文摘gydF4y2Ba

非线性系统的二元性由高阶双端蔡的元素和独立的电压和电流源进行了分析。两种不同的方法现在被广义与高阶电路元素:经典的对偶原理,迄今为止限制电路由R-C-L元素,蔡记忆性电路的对偶性。所谓的层结构的基本元素是作为集成平台的两种方法。表明flip-type和shift-type转换相关的组合电路的元素可以产生双重网络与有趣的特性。二元性的规律可用于建模、硬件仿真,或合成系统由元素并不常见,如记忆电阻器,通过经典双元素。gydF4y2Ba

1。介绍gydF4y2Ba

属于明显的二元性概念的哲学、社会、自然的,而且,工程科学。关于电路的对偶性,介绍了罗素于1904年(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba),总结了基本思想(gydF4y2Ba2gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba7gydF4y2Ba]。根据这一经典方法,在电气工程两个基本量,电压gydF4y2Ba和当前gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba被当作是gydF4y2Ba双gydF4y2Ba因为它们互联通过欧姆定律的两个二元方程gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2Ba全球之声gydF4y2Ba和gydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2Ba国际扶轮gydF4y2Ba,在那里gydF4y2BaGgydF4y2Ba和gydF4y2BaRgydF4y2Ba= 1 /gydF4y2BaGgydF4y2Ba分别是电阻和电导。请注意,两个方程称为gydF4y2Ba双gydF4y2Ba如果是其他的逆gydF4y2Ba8gydF4y2Ba]。像一些其他的例子双重电气工程方面,我们提到氯化钾,在任一瞬间(基尔霍夫电流和电压法),磁链和电荷,阻抗和导纳,电感和电容,网格节点,串联和并联,短路和开路。两个电网络,由同一类型的方程被称为gydF4y2Ba双重网络gydF4y2Ba(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba]。根据(gydF4y2Ba7gydF4y2Ba),两个电路gydF4y2Ba和gydF4y2Ba据说双彼此如果描述电路的方程gydF4y2Ba电路与描述完全相同gydF4y2Ba用每一项后(例如,电压,电阻,在任一瞬间,串联)gydF4y2Ba通过相应的双项(例如,电流、电导、氯化钾和并行连接)gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

构建双电路可以从实际有用的观点。例如,被动电感电容电阻测量过滤器发生在两个对偶形式,不同的电感器的数量。一个人应该选择这样一个版本更方便实施。双电路的概念也可以应用于有效的特殊网络分析或仿真。更多细节将在下面给出。此外,对偶原理有助于全面了解当前的现代电路理论的问题,例如,使用正确的识别动态属性的复杂非线性网络包含记忆电阻器(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

著名的程序找到一个电路的对偶是一个两步变换到另一个电路,拓扑和电gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。拓扑变换是从不可分的原始电路的平面图和转换规则,通过描述例如在(gydF4y2Ba6gydF4y2Ba),双电路的图。电转换电路分配元素转换的分支图,这是双重元素的原始的分支图。gydF4y2Ba

虽然对偶最初引入线性被动电路,它随后广义电路含有受控源(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)和非线性电路(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。基于电子机械类比,(gydF4y2Ba16gydF4y2Ba)处理机械系统和突出的二元性对偶之间的差异和类比。gydF4y2Ba

除了上面的二元性的概念,也有一些替代方法在电气工程“双重”这个词。例如,一个特定的二元性研究[gydF4y2Ba17gydF4y2Ba)电路通过跳过源自原始网络的拓扑变换和电力变换电压和电流源。“双重”一词也可能是用于转换电路由著名的布鲁顿(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba]。虽然两个以上病例与经典的二元性的概念,它们可以被视为其扩展。在这个意义上,我们也会理解记忆电阻电路中引入的二元性(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)通过伊藤和蔡,这是本研究的出发点。为了区分这些不同的概念,部分gydF4y2Ba3gydF4y2Ba处理古典和蔡的二元性。gydF4y2Ba

当前的电子转换过程从基本的知识R, C,通过电压和L元素定义,压充电,flux-charge本构关系。交换双数量意味着取而代之的是导体电阻,电容,电感,电容和电感。随着内存版本的R、C、L元素,即。,记忆电阻器RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba,记忆电容CgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba,电感应器LgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba已经到达现场,进一步细化电转换的规则是必要的。这种必要性这一事实突显出,上面的记忆元素仅仅是所谓的高阶元素的一个子集从蔡的表gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba),也可以潜在的用于构建双重电路。gydF4y2Ba

摘要(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)处理特定的非线性R-C-L(蔡)的对偶网络和网络与RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- cgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- lgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba记忆元素,因此记忆电阻器,记忆电容和电感应器。根据(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba),双重R-C-L和RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- cgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- lgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba电路是由正式描述相同的微分方程,但不同类型的变量。这种电路等效动态行为。例如,包含记忆电阻器的电路,线性电容,和线性电感双电路原始代替记忆电阻器charge-flux本构关系通过双重非线性电阻正式相同的电流电压特性。这个概念被扩展到其他mem-elements:如果所有的古典R-C-L电路中的非线性元素取代双内存版本,然后在charge-flux小说的动态电路(gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaφgydF4y2Ba状态空间和原始电路的动态电流电压(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BavgydF4y2Ba状态空间是相同的。可以利用这方面的知识,例如,在计算机模拟电路与mem-elements的模型,而外来元素可以取代他们的著名经典非线性双重类型。另一个有趣的领域是构建硬件模拟器的应用程序包含记忆电阻器,记忆电容,电感应器的帮助下传统无记忆非线性组件。这是因为这些系统的二元性使得它可以观察的所有属性的动态行为仿真系统,即使在另一个比原来的状态空间。作为一个例子,让我们提到(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2BavgydF4y2Ba记忆电阻器)的磁滞回路,可观测到的(gydF4y2Ba迪gydF4y2Ba/gydF4y2BadtgydF4y2Ba,gydF4y2BadvgydF4y2Ba/gydF4y2BadtgydF4y2Ba)坐标双电阻电路gydF4y2Ba19gydF4y2Ba]。这一块的知识是完全同意的结论发表在gydF4y2Ba21gydF4y2Ba]:捏滞后循环,以前认为是一个显著的记忆电阻器的指纹,不仅可以生成记忆电阻还要么古典(gydF4y2Ba22gydF4y2Ba的分数阶(gydF4y2Ba23gydF4y2Ba)记忆性系统,其他系统模仿记忆电阻器(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba),甚至每一个非线性,所谓的高阶元素从蔡的表gydF4y2Ba25gydF4y2Ba),但在一个精确定义的空间坐标,这是来自一个给定的元素的位置在蔡的表gydF4y2Ba21gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

蔡美儿的对偶原理(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)可以很容易地扩展到电路采用任意高阶元素和广义,适用于自治和外部驱动系统。这项研究提供了这样一个泛化的帮助下所谓的层结构的基本元素,这是一个等价形式的蔡美儿的表gydF4y2Ba26gydF4y2Ba]。总结了基本事实的层结构部分gydF4y2Ba2gydF4y2Ba。部分gydF4y2Ba3gydF4y2Ba包含一个例子展示位置的基本元素之间的连接层结构,给定组件的系统,这个系统的运动方程。可能程序拟定复合系统的运动方程的广义的部分gydF4y2Ba4gydF4y2Ba。这是部分所示gydF4y2Ba5gydF4y2Ba电路元素如何移动层结构在古典和蔡的对偶变换。各自的概括当前已知的二元性原则是由任意高阶系统复杂的元素。gydF4y2Ba

2。楼高阶元素的层次结构gydF4y2Ba

双端(gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba)高阶元素(锄头)介绍了复杂非线性系统的构建块(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba]。锄头同时被称为基本元素,也就是说没有锄头的基本元素的设置可以结合其他的锄头。gydF4y2Ba

(gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba通过代数)元素是明确定义和一般的非线性本构关系gydF4y2Ba

这些符号gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}表示多个衍生品或积分的终端电压和电流对时间根据规则(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

如果隐式本构关系(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)可以作为一个明确的函数的变量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}或gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba},从而gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2BafgydF4y2Ba()和gydF4y2BaggydF4y2Ba()为分段可微的函数,那么相应的锄头称为(gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba)元素控制的变量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}或gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}。的变量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}可以视为广义电流和电压的订单吗gydF4y2BaβgydF4y2Ba和gydF4y2BaαgydF4y2Ba和本构关系的元素(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)或(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)(广义)电流或电压控制的元素。为了简便起见,术语“广义”可以省略。gydF4y2Ba

注意变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba,gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba},gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−2)gydF4y2Ba},gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba},gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(−2)gydF4y2Ba}可以用符号gydF4y2BavgydF4y2Ba,gydF4y2BaφgydF4y2Ba,gydF4y2BaρgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba和称为电压、流量、时间的积分通量(TIF),和当前,费用,时间积分(TIQ) [gydF4y2Ba27gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

同时,注意,隐式本构关系(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)是最通用的描述的基本元素,而显式形式(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba)可以从(gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)只在特定条件下。例如,元素控制的变量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)有其版本控制的变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba},如果gydF4y2BaggydF4y2Ba()(gydF4y2Ba5gydF4y2Ba逆的存在)gydF4y2BafgydF4y2Ba()(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)。如果函数gydF4y2BafgydF4y2Ba()没有其逆函数,然后给定的元素只能通过本构关系(派生gydF4y2Ba1gydF4y2Ba)或(gydF4y2Ba4gydF4y2Ba)。这种情况下的典型代表是隧道二极管的本构关系gydF4y2Ba我gydF4y2Ba=gydF4y2BafgydF4y2Ba(gydF4y2BavgydF4y2Ba)。它的逆矩阵gydF4y2BavgydF4y2Ba=gydF4y2BaggydF4y2Ba(gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)不存在。这是部分所示gydF4y2Ba4gydF4y2Ba的必要条件的存在一个显式的运动微分方程系统,所有的元素都必须同时控制的电流或电压。gydF4y2Ba

图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba显示了一个片段的层结构高阶元素,形成了所谓的电压和电流节点表示变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}通过墙壁(垂直路径相同类型的节点之间)和增援(水平和侧墙之间的联系)。让订单gydF4y2Ba节点的变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}或gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}被称为节点的顺序。层结构的基线包含零级节点的变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba因此,电压和电流。变量的节点gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}因此通量和电荷,位于一楼的上限,同时在一楼的底部。相应的数学运算符号之间的转换电路变量是象征性地放置在墙上:将电压转换成流量和电流的积分电荷(自底向上)和衍生品通量的逆向转换成电压和充电电流(自上而下)。三个锄头在一楼所示。本构关系定义的双变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba((0,0)element-resistor),gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}((0,1)element-capacitor)gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba((−1,0)element-inductor)。第一层包含这些元素的内存版本,即记忆电阻的((−−1)元素),记忆电容((−−1日2)元素),和meminductor((−−1)元素)。此外,一些其他元素横断面几层楼。他们两个,(0,−2)和(−2 0)元素,如图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。很明显,层结构是无界的从下面和从上面,继续向上下地板和向下在地面以下。gydF4y2Ba

以下的细节层结构与图中要突出gydF4y2Ba1gydF4y2Ba:gydF4y2Ba(1)gydF4y2Ba垂直部分(墙)象征电压或电流之间的联系及其对时间积分和衍生品。这些链接是由物理变量之间的定义,例如,当前和电荷之间,本质上是线性的(信号微分或积分对时间是一个线性操作,由线性表示gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba域传递函数,即gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba分化和1 /gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba集成)。同时,有惯性节点变量之间的转换gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba水平和横向联系的节点通常表示节点变量之间的非线性转换相应电路的非线性本构关系定义的元素。这些转换是代数gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba水平的水平线。gydF4y2BakgydF4y2Ba在图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba,即,一个t the level of the voltage or current node of the order ,gydF4y2Ba象征着广义基尔霍夫定律,系统用锄头。古典基尔霍夫电流定律(氯化钾)和基尔霍夫电压定律(在任一瞬间)持有的节点变量的水平gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba。相应积分或微分方程对时间收益率,广义基尔霍夫通量定律(KFLL)和基尔霍夫定律(KCHL)收取的节点变量的水平gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba),通常,基尔霍夫gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}法律(KVgydF4y2Ba^(k)gydF4y2BaL和KCgydF4y2Ba^(k)gydF4y2BaL) (gydF4y2Ba28gydF4y2Ba为变量的节点的水平gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}。这双重形式的古典基尔霍夫定律可用于复杂系统的分析部分所示gydF4y2Ba3gydF4y2Ba。双重形式手段,事实上,古典在任一瞬间和氯化钾持有独立的积分和微分时间,因此相应的形式,应用各级层的结构,代表数学等效电路变量之间的联系。注意的特殊情况gydF4y2BakgydF4y2Ba= 0和gydF4y2BakgydF4y2Ba=−1,电压域的古典在任一瞬间和氯化钾,KVgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}L和KCgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}L为flux-charge域可以方便地用于描述经典RCL和记忆性电路(gydF4y2Ba12gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba14gydF4y2Ba),但不是电路包含一般高阶元素gydF4y2Ba(4)gydF4y2Ba双电路元素(gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba)和(gydF4y2BaαgydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba),gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba有正式的本构关系gydF4y2Ba 位于层结构“低于另一个”,即。在相同的地方,但在不同的楼层gydF4y2Ba(5)gydF4y2Ba如果本构关系(gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba)元素是线性的,那么任何其他(gydF4y2BaαgydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba)元素,gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba这个元素是双重的,因为系统集成或分化的线性本构关系生成相同的这些其他元素的线性本构关系。事实上,它是相同的元素周期性地出现在各种垂直层结构中的位置。例如,线性电阻同时线性记忆电阻或线性(gydF4y2BakgydF4y2Ba,gydF4y2BakgydF4y2Ba)元素,gydF4y2Ba

3所示。复合系统及其动力学的例子gydF4y2Ba

让我们寻求从图系统的运动方程gydF4y2Ba2gydF4y2Ba由忆阻器、meminductor线性电容,驱动电压和电流源。很明显,系统的元素出现在两个不同楼层的层结构。gydF4y2Ba

以下将使用简洁的电路的符号变量如下:gydF4y2Ba

考虑两个个案的RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba,我gydF4y2Ba_米gydF4y2Ba和C元素控制的电压或电流。gydF4y2Ba

3.1。压控锄头gydF4y2Ba

让记忆电阻的本构关系和meminductor如下:gydF4y2Ba

本构关系的线性电容器的电容gydF4y2BaCgydF4y2Ba是gydF4y2Ba

方程的广义氯化钾和在任一瞬间,任意水平gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba可以编写节点①,②循环gydF4y2Ba :gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)是一套完整的系统从图的运动方程gydF4y2Ba2gydF4y2Ba:8 8电路方程变量及其衍生品的各种命令。其中两个,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba和gydF4y2BavgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba源变量6双变量属于三个基本双端系统的元素。只有一个显式的运动微分方程将派生下面选择电路变量。gydF4y2Ba

自RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba和LgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba元素是由电压控制,其本构关系(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba)可以直接取代只有进入方程的广义KCgydF4y2Ba^{(kc)gydF4y2Ba}L (gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba12gydF4y2Ba),gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=−1,不是KV方程gydF4y2Ba^{(kv)gydF4y2Ba}L (gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)。本构关系的线性电容(gydF4y2Ba10gydF4y2Ba)是可逆的,因此它不代表任何限制。gydF4y2Ba

因为当前节点的所有元素出现在相同级别的层结构(他们代表的指控),他们的本构关系必须被替换成氯化钾方程gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=−1:gydF4y2Ba

替换的收益率gydF4y2Ba

注意,方程(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)确定电荷通过驱动电压源。如果这个变量不感兴趣,那么方程(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)不需要考虑了,因为变量gydF4y2Ba问gydF4y2Ba_vgydF4y2Ba只出现在这个方程。gydF4y2Ba

电压变量不同的订单出现在左边的方程(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba),即电压(gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba)、通量(gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−1)gydF4y2Ba}气管无名动脉瘘管的),(gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(−2)gydF4y2Ba})。这些变量是通过在任一瞬间方程联系在一起(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba),这还没有考虑。在任一瞬间秩序gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba应该选择等于最低电压变量的顺序(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba),因此−2。然后KVgydF4y2Ba^{(−2)gydF4y2Ba}L方程将代表tif之和的循环。所有其他电压变量的方程可以推导出衍生品TIF,这些方程将微分,积分微分。gydF4y2Ba

所以我们重写方程(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)如下:gydF4y2Ba

由于变量gydF4y2BaρgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba只出现在方程(gydF4y2Ba22gydF4y2Ba),这个方程不需要考虑了gydF4y2BaρgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba不是后来的分析的主题。gydF4y2Ba

表达方程(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba)的形式gydF4y2Ba ()′=gydF4y2BadgydF4y2Ba()/gydF4y2BadtgydF4y2Ba和替换(gydF4y2Ba20.gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba21gydF4y2Ba)(gydF4y2Ba23gydF4y2Ba),系统的非线性运动微分方程gydF4y2Ba

3.2。电流控制锄头gydF4y2Ba

再次考虑电路如图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,但现在与电流控制RgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba,我gydF4y2Ba_米gydF4y2BaC元素。他们将在本构关系形式gydF4y2Ba

氯化钾和在任一瞬间方程(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba这个电路)举行。gydF4y2Ba

电压变量方程左边的元素(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba27gydF4y2Ba)各种订单,即0和2−−1日。为了替代成在任一瞬间方程,使用统一的秩序gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba,有必要对国家这个顺序,巩固元素中的订单方程gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba。gydF4y2Ba

是很重要的,忆阻器的本构关系和meminductor可以通过连续改变分化等,这些元素的节点电压的订单可以增加(增加一个节点的顺序意味着它向下转移层结构)任意水平。分化也丰富了本构关系的左右的衍生品变量在当前节点。很明显,旨在平衡的区别应该执行的命令节点电压的最高阶的方程(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba27gydF4y2Ba),因此电容器0。它特别意味着单一的分化(gydF4y2Ba25gydF4y2Ba)和双分化(gydF4y2Ba26gydF4y2Ba),结果gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 是记忆,gydF4y2Ba 是meminductance,gydF4y2Ba 的一阶导数meminductance电荷。gydF4y2Ba

这样,所有元素的模型转换成一个统一的电压变量的类型。方程(gydF4y2Ba14gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba27gydF4y2Ba)可以用于制定在任一瞬间方程(gydF4y2Ba13gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba15gydF4y2Ba)gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba= 0:gydF4y2Ba

在任一瞬间方程完成氯化钾方程(gydF4y2Ba11gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba12gydF4y2Ba)。关于收费类型的方程(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba21gydF4y2Ba),氯化钾方程必须写gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=−1,这样的形式(gydF4y2Ba16gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

描述的系统因此可以收费类型的运动方程(gydF4y2Ba16gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba17gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba32gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba34gydF4y2Ba)。然而,似乎我们不能来源于他们一个明确的微分方程等的压控元素部分gydF4y2Ba3所示。1gydF4y2Ba(见TIF-type方程(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba))。gydF4y2Ba

另外,运动方程也可以发现的帮助下考虑本构关系的线性电容可以通过一个线性变换(即被修改。,通过整合时间)成一个通量之间的关系和TIQ,如此gydF4y2BaφgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba= CgydF4y2Ba^{−1gydF4y2Ba}σgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba。它对应于元素的垂直转换层结构在图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba向上的位置(0,−1)(−−1日2)。然后在任一瞬间方程可以制定的通量,因此gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba=−1,因为锄头的最高电压的顺序节点现在−1。当前节点的最低位是−2,因此产生的运动方程将TIQ的方程。上述过程导致的运动方程gydF4y2Ba

然而,它也很难得出一个明确的运动方程从一组(gydF4y2Ba35gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba39gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

因此很明显,系统包含锄头有时不能由一个显式建模运动微分方程。另一方面,这样的系统可以总是由一组特定的方程描述。在下一节中给出了各自的概括。gydF4y2Ba

4所示。复合系统的运动方程gydF4y2Ba

考虑一个复杂的非线性动态系统gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba锄头,gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba和gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba独立的来源gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}类型,gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba假设锄头分布层结构的最低和最高电压和电流节点的订单gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba},gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}。gydF4y2Ba

例如,电路如图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba是由一个电流源gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba和一个电压源gydF4y2BavgydF4y2Ba^(0)gydF4y2Ba,从而gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba= 1,gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba= 1,它包含gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba= 3锄头,gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}=−2,gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}= 0,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}=−2,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}=−1如果线性电容被认为是(0,−1)元素,或gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}=−2,gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}=−1,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}=−2,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}=−1为线性电容(−−1日2)元素。gydF4y2Ba

让系统的锄头被描述的本构关系gydF4y2Ba

element-element和element-source链接被广义基尔霍夫定律。如果电路包含gydF4y2BangydF4y2Ba_ngydF4y2Ba独立的节点,即。,nodes with except for the datum nodes [7gydF4y2Ba),那么相应的方程变量的广义氯化钾gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba}cgydF4y2Ba^)gydF4y2Ba类型的形式gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_我gydF4y2Ba是(gydF4y2BangydF4y2Ba_ngydF4y2Ba×(gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba当前关联矩阵和))gydF4y2Ba是一个(gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba)×1)向量的gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Bath导数锄头和独立的电流源。gydF4y2Ba

同样,一组方程的广义在任一瞬间的变量gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba}vgydF4y2Ba^)gydF4y2Ba类型可以写gydF4y2BangydF4y2Ba_lgydF4y2Ba独立的循环电路中gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba_VgydF4y2Ba是(gydF4y2BangydF4y2Ba_lgydF4y2Ba×(gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba)电压矩阵和发病率gydF4y2BaVgydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba}vgydF4y2Ba^)gydF4y2Ba是一个(gydF4y2BangydF4y2Ba_egydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_我gydF4y2Ba+gydF4y2BangydF4y2Ba_vgydF4y2Ba)×1)向量的gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Bath导数锄头和独立的终端电压源。gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)代表一个完整的系统的系统的运动方程。gydF4y2Ba

如果所有的隐式本构关系(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)不能被转换为电压或电流控制元素的本构关系,然后本构关系不能直接替换成在任一瞬间的方程(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)或氯化钾(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)。在这种情况下,方程(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)的隐性形式相对独立的子模型的系统。gydF4y2Ba

让我们介绍了变量gydF4y2Ba

然后本构关系(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)可以写成gydF4y2Ba

然后本构关系的元素形成一组微分方程的变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba及其衍生品的订单(0)(gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}−gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba})gydF4y2BaxgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba和0 (gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}−gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba})gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

让我们选择氯化钾的订单(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)和在任一瞬间(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)如下:gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BakgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba=gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}。然后的电流和电压向量(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)将包含变量(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba)和方程(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)将在表单中gydF4y2Ba

这些方程是代数,代表的耦合条件变量(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba)。在一起(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba),他们形成一个代数微分方程组为变量的类型(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

如果所有的锄头可以建模为电流控制元素,然后本构关系(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)可以写成gydF4y2Ba

中描述的程序部分gydF4y2Ba3gydF4y2Ba可以推广在以下步骤:gydF4y2Ba(一)gydF4y2Ba本构方程(gydF4y2Ba47gydF4y2Ba)通过连续的分化,这样修改订单相应的节点电压均衡电路元件的水平与电压的最大订单节点,因此gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}。分化总增量这个顺序根据规则gydF4y2Ba

在哪里gydF4y2Ba

很明显,连续微分本构关系(gydF4y2Ba47gydF4y2Ba与电压)的元素gydF4y2Ba将导致表达变量gydF4y2Ba 作为一个变量的函数gydF4y2Ba

上面的函数是由高阶导数的链规则被联邦航空局di布鲁诺的公式(gydF4y2Ba29日gydF4y2Ba]gydF4y2Ba(b)gydF4y2Ba所有元素的本构关系,(a)项修改,替换成广义在任一瞬间gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)gydF4y2BakgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba=gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}。由此产生的方程将包含电路变量gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BakgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}所有电路中的元素类型。根据(gydF4y2Ba50gydF4y2Ba),这些变量的最低位等于最低的秩序gydF4y2BaβgydF4y2Ba所有的元素,因此gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}。选择的变量是很有用的gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba分钟)gydF4y2Ba}=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba(见方程(gydF4y2Ba43gydF4y2Ba)作为运动方程的状态变量,因为它们的衍生品将覆盖所有其他变量(gydF4y2Ba50gydF4y2Ba)出现在广义在任一瞬间的方程组(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)。换句话说,只有数量的gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba分钟)gydF4y2Ba}=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba类型和其衍生品将出现在方程(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(c)gydF4y2Ba以项目(b),方程(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba必须考虑)的广义氯化钾gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}。换句话说,只有数量的gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba分钟)gydF4y2Ba}=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba类型将出现在方程(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)gydF4y2Ba(d)gydF4y2Ba方程的变量的集合gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba类型(b)和(c)的运动系统的一般模型的空间gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba坐标。这些在任一瞬间方程的顺序gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{max。gydF4y2Ba}在特殊情况下,一个单一的非线性运动方程的选择状态变量可以来自他们gydF4y2Ba

如果所有的锄头可以建模为压控元素,然后本构关系(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)可以安排形式gydF4y2Ba

过程类似于电流控制的元素会导致以下:当前节点的订单必须相等的价值gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}通过连续的求同存异(gydF4y2Ba51gydF4y2Ba)。选择的变量是很有用的gydF4y2Ba=gydF4y2BaxgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba类型(见(gydF4y2Ba44gydF4y2Ba))作为状态变量。的运动方程是氯化钾方程gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}。gydF4y2Ba

5。对偶电路使用锄头在层结构的光gydF4y2Ba

高阶的层结构元素可以作为一个有用的工具来展示古典和蔡的二元性的原则,说明他们的共同和不同的功能。首先,我们表明,经典的方法将R, L C元素转换为双同行可以很容易地扩展到所有元素的层结构。然后蔡的忆阻器电路的对偶的概念将全套的广义非线性高阶元素。gydF4y2Ba

注意,广义经典和蔡的二元性可以组合。例如,原来的电路可以通过经典的拓扑和电传输方法的第一步,随后接受蔡美儿的二元性的过程。通过这种方式,一群可以生成电路与有趣的对偶性质。gydF4y2Ba

分析下面将限制电路只包含单端高阶元素和独立的来源。电路连接的图形,平面和不可分的gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

5.1。经典的二元性:拓扑+电“Flip-Type”转变gydF4y2Ba

考虑一个系统的复合锄头和独立的广义电压源gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}和电流gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba}。它可以转换成双系统′在以下步骤:gydF4y2Ba(1)gydF4y2Ba节点系统的′被放置在每个网格的原始系统A线绘制系统,创建一个额外的节点系统的一个′gydF4y2Ba(2)gydF4y2Ba从系统中每个元素被其对偶元素。这种双重元素绘制系统的节点之间′位于两侧的原始元素gydF4y2Ba(3)gydF4y2Ba系统的分支的参考方向′给出如下(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]:为每个分支出现顺时针在网格系统中,其相应的分支系统中的′′的将被引导到相应的节点gydF4y2Ba(4)gydF4y2Ba基于的参考方向(gydF4y2Ba3gydF4y2Ba),系统的双重元素′分配给每个元素的系统根据表gydF4y2Ba1gydF4y2Ba

注意,前三个步骤描述了著名的拓扑二元性,也适用于非线性电路包含多端口元素(gydF4y2Ba15gydF4y2Ba]。非线性电阻↔导体和电容↔电感从表二元性gydF4y2Ba1gydF4y2Ba数量也众所周知:相应的双电压和flux-charge。值得注意的是这些成对的具体位置层结构从图gydF4y2Ba1gydF4y2Ba:他们把垂直线对称对通过结构的中心。双电压或电流控制的本构关系,resistors-conductors和capacitors-inductors逆函数。这个简单的对称可以推广到独立的二元性gydF4y2Ba来源的特殊情况是著名的短开电路的对偶,memristors-memductors, (gydF4y2BaαgydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba)- (gydF4y2Baα,βgydF4y2Ba)锄头在表二元性gydF4y2Ba1gydF4y2Ba。这种二元性可以理解为一个特定的“flip-type”中的元素转换层结构,演示图gydF4y2Ba3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

展示的经典程序发现电路,双电路包含一般高阶元素,考虑网络图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(a)和其作为self-explained逐步转换数据gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(b) -gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(d),每个元素的参考方向是通过箭头表示,和所有元素的本构关系,也包括在内。符号gydF4y2Ba我gydF4y2Ba在图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba表示的非线性(1,0)电气锄称为惰性(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba),这是一个非线性的电类比机械元素force-acceleration本构关系(gydF4y2Ba31日gydF4y2Ba]。很明显从图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba网络可以转化为非线性的并行组合(0,1)锄表示为逆惰性(II),非线性导体,和线性电容器,由独立的来源。gydF4y2Ba

5.2。蔡的二元性:电气“Shift-Type”转换gydF4y2Ba

基于分析部分gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,下面的对偶定理可以制定:gydF4y2Ba

考虑一个系统的复合锄头和独立的广义电压源gydF4y2Ba和电流gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba系统动力学是所描述的空间gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba在哪里gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}和gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}电压和电流的最小订单是层结构中的元素的节点。gydF4y2Ba

考虑一个系统gydF4y2Ba^米gydF4y2Ba来自系统通过以下过程:所有锄头的本构关系保持不变,但是他们的变量(gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba)gydF4y2Ba},gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba)gydF4y2Ba})类型修改为(gydF4y2BavgydF4y2Ba^{(gydF4y2BaαgydF4y2Ba+ m)gydF4y2Ba},gydF4y2Ba我gydF4y2Ba^{(gydF4y2BaβgydF4y2Ba+ m)gydF4y2Ba}),gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后系统的动态空间gydF4y2Ba 就等于系统的动态gydF4y2Ba^米gydF4y2Ba在空间gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba和一个系统gydF4y2Ba^米gydF4y2Ba是双重的。gydF4y2Ba

它足以提供证据的最一般情况下系统隐式本构关系(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba)的元素,由广义与氯化钾(gydF4y2Ba41gydF4y2Ba)和在任一瞬间(gydF4y2Ba42gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

从的角度层结构,和一个系统gydF4y2Ba^米gydF4y2Ba只有在不同系统的锄头的转变gydF4y2Ba^米gydF4y2Ba通过gydF4y2Ba米gydF4y2Ba地板下(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba> 0)或(gydF4y2Ba米gydF4y2Ba< 0)对系统的锄头,同时保留所有元素的本构关系。类似的变化对电压和电流的特性的驱动源。很明显,这些变化不影响系统方程,但只有方程变量。gydF4y2Ba

元素的变化会导致修改变量的本构关系gydF4y2Ba40gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

上述转变的所有元素的结果修改的参数gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba},gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}来gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{马克斯gydF4y2Ba}+gydF4y2Ba米gydF4y2Ba。原始变量gydF4y2BaxgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba和gydF4y2BaxgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba的空间用于系统动力学的分析,修改gydF4y2Ba

同样,订单gydF4y2BakgydF4y2Ba_cgydF4y2Ba=gydF4y2BaβgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba},gydF4y2BakgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba=gydF4y2BaαgydF4y2Ba_{最小值gydF4y2Ba}氯化钾(gydF4y2Ba45gydF4y2Ba)和在任一瞬间(gydF4y2Ba46gydF4y2Ba)都随着时间的改变而改变gydF4y2Ba米gydF4y2Ba。一起锄头的转换层结构,这意味着相应的方程(gydF4y2Ba45gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba46gydF4y2Ba)保持不变,但向量gydF4y2BaXgydF4y2Ba_我gydF4y2Ba和gydF4y2BaXgydF4y2Ba_vgydF4y2Ba现在将包含变量修改的转换(gydF4y2Ba52gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

方程(gydF4y2Ba52gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba54gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba55gydF4y2Ba)描述一个系统双系统(gydF4y2Ba40gydF4y2Ba),(gydF4y2Ba45gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba46gydF4y2Ba)。两个系统的动力学是相同的。gydF4y2Ba

很明显从上面的广义蔡美儿的二元性可以被视为一种“shift-type”转换层结构显示在图gydF4y2Ba5gydF4y2Ba。回想一下,如果元素有一个线性本构关系,那么我们就可以把它的独立结构的转变gydF4y2Ba米gydF4y2Ba的非线性元素:在限制的情况下,它可以呆在原来的位置。gydF4y2Ba

广义蔡的对偶电路将显示在图gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,这是由电路如图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba纵向移动所有的锄头一层,如此gydF4y2Ba米gydF4y2Ba= 1。虽然这种电路不包含任何记忆元素,它展示相同的动力学(gydF4y2BaφgydF4y2Ba,gydF4y2Ba问gydF4y2Ba)坐标与原始电路(gydF4y2BaρgydF4y2Ba,gydF4y2BaσgydF4y2Ba)坐标。gydF4y2Ba

让元素的本构关系图gydF4y2Ba6gydF4y2Ba是双本构关系(gydF4y2Ba8gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba10gydF4y2Ba):gydF4y2Ba

节中描述的过程gydF4y2Ba4gydF4y2Ba导致运动方程gydF4y2Ba

两个系统的二元性是显而易见的从方程的比较(gydF4y2Ba57gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba)。gydF4y2Ba

双电路的另一个例子是图所示gydF4y2Ba7gydF4y2Ba。原来的线路图gydF4y2Ba7(一)gydF4y2Ba电路从图吗gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(d)生成的图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba通过古典对偶变换。图gydF4y2Ba7gydF4y2Ba演示了通过shift-type随后转换gydF4y2Ba米gydF4y2Ba=−1过程。最终的电路是一个nonlinear-inductor并联共振与非线性记忆性阻尼振荡回路。有趣的是,gydF4y2BaσgydF4y2Ba= 0和gydF4y2Ba米gydF4y2Ba,gydF4y2BangydF4y2Ba,gydF4y2BahgydF4y2Ba参数中指定的(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba),电路如图gydF4y2Ba7 (b)gydF4y2Ba模型的spin-torque nano-oscillator从[gydF4y2Ba32gydF4y2Ba]。应该强调,所有的数字电路gydF4y2Ba4gydF4y2Ba和gydF4y2Ba7gydF4y2Ba代表nanodevice对偶模型,我们可以选择一个电路最符合我们需要的设备模拟或仿真。gydF4y2Ba

(所示gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba),通gydF4y2BaφgydF4y2Ba_{通用汽车gydF4y2Ba}忆阻器的数字gydF4y2Ba7 (b)gydF4y2Ba所谓的平面模型(方位)转动角gydF4y2BaϕgydF4y2Ba,记忆电阻电压对时间的导数,这样的速度旋转。spin-torque振荡器的仿真模型揭示了旋政权自激振荡(见图gydF4y2Ba5gydF4y2Ba(c) (gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba初始角)gydF4y2BaφgydF4y2Ba_{通用汽车gydF4y2Ba}(0)=gydF4y2BaϕgydF4y2Ba(0)= 65°。,1。134rads, and for the following numerical values of the parameters from Figure7 (b)gydF4y2Ba:gydF4y2Ba

所有的振荡器的非线性现象行为可以通过其对偶模型研究。例如,惰性,电阻和电感串联从图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(a)产生非线性振动,可见通过循环电流的波形(双旋转的角度)和它的导数等于电感电压除以电感(双旋转的速度)。双重inerter-based SPICE模拟电路从图gydF4y2Ba4gydF4y2Ba(一)提供了波形图gydF4y2Ba8gydF4y2Ba这是相同的结果(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

6。“Shift-Type”二元性在更广泛的背景gydF4y2Ba

双重锄头的想法当元素移动垂直层结构,同时保留其本构关系与著名的布鲁顿转换线性二端元素(gydF4y2Ba18gydF4y2Ba]。的线性操作与布鲁顿部门gydF4y2Ba年代gydF4y2Ba运营商和修改元素是广义的性质来改变非线性二端元件层结构中的“一层”。gydF4y2Ba

上面的对偶原理是一个潜在的解决问题的工具,似乎复杂电路包含“异国情调”电路元素如记忆电阻器,记忆电容、电感应器。使用二元性,任务可以转移到经典电路的面积,解决方案可能更容易。在这样一种方式,例如,有争议的问题,动力系统的命令由古典元素和他们的记忆版本(gydF4y2Ba9gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba11gydF4y2Ba可以解决。它遵循从运动方程(gydF4y2Ba24gydF4y2Ba),电路如图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba的是2gydF4y2Ba^ndgydF4y2Ba秩序,尽管它包含了一个电容器,meminductor,忆阻器。后电路转换成图的对偶形式gydF4y2Ba6gydF4y2Ba,很明显,电路相同的动力学只包含一个电阻和两个古典元素,积累的电容和电感,2gydF4y2Ba^ndgydF4y2Ba订单动态关注这里。gydF4y2Ba

对偶原理也可以用相反的方向。它可以证实非典型现象在经典电路的基础上类比电路包含高阶的元素,这样的现象很常见。一个典型的例子是捏的一代磁滞回路状态空间(gydF4y2BadvgydF4y2Ba/gydF4y2BadtgydF4y2Ba,gydF4y2Ba迪gydF4y2Ba/gydF4y2BadtgydF4y2Ba)通过简单非线性电阻电路(gydF4y2Ba21gydF4y2Ba),这是一个纯粹的二元性的结果与记忆性网络这样的电路,可以观察到这样一个证据确凿的现象(gydF4y2BavgydF4y2Ba,gydF4y2Ba我gydF4y2Ba)空间。gydF4y2Ba

注意,拟定的方法论系统用锄头的运动方程,描述的部分gydF4y2Ba4gydF4y2Ba,相反可以用于所谓的预测模型系统的合成或从锄头最多样的自然现象作为构建块(gydF4y2Ba30.gydF4y2Ba]。例如,扭转摆的非线性运动方程(gydF4y2Ba33gydF4y2Ba)是gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2BaθgydF4y2Ba扭转角,gydF4y2BaJgydF4y2Ba惯性矩,gydF4y2BaCgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaCgydF4y2Ba_2gydF4y2Ba线性和非线性阻尼系数,gydF4y2BaKgydF4y2Ba_1gydF4y2Ba和gydF4y2BaKgydF4y2Ba_3gydF4y2Ba是线性和非线性扭力杆的刚度系数。考虑在机电类比的类型、电压对应的速度和角度偏差的通量gydF4y2Ba34gydF4y2Ba),然后摆的运动方程(gydF4y2Ba59gydF4y2Ba)对应于方程(gydF4y2Ba57gydF4y2Ba)的电路如图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba在下列条件:gydF4y2Ba

电路如图gydF4y2Ba6gydF4y2Ba因此给定摆提供相同的动力如果驾驶来源不采取行动和非线性电阻和电感的本构关系gydF4y2Ba62年gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba63年gydF4y2Ba)。电路的图gydF4y2Ba2gydF4y2Ba,包含记忆电阻和meminductor,也展现了状态空间的动力学相同但气管无名动脉瘘管的变量的类型。gydF4y2Ba

7所示。结论gydF4y2Ba

蔡的R-C-L和R的二元性的概念gydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- cgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba- lgydF4y2Ba_米gydF4y2Ba电路从[gydF4y2Ba19gydF4y2Ba)扩展到一般非线性系统从任意高阶元素从蔡的表或层结构和独立的来源。双电路由不同的组件,但他们表现出相同的动力学在不同的状态空间。从工作的一般运动方程系统,组成的系统元素的本构关系和一组耦合条件给出了广义在任一瞬间和氯化钾。描述系统的状态空间动力来源于元素分布层结构。这个空间使比较潜在的双系统的动态属性。原来,转换的必要条件的一般运动方程为一个紧凑的运动方程是显式的存在本构方程的锄头构成系统。另一个条件,所有的锄头必须由相同类型的电路控制变量,即广义电流或电压。然后系统动力学的模型可以减少通过技术相当于电压或电流的命令的节点。电路描述的二元性(gydF4y2Ba19gydF4y2Ba这样的削减是一个特例。gydF4y2Ba

数据可用性gydF4y2Ba

没有数据被用来支持本研究。gydF4y2Ba

的利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突有关的出版。gydF4y2Ba

确认gydF4y2Ba

这项工作已经被捷克科学基金会支持下批准号18 - 21608。K217部门的基础设施,研究UD布尔诺,也被使用。作者也希望表达自己衷心感谢布尔诺科技大学的开放基金覆盖APC。gydF4y2Ba