文摘

本文提出一种古诺博弈由三个互相争生意的公司采用有限理性。根据边际利润在过去的时间步,每家公司尝试更新生产使用本地知识。在这个游戏中,一个公司的偏好由效用函数表示,来自一个常数替代弹性生产函数(CES)。游戏由三维离散动力系统建模。系统的平衡数值研究检测复杂的特点是由于难以得到显式形式的平衡。提出了效用函数的参数被认为是某些情况下有不同的价值。数值模拟是用来提供一个实验证据的复杂行为的演化系统。结果表明,该系统失去稳定由于不同类型的分岔。

1。介绍

寡头垄断市场是一个有效市场,是由许多公司提供和销售同类或类似产品。这种市场流行的包括两种类型的模型,即古诺(数量决定)和伯特兰(价格决定)模型。在古诺模型,企业控制其生产水平对市场输出有至关重要的影响。相反,在伯特兰模型中,企业选择价格战略变量优化他们的利润(1,2]。实际上,寡头垄断的动态游戏是复杂的,因为每个寡头公司必须考虑消费者的行为和反应的竞争对手(3]。一个古诺鼎力游戏是一个寡头垄断市场的三名球员在冲突和它们之间没有合作。第一个想法古诺寡头市场在1838年曝光的古诺(4]提出第一次正式寡头垄断理论和治疗这样的想法天真的期望,每个玩家假定最后被竞争对手值没有考虑他们的未来展望了反应3]。一般来说,玩家在一个寡头垄断市场试图提高他们的预期利润进而基于边际收益和边际成本之间的匹配。此外,每个玩家可以根据选择他的期望调整输出规则中各种可用的,如本地有限理性、适应性和天真的期望3,5]。

噗(6)进行第一批调查在这样的经济游戏,因此他得出的结论是,各种复杂动力学可能源于一个古诺双寡头等吸引子的存在分形维数。各种努力都施加的动力学研究寡头垄断模型与考虑更多的公司和各种修正案(7,8]。Elsadany和阿9和阿10)提出了一个双寡头古诺博弈模型,考虑到有限理性和线性成本和需求函数。另一个双寡头博弈模型研究了Bischi et al。11),公司天真的期望决定其输出基于反应函数。这样的模型然后提高了Agiza Elsadany [12包括两个异构球员:适应性预期的球员,有限理性的一个。更多的改进进行了这样的模式,Zhang et al。13基于考虑非线性成本函数)。这个模型的复杂性研究然后松本和野中郁次郎14考虑线性成本函数。其他研究已经提出和讨论文学。例如,一个古诺双寡头博弈研究了亚森和Agiza15),考虑到延迟理性。近年来,它已经表明,寡头市场可能混乱或循环行为在某些条件下(8,16- - - - - -18]。Elsadany [5]研究了动态古诺双寡头模型的稳定性和存在分岔等影响平衡的行为负责点。行为模型研究了利用李雅普诺夫指数和分岔图,结果显示,该模型有一个混乱的行为在一些参数改变。阿斯(19]研究了古诺双寡头政治的复杂特征模型使用一个梯度的规则。他还发明了一种广义需求函数和提出各种动态行为从稳定通过分支和混沌。此外,阿(20.]研究了其他古诺双寡头游戏依赖于非线性需求函数。他提出了一个模型的两个理性的企业和提供同类商品竞争均衡分,分岔,混乱,和稳定性研究。

在文学中,有一些研究处理的经济游戏三个竞争对手。这是一个复杂的游戏相比,双头垄断。在这样的研究中,主要的问题是研究复杂动态特性的游戏。例如,双头垄断游戏的一些复杂的动力学进行了研究(8,21- - - - - -25]。在实践中,这种游戏是接近经济现实和广泛部署在寡头垄断。然而,这种游戏的动力学分析是一项复杂的任务。因此,各种调查之前进行考虑三个均匀的球员,比如噗(执行的工作26]认为三天真的球员。他得出的结论是,鼎力游戏可能会发生复杂的动力学和周期和混沌。Agiza et al。8)改善提出Kopel古诺双寡头游戏(10)是一个足鼎力,讨论游戏的多稳定性。阿和Al-khedhairi21)建模动态古诺鼎力游戏,是由三个均匀有界理性玩家使用非线性差分方程。他们得出结论,一些模型参数的变化导致失去了纳什均衡稳定和复杂的混沌行为的发生。此外,高调整速度值系统中造成混乱和分岔。Andaluz et al。27)被认为是古诺寡头垄断模型,该模型包括三个竞争提供同类产品的公司。你和王28)提出了一个动态的主从古诺鼎力博弈模型与均匀有界正常的球员。他们分析了调整的变化速度的影响参数对系统动力学。此外,参数调整方法是用来控制系统的复杂行为。进行了各种研究和调查然后在古诺鼎力游戏考虑异构球员。例如,古诺模型的鼎力游戏提出了马和霁29日一个正方形的逆需求。这样的模型后来被霁(调查30.)考虑异构球员。Elabbasy et al。25)提出了一个足鼎力游戏与异构球员为了研究其动力学行为与线性成本函数。提出了一种非线性鼎力游戏的另一个模型Elabbasy et al。31日)使用三种异构球员,即天真、有限理性、和自适应的球员。阿和Alshamrani32]研究了四种不同的模式,即合作古诺足鼎力,理性的伯特兰足鼎力,理性的古诺足鼎力,和噗足鼎力,基于数量的竞争。计算对应于每个游戏的纳什均衡。包容性的理论和数值研究方面进行了不动点的稳定性。

其他经济游戏中价格是文学的主要变量进行了研究。例如,伯特兰双头垄断模型调查Brianzoni et al。33),赵、张(34,范蒂et al。35根据差异化产品。他们已经讨论了产品差异化的程度有一个对销售数量和价格产生重大影响。伯特兰双头垄断模型调查Zhang et al。36)根据有限理性的价格竞争。彭(37和彭等。38]介绍了其他伯特兰模型以研究和评估模型的复杂性。小张和小王39[]和雅莉40]也调查了这些模型的复杂性,在有限理性的边际成本和同步考虑。伯特兰鼎力模型是由太阳和马1),有限理性预期被认为存在和当地的纳什均衡的稳定性进行了研究。此外,太阳和马41]介绍了伯特兰鼎力使用非线性需求函数模型。马和吴42]研究了延迟的影响决定Bertrand鼎力模型的稳定性。他们发现没有关系的系统稳定性和时间延迟的决策者。

在经济市场上,也有另一种战略变量是价格和数量之间的混合变量,所合成的游戏这样的变量称为Cournot-Bertrand游戏(32]。这种游戏需要一个特定的分化程度的竞争中提供的产品由公司为了防止公司较低的价格从市场主导比赛。Arya et al。43],Hackner [44),Tremblay et al。45],Zanchettin [46)研究了不同类型的Cournot-Bertrand游戏。模型Cournot-Bertrand鼎力游戏非常接近实体经济。它已经被一些研究人员在研究文学。例如,c . h . Tremblay和v . j . Tremblay [47)调查了纳什均衡的静态属性和产品差异化Cournot-Bertrand游戏。Naimzada和Tramontana48]研究了Cournot-Bertrand游戏的动态特性,在产品差异化被认为是使用线性成本函数和线性需求。在[49),提出了主从Bertrand游戏。在[29日),一个古诺鼎力游戏提出了基于上游下游企业和公司。假设下游公司有一个线性逆需求函数,而上游有一个非线性成本函数被认为是非线性函数。你等。50)研究和调查的一些复杂的特点Cournot-Bertrand鼎力游戏。此外,有一些有用的工作,解决这类游戏的一些重要特性,包括风险和不确定性方面。这些特征的非线性和分形的树木年轮记录在中国一直在研究[51]。诱导防御之间的交互和食草动物疫情的植物建模和研究[52]。研究了延时herbivore-plant系统使用交互扩散方程(53]。著的影响各种人口模型研究了在54]。在[55),引入了一个反应扩散模型,讨论了植物交互和食草动物在延迟。有色噪声的影响,在空间捕食模型提出了在56]。其他有用的工作,建议读者看到57- - - - - -59]。

尽管各种努力都表现在文学研究这类游戏,需要执行更多的调查集中在评估非线性和复杂动态鼎力游戏模型的性能。因此,探讨动态古诺鼎力游戏,差异化的产品被认为是和一个来自CES的效用函数。我们的工作在本文中概述如下。节2古诺的市场效用结构足鼎力游戏与非线性需求函数来自CES和差异化的产品。看着效用函数的形式,部分3研究游戏的动态行为数的参数值代表的可置换性/分化程度之间的商品。最后,一些结束语部分4。

2。市场效用

市场认为在本文包括三个相互竞争的公司的策略是他们生产的数量。每个公司的输出用负的实际价值 , 。我们假定消费者的偏好是由效用CES函数如下: 自 ,很容易检查是严格凹的。因此,它是严格凸所以有严格凸向原点水平曲线。这意味着设置全微分 和 我们得到了边际技术替代率, ,这是严格凸向原点。一个类似的过程会产生和 。这意味着消费者可以以一个输入代替另一种”,继续产生相同级别的输出。我们还假设,上述效用函数是由以下预算约束: 逆需求函数(见附录)可以表示如下: 时的情况 研究了噗(22]。此外,研究了双头垄断游戏Agliari et al。60]。为 市场是由三家垄断公司。当 ,这意味着货物无法区分,消费者可能处理他们是相同的。低价值的因素使产品可以互换的但又不完全相同。在这篇文章中,我们将重点介绍一些参数的值 。

3所示。游戏的动态分析

的利润th公司定义如下: 在哪里定义的成本和产生的数量指的是在市场上价格的数量。这里假定,企业使用成本函数是线性的 在哪里 , ,被称为边际成本。用(3)(4)给 对于每个公司最大化利润取决于边际利润。边际利润是通过上面的第一个偏导数计算利润如下: 上面的衍生品收益的最好回应函数 , (或反应函数),如下: 解决这些函数给出了纳什均衡的游戏。由于非线性(7),纳什的观点是如此复杂的解析表达式,然后使用一些数值的假设。现在,反复古诺鼎力游戏的玩家是有限理性的考虑。用来描述这种游戏机制叫做近视调整机制(见,例如,3),是由以下方程: 在哪里代表积极的参数或调整的速度th公司。用(7)(9)给下面的动力系统: 系统(10)承认满足条件的稳定状态 简单的计算减少代数系统中给出(11)如下: 解决代数系统产量稳定状态如下: 在哪里 ,不代表纳什均衡。最重要的事情就是研究纳什的稳定点。分析,纳什的稳定需要计算雅可比矩阵,计算其相应的特征值。不幸的是,纳什的表达 是如此的复杂,因此说。我们仍然有话要说对复杂的特点,通过数值模拟,为某些情况下给出下一个。

例1(不对称)。把 在(10)收益率以下系统:

命题1。纳什均衡的系统(10)满足条件 。

证明。坐 , ,(10),一个人 通过简单的计算,它是很容易证明的 。知道没有显式形式的纳什均衡不给任何信息对其稳定性,因此我们研究其稳定性数值的假设 , , 。这给纳什点如下: 。此时的雅可比矩阵形式 给出的是谁的特征方程 在哪里 为东北局部渐近稳定,以下Routh-Hurwitz条件应该满足: 现在,一些数值模拟进行更深入系统的稳定性10)。这种模拟包含分岔图、相图、李雅普诺夫指数,盆地的吸引力,和2 d分岔图。系统(10包括六个参数,三个参数调整的速度 , ,和和三个参数为公司的成本 , ,和 。让我们先修复的值 , , , ,和看看参数的影响在系统上。让 , , , , 。图1(一)清楚地显示了出现分岔图时变得接近的值 。后一个周期倍分岔序列出现了,这导致了不稳定的平衡点。参数的影响对系统行为(10),我们将 , , , , 。图1 (b)显示系统(的行为10)完全是不稳定的。该系统是混沌的任何值参数 。结果表明,纳什平衡点失去稳定值调整的速度 。同样,图2(一个)表明该系统对参数的行为完全是不稳定的。系统包含一些其他参数可能影响系统行为的稳定性。这些参数成本参数。看到这些参数的影响,让我们解决如下: , , , , ;这是显示在图2 (b)检测到抛分岔,因此对成本参数系统是不稳定的 。仿真表明,任何价值的成本参数不会给任何纳什的稳定点。此外,所示(15),纳什均衡取决于这些成本的参数,因此任何值这些参数改变纳什的价值点,使不稳定。相同的结果获得了其他成本参数使用或而不是 。数据3(一个)和3 (b)显示系统的相图和奇怪吸引子(10)在同一组参数成本但不同的值的速度调整参数。

由于系统的非线性,更复杂的共存特征可能被检测出来。例如,数据3(一个),3 (b),4(一)显示不同类型的周期稳定的时期。通过三维盆地的平面部分,图4 (b)显示一段周期循环2盆的吸引力 这是平行的吗 坐标平面上。在图盆地的吸引力4 (b)包含不同的颜色,灰色的颜色是指盆地的吸引力不同轨迹和另外两个颜色是周期循环2盆的吸引力。同样,数据5(一个)和5 (b)显示的平面部分盆吸引周期周期4和8,分别。这些部分了 和 。在图6系统,不同的混沌吸引子(10给出),这使得我们学习更系统的参数的影响。在飞机,我们修复的其他参数 , , , , , , 检测到,周期不同时期呈现在图7(一)。这个图展示了一个2 d分岔图不同类型的周期的循环系统(10)。这些周期的周期1灰色(盆地),周期2(蓝色)盆地,期间4(红色盆地),期间6(绿色盆地),期间8(盆地黄色),期间9(盆地青色)和白色与不可行的轨迹。从上面给出的分岔图,所有这些周期变得不稳定,增加参数的值 , ,和给高周期性循环的外观,然后混沌吸引子的崛起。我们遵循相同的过程讨论成本参数。图7 (b)描述了成本的2 d分岔图参数在平面上 在 , , , , , , 。不同的颜色指的是不同类型的周期循环。

例2(均匀对称的情况下)。在本例中,我们假设一个齐次和对称情况下通过修正参数 和 。把 在(15)给下面的纳什均衡: 。图8(一个)显示了纳什的抛分岔点是渐近稳定的值参数为任何值小于5.53,但成本参数在点变得完全不稳定,在图8 (b)。数值模拟是研究的另一个有用的工具的最大李雅普诺夫指数(标定)感兴趣的系统参数的函数。很明显的数字8 (c)和8 (d)企业从消极变为积极的价值在分岔点,因此系统平衡点变得不稳定。

在图9(一个),我们现在的吸引力对于两个参数的盆地和 。图显示了一个与不同时期的周期数。白色的颜色在这指的是不可行的轨迹,而灰色的人提出了不同的轨迹。另一图给出了相图的行为研究系统(图9 (b))。现在,我们给出一些简短的情况下系统的研究在不同的参数值α。我们开始 (可互换的商品但不完全相同的)成本相同的一组参数。这是显示在图10 ()纳什点由于分歧在这种情况下失去稳定。然而,我们观察到,有纳什在这种情况下的渐近稳定性。其他一些有用的数值工具检查系统的参数对轨迹的影响,他们是否收敛周期轨道和混沌吸引子,进行了讨论。最大李雅普诺夫指数(企业)提供了一个明显的发生混乱,需要积极的价值观。为了得到一个更好的企业,离开发展动态系统 时间单位,然后根据李雅普诺夫指数计算值。很明显在图10 (b)这两个参数和是积极的,因此存在混沌运动出现了。最后,数据10 (c)和10 (d)显示系统的相图和分岔图 。很明显,系统是不稳定的成本参数的值 。另一个有趣的案例是什么时候 。本例中给出了一个更复杂的系统的行为。图(11日)显示了分岔图可以看到纳什点是不稳定的。此外,共存的4件套混沌吸引子检测并绘制在图11 (b)在 , , , , , 。

4所示。结论

在这篇文章中,一个效用函数,来源于CES生产函数被用来研究三个古诺公司之间的竞争。分析这种竞争已经完成线性成本函数的假设下,对一些重要的情况下,可代换性程度之间的商品已经被考虑。数值模拟已被用来证实稳定或不稳定的纳什均衡。数值结果表明,平衡点的稳定性一直是影响分岔路由到混乱。此外,结果证实了坏的影响参数对系统的行为。本文获得的结果扩展现有的文献,研究了双头垄断情况下的结果。

附录

使用效用函数和预算约束,拉格朗日函数编写如下: 在哪里被定义为一个拉格朗日乘子。的一阶条件(. 1)产量 他们的解决方案 使用预算限制和简单的计算,一个很容易得到 可以重写形式

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者想扩展他们的真诚感谢院长以来在沙特国王大学科学研究的资助这项研究(集团号rg - 1435 - 054)。