文摘

软计算算法的主要问题是确定它们的参数。调优规则非常一般,需要实验的试验和错误的方法。蝙蝠算法描述方程差分方程的形式,和算法可视为一个随机离散时间系统。该系统的行为取决于其动态和保存稳定性条件。介绍了稳定性分析的蝙蝠算法描述为随机离散时间状态空间系统。进行了可观测性和可控性分析,以验证模型的正确性描述英航的动态。充分条件稳定基于李亚普诺夫稳定性理论推导。他们表明推荐领域的位置参数。分析状态矩阵的特征值的位置显示了不同的参数值影响算法的行为。他们显示的推荐区域的位置参数。 Simulation results confirm the theory-based analysis.

1。介绍

近年来,产品表面metaheuristic算法优化问题变得非常受欢迎。虽然这些算法并不能保证最优解,它们通常倾向于找到一个好的解决方案,成为强大的方法来解决许多困难的优化问题(1- - - - - -3]。启发式方法是基于发生在自然界的许多不同的机制。遗传算法(4)是基于生物基本面,禁忌搜索是基于社会行为(5),和蚁群优化(6,7]或粒子群优化(PSO) (8)是基于群体行为。蝙蝠杨提出的算法(BA) (9)属于过去。蝙蝠使用某种类型的声纳,称为回声定位,检测猎物或避免障碍。回声定位指导他们的搜索,并允许歧视不同类型的昆虫,即使在完全黑暗。

有一些强大的英航的修改,例如,英航基于微分算子和利维飞行轨迹(DLBA)提出的谢et al。10],提出的改进的蝙蝠算法(IBA) Yilmaz和Kucuksille11),和增强的蝙蝠算法也Yilmaz和Kucuksille12),但简单的英航是基础和更受欢迎比其他修改。出于这个原因,分析简单英航在纸上。

软计算算法的主要问题是确定它们的参数。调优规则非常一般,需要实验的试验和错误的方法。在这个过程的主要思想是勘探开发之间的平衡运行算法。太少的勘探和密集的剥削,算法能收敛到局部最优。否则,太多的勘探和开发太少会给算法收敛与一个非常小的(13- - - - - -15]。

算法的行为和收敛到全局最优的能力取决于其动态的,这是由差分方程描述。这种行为取决于算法的稳定工作。有一些基于PSO算法的稳定性分析根的位置(16- - - - - -18)和李雅普诺夫函数(19- - - - - -21]。我们做了一个类似的研究(BA的22]。

本文是扩展版的会议论文22)发表在《创新智能系统和应用程序(INISTA) 2017。方法本文提出的方法在很大程度上是新的和更通用。新摘要是蝙蝠的动态描述的扩展算法的三阶考虑个体人群中所使用的所有变量。因此,英航变得更加完整和通用的描述。然后使用状态方程的形式描述和检查可控制性和可观测性允许减少订单的动态。稳定性分析的方法提出了(22)是基于差分方程的根的位置适合线性定常系统。这种方法使用后省略参数的随机性和治疗固定的算法。在本文中,新方法的动力稳定性分析的英航采用李雅普诺夫稳定性定理和西尔维斯特的标准。它提供了获得所需的一系列算法的参数提供稳定的工作。李雅普诺夫理论定义了绝对的必要和充分条件非线性或时变系统的稳定性。不需要任何简化在稳定性分析中,这是很重要的,因为结果更可靠的比以前的工作的结果22]。两种方法给出了类似的解决方案,本文证实了之前工作中使用的简单的正确性(22]。作为一个说明性的例子,同样的四个基准函数被使用,但前面给出的图是没有Griewank函数。

本文组织如下。节2,英航算法描述。在下一节中详细介绍了李雅普诺夫稳定性理论。在这之后,英航的动态描述和分析特别注重稳定性条件。这个例子在上一节介绍了实验和讨论。

2。蝙蝠算法

蝙蝠拥有迷人的能力寻找猎物和歧视等不同类型的昆虫即使在完全黑暗。蝙蝠用回声定位通过发射高频音频信号和接收人的反映。之间的时间延迟发射和回波的检测及其响度变化让蝙蝠识别环境。

metaheuristic英航使用一些简单和理想化的规则:(1)所有蝙蝠用回声定位指定的距离和方向的食物。他们还可以识别食物/猎物和背景之间的差异的障碍(2)的 - - - - - -蝙蝠在位置和苍蝇随机速度 。它会发出音频信号,中间有一个变频 ,不同的波长 ,和响度寻找食物。它可以自动调整发射脉冲的波长(或频率)和调整的速度脉冲发射 ,根据目标的距离(3)音量可以在许多方面有所不同。我们假设响度变化从一个大(正面)最小的常数值

每个人工蝙蝠的 - - - - - -一步有一个位置矢量 ,速度矢量 ,和频率向量在迭代更新通过使用下面的关系,从1)(3)。蝙蝠代表的位置向量优化问题的一些具体的解决方案。每一个蝙蝠会发出音频信号与随机分配的频率 ,这是吸引范围的一致吗 : 在哪里 是一个均匀分布的随机向量。的速度 - - - - - -th蝙蝠的 - - - - - -th一步取决于当前全球最佳解决方案实现的位置 :

蝙蝠的新职位,因此问题的新的解决方案遵循从他之前的位置和速度:

本地搜索过程也使用。蝙蝠在本地生成一个新的解决方案使用当前的最佳解决方案和地方随机漫步: 在哪里 是一个均匀分布的随机数,而所有蝙蝠的平均音量吗 - - - - - -时间步长。

我们可以考虑英航的平衡组合勘探,通过一种算法实现类似于标准粒子群优化和开发实现了一个密集的本地搜索。这些技术之间的平衡是由响度控制的和发射率 ,更新如下: 的系数和是常数。在简化情况下, 是经常使用的。我们可以考虑的参数类似于模拟退火冷却因素。响度和脉冲发射率只有当新更新的解决方案是改善。这意味着当蝙蝠正朝着最好的解决方案。

英航的操作可以描述如下。一开始,蝙蝠的metaheuristic英航初始化一个人口,分配到个人的参数值。他们是最常见的定义随机。每一棒将从最初的解决方案向全球最佳解决方案与每个迭代使用当前全球最佳解决方案获得的位置到目前为止。如果任何蝙蝠移动后找到一个更好的解决方案,最好的解决方案到目前为止,脉冲发射和响度是更新。这个过程不断重复,直到满足终止条件。迄今为止最好的解决方案是实现最终的最佳解决方案。伪代码中展示了英航的伪代码1。

3所示。李雅普诺夫稳定性理论

系统稳定性的基本定理是李雅普诺夫稳定性定理(23- - - - - -25]。第二个李雅普诺夫判据(直接法)允许证明平衡点的局部和全局稳定性使用适当的标量函数,称为李雅普诺夫函数中定义了状态。这一标准是指特定“正定”或“半正定”标量函数,通常有“能量函数的意义。“通过观察这个能量函数如何随着时间的变化,我们可能会得出这样的结论:一个系统是稳定的或者没有解决非线性微分方程渐近稳定。李雅普诺夫函数的充分必要条件,正定矩阵,所描述的是由西尔维斯特的标准。

定理1(见[26])。考虑到平衡点 定义的随机离散系统状态空间方程: 在哪里是一个状态向量的时间吗k和 是一个满秩矩阵和随机值。平衡点渐近稳定如果有一个负的标量李雅普诺夫函数定义为 在哪里是正定对称矩阵, ,这满足的期望值李雅普诺夫函数的变化大于零: 我们可以把它写成 经过简单的转换,使用(7)和(10),导致有用的公式:

备注1。随机离散时间系统(7)是渐近稳定的,如果且仅如果正定矩阵存在一个正定对称矩阵满足李亚普诺夫方程(27,28]: 对称矩阵是正定如果它满足西尔维斯特的标准。

定理2(见[29日])。充分必要条件的矩阵是正定的决定因素矩阵的连续的未成年人主要是积极的。
对对称矩阵定义为 在哪里 ;历届校长未成年人必须是积极的:

4所示。蝙蝠算法作为一个动态系统的分析

通过假设的速度 ,它的位置和响度 ,作为状态变量 的位置和当前全球迄今取得的最佳解决方案作为输入 ,英航的动态描述(2),(3)和(5)可以在状态方程的形式: 的轨迹 - - - - - -蝙蝠被视为一个输出 。

方程(6)描述发射率只影响在步骤6的控制算法的伪代码(伪代码1)。对于一些随机迭代,周围的本地搜索最好的个人。它没有影响个人的轨迹,省略了英航的动力学关系的描述(15)。

每一个蝙蝠, - - - - - -th维度(15),独立于其他的更新;因此,不失一般性,分析算法可以被简化为一维的情况。因此,因此状态方程的一般形式: 和一个一维的情况下(15),我们获得状态矩阵 ,输入矩阵 ,输出矩阵 ,和前馈矩阵 :

描述的动态系统的状态方程形式,分析其可观测性和可控性是至关重要的。不失一般性的分析,我们可以假设频率的恒定值等于其预期值 。

定理3(见[30.])。该系统是完全可观测的如果任何初始状态向量可以通过检查重建系统的输出在有限的时间内来 。系统是完全可观测当且仅当向量的集合是文学独立的,也就是说, ,在哪里状态向量的大小吗 。
的可观测性矩阵的秩英航动力学(15)等于: 这意味着系统是可观测的。

定理4(见[23])。该系统是完全可控的,如果存在一个控制信号定义在一个有限的时间间隔 ,可力系统状态任何期望值。系统是完全可控当且仅当向量的集合是文学独立的,也就是说, 。
矩阵的秩的可控性英航动力学描述(15)等于: 矩阵的获得排名= 2和小于状态向量的大小 。系统(15)是无法控制的。结果的顺序系统减少了从第三到第二。我们可以看到这是简化常见的表达从分子和分母同时计算传递函数描述这个系统: 无法控制的可变状态是响度 ,但如果我们假设 ,然后减少在系统迭代和可以治疗的一些干扰。离开后早期的简化和考虑频率的值的变化和现在的状态方程形式 系统的描述可以修改自治形式以新的状态变量和忽视干扰的平衡点 : 然后状态空间形式 根据定理1为正定矩阵 ,必须存在对称正定矩阵满足李亚普诺夫函数(8)。我们可以定义矩阵作为 与 。对称矩阵= 用的矩阵和关系(12),我们得到 导致系统的关系: 假设 ,我们可以很容易地计算 矩阵必须正定。据西尔维斯特的标准定理2历届校长未成年人必须积极,导致方程 在哪里 考虑到二次多项式 ,我们获得 和著名的关系 我们将寻找一系列的参数的多项式(30.)是大于零的。我们可以分裂频率值的范围到一些子集。(我) 这是频率的平均值 。假设的足够大的价值 和 ,我们获得,英航是稳定在这个范围内 。(2) 的条件 只有当可满意 ,这是满足 。我们需要检查两个条件:(我) 因为 和 , 因此, 。的条件 英航的显示不稳定的动力学。(2) 这个范围内的 ,的价值 因此 标明不稳定动力学的英航。
李雅普诺夫理论得出的结论,英航的动态稳定频率的范围 。

定理5。一个线性离散时间系统所描述的状态(16)是渐近稳定当且仅当所有的特征值有大小小于1。躺在单位圆的特征值,系统稳定边界。
的特征值从特征方程定义为计算吗 在哪里 ,或者它们被定义为传递函数分母的根(20.)等价于导致方程 根相等: 图1介绍了矩阵的特征值在 - - - - - -飞机。为 ,特征值是复杂的,他们的绝对值等于1 。在这种情况下,他们躺在稳定边界,该算法作为无阻尼振荡行为。的样本中给出的算法数据的反应2 (b)和2 (c)。算法的响应周期和振荡是最好的个人。为 ,响发生,单位个人的位置是大的变化。这是在图可见2 (b)作为一个高振荡。为 特别是 ,变化较小,算法系统扫描解决方案空间。这是在图可见2 (c)作为中间值之间的最大和最小的值响应。
为和 ,特征值只有一个真正的一部分,其中至少一个位于单位圆外 ;该算法是不稳定的。样品的响应的算法和 介绍了数字2(一个)和2 (d),分别。的频率小于 ,响应振幅的振荡特征指数增长;从边界频率越快,越远 。积极的频率 ,响应周期呈指数级增长,越快,越远 。为已经显示点,躺在接近极限的值,振幅接近10的价值³后只有15迭代。这将导致个人往往超越搜索空间,对于约束优化。修复不可行个体的过程变得重要。这个过程没有预定义算法和强烈取决于算法的设计。简单的替换的极限值是经常使用。它总是一种启发式,导致回声定位不正确工作。突变的过程最好的个人主导的算法。

5。实验的例子和讨论

英航的人口的大小是相等的 ;最多的功能评估每个调用的英航已经设置为50·10³。步骤7的代码英航的伪代码1(“最好的解决方案中选择一个解决方案”)不是预先定义的,可以使用任何,像轮盘赌,随机抽样或其他通用。第一个使用上述方法的实验。四个基准函数,提出了表1使用,以检查和分析英航的效率。他们被用作质量功能英航在全球寻找最小值。英航是为每个基准测试函数运行50倍。搜索空间的局限性,提出了在桌子上1。这个表还包括参数的值,响度和发射率 ,实验期间使用。

频率的变化范围被划分为三种类型表中给出2。频率是由(1)使用适当的上下界限为每个范围和参数值 。第二类型的约束,频率的平均值等于零,唯一变化的频率范围改变影响的方差分布函数。第一和第三种约束完全躺在稳定或不稳定的地区,和均值和方差都是变化的。

主频率的影响稳定性的算法可以被视为一个数量的个人寻求区域的边界。越过边境的问题可以在两者中,存在的位置和速度。新患者的百分之位置和速度在允许的区域Griewank函数提出了数字3(一个)和3 (b)。类似数据Schwefel和《功能提出了在22]。低的绝对值给一般少百分之的新个人穿越边界。个人穿越边界的数量稳定面积较小的频率甚至比平均值等于零,即的II型频率的限制。在第二种情况下,变化的频率的信号结果在平衡正面和负面的频率值,因此较低的新个体数量与速度和位置的容许值。图4介绍了质量的平均值作为一个功能的降低和上的频率。最好的结果是获得负的频率 ,满足稳定条件 。最好的中值频率= 。表3礼物,在实验期间,获得最优频率的平均值和最好的适应度函数的归一化值不同的频率范围。平均适应度函数对于所有类型的约束的频率,从表2,使用最好的归一化作为一个规范因素:

最好的解决方案是表中的粗体。球面和Schwefel功能非常敏感频率和英航的稳定的价值。《护理和Griewank负频率的函数有最好的解决方案,但是这些频率的主导地位并不重要。

6。结论

在本文中,我们描述了英航的动态状态空间形式。分析的可观察性和可控制性允许减少英航的动力从第三到二阶。李雅普诺夫稳定性理论和西尔维斯特英航的标准应用于随机动态确定条件和收敛到平衡点渐近稳定。我们还通过分析位置状态转移矩阵的特征值对算法的响应及其影响。提出了本文结果可以使用过程中设计和调优英航。作为一个说明性的例子中,四个基准函数被使用,特别强调英航用于Griewank函数的行为。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。