文摘

摘要提出了一种新颖的分数阶memristor-based混沌电路。跨过记忆二极管桥级联与分数阶RL滤波器构成了广义分数阶记忆电阻。提出了分数阶混沌电路的数学模型建立了通过扩展记忆性的非线性电容和电感组成的分数阶混沌电路。进行详细的理论分析和数值模拟的动态行为提出电路通过调查平衡的稳定点和电路参数对分岔的影响。结果表明,分数阶电路有很大的顺序对系统动力学行为的影响。系统可能会表现出复杂的非线性动态行为如分岔和混沌与秩序的变化。分数阶电感器和电容器的等效电路给出摘要和等效电路的参数是通过一个待定系数法来解决。电路模拟的等效分数阶记忆性混沌电路进行,以验证数值模拟的正确性和使用的实用性integer-order等效电路来代替分数阶元素。

1。介绍

自忆阻器在1971年首次由莱昂o.c假设[1],对它的研究一直是研究的热点话题。忆阻器是一种非线性被动端组件和代表电荷和磁通量之间的关系2]。之外的第四种基本电路元件电阻,电感,电容,忆阻器有许多独特的特性,没有其他元素。它可以记住历史阻力所以被称为“记忆电阻器的收缩。“记忆电阻的电阻取决于大小,方向,和持续时间的电压(3]。近年来,忆阻器已广泛应用于许多领域,如电阻随机存取存储器(RRAM) [4,5),神经网络(6- - - - - -8),信号处理(9),混乱和控制系统(10),和样本识别(7,11]。

记忆电阻的指纹是位点在电压平面表现出了磁滞回线时总是经过原点由任何周期性输入电压源或电流源12]。基于上述声明,一类二极管桥电路可以被描述为广义记忆电阻器,因为他们已经被证明满足一个忆阻器的指纹13- - - - - -19]。这是证明了一个基本的电子电路组成的全波整流和二阶RLC滤波器具有记忆特性13]。把电阻,另一个二极管桥电路级联二阶滤波器包含一个电感器和电容器也可以构成广义记忆电阻(14]。取代用一阶二阶滤波器并行RC滤波器或一阶RL系列滤波器,实现新广义记忆电阻,降低了非线性基本元素(15- - - - - -17]。最近,提出了一种改进的记忆性二极管桥电路由四个二极管和电感器,它有一个更简单的电路实现(18,19]。

由于记忆电阻的非线性特征,混沌振荡很容易出现。替换蔡氏二极管的规范化与记忆电阻蔡的振荡器,memristor-based混沌电路实现2008年(20.),这被称为忆阻器混沌电路的第一组合。从那时起,忆阻器混沌电路的研究已广泛开展[21- - - - - -27]。一个简单的忆阻器混沌电路提出了文献[23),电感器和电容器串联连接记忆电阻和一个电容级联。在文献[24],记忆电阻,电感,电容,和一个线性负电阻构成混沌电路,和纸(25)提出了一种简单的混沌电路只有三个电路元素:一个线性无源电感器,线性被动电容器和非线性有源忆阻器。

另一方面,分数微积分,一个300多岁的数学主题,可以更准确地描述实际对象比经典的“整数”方法(28]。此外,由于额外的可调参数的引入,将增加的分数阶模型自由度。值得一提的是,分数阶微积分的原理是基于分数阶积分或微分的记忆属性29日],所以分数微积分和忆阻器之间的连接很简单,记忆电阻可以扩展到分数阶。在文献[30.),一个分数阶忆阻器模型首次应用到蔡的振荡器,构造一个分数阶memristor-based混沌电路。文献[31日)提出了一种分数阶广义记忆电阻由四个二极管与分数阶并行RC滤波器级联(顺序是在0和1之间),建立了分数阶混沌电路代替传统的蔡与拟议中的记忆电阻的二极管。分数阶电容和电感是由相应的单元电路实现。不仅进行了数值模拟,同时等效电路实现。

本文组织如下。部分2简要介绍了分数阶微积分的基本构造一个基于分数阶广义记忆电阻系列RL滤波,然后建立一个分数阶混沌电路记忆性。节3,进行详细的理论分析和数值模拟的动态行为提出电路通过调查平衡的稳定点和系统参数对分岔的影响。节4分数阶电感器和电容器的等效电路实现,和电路模拟的实现分数阶记忆性混沌电路进行。部分5本文的结论与一些额外的评论。

2。分数阶混沌电路记忆性

2.1。分数阶微积分基础

分数微积分,集成的泛化和分化整数秩序,可以更准确地描述实际对象的属性。基本积分微分算子 被定义为(32,33] 在哪里 和 操作的范围和吗 是订单。

有三个等价定义用于一般分数微分称为Grunwald-Letnikov (GL)定义的Riemann-Liouville (RL)的定义,和卡普托的定义。卡普托定义初始条件问题的更方便,因为它的物理意义是显而易见的(34- - - - - -36]。在这项工作中,我们将使用差动保角变换基于卡普托的衍生品。卡普托定义可以写成 在哪里 伽马函数和吗 通常是大于零(29日]。卡普托的方法的主要优势是,分数微分方程的初始条件与卡普托衍生品在同一个至于integer-order微分方程形式,和卡普托导数的拉普拉斯变换允许利用古典integer-order衍生品的初始值与已知的物理解释(33]。拉普拉斯变换的 卡普托微分算子是秩序 在哪里 是一个整数, 。在本文中,我们考虑到零初始条件,所以卡普托的拉普拉斯变换分数导数减少(37]

在这种情况下,部分衍生品的三个著名的定义是等价的(38]。

2.2。分数阶忆阻器模型

文献[17证明一个二极管桥接电路级联电感和电阻串联满足广义记忆电阻的定义,其等效电路只包含六个基本要素,这是描绘在图1。假设通过广义记忆电阻的电压 ,通过广义记忆电阻电流 ,电流通过电感器 是 ,提出了广义记忆电阻电路的数学模型建立 在哪里 和 二极管参数和 。 , ,和 表明反向饱和电流、发射系数和热二极管的电压,分别。摘要二极管1 n4148用于电路模拟,提出了二极管的参数 nA, ,和 mV。

(一)
(一)
(b)
(b)
图1
广义记忆电阻及其电路实现:(a)记忆性二极管桥系列RL滤波和(b)记忆电阻符号表示。

作为非线性元件,电感和电容可以扩展到分数阶的分数阶微积分的观点(29日]。因此,分数阶inductor-based广义记忆性取代integer-order电感电路实现 用分数阶电感器 ,其数学模型可以表示为

为了验证提出分数阶广义记忆电阻是否满足的三个指纹记忆电阻(39),使用MATLAB软件进行数值模拟。给出了输入电压为正弦电压 ,电感的参数和280 mH和580Ω电阻,分别。设置分数阶 = 0.95,忆阻器的输入电压和输入电流的关系曲线和不同频率图表示2(一个),图中演示了不同振幅的关系曲线2 (b)。输入电压的振幅图2(一个)是设置为 V,输入电压的频率是多少 赫兹在图2 (b)。此外,磁滞回路如图与不同的订单2 (c),theamplitude和频率设置为 V和 分别赫兹。可以看出,磁滞回路掐在原点和捏滞回线的面积减少单调随着输入电压的频率增加时,频率大于临界值。此外,捏磁滞回线将收缩频率趋于无穷时非线性单值函数。领域的滞后循环增加随着输入电压幅值的增加,如图2 (b)。此外,捏滞后循环显示在图2 (c)表明分数阶电感器的顺序会影响记忆电阻的动态特性。可以看出,不同振幅的捏了磁滞回路相似(见图2 (b)),但是频率和顺序会导致一个重要的影响(参见图记忆性特征2(一个)和2 (c))。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图2
分数阶的滞后循环记忆电阻不同的正弦输入电压:(a) 和 用不同的频率,(b) 赫兹和 与不同的振幅,(c) V和 赫兹用不同的命令。
2.3。分数阶混沌电路Memristor-Based

分数阶广义记忆电阻的实现后,我们考虑应用提出一阶广义记忆电阻古典蔡的电路。代替传统的蔡美儿的振荡器与分数阶inductor-based记忆电阻,一个分数阶记忆性建立混沌电路,这是显示在图3。由于实际电感器和电容器可以扩展到部分以便更好地表达其电特性,本文中使用的电容和电感都是分数阶。因此,电路由六个元素是一个分数阶电感器 ,两个分数阶电容器 和 ,一个分数阶记忆电阻 ,一个线性无源电阻和负电导。因为提出分数阶记忆性蔡的电路有四个动态元素,有四个相应的状态变量,分数阶电容器的电压 和 和 ,通过分数阶电感电流 。最后一个是当前通过分数阶的电感器 在分数阶广义记忆电阻, ,所示(6),它可以表达分数阶广义记忆电阻的动态特性 。利用基尔霍夫电压定律(在任一瞬间)和基尔霍夫电流定律(氯化钾),分数阶特征方程的记忆性蔡的电路可以派生


图3
分数阶记忆性蔡的电路。

分数阶模型的记忆性蔡的电路建立了在MATLAB和数值模拟进行。设置电容 nF,电容 nF,电感 mH,抵抗 kΩ,电导 女士,分数阶广义记忆电阻的参数是一样的,上面提到的。当分数阶 0.98作为状态变量初始值的选择是吗 V, V, 一个, 蔡的相图,分数阶记忆性的电路表现出图4。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图4
相图的分数阶记忆性蔡的电路。相图(一) - - - - - - 飞机,(b) - - - - - - 飞机,(c) - - - - - - 飞机,(d) - - - - - - 飞机。

3所示。分数阶混沌动态行为的记忆性蔡的电路

3.1。平衡分和稳定

在本节中,平衡分和相应的雅可比矩阵特征值计算定性分析的动态行为提出分数阶记忆性混乱的电路。的平衡分电路可以通过解下列方程:

很明显, 蔡是一个平衡点的分数阶记忆性的电路,但分析的解决方案 和 不能在MATLAB计算,所以我们考虑使用图形分析法获取其他平衡分16]。之间的关系 和 可以写成

利用(9),我们可以画两个函数之间 和 ;然后两个函数的交点坐标可以很容易地获得,如图5。因此,其他两个平衡分了 和 。


图5
两个函数和他们的交集点。

雅可比矩阵的特征(7)可以被描述为 在哪里 和 可以表示为

然后在平衡特征值点 可以计算为

可以看出,平衡点 有一个积极的真正的根和平衡点吗 有两个共轭复数根与积极的实部。因此,系统是不稳定的,混沌吸引子。

3.2。分岔与顺序的改变

分数阶模型可以提高灵活性和自由度的部分参数。在本节中,分数阶的变化 是应用于分数阶记忆性蔡的电路,和订单的影响性能的分数阶记忆性混沌电路进行了讨论。采取相同的电路参数如上所述,初始条件设置为(0 V, 0.01 V, 0, 0),描述的分数阶混沌电路的分岔图(7)可以获得,如图6。结果表明,系统的动力学行为可分为三种状态:周期状态,分岔和混沌。混沌的系统有两个街区 和 当订单 变化从0.9到1。随着订单的增加,系统进入混沌状态的周期状态突然当 。然而,混沌行为不存在很长一段时间;系统跑回当订单周期状态 只是超过0.94。当订单高于0.97时,系统进入混沌。此外,系统显示复杂的非线性分岔和混沌等动态行为时的顺序 大于0.96。为了进一步说明顺序的影响系统的动态行为,进行了比较分析。相图的分数阶记忆性蔡的电路,当订单= 0.955和0.965所示图7。可以看出,电路是一个周期 ,但是,当 ,电路有两个或两个以上的周期,发生分歧,结果与对应的分岔图如图6。此外,值得注意的是,状态变量的轨道 与订单 不改变顺利,点菜了吗 ,不同于大多数其他的分岔图。从上面的分析,我们知道,不同的订单将导致不同的动态行为的记忆性混沌电路、分岔和混沌等,这表明秩序发挥了重要作用,分数阶的性能记忆性混乱的电路。


图6
分岔图的分数阶记忆性混沌电路的顺序不同。
(一)
(一)
(b)
(b)
图7
蔡相图的分数阶记忆性的电路顺序不同。
3.3。分岔与电感的变化

的分岔图 与电感器 描绘在图8。


图8
分岔图的分数阶记忆性混沌电路和integer-order记忆性混乱与不同的电感电路 。

轨道表面涂有红色指示integer-order系统与秩序 ,和轨道用蓝色画表达分数阶系统的秩序 。integer-order系统,电感值的增加,记忆性的轨道蔡的电路从周期性然后突然进入混沌状态。增加一段时间后,系统返回周期性的行为。这种现象是不一样的,在分数阶系统。所需的电感值分数阶系统进入混沌行为比integer-order系统。此外,分数阶系统仍处于混乱时,电感大于33 mH,但轨道integer-order系统在一个周期状态。为了验证理论分析的分岔图是否正确,integer-order系统和分数阶系统的相图与秩序 给出了图9当电感 mH和 mH,分别。可以看出,相图的结果显示分岔图的正确性。integer-order系统混乱,但分数阶系统周期时,电感值 mH。同时,integer-order系统周期性行为但分数阶系统混沌行为当电感值 mH。

(一)
(一)
(b)
(b)
图9
integer-order系统的相图和分数阶系统:(a) mH和(b) mH。

4所示。电路实现分数阶记忆性混乱的电路

在本节中,使用等效电路来模拟分数阶记忆性混乱的电路。由于电感器和电容器可以扩展到分数阶,Oustaloup过滤算法获得的近似传递函数部分拉普拉斯变换算子 (40),然后简化功能转移到zero-pole形式和使用链电路实现分数阶电感器和电容器的等效电路41]。

4.1。分数阶广义记忆电阻的等效电路

电感器的部分拉普拉斯变换算子分数阶广义记忆电阻可以使用物理地实现连锁RL电路如图10。分数阶电感器的传递函数可以近似表示为 在哪里 是分数阶电感器的顺序。选择 mH, 和 ,电阻和电感可以通过待定系数法计算。分数阶等效链电路的电感器的参数在表中列出1和2。幅度和相位的理想 7日秩序Oustaloup近似fractance电路近似 mH和秩序 提出了在图11。从图中,我们观察到近似相对好从10−1赫兹到105赫兹。


图10
分数阶等效链电路的电感。
表1
连锁的阻力参数等效电路的分数阶电感器。
表2
连锁的电感参数等效电路的分数阶电感器。
(一)
(一)
(b)
(b)
图11
波德图Oustaloup近似和fractance电路近似。
4.2。等效电路的分数阶记忆性蔡的电路

实现分数阶电感器的等效电路后,我们考虑使用相同的方法来实现分数阶电容器的等效电路。分数阶的近似等效电容可以实现利用RC梯形的拓扑结构,如图12。RC梯形网络的传递函数表示为


图12
分数阶的阶梯电路电容器。

考虑到电容器 nF和 nF的分数阶记忆性蔡的电路,选择 和 ,电阻和电容可以计算,列在表中3和4。理想的波德图 7日秩序Oustaloup近似fractance电路近似 nF - 100 nF和秩序 显示在图13。可以看出,从10近似相当不错−2赫兹到105赫兹。链式分数阶电感的等效参数 在分数阶记忆性蔡的电路也可以计算,表中列出5和6,波德图显示了一个好的近似从10−2赫兹到105赫兹,如图14。因此,分数阶等效电路的记忆性蔡的电路已经完成,如图15有四个等效电路单元,然后可以进行电路仿真的分数阶记忆性等效电路。

表3
梯子的阻力参数等效电路的分数阶电容器。
表4
梯子的电容参数等效电路的分数阶电容器。
(一)
(一)
(b)
(b)
图13
波德图Oustaloup近似和fractance电路近似。
表5
连锁的阻力参数等效电路的分数阶电感器。
表6
连锁的电感参数等效电路的分数阶电感器。

图14
波德图Oustaloup近似和fractance电路近似。

图15
的等效实现分数阶memristor-based混沌电路。
4.3。电路模拟分数阶记忆性等效电路

在本节中,我们考虑利用PSpice模拟分数阶记忆性等效电路。考虑到订单 ,电阻的参数 在分数阶广义记忆电阻和二极管和上面提到的一样,和分数阶电感器 mH实现连锁单位,其等效参数表中列出1和2。此外,抵抗 和消极的电导 在分数阶记忆性混沌电路常数,而分数阶电容 nF和 nF和分数阶电感 mH由相应的等效电路,实现中给出的参数表3- - - - - -6。因此,分数阶的等效电路memristor-based分数阶蔡氏电路的实现。图16显示了相图的实现分数阶记忆性蔡的PSpice电路,和结果验证数值模拟的正确性和分数阶等效电路的实用性。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
(d)
(d)
图16
相图的实现分数阶记忆性蔡的电路。相图(一) - - - - - - 飞机,(b) - - - - - - 飞机,(c) - - - - - - 飞机,(d) - - - - - - 飞机。

5。结论

在本文中,一个分数阶memristor-based混沌电路。广义记忆电阻和电容和电感器的电感器的记忆性都是分数阶混沌电路。首先,数学模型,分数阶inductor-based建立广义记忆电阻,然后分数阶特征方程的记忆性混沌电路。之后,进行理论分析和数值模拟等分析平衡点稳定和秩序的影响系统的稳定性。结果表明,分数阶电路表现出不同的动态行为,如分岔和混沌与秩序的变化,这表明的重要性顺序对系统的动态行为的影响。为了验证上述分析,分数阶等效电路的记忆性混沌电路。非线性元素电感器和电容器大约相当于通过单元电路。用待定系数法来解决电路参数,一个分数阶memristor-based构造等效电路的PSpice软件。电路模拟的结果证实了调查分数阶记忆性混沌电路理论和数值。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作得到了国家自然科学基金(批准号51507134),科研项目由陕西省水资源部门资助(批准号2017 slkj-15),陕西省自然科学基金(批准号2018 jm5068),关键项目的中国陕西省自然科学基础研究计划(批准号2018 zdxm - gy - 169),和西安科技创新项目(批准号201805037 (21))。