文摘

张量积(TP)模型转换定义和数值重建的高阶奇异值分解(HOSVD)的功能。它扮演相同的角色对函数作为HOSVD为张量(和矩阵奇异值分解)。需要一定的有利特性,比如排名/减少复杂性,权衡复杂性和准确性,以及操纵权力的代表TP形式,促使小说在TS模糊概念模型建模和控制。TP的最新扩展模型转换,称为多和全面TP模型转换,适用于一组功能的维数输出的功能可能有所不同,但有一个严格的限制输入的维数,必须是相同的。提出了一个扩展的版本,是适用于一组函数,函数的输入和输出维度可能有所不同。这使得它可以变换完成多组分系统TS模糊模型以及上述优势。

1。介绍

的外观奇异值分解)是最大的突破之一,矩阵代数(1]。其适用性是扩展到高阶的张量形式的圣言(2在2000年左右)。最近,圣言的进一步扩展和HOSVD概念,称为张量积(TP)模型转换,提出了控制理论的功能(3]。给出一个全面的概述(4]。TP的各种扩展模型转换,如双线性,伪,多,普遍TP模型转换,以及HOSVD范式的概念TS模糊或TP模型,提出了在4- - - - - -7),特别注重TS模糊模型(8]。近似的TP模型转换应用于TS模糊模型研究[9]。

上述TP模型的扩展和变化转换主要是应用于模糊模型的复杂性减少(10,11)和广泛使用的TS模糊模型中基于PDC(并行分布补偿)控制理论(12- - - - - -14]。但是,总的来说,它已经应用于多面体模型,TP / TS模糊模型和LMI(线性矩阵不等式15)基于控制理论。TP模型转换的最重要的特征是由键转换步骤,保证数值重建HOSVD结构决定。转换的主要特点如下:(我)它是可执行模型给出的方程或基于软计算的表征,如模糊规则或神经网络或其他黑盒模型。唯一的要求是,该模型必须提供为每个输入输出(至少在一个离散的规模,看到部分4,一步1)。(2)它将发现最小的复杂性,即最小数量的TS模糊规则模型。如果需要进一步减少复杂性,它提供了最好的权衡规则和近似误差。(3)它的工作原理就像一个主成分分析,它决定了组件/模糊规则的顺序根据它们的重要性。(iv)它能够产生前提模糊集根据各种约束。例如,它可以用于定义不同的凸壳,一个能力最近被证明在控制理论中发挥重要作用。(v)它能够将给定的模型转换为预定义的前期模糊集(pseudo-TP模型转换)(vi)它能够同时改变一组模型,而常见的先行词模糊集是派生的所有模型。

基于以上,出现了各种理论和应用程序使用TP模型转换。进一步计算提出了改进(16,17]。已经证明在5,18- - - - - -20.],基于LMI凸壳的控制设计理论是非常敏感的定义为顺向(顶点)TS模糊模型。因此,TP的凸包操纵能力模型转换是一个基于LMI的控制设计中重要的和必要的一步。非常有效的凸包操纵方法纳入TP模型转换(21- - - - - -23]。进一步有效控制方法和应用领域的出版控制理论(24- - - - - -41]。许多强大的方法发表在领域的滑模控制在29日,42,43]。在生理控制TP的可用性模型转换也被证明(44- - - - - -49]。各种各样的进一步理论研究和应用在50- - - - - -87年]。

TP模型转换的主要优势之一是能够找到的最小复杂性系统的所有组件,保证同样的前期系统所有组件。这是一个非常典型的要求设计或稳定性验证方法,也就是说,模型,控制器,和观察者需要相同的前期系统,因此,凸表示。因此,组件的同时操纵multi-TP模型转换或普遍TP模型转换(TP模型转换的所有变异相结合)收益率进一步的可能性控制性能优化(18- - - - - -20.]。

尽管上述优势,全面TP模型转换的一个至关重要的限制是它只能适用于一套系统具有相同数量的输入。例如,考虑四个不同的系统给不同的表征,如图1。S1是一个模糊逻辑模型;S2神经网络;S3是由一个方程;S4是黑箱模型。所有这些模型都有相同的输入,但可能有不同的大小的张量的输出。multi-TP模型转换能够同时将所有系统转换为TP或TS模糊模型形式,这样相同的先行词集上定义的输入。普遍TP模型转换也可以将预定义的前期模糊集。


图1
多TP模型转换。

进一步概括提出了可以应用于系统的例子在图2。这里每个系统可能由不同的表示形式(如在上述情况下),但也可能有不同数量的输入。转换可以同时转换所有TS模糊系统模型的形式,这样前期模糊集将是相同的或假设一个预定义的结构。从其他的角度,提出了TP模型转换继承所有的前TP-based方法的优越特性。


图2
提出了TP模型转换的延伸。

Recenly提出SOS-type (Sum-of-sqares) TS模糊LPV模型也广泛应用于模糊控制理论(88年,89年]。TP的进一步扩展模型转换,这种系统在未来的作品非常受欢迎。

2。符号和概念

2.1。符号

论文中使用以下符号:(我)标量: 是标量。(2)向量: 包含的元素 。(3)矩阵: 包含的元素 。(iv)张量: 包含的元素 。(v)设置: 例如, 。(vi)指数 :指数的上界是用大写的字母,例如, 。(七)指数 表示这一指数 需要的元素集 ,分别。 是理解为默认。(八)间隔: 。(第九)空间: 是一个 维超立方体。(x) 表示向量的事实 是在空间 。的尺寸 和 都是一样的。(十一) 代表一个维度降低子集一般如下:(一)的空间: 州 超立方体的大小的间隔是一样的吗 ,但是有一个小数量的维度。(b)对于向量: ,在那里 和 意味着 和 。(c)在张量的情况下: 例如意味着 从张量是通过删除完整的尺寸吗 。(十二)网格: 是一个长方形的超级电网(张量),在哪里 定义的位置 不同的网格点在增加订单。(十三)一对 :空间 和网格 这意味着,在一对吗 和 。(十四)Discretised函数 的 表示的抽样 在对 。因此,它是一个张量的大小 和条目: (十五) 张量积(TP);详情,请参考[4,5,8]。符号是微小的区别 张量积下操作 只是一组数字 该产品应该被应用。(十六) 代表了TP函数, ,在那里 称为系统的权重函数。(十七)类型的权重函数如下:(一)SN:和正常化(b)神经网络:nonnegativeness(c)没有:正常(d)碳氮氧:接近正常(e)优化:放松正常化(f)伊诺:逆正常化(g)IRNO:逆放松正常化。为进一步的细节,请参考[4,5]。

3所示。提议的TP模型转换

假设一组函数给出 , ;因此 , 。张量的输出 每个函数的 可能不同的尺寸和数量大小 ,在那里 表示输出尺寸和数量 表示元素的数量维度 。

TP模型转换的目标是变换 TP函数形式

在下列约束的权重函数。

(我)统一的约束 。所有产生的TP函数将每个维度上具有相同的权重函数系统定义的集合 (显然,如果函数输入维度):(一)权重函数的系统 , 预定义的。(b)权重函数的系统 , 将派生的转换;只有他们是预定义的类型(即。,SN, NN, NO, CNO, RNO, INO, and IRNO). Further the number of the weighting functions are minimised.

(2)为每个不同的约束 。生成的TP函数有不同的权重函数在维度 :(一)权重函数的系统 , 预定义的 。(b)(即类型。,SN, NN, NO, CNO, RNL, INO, and IRNO) of the weighting function systems 预定义的维度 每一个 。

因此,(2)可以给出如下:

4所示。拟议的TP模型转换的计算

步骤1 (discretisation)。(我)Discretisation所有 结果张量 ,( )。的大小 在维 是 。(2)Discretise预定义的维度的权重函数 :

备注1。这一步是相同的方式执行原始的TP模型转换;参见[4,5,8]。

步骤2(定义TP结构)。在每个维度中执行以下步骤 :(我)拿出张量 在维 如果向量 有以下尺寸: (2)如果 然后创建 执行计算 和SN,神经网络,不,碳氮氧和复杂度权衡丢弃奇异值相同的方式在最初的TP模型转换中,其结果 事实上,如果非零奇异值被丢弃它只是一个近似值。让 (3)如果 然后执行计算 作为 根据条件,执行SN,神经网络,不,碳氮氧,和复杂度权衡一样丢弃奇异值的原始TP模型转换: 如果非零奇异值被丢弃它只是一个近似值。让 (iv)最后, 在哪里 在哪里 表示伪逆。

第三步(重建的加权函数)。这一步是一样的在multi-TP模型转换4,5,8]。在上述步骤的结果, 和 ,我们可以重新计算加权函数在任何时候。我们可以计算出前两个步骤在一个网格,这不是太密集,但计算权重函数在一个非常密集的网格(建议在5),然后构造分段线性函数。因此我们有 和 。
然后我们实现我们的目标。我们有TP模型与给定的约束形式的所有功能: 或 如果执行复杂的权衡(非零奇异值被丢弃) 换句话说,

备注2。凸包操纵和复杂性的权衡是在第二步完成。因此这里的近似精度控制废弃的非零奇异值。然而,废弃的非零奇异值导致近似误差。如果给定的权重函数系统(即是不够的。,the number of the weighting functions is less than the rank of that dimension) then we arrive at an approximation only. The use of the pseudoinverse guarantees, however, that it will be the best approximation.

5。例子

5.1。该系统

考虑一个多组分系统的输入向量 ,在那里 和 。该系统有四个子系统, 如图1。

系统3。为了有一个系统的符号,我们表示系统的输入向量3作为 这是 。这是一个神经网络;参见图3: 在哪里 是激活函数(让它是一个非常简单的在目前的情况下: )的神经元和 连接的权重吗 输入神经元 输出神经元。因此,系统的输出


图3
系统3:神经网络。

系统4。系统的输入向量4是 ,在那里 和 。
这个系统是由公式等

系统5。系统的输入向量5是 ,在那里 和 。
这是由一个模糊逻辑模型。假设两个规则给出了( ):
如果 然后 。
进一步假设Ruspini分区的成员函数: 和随之而来的集是单例集位于宇宙元素5和6的输出。因此,TS模糊模型和模型的传递函数(product-sum-gravity)

系统6。系统的输入向量6是 ,在那里 和 。
这是一个黑盒模型,该模型可以提供 对任何输入 。 (为了遵循所有示例的计算步骤,让我们揭示什么是黑盒的输出 。)

5.2。TP模型转换的条件

这个例子的目的是将所有的四个系统TS模糊表示(或TP模型如果结果加权函数不能被表示为先行词模糊状态),下列条件:(我)所有系统必须具有相同的前期系统输入时间间隔的函数 。前期的功能必须在Ruspini分区,即在SN和神经网络类型。为了有一个复杂度最小化表示,进一步的要求是前期函数必须是最小的数量。(2)相同的前期功能系统的变量 是所有预定义的系统: ,“ 和“表示”预定义的。 (3)唯一的权重函数系统输入要求 每个系统是他们必须的奇异功能HOSVD规范形式(othonormed系统命令的高阶奇异值)。这些功能并不像前期可表示的模糊集的函数,因为他们可能采取消极的价值观。显然他们不会是相同的所有系统。

5.3。提出了TP模型转换的执行

值得强调的是,前面的TP模型表示方法不能应用在目前的情况下,由于输入向量的元素是不同的。

步骤1。(我)让我们定义网格 来 : 因此discretisation网格点的数量 。(2)让我们discretise系统定义的矩形网格向量 , 。系统的discretisation 结果 , 。的系统3, 第一个输入变量和三维空间分配给最后一个维度是分配给输出向量。系统的discretisation4收益率 第一个二维输入变量被分配 最后两个维度被分配到输出矩阵。系统的discretisation5收益率向量如下: 系统的discretisation6结果 第一个二维输入变量被分配 最后一个维度是分配到输出向量。让我们discretise预定义的权重函数:

步骤2。(我)维 拿出张量 在分配的维度 : 创建 执行计算 结合SN和NN条件(4)(只保留非零奇异值): 这一步使用后的结果 。(2)维 让 (3)维 拿出张量 在分配的维度 : 然后执行HOSVD在每个 (只有非零奇异值保存): 这个步骤的结果 。(iv)重建的核心张量

步骤3。让 。
然后让discretised张量和加权函数的所有系统我们可以数值重建加权函数4,5] 。
因此,我们实现了我们的目标:

6。结论

拟议的TP模型转换可以在执行一组模型的维数输入可能有所不同。拟议的TP模型转换以往所有的优点,包括简单的凸包操作,复杂的权衡,伪TP模型转换和自动执行和数值。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是支持的FIEK程序(高等教育合作中心和产业Szechenyi什大学ginop - 2.3.4 15 - 2016 - 00003)。