文摘
我们提出一种有效的迭代非线性边值问题,对幂级数方法典型的发散问题,增加任意收敛半径。这种方法是基于扩展迭代初始点周围的解决方案。我们使用这个方法来研究不稳定、粘性、不可压缩层流传热萎缩渗透缸。更准确地说,我们解决了非定常非线性后n - s方程和能量方程减少系统的非线性常微分方程的边值问题。目前的方法成功地捕获双重流动和传热领域的解决方案和一个独特的解决方案在一个特定的关键不稳定参数。比较与先前的数值方法和一个确切的解决方案验证的有效性,准确性和效率的方法。
1。介绍
工程和应用科学领域的许多现象都是由非线性边值问题(BVPs)。因此,BVPs收到一个巨大的注意力从数学家,物理学家和工程师为了寻找和分析他们的解决方案。一般来说,发现非线性BVPs远非简单的解析解,通常是不可能的。因此,许多数字技术已经开发来解决这种类型的问题。这些方法包括Adomian的分解方法,同伦摄动方法,变分迭代法、最优同伦的渐近方法,操作基于各种正交多项式的矩阵技术和小波,有限差分方法和光谱方法;读者被称为(1- - - - - -6)和引用。
粘性不可压缩的流体动力学和传热流体流动过去拉伸表面,如板或管,吸引了相当大的利益,许多研究人员,因为他们的重要性在许多工业应用中,如某些产品的质量。最有趣的一个拉伸条件表面问题是表面的速度,它主要数字流体的特点,基于两个基本因素,流体粘度和抽吸参数。一个了不起的一些研究人员的兴趣集中在跟踪双解的存在性不稳定的流量在一定范围和抽吸参数(7- - - - - -17]。虽然文献揭示了许多研究论文讨论在拉伸流表和移动板(18- - - - - -26),但只有很少的研究关注的问题经过拉伸流动缸或管;参见[8- - - - - -10)和引用。
它建立了微分方程描述流体流动BVPs高度非线性和需求非常准确的数值模式。在这项工作中,我们表明,迭代过程,基于连续幂级数扩展,提供了一个这样的高精度数值方案。通常,使用幂级数解决方案将是无用的,因为最终解决方案是发散的有限收敛半径。散度是内在的性质的解决方案,它持续存在即使无限幂级数展开。这里介绍的方法解决了这一问题表明收敛半径可任意延迟任何较大的值。原则上,这个值可以接近无穷实现精确解。
在许多不同的方法求解非线性微分方程的27- - - - - -33),幂级数的方法是最直接和有效的(34]。它被用作一个强大的数值方案很多问题(35- - - - - -43)包括混沌系统(44- - - - - -47]。许多数值算法和代码开发基于该方法(34- - - - - -36,44- - - - - -48]。然而,上述有限性的收敛半径是一个严重的问题,阻碍了使用该方法的广泛的一类微分方程,特别是非线性的。例如,非线性薛定谔方程(NLSE)立方非线性作为解决方案。利用幂级数方法解这个方程产生的幂级数 ,仅是有效的 。
认识到一个强大的数值方案基于这个方法已经建立(34- - - - - -36,44- - - - - -48),我们仍然呈现出与这相关的错误方法的彻底调查,目的是展示如何系统减少错误无穷小的价值观而有中央处理单元(CPU)的时间在一个合理的范围内。我们将展示通过高度鲁棒性和效率的方法要求流体边值问题。因此,解决问题的有限收敛半径将打开门宽幂级数方法应用到更大的一类微分方程,特别是非线性的。
简而言之,目前的技术是基于迭代解决方案的幂级数扩张。独立变量的域 ,分为一个号码吗段的宽度 ,在哪里比收敛半径小。幂级数解通过扩大在左端解决方案的第一部分使用给定的初始条件和问题。同样,一个幂级数解通过扩大在第二段的开始但现在使用第一个系列来计算初始条件。这是重复的次到一个解决方案 是获得。在极限情况下 和 系列解决方案成为一个精确解。这个计划实际上是相当于一个迭代的过程重复迭代计算的递归关系的幂级数在第一段。本文的另一个目的是将这个方法应用到研究流体流动的不稳定流动和传热特性的不断减少而渗透无限长圆柱体。我们将显示该方法迭代数值方案造成超过典型的数值方法的效率。此外,我们设法找到一个确切的解决方案,使我们计算准确的错误为有限值的迭代次数 。应该注意的是,目前的工作是一个硕士论文的一部分(49]。
剩下的纸是组织如下。节2,说明了我们的方法的数学表示使用非线性常微分方程的一般形式,而从今以后我们叫它迭代的幂级数方法。部分3和4显示的实现迭代幂级数方法在传热传质模型。部分5重点分析当前技术的有效性和证明其效率,实现了精确解析解进行比较和其他数值方法。节6,我们分析和讨论解决方案的属性。我们总结我们的主要结论7。
2。迭代的一般方案幂级数(IPS)方法
在本节中,我们给出一个简短的描述方法。考虑一个一般的常微分方程的形式 与初始条件 在哪里是th的导数 , 是真正的常数,然后呢是一个已知的函数。的因素介绍,不失一般性,常量符合下面的幂级数的系数。首先,我们把时间间隔 到的数量段的宽度相同 。然后我们扩大幂级数在每个区间的开始,也就是说, 在哪里是周围的幂级数展开的开始吗th段和幂级数的系数。递归关系系数得到了用幂级数解,(3),到微分方程,(1),它可以表达的系数对应于初始条件 在哪里表示的系数 。IPS方法的基本思想是计算系数的 幂级数的据(th系列2), 在使用(3)读 并简化 然后强加条件 。在这里,是二项功能。最后一个方程是IPS的基础算法。从初始条件幂级数的零的间隔,迭代的应用(7)导致的系数th间隔,即这给解决方案所需的时候, , 分析和数值方案可能推导出该算法。数值方案的价值使用插入一个数 。另一方面,离开为一个变量会导致一个幂级数的解析解相当于在零级系列功能转换;的系数th系列的功能转换 th系列。在这种情况下的最后一个幂级数th间隔对应于这样的功能转换和幂级数扩张零的 th间隔将包含在扩张。
的系数每一个th扩张代表的解决方案的价值 ,提供的离散表示 。因此,在极限 变成一个连续,离散表示,因此我们推测的精确解的极限 和
3所示。传热传质模型
在本节中,我们将使用当前的数字技术在减少传热传质渗透缸中描述Zaimi et al。8)和Elnajjar et al。10]。出于完整性的考虑,我们重新描述精确的物理模型。流被认为是一个不稳定、层流粘性、不可压缩流体均匀速度和均匀温度在透水萎缩的圆柱体。气缸是假定为无限长,流有恒定的性质。气缸的直径与半径被认为是与时间有关的 ,在那里是一个积极的常数,是不断扩张/收缩的力量,是时候了。显然,圆柱体的半径与时间减少如果是积极的和延伸时间是负的。注意,由于流动轴对称,流场应该径向坐标的函数, ,和纵向。不稳定和不可压缩流体的控制方程没有体力的连续性、动量和能量方程。这些方程在圆柱坐标系统中, ,是由 在哪里和极坐标的径向和轴向方向,分别和组件流体速度在径向和轴向方向,分别和是流体的温度。这个函数代表了流体压力和参数 , ,和表示流体粘度、流体密度和流体热扩散率。请注意,我们假定没有方位速度分量。相关的假设边界条件(10的速度和温度是由组件 在哪里不断的表面温度和吗是一个积极的常数。
相似变换转换(10非线性常微分方程正解()8,10] 在哪里 和的相似性变量吗 此外,需要注意的是,代表了无因次流函数和代表了归一化温度。应用上述相似变换,(10)和边界条件(11)减少 受 在哪里 是不稳定参数代表的力量收缩/扩张, 抽吸参数, 普朗特数。
我们的主要目标是解决(14)和(15),受边界条件(16),使用目前的技术范围 和 在 。在这项研究中,我们将分析规范化表面摩擦系数, ,和规范化的传热速率, 。
4所示。IPS方法传热传质模型
下面是一个IPS的详细实现方法用于解决(14)和(15)受边界条件(16)。值得一提的是,(14)只包含变量 ,而(15)包括和 。因此,它是更方便找到变量从(14),然后解决(15)。此外,为了简单起见,我们呈现(14)一个初值问题;也就是说, 与 在哪里必须选择使用射击方法(10),这样的解决方案满足边界条件 。请注意,通过设置不同的初始值的拍摄方法,得到了双重的解决方案。
就像前面提到的2,我们开始扩大在幂级数在初始点 和衍生品, , ,和可以通过计算本系列区分。替换(14系数), ,为 3,可以递归地找到的初始条件 , ,和通过递归关系。前两个递归关系的 重新计算 , ,和在 给了 现在, , ,和扮演的角色初始条件在接下来的级数展开,我们扩展解决方案及其衍生物在幂级数 Resubstituting这些微分方程的幂级数展开,得到新的递归关系 。下一个迭代的步骤是计算和两个衍生品 这将给新的幂级数的初始条件。重复这个过程次,前两个递归关系的一般形式(14)发现 在哪里 总之,IPS过程可以简化为以下算法: 在哪里 和 递归关系得到的微分方程。我们已经删除了标表明索引迭代的方便。该计划因此简单描述如下:一开始(26)来计算 ,其次是根据更新初始条件(27使用更新后的值),然后回到(26)等等。程序必须重复次, 。
同样,对于能量方程 受 在哪里必须选择使用射击方法(10),这样的解决方案满足边界条件 。我们扩大在幂级数相同的初始点 同样的衍生品,和 。替换(15系数), ,为 2,发现递归的初始条件和通过递归关系。采用IPS方法,发现前两个递归关系 在哪里
5。验证
在本节中,我们旨在展示目前的数值方案的性能和效率。首先,为了获得准确的计算结果,我们必须注意数值算法参数的选择, , ,和 。实现这一目标我们重点研究如下: 与 在哪里更新使用拍摄方法来满足条件 。请注意,最近的一些研究,如(10- - - - - -16]报道的关键价值的存在(名为)(问题没有解决方案 (在),只有一个解决方案 (),双重解决方案 )。值得一提的是,我们成功地找到了明确的分析形式的第一个解决方案(33),(34下一个条件 ;这是 这个解决方案将起到至关重要的作用在证明我们的数值方案的优点。
问题的近似解(33)和(34在三个不同的迭代 , ,一起获得的精确解(35)当 和 显示在图1。清楚地看到,增加迭代的数量在IPS方法延迟散度点。
实现的“最佳选择” ,我们解决的问题 。表1显示的值50位对应的值 。很明显的价值稳定在 ;因此我们选择 作为最优值的计算在整个论文。应该注意的是,大部分的数值方案用于这种类型的问题,(8- - - - - -10,17),选择了 代表无穷,肯定给了低阶的精度。这一结论可以很容易地通过准确的测试解决方案(35),给 和 。然而,我们将只显示时间间隔 未来的数字。
误差的上界IPS方法可以估计如下。在每一个迭代的步骤一个错误结果终止的幂级数 。这个错误会被放大*由于迭代过程。结果,IPS方法误差的上界
表2介绍了CPU时间以秒为单位,这是计算机有关,与误差的上界, ,IPS方法的第一个解决方案 和 ,在那里从3到8。
准确的解决方案,(35),提供了一个独特的IPS方法的计算误差的可能性和比较它与其他数值方法。图2IPS的误差提出了一种比较方法和显式龙格-库塔法秩序的四个(ERK4)问题 和 。目前的技术的优势超过另一个值得注意的。
(一)
(b)
进一步对比图3规范化的表面摩擦系数, ,的函数与Zaimi et al。8)和Elnajjar et al。10时的情况) 。良好的协议。它应该在此提到Elnajjar et al。10)的组合使用隐式龙格-库塔法和射击法虽然Zaimi et al。8)这本书中描述的拍摄方法实现Jaluria和托伦斯(11]。
这里值得一提的是,我们的技术成功地显示其明确的能力超过机器精度的 。一个明显标志是减少系统错误表2与精确解相比。此外,所有的计算都是执行至少有14个精度的小数位数,知道所有的计算都是操作使用Mathematica软件10.4和开展与以下规格:联想电脑模型:Z470,处理器:核心(TM) i5 - 2430 m CPU @ 2.40 GHz系统类型:64位,并安装内存(RAM): 4.00 GB。
6。结果与讨论
在本节中,我们讨论两个抽吸参数的影响, ,和不稳定参数, ,速度剖面, ,规范化的表面摩擦系数, ,温度曲线, ,和传热速率, 。数值模拟是在一个固定的普朗特数, ,而其他参数的范围考虑 和 。
图4显示速度的第一和第二方案概要文件 固定不稳定参数, 。这显然是看到第一解决方案内的流体速度边界层区域增加增加,而第二个解决方案显示了相反的趋势。此外,两种解决方案的速度剖面和更高的大小变得更陡增加。这些观察强调增加抽吸参数的影响气缸壁的边界层厚度减少的。因此,增加抽吸参数引起的增量第一个解决方案规范化表面摩擦系数和衰减规范化皮肤摩擦系数第二方案,明确图所示5。这些发现符合报告结果Elnajjar et al。10)和Zaimi et al。8]。
(一)
(b)
图6介绍了温度的流体, ,在 和 。显然是明显的温度这两个解决方案概要文件承认类似的行为,他们变得更广泛和更放松作为抽吸参数下降。这些类型的行为激励我们得出发达热边界层和相应的传热率也降低增加。然而,第二个解决方案描述了与第一个解决方案相比更放松的行为。第一和第二之间的细微差别温度资料表明,第二个解决方案反映了热边界层高于第一个解决方案,因此,一个更大的传热,证实了图7。
(一)
(b)
归一化表面摩擦系数的变化, ,和传热速率, ,的函数 ,分别显示在图吗5和7为 。结果证明存在一个临界值在域的问题没有解决方案 ,只有一个解决方案 ,双重的解决方案 。图5显示,增加增加是由于增加的表面剪切应力系数。此外,我们观察到是随 。然而,图7清楚地表明,增加肯定会增加传热率同时增加会导致传热速率下降。
图8显示速度的第一和第二方案概要文件 固定值的抽吸参数, 。一般来说,的行为非常类似于变量的情况下抽吸参数;,增加不稳定参数产生陡行为速度第一解决方案而第二个解决方案概要文件显示了相反的趋势。同意的情况下变量抽吸参数图4,增加了不稳定参数会导致边界层的厚度减少。
(一)
(b)
图9介绍了温度的流体, ,在 和 。显然,增加不稳定参数或抽吸参数会导致同样的趋势。
(一)
(b)
最后,我们结束我们的讨论与图10它代表了问题(解决方案的概述14)和(15)受边界条件(16)域 和 。这个数字代表的直线的发生问题的唯一解。
7所示。结论
在这项工作中,我们提出了一种基于迭代的数值方法求解非线性BVPs幂级数解。我们已经证明了它的效率和准确性对数值ERK4通过验证。我们已经表明,我们的方法胜过ERK4数量级的准确性。此外,我们的方法的准确性是系统控制的误差可以减少任意小的价值。我们成功地研究了非定常粘性流承包气缸使用目前的技术。速度和温度的普通版本的n - s方程对不同吸力和不稳定参数计算。我们已经获得了第一个解决方案的精确解的流体在特定条件下, ,并使用它来强调目前的数值技术的效率。
IPS方法的收敛性分析被认为是未来的工作。但是,我们坚信,方法是收敛的。这是推测的系统误差在增加迭代的数量减少或数量条款的幂级数。我们相信,这项技术将不同领域的研究人员致力于非线性系统。特别是,这项技术将是非常有用的系统描述nonintegrable非线性微分方程。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
作者想表达自己的真诚感谢阿拉伯联合酋长国大学艾恩,阿联酋,提供金融支持与UPAR(7) 2015年UPAR(4) 2016年拨款。