一类新的有理非线性高阶差分方程的全局性质

摘要

让为非负整数大于或等于1的实数。摘要给出了一类有理非线性高阶差分方程解的定性整体性质 初值为正 ，并证明了其正平衡解的全局渐近稳定性。

1.介绍

差分方程在生物学、计算机科学、数字信号处理和经济学等领域有着广泛的应用。线性差分方程存在一个通解结构[1］．然而，在非线性高阶差分方程的各种情况下，解的性质只能通过数值模拟来观察，对于数值模拟预测的性质和基于猜测而形成的结论，往往很难给出充分的数学证明[2］．因此，对非线性高阶差分方程进行定性分析是非常重要的，这也是当前研究的主题。文献中已有一些关于有理非线性差分方程的相关研究(见[3.- - - - - -8])。谱函数的全局渐近性质在确定孤子方程的代数-几何解时也是至关重要的。9，10)和矩阵光谱问题中的散射数据(见，例如[11])。

近似给定函数零点的一种迭代算法读取 把它应用到二次函数中 ，给了 让为非负整数大于或等于1的实数。我们想考虑一个更一般的有理非线性高阶差分方程 初值为正 ，产生积极的解决方案。我们做一个变换 然后得到另一个差分方程 显然，有理非线性差分方程(3.)， ，为变换后的差分方程(5)， ．

如果我们进一步 ，得到[6，7]： 介绍 到(6)的收益率 在哪里 ．当 ，由此得到(2)．方程(7)就…而言 曾在[5]，其封闭解载于[6］．在一般情况下 ，正平衡解的渐近稳定性 式(7)在[7］．

可以直接看出，有理非线性高阶差分方程，定义为(3.)，有三个平衡: ．在本文中，我们将探讨有理非线性高阶差分方程(3.)，证明了其正均衡解的全局渐近稳定性 ，并给出两个正解的说明性例子。

2.全球的行为

2．1．分类的解决方案

首先，根据有理差分方程(3.)，一个人可以有

进一步从(9)和(10)，我们可以很容易地推导出下列解的性质。

定理1。如果为有理非线性差分方程(3.)，然后就有了 在哪里 ．

如果 ，有理差分方程(3.)变成一阶差分方程 然后 ，一个人 ，因为 ．为 ，一个人 ，自 ，由于 ．因此,每一个解决方案衰变, ，当 ．

有理非线性高阶差分方程(3.)．

定理2。让 ．如果为有理非线性高阶差分方程(3.),然后
(a)它最终等于 ，更准确地说 ，这发生在 对于一些 ；
(b)它最终小于 ，更准确地说 ， ，这发生在 对于一些 ；或
(c)它摆动 ，拥有最多连续递增项小于在大多数 连续递减项大于 ．

证明。平等(8)及财产(11)，直接说明有理非线性高阶差分方程(3.)．
在第三种解情形(c)中，振动解的减小和增大特性可以证明如下:
假设 两个整数是否满足 ．我们表达 在哪里可以写成 由(9)．
如果 为 ，然后每一项小于零，所以呢 ，由于(14)．如果 为 ，然后每一项大于零，所以呢 ，由于(14)．这就完成了证明。

注意，基于(8)，我们可以看到没有解决的情况，解决(3.)最终大于 ．

2．2.全局渐近稳定

当 ，平衡的解决方案 的一阶有理差分方程(13)是全局渐近稳定的，因为它是一个一阶差分方程的全局吸引均衡解(见[12对于一般理论而言)。

对于一般的 ，我们可以证明正平衡解的全局渐近稳定性 有理非线性差分方程(3.)，通过建立局部渐近稳定性和全局吸引性，从而得到全局渐近稳定性[2］．相反，我们建立了一个强烈的负反馈特性[13，以保证全局渐近稳定性 (见[14]以了解强负反馈特性的细节)。

定理3。正平衡解 的有理非线性高阶差分方程(3.)全局渐近稳定。

证明。基于有理非线性差分方程(3.)，一个人可以有 从这个平等和(10)，我们可以得到 这导致了强烈的负反馈特性: 人人平等 当且仅当 ．因此，它由一个稳定性定理导出([的推论314)，即平衡解 有理非线性差分方程(3.)全局渐近稳定。这样，证明就完成了。

以上定理与 给出结果在[4) ( )，［5) ( ）和[7(一般 )．也有关于多项式差分方程的类似研究(见，例如，[15)和其他关于偏微分方程正有理函数解(称为集)的研究(见，例如[16])。

2．3.说明性的例子和开放的问题

以说明定理中所陈述的整体性质2和3.，在这里我们给出两个与两种特殊情况相关的说明性例子: 在图1．从图中可以看出，两种情况下的收敛速度都非常快。

最后,让 ．对于一个振荡解有理非线性差分方程(3.),我们定义 自振荡,定理2保证这两个和有无穷多个数。我们非常感兴趣的一个基本的未决问题是减少在和增加 ．我们指出，通过以上两个例子，我们没有找到任何反例，但发现有两种情况可能发生:either 但 或 但 对于一些 ．

数据可用性

用于支持这项研究结果的数据包括在文章中。

的利益冲突

作者声明本文的发表不存在利益冲突。

致谢

本研究部分得到了美国国家自然科学基金委员会11371326、11371086和11571079的资助，国家自然科学基金委员会DMS-1664561的资助，以及沙特阿拉伯国王阿卜杜勒阿齐兹大学和南非西北大学的杰出教授的资助。

参考文献

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