文摘

Hirota-Satsuma-Ito方程(2 + 1)维通过three-soliton测试。本文旨在推广这个方程仍有丰富有趣的解决方案的新结构。基于副大臣双线性公式、符号计算的一个新类Hirota-Satsuma-Ito类型方程涉及一般二阶导数项要求有肿块进行解决方案。显式表达式把解决方案成功地提出了广义Hirota-Satsuma-Ito方程的系数。三维图和等高线图一块特别提出的解决方案是用来阐明的特点产生的肿块的解决方案。

1。介绍

经典理论的微分方程,研究存在的主要问题是解决给定的方程,包括许多非线性方程组描述现实世界的问题。柯西问题处理存在唯一性,稳定性的解决方案满足初始数据。拉普拉斯方法开发了求解线性常微分方程柯西问题和傅里叶变换方法对线性偏微分方程。在现代孤子理论,isomonodromic变换法和逆散射变换法设计来解决非线性普通和偏微分方程柯西问题[1- - - - - -3]。明确解决微分方程包括各种常系数线性微分方程,但它是很难计算准确的解决方案将或非线性方程组。

然而,副大臣双线性方法为我们提供了一个工作方法孤子解,发现历史上对非线性可积方程(4,5]。孤子解分析指数局部四面八方的空间和时间。让一个多项式 确定一个大臣双线性微分方程: (2 + 1)维的 ,和 副大臣双线性的衍生品。相应的偏微分方程的因变量 决定通常由一个对数转换: 和 。内大臣双线性公式,孤子解表示通过 在哪里 意味着所有的可能性 取0或1,波变量和定义的阶段变化 和 在这 ,和 , ,满足相应的色散关系和 , ,是任意的相位变化。

块解一类分析rational解决方案本地化四面八方的空间,源于解决可积方程(2 + 1)维(见,例如,(6- - - - - -8])。在长波极限 - - - - - -孤子的解决方案可以产生特殊的肿块(9]。许多可积方程(2 + 1)维展览块非凡的丰富的解决方案(见,例如,6,7])。这些方程包含KPI方程(10),其特殊的肿块已经来自解决方案 - - - - - -孤波解(11),三维三波共振相互作用[12],BKP方程[13,14),Davey-Stewartson方程二世(9],Ishimori-I方程[15),和KP方程自洽源(16]。肿块的过程中的一个重要步骤是确定正二次函数解双线性方程(6]。然后,通过对数变换所提到的,我们现在把解非线性方程(见,例如,6]副大臣的情况下双线性方程和(7)的情况下广义双线性方程)。

在本文中,我们想推广Hirota-Satsuma-Ito (HSI)方程(2 + 1)维的一个新的结构仍有丰富有趣的解决方案。副大臣双线性形式是我们讨论的起点(见,例如,6,7,17,18)其他方程)。我们将考虑一个一般类HSI类型方程的同时保持块解的存在性。一般这样的广义恒生指数方程(2 + 1)维及其肿块的解决方案将通过与枫的符号计算确定。对于一块特别提出解决方案,三维图和等高线通过枫阴谋的工具,将对阐明的特点提出了肿块的解决方案。一些结论将在上一节。

2。把解决方案

众所周知,Hirota-Satsuma浅水波动方程(4), 有一个双线性形式, 根据对数转换 和 。一个可积 - - - - - -维Hirota-Satsuma方程的扩展阅读 通过副大臣three-soliton测试(19),双线性形式下对数变换 : 方程(7)被称为Hirota-Satsuma-Ito (HSI)方程(2 + 1)维19]。我们想添加三个术语来概括上述恒生指数方程仍然拥有丰富有趣的新解决方案的结构: 这个广义恒生指数方程有一个双线性形式下对数变换 : 准确地说,在 ,我们有关系 接下来,我们想确定肿块全球卫生安全倡议的解决方案(2 + 1)维方程(9),通过与枫的符号计算。

我们开始寻找全球卫生安全倡议的正二次解双线性方程(10全球卫生安全倡议的)来生成块解决方程(9): 将这个函数插入gHSI双线性方程(10)生成一个系统非线性代数方程的参数 , 。进行直接的符号计算来解决这个系统提供了一套解决方案的参数 和所有其他 是任意的。涉及三个常量定义如下: 这些公式(12)和(13与枫)获得了一个简化的过程。

从(12),我们可以很容易地看到它能充分保证 如果我们需要 因此,函数 定义为(12)和(13在上述条件下, 导致肿块的解决方案 gHSI方程(2 + 1)维(9)。

当一个需要 一个获得最初的恒生指数方程(2 + 1)维(7),函数 由(12)和(13)提出了一种块解决恒生指数方程(7): 在哪里 和所有其他 是任意的。解决上述参数的解决方案 和 为 和 和替换产生的表达式 和 到的公式 在(19),我们得到 很容易看到 的条件,因此, 保证(16)和(11)和(20.恒生指数方程()将把解决方案7)[20.]。

特别是在 我们获得一个特殊gHSI方程如下: 有大臣双线性形式 根据对数变换(16)。与 (16)和(11)和(22)出现肿块解决特殊gHSI方程(24): 三个三维图和等高线图块的解决方案是通过枫阴谋的工具,来阐明的特点提出了肿块的解决方案,在图1。


图1
的概要文件 当 :3 d绘图(上)和(下)等高线。

以上产生的精确解添加现有理论孤子解的有价值的见解和dromion-type解决方案,通过各种强大的解决方案技术开发包括副大臣扰动方法,Riemann-Hilbert方法,朗斯基矩阵技术,减少对称和对称约束(见,例如,21- - - - - -31日])。

3所示。结束语

我们研究了广义(2 + 1)维耗散Hirota-Satsuma-Ito (HSI)方程去探索不同的方程具有块解决方案,通过与枫符号计算。结果丰富肿块和孤子理论,提供了一个新的例子(2 + 1)维非线性方程,具有美丽的块结构。三维图和等高线图的一块特别选择的解决方案是由在枫使用绘图工具。

许多非线性方程组有肿块的解决方案,其中包括(2 + 1)维广义KP, BKP, KP-Boussinesq, Sawada-Kotera, Bogoyavlensky-Konopelchenko方程(32- - - - - -36]。一些最近的研究也证明了非常高的丰富性肿块解决线性偏微分方程(37)和非线性偏微分方程(2 + 1)维(见,例如,(38- - - - - -41)和(3 + 1)维(见,例如,42- - - - - -48])。把解决方案补充精确解的多样性产生不同类型的组合(见,例如,49- - - - - -52),可以产生各种Lie-Backlund对称性,可用于确定由对称性守恒定律和共轭对称性53- - - - - -55]。此外,多元化的互动解决方案(35)表现出了许多可积方程(2 + 1)维,包括lump-soliton互动解决方案(见,例如,56- - - - - -58])和lump-kink互动解决方案(见,例如,59- - - - - -62年])。

我们最后的话,我们可以添加一个全球卫生安全倡议的术语方程(9)制定一个更广义溪双线性方程, 在哪里 , ,都是常数,但我们没有开任何肿块解决相应的非线性方程 。在上述第一项双线性方程确定肿块是至关重要的解决方案,但是最后一项工作肿块的解决方案带来了困难。没有提示如何解决任何大产生的非线性代数方程组。然而,一些一般考虑的肿块已经存在的副大臣双线性情况下(6)和广义双线性情况下(7]。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

部分支持的工作是由国家自然科学基金委资助号。11301454,11301331,和11371086,NSF在批准号dms - 1664561,对江苏省高校自然科学基金(17 kjb110020),特别强调基础科学研究在学科前沿的CUMT批准号2017 xkzd11,由上海电力大学杰出教授,中国,南非和西北大学。