文摘

在本文中,我们提出一个系统识别(SI)过程,使建筑线性时间分数阶微分方程(FDE)模型能够准确地描述复杂系统的时间行为。模型中的参数的顺序方程系数,必要时,初始条件。卡普托分数阶导数的定义,和米塔格-莱弗勒函数,用于获取相应的解决方案。自组模型参数和初始条件nonunique,还有小但显著差异可能的预测模型从而获得,如果操作是通过全球回归一个失效成本函数进行模拟退火优化算法。SI的方法是评估通过考虑先前发表的实验数据从一个壳管热交换器和多区域新建建筑测试床。结果表明,该模型是可靠的插值域中但不能用于信心本地区以外的预测。然而,拟议的系统辨识方法是健壮和可用于从实验数据获得准确的和紧凑的模型。此外,给出了分数阶微分方程模型的函数形式,随着新数据可用时,如果技术可用于扩大该地区的结果的可靠性模型。

1。介绍

复杂系统在机械工程应用非常普遍,例如,汽车、洗衣机、热电厂。如示意图如图所示1,每一个系统是由许多相互关联的子系统组成的。原则上每个子系统可以孤立地研究及其输入和输出连接到其他人。然而,为了控制整个系统的我们可能认为是对于输入的变量类型的输出,比如。所有内部子系统之间的相互联系,只有一个输入和一个输出整个系统的是时间。这种系统的控制可以是基于模型的或不1]。控制程序不包括基于数学模型技术,如PID (2),模糊逻辑3),或其他程序误差信号。基于模型的控制,另一方面,每个人都应该有一个时间的近似数学模型系统的行为能预测会发生什么,然后控制它(近似,否则会有不需要控制)。为简单起见,我们将只考虑线性系统。有两种类型的输入感兴趣的在复杂的输出系统:一个是放松,另一个是周期性的。在前,这是我们会关注这里,阶跃输入应用于系统和输出都以动态的方式从一个恒定值到另一个地方。

建模的一个方法是从头开始,即。,to use first principles to model each component and their interactions to create a so-called white box model. If we think of each subsystem as being governed by a single ordinary differential equation (ODE), then the overall system is governed by a large set of coupled ODEs. If, however, there is a governing partial differential equation (PDE), then that may be considered to be equivalent to an infinite set of ODEs. Modeling is possible only when there is physical and mathematical understanding of the behavior of each subsystem. In any case, for control of the overall system one ends up working with a large set of ODEs that must be solved in real time. This may be computationally undesirable for control purposes.

在许多情况下,它是有利于利用现有或不断获得的实验数据进行预测4]。这是一个黑盒方法,其主要优点是整个系统的输入-输出响应可以直接获得,但缺点是没有物理的理解动态行为相对于地面行动的方法。例如,一个基于人工神经网络可以有一个程序可以预先训练或不断训练5]。另外一个可以适合数据分析模型,这是系统识别(SI)。用于控制基于数据模型应该足够好的近似现实还没有密集计算实时解决。如果过程导致一个数学模型,可以预测不同小区域利益与现实和紧凑足以轻松地解决和用于控制目的。最常见的SI过程提出的弛豫动力学系统的数学模型,通常在形式的微分方程,与某些免费的常数,是最适合测量调整。在这个表现如果真的是确定该模型的参数。

我们将在这里探讨两个方面与SI。

(一)分数阶模型。通常提出的数学模型涉及integer-order衍生品,但这种缺乏普遍性提供的分数阶导数(6- - - - - -8]。此外,所需的系统的数学描述是直接关系其复杂性,当后者增加前也是如此。虽然可以通过使用任何系统表示integer-order守恒方程,他们的解决方案,在系统控制的背景下,需要极其大量的CPU时间,有必要开发准确的和紧凑的模型,可用于确定相应的行为及时和可靠的方式。因为它最近被证明fractional-based模型能够描述系统是复杂的(9),和一个物理子系统的理解过程是不关心控制整个系统,使用适当的定义部分衍生品是合适的10,11]。有许多不同的定义部分衍生品,尽管它们之间有一些共同的特征(12]。时间系统的初始条件是一个重要的问题对于分数阶系统:与integer-order衍生品在初始条件的数量对应的微分方程,许多部分衍生品的定义使方程的无限维度这无限的初始条件是必要的。这里我们使用卡普托分数阶导数的定义,因为它使初始条件的处方药和应用在物理系统中,通常会遇到的整数阶和分析解决方案通常是可能的。

(b)由全球回归误差最小化。最佳逼近的数学模型,实验数据是通过一个误差最小化的过程。一方面可以通过一个算法,搜索本地社区的一个初始猜测,这一过程是有效的,如果有一个最小值。另一方面有程序搜索全局参数的允许范围内一个或多个极小值。这些技术之一是遗传算法(4),另一个是模拟退火,这就是我们将使用这里(13,14]。

在目前的调查中,我们提出一个方法的分析获得精确模型——基于分数阶微分方程近似复杂系统的弛豫过程。为此,首先提出了一个简短的描述背景信息分数微积分。接下来,系统识别技术,基于全球回归的失效成本函数,详细介绍。应用程序之前发表的实验数据来自(1)热交换器和(2)最近建造的建筑测试设备后进行特别强调模型的准确性在感兴趣的地区。一个至关重要的结论是结果的非唯一性参数组定义分数阶模型和相应的初始条件。虽然该模型插值区域内是准确的,外面是不可靠的。

2。背景分数微积分

分数微积分(noninteger),它可以被认为是一个泛化的知名整数微积分,有着悠久的历史,可追溯到莱布尼兹(9]。然而,它不是著名的科学界为整数,主要由于热情不足对其潜在的有用的应用程序。虽然理论基础取得了重大进展,主要是由于从18世纪和19世纪数学家的贡献(如拉普拉斯、傅里叶、亚伯和刘维尔),只有在过去二十年里这个主题已经显著扩大了在物理和工程应用。这反映出版物数量的增加(即。、书籍(9,15- - - - - -17),检查组合图案(10)和科学论文)致力于主题在不同的领域,像反常扩散18树),半无限网络的机械、电气、和水动力设备(19,20.),和粘弹性系统(21),等等。上下文的建模和控制热设备和现象,研究,如青木et al。22),皮内et al。23],Gabano和Poinot [24],Caponetto et al。25),证明部分衍生品提供良好的近似描述传热过程的动态行为。

原则上,分数阶微积分这一领域需要概念的泛化,除此之外,常见的整数阶导数。这是关心的“中间”衍生品的意义。例如,一个函数的5/4-derivative , 可以被认为是一个衍生品中间第一和第二衍生品。虽然看起来简单的把两个连续整数之间的衍生品的订单,分数导数的定义并不是唯一的和各种各样的定义是有可能的,只要满足一组必需的数学规则(12]。两个最常见的定义是Riemann-Liouville [16和卡普托26),后者是导数在目前的研究中使用的类型。

让我们先从柯西公式反复整数阶积分 ,函数的 ,这是定义为 在哪里是积分算子。通过定义γ函数 这个词 在(2可以替换) ,获得 在哪里 是一个任意的正实数和是一个集成的哑变量。请注意, ;因此,对于一个值这样 建立Riemann-Liouville分数阶导数的秩序 ,作为 卡普托的分数阶导数的定义顺序 ,另一方面,被定义为(26] 这显式地给出 在(6)和(8),下标RL和C分别表示Riemann-Liouville和卡普托部分衍生品。

无论使用的定义,拉普拉斯变换是一种功能强大的技术来解决方程涉及部分衍生品。例如,Riemann-Liouville定义在拉普拉斯域 可以看出,转换需要以下初始条件:对所有 。重要的是要注意,自不需要一个整数,条款都是分数阶的。这提出了一个问题在物理系统中,应用程序在给定的初始条件通常是整数的订单。另一方面,卡普托的拉普拉斯变换的定义 现在,评估所需的初始条件(10)规定为整数, ,而不是分数阶导数。因此,在本文的后续部分中,我们使用了卡普托分数阶导数的定义。

3所示。系统识别

如果过程的第一步是提出模型,然后确定其中的参数,将近似-尽可能目标数据的输出。就我们的目的而言,该模型是线性分数微分方程,给出 在哪里和是常数,订单(noninteger, ,与 )的方程,是它的输入,是相应的输出和是一个类时独立的变量。由于利益的条件下操作,将系统从一个状态到另一个,即、弛豫过程亥维赛函数,的拉普拉斯变换(11)是 然后可以解决如果初始条件 ,及其相应的衍生品。上面的拉普拉斯逆变换方程会导致以下分析形式 在哪里是典型的米塔格-莱弗勒函数(17]。注意的输出(13如果常量)是完全定义是已知的。这意味着一个人必须提供的衍生品 ( );也就是说,为 , ,和 , ,和是必要的,以确定解决方案。

发现未知 , , , ,为 ,在(11)和(13),从已知的数据(例如,值 ),用最小二乘法最小化样本和预测值之间的区别 。这相当于一个欧几里得范数最小化,即。,给出了误差的方差 在哪里是数据点的数量,通常由实验测量; ,为 ,值模型和预测的吗 ,为 ,参考实验。注意, ,与 未知参数向量,是一个光滑流形 - - - - - -维空间。现在的目标是寻找参数集的值 ,这样是一个最小值。这个过程可以进行使用本地或全局优化技术——基于如梯度方法如进化或确定性算法,每种方法都有优点和缺点27- - - - - -31日]。然而,在后面的小节中,我们将展示在某些情况下(14)有多个局部最小值,源于其非线性特性的参数,从而引导我们寻求全球最低,将提供最优值的参数设置所需的模型(11),和相应的初始条件。这个优化过程的进行模拟退火(SA)技术。

描述。SA技术是分子计算冷却的启发,一个物理系统的随机风潮是用来避免滞留在当地极值(29日]。一个起点在未知的空间, ,是随机选择的,一个周期的随机沿着每一个坐标方向然后执行。新观点如果接受它给一个更好的价值 。如果它是更糟的是,它只接受有一定概率, ,在哪里值的变化吗和是一个动态的参数,类似于一个系统的温度冷却(32]。与减少重复的过程 ,和步长直到达到收敛在一定公差。上面描述的过程(33)已成功执行和传热的上下文中使用相关性Pacheco-Vega et al。34,这里是一个跟随。

是指出,其他全局优化算法也可以用于寻找参数的设置 。这些包括流行的遗传算法(GA) [28)和间隔方法(IM) (35),在几个备选方案,已成功地用于各种各样的应用程序。尽管每个技术都有优于他人(尤其是所需的CPU时间找到一个解决方案),GA只会发现该地区——高度的确定,全球最佳位置。从这个角度看,只有IMs数学保证找到全局最优,而股价只是概率问题,但不确定性——保证找到这样一个最佳的解决方案。

如果使用部分模型(11),在此称为FOSI,应用于实验数据从两个复杂的热力系统:(1)壳管热交换器的数据分析了梅耶斯(36)和(2)一个多区域建立测试设备。初步分析的适用性FOSI方法一组换热器数据分析问题和最近发表在李et al。37]。接下来,搜索域 ,在(11),是受限制的 与 。

4所示。壳管式热交换器数据

4.1。描述

细节热系统实验室的实验装置在圣母大学,并获得相应的数据,报告了梅耶斯(36];在这里,我们只提供问题的简要描述。热交换器,一个示意图如图所示2,对应于普通壳管配置。这个数字说明了冷热流体的流动方向,和 ,分别与相应的终端入口,和 ,和出口,和 ,大部分的温度。测试报告(36)时间条件下进行的,直到在设备达到热平衡。随后,同时保持常数的值 , ,和 ,一个阶跃变化 ,也就是说, ,是应用。一个数据采集系统(数据收集)和个人电脑(PC)被用来记录和储存的时间价值两流体的进口和出口的温度。

为了分析,我们采取的方法36)和使用标准化变量。无量纲热流体的出口温度和时间变量被定义为 在哪里和的值分别是热流体出口温度在初始和稳定状态;上升时间,定义为所需的时间达到的 。因此, ,与 。实验显示的时间演化图中以图形的方式说明3(一个),很明显,一些类型的弛豫过程从一个状态(有一个小到另一个(正值)接近0.8)发生。因为这里的目标是找到部分模型中的参数的形式(11),符合实验数据最好的,为了清晰起见,我们定义 和 ,分数阶微分方程变成了 在哪里和是常数,订单在搜索领域吗 , ,和是一种由贪婪导致的输入阶跃变化的冷流体的质量流量吗 。一旦模型被定义(即。,情商。16)),FOSI技术是应用于规范化数据。

在这种情况下,给出了误差的方差 在哪里和分别对应于预测和实验是数据集的数量。未知参数的集合将被认为是在即将到来的部分 或 。注意,当寻求最优值的参数设置,任何一个 两个初始条件 和 包括;也就是说,we have relaxed the restriction regarding the number of unknown parameters and now included either one or two initial conditions in the search. The inclusion of the initial conditions in the parameter search brings the advantage of finding the most appropriate values for them directly from the operating conditions of the system and, therefore, provides a better approximation from the model thus obtained. However, as it will be shown in the next section, this generates multiplicity of solutions of the parameter set, some of which may not be physically feasible.

4.2。初始条件和非唯一性

系统的初始条件提供的一组值的起点向一组新的状态。数学上,这些条件可以很容易地建立的模型可以解决。实验,然而,这可能并非如此,因为它是难以衡量的价值函数(如温度)在一个特定的时间(例如, ),甚至更难以建立其变化率,即。的导数。传感器的灵敏度,甚至他们在哪里,起着至关重要的作用,增加相应的测量的不确定性。

作为这种情况的一个例子,让我们专注于实验测量之前描述的壳管式换热器。分析了系统在36)动态条件下出口温度热平衡后的设备。图3(一个)显示了实验数据(数字化从[36)相应的无量纲温度的演变 。从图可以观察到实验数据的值的一般趋势,近了 ( )是为了减少在大小显示持续relaxation-type增加(与一些关于平均值的变化)是什么 在 。这似乎表明,除非温度突然变化发生在实验室,换热设备实际上可能没有达到预期的热平衡,它提出了一个问题关于可能存在的实际水平的不确定性而试图准确地建立复杂系统的初始条件自值 和 ,在这种情况下,不可行。

例如传感器测量温度的情况下,要么是不适当的校准或缓慢的响应时间常数,然后温度的初始状态或其变化率将不会正确地建立。在其他情况下,系统可能非常复杂,建立实际的初始条件几乎是不可能的。一辆车组成的大量子系统可能为每个这些组件的初始状态,比整个系统的不同,并决定哪些初始状态是最适当的(因此,应该使用)可能是极其困难的。类似的情况发生在一个流体,初始条件必须指定地点。从这个角度看,包含未知参数集的初始条件可能是有利的,因为这些国家的最优值可以直接从数据通过计算SI。另一方面,数学,通过增加的数量可调参数可以获得更好的近似模型。这是我们所做的两个热系统的上下文中考虑。

在下面,我们应用global-regression-based FOSI换热器实验数据获取参数(16),必要时对应的初始条件,减少误差的方差(Eq。(17)]。的搜索参数 是局限于以下范围: , ,和 。作为初始条件 ,成立于(36]。为了比较,基于一个梯度局部优化算法(贷款)也适用于寻求最佳参数 。在申请贷款的技术,只约束搜索顺序 ,尽管所有其他参数的领域仍然不受限制。

两个分数阶模型的结果如图所示3(一个)和表1。从图可以看出,模型通过全球回归模型(B)提供了一个比这更好的近似实验数据从local-regression过程(模型)。虽然这两种模型有点接近中间的区域,也就是说, ,他们预测显著偏离两端的弛豫过程,与SA-based模型(也称为图的四个参数模型3(一个)由于向量由四个参数)更接近原始数据。另一方面,从表中可以看出,这两个分数模型有非常不同的参数值 , ,和 ,尤其是这一事实 只出现在全球获得的分数阶模型通过回归模型(B)以来的价值隔 和 。这一结果的非唯一性表明得到的分数微分方程模型,随着初始条件考虑的参数集 。

图3 (b)显示的一节超曲面,通过两个最小值和 。为了清楚起见,一个位置坐标这样定义 ,在哪里 和 ,对应两个最小值。成本函数的值从LOA-based模型(模型)是3倍的SA模型(模型B表1)。上面的结果让我们问哪种模式更好,和一个可能的答案可能提供了误差最小的模型方程,即,全球最低。这是完成本研究通过SA在SI的实现方法。

通过热交换器的数据描述,放松限制参数的数量现在包括额外的初始条件 , ,也就是说,a five-parameter fractional-order model, then it is clear as illustrated in Figure4不仅整个解决方案还的价值比这更接近于目标数据的四个参数的模型。是指出,虽然没有明确显示,也有多种解决方案 ,全球最佳SA算法被发现。参数集的多样性似乎是由于初始条件(s)(是)包含在搜索而不是模型本身。最后,表2节目、定量、提高精度的5个参数分级模型的价值 ,这是一个关于提高4.5%,基于模型的四个参数。

4.3。模型的可靠性

使用分数阶近似模型源于这样一个事实,随着系统复杂性的增加,所以它必需的数学表示。虽然这可以从守恒方程,实现为目的的控制是很重要的植物模型紧凑,高效和足够准确。例如,基于navier - stokes方程的模型可能比一个更精确的近似模型,但是会计算量控制(设计和预测,另一方面,需要准确的数学模型)。一个近似模型,然而,也可能提供的目的将输出接近期望状态的一些其他形式的nonmodel控制(例如,PID)可以接管。从这个角度看,给的分数阶模型(11)和(16)可以简单地视为一个近似的控制方程(pd),当然,这不是一个模型基于第一原理(即。,derived from the laws of physics for a specific problem), but is developed based on a curve-fitting process from a set of experimental data in a specific domain. Thus, it follows that the resulting mathematical model can only be expected to perform well in the domain of the data from which it was derived (i.e., interpolation). In other words, the model may not work – and it does不工作——超越的域数据应用(即。在训练数据的云)。使预测的领域之外的数据模型推导出相当于推断,因此不可靠。

这个数据驱动模型插值/外推问题尤其有问题的复杂系统中,其中一个例子是热交换器,与他们相关的现象。在这些热系统,复杂性起源于几何配置,参数的大量参与他们的操作,和系统的非线性性质。在后一种情况下,例如,在非线性是由于变化的属性(如密度、粘度、导热系数),与温度。非线性现象然后产生分岔的可能性,包括不稳定和过渡到湍流。最后,守恒方程本身,它提供最系统的准确描述,是非线性平流项(例如,)。很明显,与系统相关的非线性约束的预测可能是一个主要原因从数据驱动模型插值区域内。

在模型内插和外推的问题普遍来自实验数据。例如,技术,如人工神经网络和相关方程,其中,推断是不可靠的;然而,他们是非常有用的预测在该地区训练数据的系统行为操作点不同于那些用于推导出模型。这是见图5在当前的背景下调查,显示的结果中给出的分数阶模型(16)和一个普通的二阶线性振荡器由 与 ,零初始条件和拟合常数 , ,和获得相同的数据。图中显示的进化的范围 和 。出于完整性的考虑,还包括从一阶模型的结果。从图5(一个)结果表明,区间 ,两种模型预测系统的行为很好,与分数阶模型更准确( 和 ,),显示(见图5 (b)一些差异对预期行为的范围 ,二阶模型是定性比分数阶更准确。然而,在这个范围内的实际值的预期行为模型是不正确的,表明缺乏可靠性。

可靠性问题的数学模型是一个活跃的研究课题38],一些研究试图建立可靠性通过定义它的地区作为hyperbox或通过使用凸包的数据。其他人认为数量和分布的实验数据是重要的因素在实证模型的可靠性39,40]。事实上,与人工神经网络建模的背景下,Pacheco-Vega et al。41)发现,甚至在云的数据和相应的凸包,推断可能存在如果数据点的数量和分布在一个高维参数空间是有限的数量和位置,并提出了一种方法来建立这样的模型的预测误差的上限。

4.4。广泛的适用性

在实践中,由于非理想的传感器测量实验可能存在不确定性,因此可能需要建立系统的最终模型的适用性分析。在目前的情况下,我们使用实验数据,连同一个定义基于均方根(RMS)错误,建立5个参数的适用性范围分数阶模型,即。,(16),安装和 。

第一步是定义的均方根误差 这个错误提供了基线值的适用性范围从最初的预测。下一步是将上下的数据值 ,作为 然后应用到global-regression-based SI转移数据和获得最优参数。结果在表2和图6。表2提出了一种定量的结果显示分数微分方程模型的适用性,方程的顺序基本上不变的现象,而其他 - - - - - -和 - - - - - -基于转移参数提供值对应的上下界。图6供应一个图形相同的结果,很明显,模型能够准确地预测系统的行为。

5。多区域构建数据

第二个测试处理更复杂的多区域建筑系统。次生氧化皮座两层楼的建筑设施,专门是一个按比例缩小的模型的一个实际的建筑能源相关研究,位于thermofluids实验室加州州立大学洛杉矶,并用于进行实验热分析和控制(42]。实验装置的示意图,外形尺寸为1.2米0.92米1.1米,其摄影描绘在图所示7。这个测试床有一座两层楼的配置在每层楼有四个房间。其结构是用木头做的内墙覆盖着干墙和绝缘(额外的细节42])。平均气温在房间的空气被k型热电偶测量,而白炽灯作为内部热源。供应和返回通风口安装在每个房间,和外部冷却装置用于提供冷空气通过一组导管、每个连接到相应的供应通风。流速的空气传递到每个房间可以修改通过一组阻尼器(阀门)Arduino微控制器。房间的温度、时间信息 ,被收集在两个采集板和存储在一个电脑进行进一步分析。虚拟仪器接口控制器和实验系统。工厂最近研究了巴尔et al。43的上下文中)热控制与模糊逻辑。

的平均空气温度测量8个房间的建筑图中所示8表明,每个房间最初加热温度超过27°C,然后冷却30分钟(43]。从图中可以看出温度曲线描述三个特点:(1)每个房间的冷却速度不同的是由于不均匀的气流由阻尼器;(2)有一个几乎平均气温指数衰减,预计由于对流过程,发生在每个房间;和(3)的衰变的温度由两个山峰,改变= 17分钟,= 25分钟,造成的影响,实验室温度对冷却装置的操作。

为分析,房间1被选中,因为它从最高温度平稳过渡, ,温度被认为是最低, ,前发生在峰值 。和之前一样,是很有用的正常化的平均温度和时间变量 ,作为 在哪里的无量纲平均温度是空气,无因次时间, C, C, 分钟。与上述定义,再定义为线性分数阶模型 在哪里结果突然改变的冷却空气流从零到最大值。

FOSI方法目前应用于房间1的实验温度测量的测试设备。误差的方差 ,参数设置 ,和参数搜索限制以下范围: , , ,和 。使用相同的条件下,贷款也用于比较的目的。两种方法的结果如图所示9和表3,很明显,再一次,多样性参数集的解决方案 ,和 ,发生。从图可以观察到,得到的分数阶模型FOSI, SA技术,准确地预测的动态行为1为整个房间的温度动态时间范围。尤其引人注目的条件和在 非常接近的数据。另一方面,从LOA-based模型结果接近半节的测量,但明显偏离在极端的情况下,特别是在最初的时期。

这些结果证实量化表3,注意到,通过全球获得的分数阶模型回归优于相应的贷款模式,近40%提高预测的准确性。此外,从全球获得参数的值回归似乎与实验数据一致,特别是温度的变化率 ,有时接近于零,而那些计算与物理相关的贷款技术可不可行的条件,就像前面提到过的部分。

最后,重要的是要注意,虽然通常用integer-order微积分,物理解释的分数阶导数建模的两个热系统分析没有必要因为相应的分数阶模型——在每种情况下,只是一个替身的真正的数学模型。一些努力了分数阶导数的物理解释(见[44,45],例如),但目前他们没有验收,如速度和加速度在力学方面,例如。分数阶模型的物理解释的问题会变得更加重要,如果初始条件被分配基于植物的初始状态。

6。结束语

复杂的系统,热交换器和多区域建筑的例子,可以在广泛的应用程序。他们的表现控制需要获得一个精确的描述他们的动态行为。在这方面,分数阶微分方程,推导出通过SI,可能提供了简洁而有效的复杂系统的模型。在这项工作中,fractional-order-based系统如果过程基于全球回归提出了建立精确的模型数据。如果方法寻求最优的一组参数值,包括的分数阶微分方程,其参数常数,必要时,初始条件。最后一个案子时准确的初始条件,知识的价值是否函数或其变化率,是不可能的,这种情况必须包括作为搜索的一部分。注意,然而,可能会有这些条件的情况下一些值可能不是技术上可行。

如果实验测量方法的应用从壳管热交换器和多区域建筑已经确认方法是准确和鲁棒性。fractional-based模型获得通过全球数据回归提供了更好的近似比SI与当地获得的优化算法。结果表明,不仅明显的多样性参数集,包括订单的模型方程及其常数和初始条件,提供的结果从全球回归分析,是由于事实,即初始条件(s)(是)包含在搜索,而不是模型本身,但也提出了分数阶微分方程模型区域内插值是可靠的,但不能用于预测该地区以外的信心。如果方法提出这是健壮和可用于从实验数据获得准确的和紧凑的模型。此外,给出了分数阶微分方程模型的函数形式,随着新数据可用合成仪器技术可用于扩大该地区的可靠性(插值)产生的模型。这里描述的方法可以扩展到其他复杂物理系统模型。

命名法

:	分数积分算子的秩序
:	线性分数微分方程的系数
:	Riemann-Liouville分数导数的秩序
:	卡普托分数导数的秩序
:	两个参数米塔格-莱弗勒函数
:	- - - - - -th整数阶
:	质量流率
:	- - - - - -th初始条件
:	分数阶
:	方差的误差
:	实验数据点的数量
:	向量的搜索参数
:	流体体积温度
:	时间
:	输入变量
:	输出变量

希腊符号

:	均方根误差
:	γ函数
:	无量纲温度
:	独立变量
:	无因次时间

下标和标

:	冷流体
:	实验值
:	热流体
在:	入口
出:	出口
:	预测价值

缩写

数据收集:	数据采集系统
FDE:	分数阶微分方程
FOSI	分数阶系统辨识
贷款:	局部优化算法
歌唱:	常微分方程
山:	模拟退火算法
如果:	系统识别
PDE:	偏微分方程。

数据可用性

在这项研究中使用的数据可以提供,出版后,通过超链接到相应的作者的个人网站。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

亲属m .李CREST-CEaS奖学金收件人,我们感激。一个匿名裁判的言论极大地影响了本文的最终版本,非常感谢。这项工作已经由NSF hrd - 1547723的资助。