些有意义的属性使混沌系统广泛的研究和应用在许多学科(4- - - - - -10]。特别,信息社会的快速发展混乱,安全通信已经建立了适合传输的机密信息(11- - - - - -13]。此外,混沌系统在chaos-based随机数生成有着重要的应用14)和传感器(15]。
近年来,时间延迟(TD)系统已经成为活跃的研究课题,它源于以下原因:(i) TD在非线性系统的存在使得系统更加复杂。人们已经发现,基于低维混沌系统的通信系统(LE)有一个积极的重建是不安全的,因为他们的动力学可以很容易地由塔肯斯的嵌入定理(16]。TD混沌系统模型的非线性时滞微分方程(dd)表现出无限维相空间,无法预期的低维系统。因此,时间延迟系统可以提供更高级别的计算安全对嵌入重建。(2)超混沌与多个TD系统提供积极的李雅普诺夫指数(LEs) [17]。由于这些原因,许多简单的特征和TD系统产生混沌和超混沌同步设计18- - - - - -20.]。非线性时滞系统动力学研究[19,21]。
在本文中,我们集中我们的注意力在简单和一阶特征Ikeda TD系统: 在哪里和是积极的参数,是时间延迟常数, 。从理论的角度来看,一些工作已经开展,目的是Ikeda TD系统的内在动力。在[22),一阶标量延迟微分方程的混沌动力学,包括Ikeda方程,进行了调查。动力学研究的分析框架呼吸器在慢快中子Ikeda光电系统提出了(23]。biorhythmic行为及其控制的研究提出了一个光电振荡器(24]。从工程的角度,一些研究主要集中在系统的性能增强的随机数生成、光学混沌保密通信、混沌图像加密、光学秘密通信,等等25- - - - - -31日]。
有人指出混沌属性高复杂性和混沌参数范围宽等强烈要求在某些场景中,包括安全通信和随机数生成。但是研究人员发现,现有的混沌系统在不同的方面有一定的局限性。一个担忧是,许多系统遭受脆弱的混乱现象(32]。脆弱混乱意味着系统混沌参数区域或小有一些nonchaotic结构嵌入在混沌参数区。小扰动调制系统可以摧毁一个参数的混沌吸引子和变换的混沌振荡器周期振荡,作为参数容易将陷入nonchaotic地区。此外,由于物理设备的局限性,物理参数的范围总是限制,在许多情况下,这将导致性能下降。一个典型的场景是混乱的安全通信。chaos-based方案的安全级别显著依赖于混沌参数范围(33]。
考虑到脆弱的混乱现象,提出了非对称中心收缩突变(ACCM)模型提高Ikeda TD系统。修改后的ACCM TD系统进行了研究。我们进行稳定性分析,确定系统的参数区域显示了一个稳定平衡反应。我们模拟系统模型数值显示延迟和其他系统参数的变化,系统表现出稳定的极限环,混沌、超混沌同步,multiscroll超混沌同步在整个三维(3 d)参数空间(由一个,b,τ)。单一参数分岔图、相图和两个参数(2 d)李雅普诺夫指数图34)是用来探索的动力系统。ACCM模型不仅可以提高动态复杂性的原始Ikeda TD系统混乱的范围,但也能产生的混乱nonchaotic范围。值得一提的是,改进后的系统有更大的混乱的参数区域具有良好的连接。
剩下的纸是按照以下顺序排列。部分2介绍了相关的数学模型,提出ACCM-Ikeda时间延迟系统。稳定和霍普夫分岔分析部分所示3。ACCM-Ikeda时间延迟系统的仿真结果和讨论提出了部分4节中,紧随其后的是性能比较5。部分6得出的结论。
2。系统描述
我们建议以下Ikeda TD系统不对称中心收缩突变(ACCM): 在哪里和是真实的积极的系统参数。 ,和是系统的固有延时。
草图的非线性 , ,和 在数据描述1(一)- - - - - -1分别(c)。这可以从图中找到1(c),非线性的草图表现出相似的变化规律与不对称函数,但中央收缩,新兴的线条和山谷的曲线在相同的参数范围内。因此,我们叫ACCM-Ikeda TD系统修改后的模型,将预期的动态特性,如更好的复杂性,更大,连接(也就是说,没有瞬态nonchaotic窗户点缀的混沌参数区)混沌参数区比种子Ikeda延时系统(将节中讨论5)。
(一)
(b)
(c)
3所示。稳定和霍普夫分岔分析
考虑TD系统(2)表示为
平衡分(3得到解决
3.1。附近线性化平衡
定义一个小扰动在平衡解决方案,利用一阶泰勒近似,我们得到一个线性化方程(3), 在哪里 , , ,和 偏导数的 对变量x和评估在 ,分别。我们可以得到特征方程
3.2。平衡的稳定性
的稳定性分析中,我们使用[讨论的方法22]。一个平衡点如果所有的根是渐近稳定特征方程(6)满足
如果 ,然后条件(7)的形式
写 , 。稳定的平衡将会改变λ穿过虚轴在 。在这种情况下,特征方程
使用和分离的实部和虚部(9),我们得到
这给了
然后,我们可以得到
当且仅当这是可能的
3.3。关键的表面
为 ,从(10我们可以获得关键的表面表达为
差异化特征方程(6)对τ,我们得到
注意的是, ,我们可以 因此
在关键的表面(14), 在每一个关键的表面 。这意味着不存在任何与负特征值实部跨临界表面(14)。因此,只有一个可能的稳定区域(条件下(8)包围和关键的表面最接近它。
为 ,我们有以下主要结果:
定理1。假设是一个平衡的解决方案ACCM-Ikeda TD系统(3), ,然后我们可以得到如下:(1)如果 ,然后的稳定区域在 参数空间位于之间的飞机和 。在这个价值经历霍普夫分岔方程。(2)如果 ,然后是不稳定的 。(3)如果 ,然后是稳定的 。
4所示。数值研究
在本节中,系统方程(2)使用四阶龙格-库塔数值求解算法的步长 。初始条件是为 在整个调查。ACCM-Ikeda TD系统动力学是研究通过分岔图、相图,和李雅普诺夫指数谱(LES)从不同的角度考虑。LES计算使用的方法35]。
4.1。不同一个为和时间延迟
系统(2)与参数和时间延迟是单一的分岔参数的数值研究了吗一个。分岔参数一个不同范围内 。五个最大李雅普诺夫指数所有的光谱与分岔参数一个如图2(一个)显示,(1)在该地区 ,的平衡点是稳定的(2)在该地区 ,有一个积极的勒( )这意味着混乱出现(3)在该地区 ,混沌和超混沌政权交替出现(4)在该地区一个∈(0.1,1.43),有两个积极的勒(λ1> 0和λ2> 0)这意味着超混沌同步出现
(一)
(b)
这些地区nonchaos和混乱中观察到图2(一个)最好是可视化分岔图,画出最大值的与分岔参数一个,如图2 (b)。一个好的一致性可以分岔图和莱斯之间的注意。这种变化的结果如图所示3。(我)为 ,我们得到了平衡点和 。案例3的定理1的时间序列收敛于 ,如图3(一个)。(2)为 ,我们得到了平衡点和 。因此,在案例1的定理1稳定地区位于两者之间和 。通过设置 ,找到平衡不稳定的极限环,如图3 (b)。(3)为 ,我们得到了 。因此,在案例1的定理1稳定地区位于两者之间和 。通过设置 ,找到平衡不稳定导致混沌吸引子,如图3 (c)。(iv)为 , ,和 ,我们得到了 , ,和 。针对第二种情况的定理1,是不稳定的 。我们可以获得超混沌吸引子(如图3 (d)和3 (e))和一个multiscroll超混沌吸引子(图3 (f)),分别。
(一)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
4.2。不同b为和时间延迟
系统(2)的参数和时间延迟是单一的分岔参数的数值研究了吗b。分岔参数b不同范围内 。五个最大李雅普诺夫指数所有的光谱与分岔参数b如图4(一)显示,(1)在该地区 ,平衡是稳定的(2)在该地区 ,混沌和超混沌政权交替出现(3)在该地区 ,有一个积极的勒( )这意味着混乱出现(4)b在该地区3.1≤≤5,有两个积极的勒(和 )这意味着超混沌同步出现
(一)
(b)
这些地区nonchaos和混乱中观察到图4(一)最好是可视化分岔图,画出最大值的与分岔参数b,如图4 (b)。这种变化的结果如图所示5。(我)为 ,我们得到了 。 稳定的情况3的定理1。和解决方案收敛 ,如图5(一个)。(2)为 ,我们得到了 。针对案例1的定理1稳定地区位于两者之间和 。通过设置 ,找到平衡不稳定的极限环,如图5 (b)。(3)为和 ,我们得到了和 。例2的定理1,我们观察一个混沌吸引子图5 (c)和一个超混沌吸引子图5 (d),分别。
(一)
(b)
(c)
(d)
4.3。不同的时间延迟τ为和
系统(2)的参数和数值研究了延时吗τ。时间延迟τ不同范围内 。五个最大李雅普诺夫指数所有的光谱和时间延迟τ如图6(一),这表明有一个狭窄的地区的混乱( )之间的和 。当τ从1.45开始,已经有一个永久的超混沌( )的范围内。
(一)
(b)
这些地区nonchaos和混乱中观察到图6(一)最好是可视化分岔图,画出最大值的与时间延迟τ,如图6 (b)。
为和 ,我们得到了和 ,然后案例1的定理是稳定的1和稳定地区位于两者之间 。这种变化的结果如图所示7。(我)为 , 稳定的解收敛于吗 ,如图7(一)(2)混沌吸引子的和如数据所示7 (b)和7 (c)(3)在一个超混沌吸引子图展出7 (d)
(一)
(b)
(c)
(d)
5。业绩评估
ACCM的展览效果提高混乱的Ikeda TD系统的动态特性,我们比较改进后的系统的混沌和超混沌特性与种子Ikeda TD系统。系统集成与四阶龙格-库塔算法,用一个固定的时间步长等于 。两个参数(2 d)李雅普诺夫指数图是用来探索的动力系统在整个三维(3 d)参数空间(由一个,b,τ)。
5.1。2 d最大李雅普诺夫指数图
ACCM-Ikeda的混沌动力学行为和种子Ikeda TD系统在整个 , ,和 本节给出了参数空间。所有这些二维参数空间图是通过考虑米歇尔获得价值。结果3 d空间的减少 , ,和如数据所示8- - - - - -10。白色和微弱的黄色区(我说)显示系统的混沌动力学 。在图8(一个),一些条纹对应nonchaotic区域嵌入在混沌区域可以找到。在图8 (b),我们可以找到一个更大的连接混乱地区。ACCM-Ikeda TD系统有更大的连接混乱地区 空间。从数据9和10,我们可以得到相同的结果。ACCM-Ikeda TD系统有更大的连接在整个混乱地区 , ,和 参数空间。此外,值得注意的是,增加b小ACCM-Ikeda TD系统的时间延迟是必需的生产混乱(图10 (b))。
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
5.2。2 d第二最大李雅普诺夫指数
ACCM-Ikeda和种子的超混沌动力学行为Ikeda TD系统在整个 , ,和 本节给出了参数空间。超混沌动力学行为研究通过使用第二个最大李雅普诺夫指数(LE2)作为指标。如数据所示11- - - - - -13,白色的和微弱的黄色区域(我说)显示系统的超混沌态(和 ,在数据8- - - - - -10)。清楚的数据11- - - - - -13,ACCM-Ikeda TD系统有更大的连接系统地区二维参数空间 , ,和 。与参数 ,和时间延迟τ增加,增强的ACCM-Ikeda TD系统成为更大的和积极的的原始Ikeda系统仍然是负面的。因此,ACCM模型可以变换混沌振荡器超混沌振荡。
(一)
(b)
(一)
(b)
(一)
(b)
5.3。最大李雅普诺夫指数
此外,两个系统的复杂性的分析计算,比较单一参数最大李雅普诺夫指数。李雅普诺夫指数的平均离职率可以描述轨迹从两个极其密切的初始状态。积极的LE意味着动力系统的两个相邻轨迹指数在每个迭代中分离。与积极的动力系统被认为是混乱的,和更大的LE代表更高的动态复杂性。数据(14日)- - - - - -14 (c)比较最大李雅普诺夫指数(ll) ACCM-Ikeda TD系统及其相关的种子Ikeda系统。最大李雅普诺夫指数(ll)和参数的变化曲线一个,b,时间延迟τ,如图(11日)和11 (b),分别。从这些数字中可以观察到ACCM-Ikeda TD系统有更大的我,这证明ACCM可以增强混乱原始Ikeda系统的复杂性。
(一)
(b)
(c)
6。结论
在这篇文章中,一个新的Ikeda延时系统不对称中心收缩突变(ACCM)提出和检查。首先,我们分析了系统的稳定性和霍普夫分岔。结果不同类型的稳定区域。条件函数的偏导数f从理论上提供了平衡的点。的霍普夫分岔值延迟τ也提到过。接下来,系统的动力学分析进行可视化前五的分岔图和频谱LEs系统参数的函数一个,b和时间延迟τ。在一个大范围的参数,丰富的动力学行为,包括渐近稳定极限环,混沌、超混沌同步,multiscroll混乱。最后,我们将ACCM-Ikeda TD的混沌动力学系统和种子Ikeda TD系统。两个参数(2 d)勒图是用来探索的混沌动力学系统在整个参数空间。系统的复杂性特征是米歇尔作为单一参数的函数。仿真结果表明,ACCM-Ikeda TD系统具有更高的复杂性和较大的混沌和超混沌参数区域。没有瞬态nonchaos窗口,成功地抑制和脆弱的混乱现象。此外,混乱的政权可以转换为超混沌机制通过引入ACCM策略。作为理论的延伸Ikeda TD系统,该方案可以实现由电气和光学设备根据现有的一些研究[28,36),和ACCM-Ikeda TD系统有可能被用于真实世界的应用,如安全通信和随机数生成。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。