文摘
当处理发展或多维复杂系统、网络理论为我们提供了很好的办法来描述其构成成分,通过分别时变和多层复杂的网络。然而,这些组件是如何相关的分析仍然是一个开放的问题。我们在这里提出一个通用的框架分析的进化(复杂)的系统中,通过描述结构由多个网络之间的差异通过度量的信息内容。不同于其他方法,重点评估的大小变化,提出了一个可以理解如果观察到的变化是由于随机噪声或结构(目标)修改;换句话说,它允许描述的本质动力之间的变化和不同的随机波动和故意修改。我们验证框架通过套合成网络,代表真正的技术,以及网络社会和生物进化系统。我们进一步提出重构网络相关图的一种方式,它允许转换系统的进化到频域。
1。介绍
虽然复杂网络理论(1,2)最初是用来描述结构支撑个人复杂系统,近年来已经有数量的爆炸的情况(可能很大)的网络必须以比较的方式进行了研究。多个相关网络的可用性可能会分析不同的自然结果,但兼容的系统,例如,脑功能网络获得大量的健康人来说,目的是识别常见的连接模式(3),或从对照组和病人从一个给定的条件4),发现它们之间的差异。不过这也源于一个系统的分析其参数和时间维度。前面的例子后,神经科学家可能感兴趣的描述这种网络的演化在长期的认知任务(5,6)或在不同的频段7]。潜在的例子并不局限于神经科学和实际上出现在所有的研究领域应用了复杂网络(8),也就是说,在社会、生物和技术系统,后者的一个明显的例子是航空运输网络(9,10]。
分析两个或多个网络之间的差异是一个双重的问题。一方面,它导致这种差异的量化11),通过简单的计算有多少链接改变了进化过程中,或通过计算一组拓扑指标,通过比较正常的值12]。另一方面,另一个角度来看包括理解引起这种变化的动态过程,换句话说,为什么这些链接或者拓扑性质已经发生了变化。这些问题的两个方面是互补的,因为他们必须考虑观察进化的正确认识。两个网络的事实是不平等并不意味着存在一个结构化的进化过程中,因为他们可能的结果描述同一个系统下观察噪音。这样的结论不能吸引甚至从统计上显著的变化在某些拓扑度量,如。模块化,减少可能的结果随机链接重新布线,而且目标过程,旨在扰乱模块化结构。甚至模块化的增加可能是一个随机过程的结果,虽然概率较低。最后,在同一行,一个人应该没有关联的大小变化与目标的存在过程:随机噪声不一定导致小波动。这两个方面,也就是说,描述和structureness,也是实际应用的高相关性。例如,在特定情况下的大脑功能网络、非结构化的对照组和病人之间的区别可能归因于全球失去大脑连通性,而结构性变化可能表明集中重组的信息流。
后者,也就是说,理解引起变化的动态过程,是一个特定的方面被称为更普遍的问题表型与基因型(13,14]。虽然我们只能观察系统的表型,在这种情况下产生的物理或功能网络,我们真的很想理解创造了它的基因型。如果有几种表型,例如,我们可以观察到系统的演化,我们原则上可以用表现型的动力学(部分)重建基因型:换句话说,我们可以使用“结构差异”推出的“结构创建此类差异”。
灵感来自于这一点,我们在这里提出一个框架,旨在回答以下具体问题:观察到的变化遵循结构,还是他们只是随机波动的结果?这个框架是基于(一个)的计算区别之间的两个观测网络,(b这样的差异作为一种新的)表示不同的网络,(c)分析其结构特点。具体来说,我们从假设的变化导致的非随机过程的特点是相关性,反映在存在中尺度在网络的区别。这样的中尺度可以发现使用宽带拓扑度规,也就是说,的信息内容(15),其意义评估通过统计检验基于等效随机网络的集合体。通过一系列合成进化网络,我们表明,该方法是其他方法的补充,只有专注于量化的大小变化,而不是描述它的本质,基于交叉网络的相关性(16)或者冯诺伊曼熵(17,18]。我们进一步证明有用的解决方案通过分析三个实际系统,分别技术(全球航空运输网络的演变)、社会(人接触网络在医院),和生物(比较脑功能网络对应不同的频带)。我们总结这项工作通过展示这种方法可以用来构造一个网络相关图等,可用于检测的事网络的固有频率。
2。方法
2.1。信息内容
为了完整性,我们这里的包括一个简短的概述信息内容度量,提出了方法论的基础。更完整描述读者可能指(15]。
背后的基本原理的定义信息内容是普通的网络,或更一般的任何网络呈现一个中尺度结构,显示节点的连接模式之间之间具有很强的相关性。对此类相关节点编码的信息冗余,作为其中一个几乎完全定义的连接第二个。一个明显的例子是由网络产生了强烈的社会结构,在这两个节点通常属于同一个社区分享他们的邻居。如果这两个节点由一个然后代替,类似的连接模式,网络结构不会大幅改变。另一方面,假设两个节点属于一个随机网络。作为连接模式会大大不同,他们的合并会产生一个重要原网络结构信息的损失。这种损失的测量信息可以用于数值评估存在中尺度结构。
这个想法后,算法迭代识别两个节点的合并将假设的最小信息损失,也就是说,共享的连接。假设一个网络组成的节点和完全由它的邻接矩阵 ,一个 矩阵的元素等于当一个节点之间的联系和存在,否则为0。两个节点的分析和因此需要,首先,建立一个矢量的差异 ,与 和克罗内克符号。元素的数量的值是因此显示的数量不共享的邻居节点和 。其次,编码的信息评估通过经典的香农熵,定义为
标准符号后,表示网络中节点的数量。此外,和 ,分别表示0和1的频率 ;注意,虽然 , ,和每对节点是不同的吗 ,相应的指数已经省略了为了清晰。等于零只有当所有的邻国都共享,或在特殊情况下吗的邻居是互补的的年代。因此,代表着重建所需的数量信息的连词的人或信息丢失,当两个节点的数量合并。两个节点最小化然后合并,过程中信息丢失的数量近似 。这个过程是反复重复,直到剩下一个单独的节点,最后的信息内容迷失在所有步骤的信息的总和。
见以前的工作(15)、低IC值表明存在某种规律性的联系安排,包括社区、中心或中心-外围配置。为了说明这一点,让我们考虑一个星状图的情况下,所有的节点都连接到一个中央;由此产生的邻接矩阵,例如有四个节点,将
通过建设,所有外围节点是相等的,它们共享相同的连接模式;因此,矢量的差异之间,例如,第二个和第三个节点 ,和合并时丢失的信息,也将是零。所有外围节点可以合并成一个没有任何损失的信息:决赛因此这个正则网络是零。另一方面,很容易看到指标最大化Erdős-Renyi图,预计不同节点之间没有相关性。例如,链接密度 ,一半的元素(任何一对节点之间)将是1,因此 (从(1)当 )。注意,可以发现异常,例如一个Erdős-Renyi图可能有规则的结构,因此 ;然而,这种情况下是非常不常见的,不修改度规的预期行为。
最后需要注意的一点是,值得指出的是公制的灵活性在检测多种类型的规律的代价的计算量。具体地说,网络节点, 合并迭代应该执行;此外,在每一个这样的迭代,所有可能的节点对的连接性相比。这导致一个复杂扩展 。因此,信息内容不适合网络超过几千个节点。
2.2。比较两个网络
假设两个网络,每一个描述对应的邻接矩阵和 ,在不同条件下观察到的。首先,最简单的例子包括两个独立的网络,代表两个不同的系统,虽然相同的大小,也就是说,相同数量的节点。其次,这些多路网络的邻接矩阵可以表示不同的层(20.]。最后,网络可能代表不同的快照一样的事系统[21]。在所有情况下,之间变化和可以用一个矩阵编码吗 ,的元素等于当相应的链接两个分析网络,改变了,否则为0。请注意,可以理解为网络的邻接矩阵之间的链接描述相应的变化和 。
关于网络的中尺度结构差异 ,只有两种情况可以遇到。首先,之间的变化和可以是随机的,例如,由于测量噪声,或由于不相关的更广泛的力量;就像一个随机网络的邻接矩阵。第二,如果之间变化和以某种方式相关,由此产生的网络应该存在一些中尺度结构。例如,如果更改只影响一个节点的连接,会像星星一样形状的。所有中间情况,例如,只有一个链接修改随机的一部分,可以解释为一个特殊的(噪声)后者的情况。
如果变化不是随机的,因此相关,形成中尺度结构,后者应该被检测到的指标。一个算法的比较不同的网络因此可以设计,由以下步骤:(我)计算作为 ;(二世)计算网络的 ;(三世)比较值获得的等效随机网络的合奏。至于后者,正常化的几种方法获得的价值是可用的。首先,一个可以简单地计算
在哪里是平均信息内容获得一个随机网络,与相同数量的节点和链接 。 值在 ,值接近一个指示一个随机网络的结构 ,因此一个随机的区别和 。另一方面,的值大大小于或接近于零,表明存在结构变化。请注意,也有可能获得的值 ,这表明高于预期的随机网络。因此随机,获得价值的结果统计波动或使用太小的随机合奏。
而提供了一种定量评估的结构变化,收益率小信息的统计意义相同。为了解决这个问题,可以使用一个基于z分数的正常化
与前面的情况下,表示平均获得等效的合奏(相同数量的节点和链接)随机网络表示相应的标准差。值接近于零表示之间的随机修改和 ,虽然负值表示修改的一些结构。这个配方的优点可以很容易地变成了 - - - - - -提供的价值,遵循正态分布,一个条件不满足只有非常小的随机网络。
最后值得注意的是怎么做和是两个互补的一个硬币的两面。前者允许定量评估两个网络之间的结构变化和创建多个比较可用时排名;后者允许确定相应的统计学意义。这种二元性的度量定义将利用部分的例子3。
2.3。验证合成网络
验证该算法的一个简单的方法涉及使用一组控制的演进,也就是说,由规则确保开始点和结束点已知拓扑。鉴于这两个网络和 ,我们构建一个第三网络链接是来自谁的的概率从的概率 ;最后比较与最初的网络 。注意,对 , 和 ;另一方面, 意味着 和 。因此,控制之间的变形程度和 。
在图的几个感兴趣的演进进行了分析1。四列,从左到右,分别代表初始(重新布线 )和最后一个( )网络; ,最大的重新布线 ;和的发展的 - - - - - -的价值 ,作为重组的函数 ,计算原始和中枢网络。为了清晰,邻接矩阵描述有体积小,所有的结果取得了网络节点和随机实现。。
第一行描述了随机网络的重新布线到第二个随机。没有相关性和结构之间的链接已经改变,由此产生的矩阵提出了一种随机连接和中尺度;因此,下降从来没有变得显著,描绘在右侧面板中。第二个例子,是类似的,提出了一个重要的区别:如果最初和最终的网络是随机的,第二个是通过逆转的一个节点的邻居;看到相应的矩阵 。注意,在这种情况下,虽然最初和最终的点是随机的,进化是一个结构化的过程。这是正确地检测到该指标, - - - - - -值低于为 。
在第三和第四个例子中有类似的行为,描述两个不同的网络收敛对一个社区结构。创建或修改一个社区需要激活和取消激活链接目标,指标检测到一个中尺度的存在 。最后,后者的例子包括一个局势也开始和最后的网络社区结构,既受到随机噪声。因此,既有一个随机性质之间的区别,以及 - - - - - -值永远不会变得显著。
从这些结果可以得出一些基本结论。首先,最重要的是,这两个网络的结构和不相关的;相反,只需要发展变化,从前者到后者。具体地说,两个完全随机网络可能是它们之间与结构化的变化有关;和两个结构良好的网络随机的方式可能有所不同。其次,存在统计上显著的结构化过程之间的权衡的结果修改链接的比例和他们的组织。例如,值得注意的是,在第二个图的例子1达到统计显著的结果 ,因为所有修改链接属于同一节点,而一个 第三个例子是必需的。换句话说,一些强烈的变化相关链接可以显著的改变许多链接,当它们之间的关系是弱。
2.4。与其他方法相比
文学中处理比较复杂的网络的问题(11,常用两种方法:网络拓扑性质的比较一方面和原始邻接矩阵。
前最常见的方法是:一个或多个指标,综合网络结构,计算和比较。两个优点值得强调。首先,这种方法允许异构网络相比,也就是说,网络可能有不同数量的节点和链接,提供了度量正常化对等效随机图。两个网络的节点也可能没有身份,这样可以比较,例如,基因和蛋白质网络。其次,作为研究员修复使用的拓扑指标分析可以专注于网络结构的特定方面(例如,模块化、三角形,等。)。
另一方面,第二个策略是基于直接比较两个或两个以上的邻接矩阵,例如,通过使用相关性或熵措施,量化它们之间的大小差异。换句话说,它提供了一个链接的数量估计或节点,必须改变一个网络映射到其他11,22- - - - - -24]。这两种方法可以被看作是互补的,对应的基因型和表现型分析变化。
为了完整性,本节比较该方法与后者,也就是说,与策略直接比较两个或两个以上的邻接矩阵。目的是表明,这两种方法的范围是不一样的:而后者旨在评估有多少链接改变, - - - - - -基于一个关注为什么这些已经改变,无关地他们的号码。报告的例子是为了突出这一差异,澄清的附加值指标,正确位置作为一种工具补充其他指标。
2.4.1。相关
一个有趣而简单的方法比较两个网络或两层的多路网络计算的链接出现在他们两人之间的关系。换句话说,给定两个网络和 ,表达的相关性,如果概率 ,然后 。更普遍的是,一个可以计算一个全球重叠的总数对节点通过一个链接连接在同一时间在网络和 ,提出了(16),也就是说,
方程(5)可以进一步正常化的考虑在两个网络链接的数量。它最近被证明(25,26)这样的全球重叠渗流具有重要影响,因此在健壮性、多路网络的相关链接(冗余)的存在降低网络的巨大组件的破坏下随机链接删除。
两种极端情况下可能遇到当考虑两个网络之间的关系:当所有的链接都是平等的在这两种网络,因此相关性最大;链接是互惠的,也就是说, ,产生最大可能负相关。分别将是一个零和一个完整的矩阵,然后呢 在这两种情况下;换句话说,一个强大的结构驱动两个网络之间的进化。更有趣的情况出现在中间范围,也就是说,当只有部分的链接是不同的。为了说明这一点,让我们考虑这种情况的前两行图1假设初始和最终的矩阵是随机的,有相同的链接密度 。在这两种情况下, (一半的激活链接预计一致);然而,这两个结果值是完全不同的。这证明全球重叠度规不提供信息在底层机制推动这样的差异,相同的相关价值可能是随机或结构改变的结果。因此,建议方法是互补的全球重叠。此外,度量非常相似 ,也就是说,邻接矩阵之间的欧氏距离,最近被发现比其他更复杂的图像扩散内核的距离(24]。我们可以因此得出结论,该方法不是等价的,而是一种替代方法,所有这些指标的家庭。
2.4.2。冯•诺伊曼熵
冯•诺伊曼熵( )量子力学是一个度量,最初介绍了评估的程度的混合量子态编码在一个概率分布,因此在密度矩阵 。虽然状态概率分布的概念不是为复杂网络定义,计算指标仍然可以在任何密度矩阵,也就是说,埃尔米特和半正定矩阵。正如前面所示(17,18),可以计算出随着密度拉普拉斯算子矩阵
在哪里平均学历,构成网络的节点数量相应的拉普拉斯算子矩阵。冯诺伊曼熵已经证明是一个不错的量词规律的网络结构,中获得较高的值与均匀度分布图形,在异构网络和较小的值(27]。在某种程度上类似于我们的方法,被用来比较不同网络(28),但是下面讨论的局限性。
让我们假设与相同数量的两个网络节点和链接,和 ,分别有一个随机的和模块化的结构。更具体地说,一半的前邻接矩阵的元素是随机设置为1,而第二次被定义为 为 ,和 (,否则为0)。在大型的值的限制 ,两个网络将会有一个类似的平均程度,也就是说, ,与均匀分布的节点之一。由于依赖关系度分布,两个网络预计将有类似的熵值。
很容易构造情况下,网络的区别等于或 。例如,从一个随机网络的链接密度 ,第一种情况是获得当这是与另一个随机网络相比具有相同的大小和链接密度;另一方面,第二个病例是通过反相链接的激活在左上角和右下角的邻接矩阵。冯•诺伊曼熵的行为在这两种情况下是描绘在图2。注意,正确的板描绘的z分数的进化 ;也就是说,标准差的数量偏离值的获得与相同数量的随机网络节点和链接。在合成,这些结果表明,冯•诺伊曼熵和规不是等价的。虽然他们都是设计网络拓扑发现规律,后者能够探测到的情况下,前者不具有统计学意义。
3所示。结果
3.1。全球航空运输网络
作为第一个测试用例,我们这里考虑之间的网络由航班位和前200世界机场、提取Sabre机场数据情报数据集。正如前面提出的(29日,30.),节点代表机场、成对连接时的乘客总数每月使用大于两个机场之间的直飞航班 ,也就是说,至少乘客/天。72个快照是可用的,代表的月度演化系统2010年1月至2015年12月。
航空运输网络呈现出很强的季节性,在短(也就是说,日报)和长尺度(月度和年度)(31日]。这增加了使用正确的时态表示的重要性,突出的系统到一个永久的网络可能导致严重的拓扑扭曲(32]。这个事实是证实了图3代表的演变三个拓扑度量(链接密度、模块化和assortativity)通过时间;注意一年一度的正弦曲线的行为。详细讨论的影响,包括不同的机场上观察到的拓扑度量,读者可以参考(10]。
的演变的 - - - - - -的价值测试中,所有可能对月,前面板的图4。光的颜色代表一个随机结构变化;黑暗的颜色代表一个中尺度的存在规律。在的情况下机场,有趣的是明亮的广场主对角线上的大小 ,对应于夏季和冬季的季节;这是可以预料到的,因为航班很少在同一个季节的变化,因此差异小的和随机的结果调整时间表。每年季节性的航空运输也是明显的用鲜艳的颜色集中在机场和对角线。当两个快照之间的时间距离大于两年,当夏季/冬季连续成对比较,测试表明,变化并不是随机的,因此对应于系统的重新配置需要航空运输市场,出于商业考虑,不能被解释为一个随机重组。
作为对比,图4左面板底部描绘全球重叠正常化的演变的情况下机场。而初步颜色映射类似于一个呈现在图4可以观察到左上角,一些差异,特别是远离主对角线,也就是说,距离大于2年了。为了澄清这些差异,右下角小组报告散点图比较产生的值和 。虽然有一种普遍的正相关关系,可以找到完全不同值相同的重叠。例如,对于 ,一个可以找到实例 - - - - - -价值 。这表明,微小的变化,也就是说,高重叠,可以是由于(几乎)随机和强烈结构演进。的因此产生了一个更完整的网络的演化,提供信息(具体来说,变化的性质),由其他指标的漠视。
3.2。医院接触网络
第二个例子,我们考虑到时间的关系网在里昂大学医院的老年单元,包括病人和卫生保健工作者,如[33,34]。节点代表46卫生保健工作者和29个病人,近距离的之间的交互和链接可穿戴传感器探测到。完整的数据集跨越从星期一,2010年12月6日下午一点至周五,2010年12月10日下午2点,时间分辨率的20秒。我们提取一组97年接触网络,通过聚合所有联系在一个小时的时间间隔,以避免稀疏描述更高的时间分辨率。网络的平均密度是多少 ,中值和标准偏差的平均最短路径长度 ,和平均聚类系数 。
在某种程度上类似于图4,图5(左)代表的进化的结构变化,对于所有成对的可用网络。注意,在这种情况下,使用,这样值接近1(小于)表明随机(分别结构化)的变化。一个明显的趋势, - - - - - -小时期间,可以发现,证实了中央委员会,描绘在几天链接密度的演化。之间的比较和全球重叠可以通过考虑正确的面板的图5后者执行,代表一个等价分析指标。可以发现一些有趣的情况。例如,一个可以观察到一些时间窗口对应于一个非常高的,与此同时,一个非常低的全球重叠;见,例如,底部下方的彩色地图。一个高不过也可以被发现在广场主对角线,在吗小时,这对应于一个全球的重叠。两个快照之间的随机变化的存在因此不与他们的重叠:它可以出现在几个或最精致的链接。
更一般来说,从该系统的分析可以得出结论,提出了两种不同的制度。一方面,大多数时候接触网络的发展在一个结构化的方式,反映的事实是,卫生保健工作者执行常规任务。另一方面,夜晚的特点是更少的接触,以随机的方式发展,可能突发事件和其他随机情况下的结果。
3.3。大脑功能网络
第三个案例研究中,我们提出一个分析多个健康受试者的大脑活动在静止状态,人类可用的连接体项目(HCP) (35]。Magnetoencephalographic (MEG)记录(36进行一组个人,他们每个人获得时间序列(每个代表一个梅格传感器)点。注意,只有一个子集的原始群人一直被认为在这里,为了确保同质性渠道和数量的时间序列长度。功能网络然后重建中描述(7),首先提取时间序列对应于四个标准乐队(θ 赫兹,α 赫兹,β 赫兹和伽玛 赫兹);其次,通过计算每一对之间的互信息(MI)渠道;最后,binarising产生的网络,通过阈值定义为代理block-permutation过程获得的时间序列(37]。最终结果是一组四个功能网络/主题,代表大脑活动在四频段在休息。为进一步的细节记录和数据处理,读者被称为(7,35]。
作为第一个目标,我们在这里想要表明,该算法可以用来量化和描述的性质差异代表不同的频带的网络。的平均和标准偏差当比较每个人的四个网络报道在表1。可以看出,结果始终包含在范围之内 ,这样的结构相对应的网络之间的差异不同的频段。这是可以预料到的,因为这些乐队应该对应不同的功能任务,贡献不同的整体静息状态的活动,因此不是等价的(38,39]。
出现完全不同的画面不过当一个焦点转移到主题。图6(左)描绘的平均和标准偏差值为每个主题,也就是说,对应于两两比较每个主题的四个网络。更大的主体变化出现,平均之间的不同为主题和为主题 。可以观察到的更强的效果频带之间的α和β,如图6(右):现值相同的两个主题,分别和 。
最后结果突出了一个重要事实:α和β乐队可以促进全球静息状态的活动以非常不同的方式。在其中一些国家,如主题 ,他们有完全不同的拓扑结构,而在其他(至于主题 )他们的分歧只是由于随机的波动。更普遍的是,不同频段之间互动的方式依赖于主题,因此主体间高可变性。这些结果与先前的研究结果是一致的,梅格研究报告低再现休息状态在两次试验法的实验40,41]。
3.4。找到一个系统的自然频率:网络自相关和相关图
如果一组网络代表的进化系统的连接通过时间,时间序列分析的并行性可以通过定义推一步相当于一个网络的自相关函数。这需要计算序列的相似性网络本身,当两个实例之一是time-displaced对另一个。
让我们表示的相似矩阵的元素编码两个网络的相似性分别代表系统和 ;请注意这类矩阵中给出的结果数据完全相同4和5。序列的自相关网络,在一段时间内的位移 ,是由
r.h.s.的(7),测量作为代理的两个网络之间的相似性;更准确地说,一个序列自相关从而评估这样的网络故意相当于本身,排除不相关的噪声的存在(无意更改)的链接。是建筑,相当于平均的 - - - - - -对角的 ,或矩阵描述的数据4和5。
通过计算对所有年代,可以构建一个完整的演变研究系统的相关图,代表其固有频率的最大值。为了说明这一点,图7描述了航空运输网络的相关图(左面板)和医院网络(右面板);大脑功能网络在这里没有考虑,他们并不代表一个时间进化。各自的矩阵编码的不同变体度量:的 - - - - - -的价值前(图5),后者(图4);因此,轴的两个面板有不同的尺度。这不是一个问题,只要意思是相似的;在这种情况下,两者都有 和 表明高度相似的网络和躺在图的顶部。应该会,相关图位于最大 。局部最小值还可以发现( )医院的数据集,对应于日常活动周期;而在( )在航空运输的情况下,说明每年季节性。
最后的话,必须强调,相关图是一个通用的概念,而不是与使用度量:相反,任何指标采取作为输入两个邻接矩阵和收益率可以使用标量值。为了说明这一点,全球重叠可能在情商。7)。不过这将导致输出的意义的变化:在案件相关图显示的时间尺度的结果出现由于非随机的力量,度量版本显示的时间尺度变化最小化,无关地他们是如何产生的。
4所示。讨论和结论
量化的两个网络之间的差异的大小,一个更复杂的和具有挑战性的问题是检测如果这样的差异是由于随机修改或有组织的力量。这两个问题是互补的,不一定是相关的。系统网络结构的两个测量之间可能大幅改变,但是仍然是相同的拓扑变形的观测噪声。另一方面,小的变化可能是由于目标(故意)的企图,如。,促进一个节点。虽然前文学广泛被解决的问题,创建了特定的指标相比,更少的关注一直致力于后者。
给两个或两个以上的网络,在这个贡献我们提出的一种方式回答这个问题:观察到的变化只有一个随机性质,或相反他们显示组织的一种形式吗?我们提出了信息内容的使用(15)的评估存在的中尺度结构在两个网络之间的区别。度量的有效性已经证明在几个合成网络演进和测试三个真实数据集,分别代表社会、技术和生物系统。我们另外讨论建议的方法和两个之间的差异先天的类似的指标,也就是说,网络相关(16)和冯诺伊曼熵(17,18];虽然能够检测的大小进化,他们对它的本质,因此不适合区分随机和组织的变化。
相似性度量可用性的进一步允许调整一些标准方法在时间序列分析研究网络系统的进化。我们这里考虑的情况下自相关和相关图,显示系统的固有频率,在复发方面有意的网络变化,可以在网络自相关估计的最大值。虽然没有明确这里讨论,提出分析可以扩展到更一般的情况下互相关的多个序列的网络,例如,代表两个或两个以上的系统,可以成对地分析。相关图也可以用来选择最好的时间分辨率采样时间网络,一个主题仍然是研究[42]。
最后认为,这项工作是网络的一个隐藏的假设比较预计将拓扑兼容,也就是说,有相同数量的节点。虽然这适用于多路复用网络、多层和时序图可以有变量大小。拟议的方法仍然可以被使用,提供了一个初始执行预处理:例如,核心节点共同组成的两个网络可能是孤立的;有些信息会丢失,主要特征仍有可能发展的趋势。此外,网络的节点没有一个共同的身份可以原则上进行比较;这使得网络学习来自不同系统,例如,分别代表大脑活动和航空运输。然而,它会首先有必要匹配两个网络之间的节点,每个节点创建一个地图相关的第一网络的拓扑等价的一个第二,通过,例如,SimRank [43)或类似的算法。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
本文由中国国家自然科学基金(赠款。61650110516和61601013)。