文摘

一个简单的动态自治混蛋电路之前推出的2011年Sprott调查。本文描述的模型是一个三次连续维指数非线性自治系统。使用标准的非线性时间序列等技术,分岔图、李雅普诺夫指数的阴谋,和庞加莱部分,系统的动力学特征的参数。倍周期分岔,周期性的窗户,和共存的分岔。作为这项工作的主要结果,发现系统经历不同寻常的不对称双稳态现象,存在两种不同的流动(例如,screw-like Shilnikov吸引子spiralling-like费根鲍姆的吸引子)同样的参数设置,仅仅依赖初始状态的选择。在一些情况下的低维系统能够迄今报告的这种类型的行为(例如,Colpitts振荡器、Newton-Leipnik系统和超混沌振荡器与回转器),混蛋电路/系统考虑这个工作代表最简单的原型。理论分析的结果是完全复制通过实验室实验测量。

1。介绍

多稳定性的现象(即。,the occurrence of multiple attractors for the same parameters setting depending solely on the choice of initial conditions) has captivated the attention of most researchers in recent years. They have done many works in various fields of science and engineering such as electrical circuits [1- - - - - -5),激光系统(6,7),生物系统(8),和化学反应9]。系统只有一个吸引子被称为单稳态系统。在这样的系统中,(即盆地的吸引力。,the set of initial conditions for which the asymptotic dynamics converge to the underlined attractor) is the whole state space. In contrast, in a multistable system, each attractor has its own basin of attraction. Correspondingly, the basin boundaries can have a simple structure (simple demarcation) or a very complex structure (i.e., nontrivial or fractal basin boundaries). A physical implication of fractal basin boundaries is random jump between coexisting attractors in experiment. Various types of attractors can coexist such as fixed points, period-n limit cycles, toruses, and strange attractors. Multistability makes a system offer a great flexibility [10]。特别是共存无限多的流动称为极端多稳定性,据报道在两个单向耦合洛伦兹系统11),两个双向耦合Rossler振荡器(12,13),最近一个忆阻器振荡器(14]。多稳定性可以方便地利用图像处理(10]或作为一个额外的随机性,尤其适合信息工程应用[15]。一般来说,多个吸引子的现象主要是观察到对称动力系统(16]。这样的系统表现出对相互对称的流动,通过知名合并形成一个对称的一个吸引子合并危机作为一个参数是不同的。然而,不对称多稳定性(即。,coexistence of nonsymmetric attractors) is also reported in systems without any symmetry such as Colpitts oscillator [3),Newton-Leipnik系统[17),和超混沌振荡器回转器(4]。

在目前的贡献,我们考虑一个极其简单的混乱的混蛋的动态电路最近引入的Sprott [18]在混乱与特别注意机制以及多个吸引子共存的可能性。在这个混蛋电路、非线性指数是由一个半导体二极管来实现的。因此,模型非对称,因此一般。此外,电路不能支持对称的流动。然而,正如上面提到的,多吸引子共存的可能性并不排斥。首先,考虑的结果(18- - - - - -20.),我们回想一下,混蛋系统三阶微分方程的形式 。这个词是非线性函数和指定的“混蛋”。“这表明的第三次导数这对应于第一次导数机械系统的加速度。研究由伊奇霍恩说et al。21)多稳定性简单不对称反射系统的行为,作者探索两个简单的多项式牛肉干的动力学动力学(JD1: 和JD2: 已知经验混乱的行为在某些参数范围。李雅普诺夫谱的数值估算,作者还建立依赖长期的动态行为的系统参数。向前和向后分岔图被用来研究依赖于初始条件的一些参数(如共处两个稳定流动,滞后)。(JD1和JD2)情况下不是两个多吸引子共存发现由于缺乏对称性。最近,一系列的工作多吸引子共存的问题简单的混蛋动力系统是由Kengne et al。2,22]。出于结果我们上面提到的,本文的研究简单的混蛋的动态电路之前引入Sprott [18)以下关键目标:(a)进行系统分析小说的混蛋电路和解释的混乱机制;(b)该地区准确在参数空间中,该模型展品多吸引子共存和滞后动态;(c)实现系统的实验研究来支持理论预测。更重要的是,我们提供一些设计工具(即。,bifurcation diagrams) that are of precious utility for a practical circuit design of this type of oscillators in relevant engineering applications.

剩下的纸是组织如下。部分2处理建模过程。小说的电子结构混蛋电路描述和一个合适的数学模型。节3复杂的动力学研究了振荡器的归一化数学模型。模型的基本性质进行了讨论。单一的平衡点的稳定性分析和条件得到了霍普夫分岔的发生。节4,研究了系统的分岔结构数值显示倍周期,周期窗口和共存的分岔。一些windows(在参数空间)对应于多个吸引子共存的发生(同样的参数设置)被发现。相应地,盆地吸引各种竞争流动描述显示重要的盆地边界。部分5致力于实验室试验研究。在本节中,提出了一个适当的模拟计算机的动态行为调查的混蛋系统。振荡器的物理实现是使用电子元件。实验室实验测量与理论分析显示一个很好的协议。最后提出了一些结论和未来工作的建议在部分6。

2。电路描述和状态方程

2.1。电路描述

图1显示了电子结构的混蛋考虑电路(18]。

电路可以分解在一个振荡部分(线性元素)组成的三个连续的集成商多重反馈回路和非线性(速度)反馈回路包括半导体二极管的负增益放大器。简单的电路是显著的:只有RC元件、二极管和四相机会放大器(TL084)。电路可以在广泛的频率扩展提供了一个合适的选择电容的值。与原电路(18组件)以同样的值,介绍了不同的电阻值添加更多的控制参数。电子元件的值列在图的标题1。我们想要强调的半导体二极管(指数非线性)负责复杂的行为经历了完整的电子电路。还应该注意到,图的电路1是相对简单的混蛋电路相比具有非线性位置反馈最近研究了Kengne et al。2]。

2.2。状态方程

为了得到新型反射系统的状态方程,采用一些关键假设。首先,我们假设线性电容和理想相机会安培的线性工作区域操作。第二,电流电压特性半导体二极管的从肖克利二极管获得方程(23,24)如下: 在哪里结的饱和电流, 是热电压 ,玻耳兹曼常数,在开尔文表达的绝对温度,是电子电荷,是理想的因素( )。使用上面的简化假设,利用基尔霍夫电流和电压法,它可以很容易地显示电压 , ,和满足以下的三个耦合一阶非线性微分方程: 采用以下更改的变量和参数: 所表达的无量纲电路方程非线性三阶微分方程方便数值分析: 的点表示分化对无因次时间吗 。首先,请注意,向量场(4)的(即。,infinitely differentiable) type due to the presence of the exponential nonlinearity. Also remark that only one state variable, namely, ,参与双曲模型的非线性,因此系统的非线性速度反馈。这种非线性的存在负责整个系统的复杂行为。四个参数可以确定系统(4)。其中一个(即)取决于内在的二极管参数期间将保持不变,因此所有的数值实验: 。因此,系统的分岔分析将对控制参数进行 , ,和(即。,in terms of , ,和 ,职责)。其中两个参数(即和)将在所有的数值实验期间保持不变: 和 。只有参数可协调的。电子元件的值用于数值和实验分析提供了图的标题1。很明显,系统(4可以编写)等同于一般混蛋形式如下: 后者表达式表明,我们的模型属于更大的类描述的“优雅”混蛋动力系统(25]。更有趣的是,我们的模型(4)代表一个最简单的自动三维系统据报道日期,能够表现出非对称双奇怪吸引子(见章节4和5)独特的依赖初始条件的选择3,4,17]。

3所示。模型的分析

3.1。耗散和吸引子的存在

吸引子的存在在我们的模型可以通过估算体积收缩速率(检查26- - - - - -28]中描述的振荡器(4)。我们可以回想一下,体积收缩速率的连续时间动态系统是由 ,在那里 和 ,是由 我们注意到如果是一个常数,然后在相空间是由时间演化 ,在那里 。因此,负面的价值导致一个快速指数(即萎缩。,damped) of the volume in state space, and the dynamical system is dissipative and can experience or develop attractors. For ,动力系统相空间体积守恒和保守。当是积极的,在相空间的延伸,因此只存在不稳定的不动点和周期或repellors [26- - - - - -28];换句话说,随着时间的增加(即。,因为 )动态偏离如果初始条件不完全一致的一个固定的点或静止的状态。考虑到我们的模型,我们发现 独立的位置 在状态空间;因此,系统(4)是耗散,从而可以支持流动。

3.2。不动点分析

平衡分(26- - - - - -28)(4)可以通过设置为零的左边。很明显, 是唯一不动点的系统(4)。如前所述,系统(4)拥有一个平衡点位于坐标系统的原点独立于控制参数的值。雅可比矩阵计算平衡点有以下表达式: 因而平凡平衡点的稳定性 根据确定的部分特征值以下特征方程: 在哪里代表了 单位矩阵,是特征值。一组所有的根(充分必要条件8)和(8 b)有负的实际部分是由著名的Routh-Hurwitz标准表达以下形式: 是研究关于Routh-Hurwitz稳定性判据和我们发现是稳定的只有 。与此同时,如果控制参数减少超出临界值 ,振动可以改变的状态。因此,霍普夫分岔条件推导如下: 方程(10)定义了稳定振荡的频率以及关键的价值系统的霍普夫分岔相对应。从(10 b),它可以指出,总是满足横截性条件积极的控制参数。从上面的讨论,因此,在常规的政权或混乱的振荡,单一固定点是不稳定的,因此系统产生自激振荡(29日,30.]。例如,考虑的具体情况 系统显示的一个奇怪吸引子(见部分4)特征值进行评估是 和 。这清楚地表明,定点混乱的政权是不稳定的,是典型的自激振荡。

4所示。数值研究

4.1。路线混乱

定义不同的场景/路线混乱在我们的模型中,探讨丰富多样的分岔模式可观测到的反射系统,系统(4)使用标准的四阶龙格-库塔数值求解技术集成方案。动力系统的研究首先分析不动点的可能状态,其稳定性和分岔的控制下发生的相应的系统组件的参数。在本文中,步骤是选择这样的时间 每组的参数和计算是使用变量和常数参数扩展模式。对于每个参数设置,系统集成为一个足够长的时间和瞬态被丢弃。两个指标都是用来描述的过渡类型导致混乱。第一个指标是分岔图,第二指示器的李雅普诺夫指数谱图。关于过去的工具,系统的动态分类使用其李雅普诺夫指数的计算数值的帮助中描述的算法(31日]。调查系统的敏感性,对一个单一的控制参数 ,进行了不同范围从0.1到1.7的区间之内。随着控制参数是不同的,我们已经发现,非常丰富和引人注目的分岔场景展出由反射系统在我们的考虑。在数据2(一个)和2 (b)分别为不同值的样本结果表现出分岔图并提出了相应的李雅普诺夫指数谱。分岔图是通过图形局部极大值的坐标与控制参数(两个方向:增加和减少)区间内狭窄的步骤 。每次迭代的极限状态控制参数是作为后续迭代的初始状态。两个类别的数据对应,分别增加(红色)和减少(蓝色)的值叠加在图2。这种方法收集的曲线代表了一种简单的方式来本地化的窗口系统开发多个吸引子共存的行为(见部分4.2)。混沌运动是实现逐步在混沌振荡器的控制参数 。倍周期分岔、反向倍周期序列和周期窗口可以很容易地识别图形的数据2(一个)和2 (b)。使用相同的参数设置如图2,各种数值计算相图(图3)的振荡器和相应的时间序列(图3)获得确认不同先前描述的转换。

霍普夫分岔类型和倍周期混乱场景是观察在使用α和ρ分别作为分岔参数的控制 (见图4)。观察倍周期情况混乱的现象,我们修复 和情节分岔图。

4.2。对吸引子共存

如前所述,系统行为取决于不同控制参数是向上和向下的方向,表达模型的滞回行为。提供一个更好的例子,我们显示在图5两个分岔图的缩放2。

可以的话, 系统显示两种不同流动这完全取决于选择的首字母的条件。这是完全见图6给出了一些示例对共存的解决方案:(a)共存的一对奇怪的不对称,(b)共存的第二阶段限制周期与混沌吸引子,(c)共存的时期3周期时期1周期,(d)的混沌吸引子共存时期1周期,和(e)时期4周期时期1周期(见表1)。

获得更多的信息关于吸引子图中描述的复杂性6(a),各种三维预测呈现在图7(一)。在同一条线上,如图7 (b)、时间坐标的痕迹说明金融危机诱发间歇性有经验的系统。此外,吸引子的庞加莱截面计算数据所示7 (c)和7 (d)。这个庞加莱截面的形状特征数据的混沌吸引子6((我))6((2))。短暂的回忆,庞加莱图包含点在相空间轨迹之间的十字路口和庞加莱(飞机)。一个适当的位置的平面状态空间选择为了获得细节结构的吸引子28]。

吸引力的盆地是一组初始条件的轨迹收敛到给定的吸引子,通常是利用提供更多关于共存的信息流动。盆地边界的结构显然是见图8吸引力的盆地三个横截面的描述,分别对吗 , , ,与螺旋式上升或费根鲍姆的奇怪吸引子(绿色)和螺丝或Shilnikov奇怪吸引子(红色)。蓝色区域对应于无限的动力。应该提到,根据最好的作者的知识,最引人注目的现象共存的非对称奇怪吸引子还发现在一些特殊情况下的非线性系统,如科耳皮兹振荡器(3],Newton-Leipnik系统[17),和超混沌振荡器回转器(4尚未在任何其他混蛋系统相关,因此代表了丰富的贡献这个大型一类非线性系统的动态行为。提供多个吸引子的出现代表着另一个随机性(来源32),一些明显的潜在应用包括,例如,基于混沌的安全通信以及随机信号的一代。然而,这种奇异的行为不可取,证明控制的必要性。详细分析这条直线上超出了这个范围的贡献。因此,引导读者感兴趣的有趣的复习纸控制多稳定性提出了(33]。

5。实验研究

上述理论分析后,据预测,混蛋系统进行调查可以显示非常丰富和复杂的行为。本节的目标是验证理论结果之前通过执行一个实际系统的实验研究[18]。为此,图的示意图1建立在案板上。电路是使用TL084相机会放大器类型与对称±15 V直流电压供应。电子组件的相同的值用于数值研究保存在这里,使比较的过程。实验结果通过缓慢增加或减少控制电阻器(即。,parameter)和绘图相空间轨迹 用双踪示波器模式。当慢慢的监测控制电阻 ,我们发现实验混蛋电路经历各种类型的分岔理论预测的结果。为 3 kΩ时期1极限环是观察。当逐渐减少,完整的分岔序列报告上面,也就是说,倍周期分岔到混沌序列的反向倍周期运动导致常规时期1(见图9)。这显然是样本实验相图在图所示9展示真正的混蛋考虑电路的行为。的照片在图9,可以看出真正的电路显示相同的分岔序列期间观察到的数值研究。

这些不对称的单波段混沌吸引子图的二维投影9强调系统的复杂性。然而,这种简单的混沌吸引子。实验(图之间的比较10(图)和数值结果6)相关的五个共存流动显示了一个完美的协议。更有趣的是,滞回行为实验中观察到的混蛋电路通过增加的价值这样的电路的状态转移时期1通过一系列倍周期运动到另一个时期1运动和扭转分叉然后减少的价值相同的电阻回到原始时期1运动的状态。因此,系统遵循一条不同的道路是减少而不是被增加,让人想起一个滞后。再一次很好的定性数值和实验结果之间的协议可以被捕获。然而,略有差异,可能是由于精密电子元件的值以及简化的假设认为在建模过程中(即。理想,理想二极管模型,相机会放大器)之间可以指出数值和实验结果(见图的标题10)。同样,我们也验证了动力学行为,转换从倍周期分岔到混沌,相反的分岔序列,和多个吸引子共存的评估通过PSpice软件仿真时不同的值控制电阻器 。然而,我们避免了将仿真结果为了简洁。

一些windows的周期性行为夹在混乱的领域也指出实验。实验提供的证据多吸引子共存的混蛋电路,控制电阻是固定的如下: kΩ ; kΩ ; kΩ ; ; 。当打开和关闭电源(从而随机选择初始状态),一个可以获得五双共存的非对称方案如图10。

6。结束语

一个相对简单的混乱的混蛋电路,最近推出了由[18),分析了在此工作。使用分岔图作为参数,系统已经分类的动态的参数。倍周期分岔、周期性的windows和共存的分岔监控系统参数时被发现。更有趣的是这混蛋电路不是以前观察到的特色Sprott[的开创性工作18是双奇怪吸引子(即不对称的可能性。,Shilnikov chaos and Feigenbaum chaos) for a wide range of parameters, depending solely on the choice of initial states. Also, we would like to stress that the jerk circuit/system studied in this work according to the best of our knowledge represents the simplest prototype among the few cases of lower dimensional system capable of exhibiting such type of behavior (e.g., Rossler system, Colpitts oscillator, Newton–Leipnik system, and hyperchaotic oscillator with gyrators) and thus deserves dissemination [34]。实验室实验测量与理论分析很好的协议。奇怪吸引子共存的存在代表另一个源的随机性,在随机信号生成与潜在效用,混沌通信和雷达系统。应该指出,可以获得无限的平衡的混蛋电路正在考虑通过取代半导体二极管(非线性组件)通量控制忆阻器(14,35]。这种类型的系统更适合发展极端的现象多稳定性(11,36,37)涉及无限的吸引子共存的同样的参数设置,只有依赖初始条件的选择。研究沿着这条线正在考虑之中,结果将是即将出版的材料。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。