文摘

本文考虑解的近似分数阶生物种群模型。分数阶导数是卡普托意义上。通过使用拉普拉斯Adomian分解方法(LADM),我们构造一个基本函数和提供高阶变形方程在一个简单的方程。考虑方案给我们一个解决方案的形式迅速收敛的无穷级数。用于显示一些示例的效率的方法。结果表明,LADM是有效和准确的解决这种类型的非线性问题。

1。介绍

如今在大多数研究领域,分数微分方程的重要性增加由于其广泛的应用于现实世界的问题。在不同的科学和工程类,如化学、力学、分数阶微积分和物理学的应用程序可以被找到。它也可以用于控制理论、优化理论、图像处理,经济学等等1- - - - - -5]。分数阶的数学模型对研究自然很重要的问题。众所周知,轨迹的分数阶导数的性质是外地的,描述,分数阶导数具有记忆效应特性和动力或物理系统与分数阶微分算子具有记忆效应,这表明,未来的状态取决于当前和过去的状态。卡普托的局限性分数导数是删除而引入Caputo-Fabrizio导数;参见[6]。辛格等人用这种新方法模型的动力学计算机病毒,特别是在那些情况下,物理过程不承担塑性、疲劳、损伤,和电磁磁滞效应。针对新分数导数的意义重大,化学动力学系统的分数阶模型和完整的记忆效应进行了研究。作者研究解的存在性和唯一性的化学动力学系统任意顺序使用定点定理。

非线性微分方程组是非常重要的数学家、工程师和物理学家,因为在大多数物理系统本质上输入并不是成比例的输出。除了简单的非线性微分方程,研究非线性演化方程的精确解也扮演着重要的角色在某些非线性问题的研究。精确解的方法如副大臣的方法有很多,达布变换,Painleve扩张。

近几年,越来越多的替代使用数值方法求解线性和非线性问题的物理兴趣包括同伦摄动法(HPM) [7,8),Adomian分解方法(ADM) (9,10),同伦分析方法(火腿)11]。Lienard由于各种应用程序的方程,Kumar等人提出了一种基于分数同伦分析的数值算法转换方法研究分数阶Lienard的方程,在最近2017年,作者使用同伦分析方法和拉普拉斯变换方法探索FitzHugh-Nagumo分数阶方程的某些方面。采用拉普拉斯分解方法(12,13)处理一些其他非线性问题,而同伦扰动变换方法中选择[14探索近似解。最近拉普拉斯变换结合同伦分析方法用于生产有效的方法叫做同伦分析转换方法(HATM) [15,16]。它的主要目的是处理非线性物理问题。Baleanu et al。17解决了分数阶最优控制问题。Schrodinger-Korteweg-de弗里斯的解决方案的系统方程,Golmankhaneh利用同伦摄动方法(18]。在[19),作者提出以下非线性分数阶生物种群模型使用同伦分析变换方法: 与初始条件 在哪里 , , 此外,代表人口的密度表示供给人口的出生率和死亡率。这个非线性分数阶生物种群模型是通过更换相应的一阶导数项由分数阶生物种群模型 ,在哪里 。导数是卡普托的意义。分数导数所涉及的参数显示了不同的反应。如果 ,分数阶生物模型降低了标准的生物模型。在[20.,21),作者讨论了这样的模型,探索他们的不同方面。促进上述工作,我们解决模型(1通过使用LADM)。 用给定的初始条件 由于该模型是高度非线性和包含非线性项和为 因此,我们分解和在Adomian多项式 在哪里

2。预赛

为了帮助读者,在本节中,我们回忆起一些基本定义和结果分数微积分。

定义1(见[22])。的分数阶导数卡普托意义上被定义为 为 , 在函数的情况下 ,我们卡普托导数定义”” 进一步为 ,我们有 。

定义2(见[22])。的Riemann-Liouville分数阶积分算子的秩序 的函数给药 在的情况下 然后Riemann-Liouville分数阶积分算子的秩序 是由 的Riemann-Liouville分数阶积分(22)是由 提供积分右边是逐点上定义 。

引理3。让 和 。然后 持有。 拥有几乎无处不在

定义4(见[19])。卡普托导数的拉普拉斯变换给出

定义5(见[23])。米塔格-莱弗勒函数的幂级数的定义是

3所示。LADM生物模型

本部分介绍LADM求解的一般程序(3用给定的初始条件下)。应用拉普拉斯变换模型(3)我们继续 用给定的初始条件 从两岸的拉普拉斯变换的定义(3),我们有 使用给定的初始条件收益率 因此,分解后非线性项Adomian多项式和考虑到未知的解决方案 ,(18)可以写成 比较双方的条款,我们得到 在拉普拉斯逆变换的系统(21),我们得到

4所示。应用程序

在本节中,我们讨论一些LADM解决生物种群模型的应用。

例6。考虑下面的分数阶生物模型(21]: 在给定的初始条件 在使用该方法(23)和比较的双方采取拉普拉斯逆变换,得到 系列解决方案提供 在封闭的形式,给出的解决方案是 这是确切的解决方案。把 在(27),我们得到的解决方案 这是经典的解决方案。

例7。考虑下面的分数阶生物模型(21]: 在给定的初始条件 双方应用拉普拉斯变换,我们有 双方在使用拉普拉斯逆变换(31日),我们有 所以没有。现在问题的级数解(29日)是由 封闭的形式给出 考虑 ,我们得到经典解决方案

示例8。考虑下面的分数阶生物模型。 对应于初始条件 双方应用拉普拉斯变换,我们有 双方在使用拉普拉斯变换,我们有 等等。问题的级数解(36)是由 因此,给出了封闭形式的解决方案 考虑 ,我们得到经典解决方案

5。结论和讨论

在这篇文章中,(LADM)已成功应用获得广义分数阶生物模型的精确解与给定的初始条件。在数据给出的数值情节1,2,3考虑的例子,我们可以看到,程序是有效获取近似或精确解对应于不同的分数阶分数阶偏微分方程。在当前形势下我们遇到相应的非线性fpd的精确解。

在1980年代乔治Adomian制定一部小说强大的方案解决非线性函数方程。后来,这种方法在文献中被称为Adomian分解方法(ADM)。这项技术是基于微分方程组解的分裂形式的一系列功能。每一项相关的系列从一个多项式生成的扩张一个解析函数的幂级数。这是一种有效的工具来解决系统的微分方程出现在物理问题。在过去的20年中,Adomian分解方法获取正式的解决方案已经被应用于广泛的类随机性和确定性问题涉及代数,微分,积分微分的,延迟微分、积分,和偏微分方程。作为与其他现有的数值方案相比,该方法的主要优点是,它不需要扰动或自由化探索复杂动力系统的动力学行为。LADM所做的大量工作提供解析解非线性方程组的求解分数阶微分方程。

进一步本文结果与解析解相比,获得的结果Adomian分解方法(20.)和同伦分析方法。在[20.),作者表明,ADM一般不收敛,当该方法应用于高度非线性微分方程。我们的方法比火腿、HPM和VIM,因为它不需要参数方面形成分解方程,根据需要没有扰动的方法。我们的方法很简单,不需要或额外浪费内存Tau-collocation方法。进一步从直接ADM,当我们应用拉普拉斯变换方法是更好的然后分解非线性项Adomian多项式,而在Adomian分解特定积分,这往往造成计算上的困难。该技术的主要优势是它避免了复杂的转换指数减少,导致一个简单的通用算法。其次,它减少了计算工作只通过求解线性代数系统。从这种方法中,我们获得了一个简单的方法来控制级数解的收敛区域通过使用一个适当的值的参数。结果表明,LADM非常有效,强大的方法找到非线性微分方程的解析解。

的利益冲突

关于这篇论文没有利益冲突。

作者的贡献

所有作者同等重要的作用,本文并批准了最终版本。

确认

这项工作一直支持中国的国家自然科学基金(11571378)。