使用掌握优化Biobjective生产布局规划问题

文摘

本文地址biobjective生产布局规划问题。问题是制定为一个混合整数规划问题有两个目标。目标是最小化总成本和平衡的总工作量的供应链,包括工厂和仓库,考虑到它代表一个公司的垂直整合。为了解决模型,我们提出一个适应biobjective把握得到一个近似的帕累托。评估算法的性能,数值实验进行的一组实例用于类似的问题。结果表明,文中提出的把握获得相对较少的nondominated解决方案在很短的计算时间为每个测试实例。接近帕累托方面是不连续和凸。此外,该解决方案明显显示两个目标函数之间的妥协。

1。介绍

如今,供应链和制造系统必须反应迅速,敏捷,灵活的适应市场的变化和需求。全球化和激烈的竞争市场中实施更多的挑战这样的系统,增加了复杂性。的出现颠覆性技术的数据可以被实时传感器代表了一个机会来改善决策,但它是必要的,可以把它与适当的分析模型,为供应链规划和调度决策支持和制造系统。

供应链管理的主要目标之一是协调不同的阶层和相关规划决策等供应、制造、库存管理和分布(1]。一个典型的方法是解决先前的规划决策作为独立的问题,获得一个整体解决方案按等级排列的顺序按顺序决策和解决问题。这是出于建模成一个集成的复杂性问题,但是它有一些缺点,因为它没有考虑之间的相互关系决定。因此,利用集成问题提供了一种更有效的和有效的方式来获得潜在的真正问题的解决方案,降低了总成本。

之间有一个非常密切联系生产和销售规划决策(2原因),这些问题已经解决在文学作为联合生产布局规划问题。几个贡献可以在文献中找到解决协调的供应链集成生产和分配问题。在本文中,我们解决生产布局规划问题所面临的单个产品制造公司。根据该公司的具体特点,问题是制定biobjective混合整数规划模型。考虑目标公司总成本的最小化和平衡的总负载分配给公司的工厂和仓库。这是合理的因为我们正在考虑的情况下垂直整合供应链。因此,该公司有兴趣不仅在总成本的最小化,但也在一个更好的资源利用率。供应链的平衡工作负载的内容有助于达到更好的利用资源已经安装在供应链网络,除了避免拥挤在工厂和仓库。解决模型,我们提出一个适应biobjective把握得到一个近似的帕累托。

1.1。文献综述

最早的贡献在文学生产布局规划是由(3]。他们地址multicommodity,单一的时间段生产布局问题,提出一个解决方案方法基于弯管机分解。提供的另一个贡献是早期(4]。他们提出一个方法,考虑多级生产和销售之间的关系系统,捕捉随机和动态交互。该模型是由一个材料控制子模型,生产子模型,储备库存子模型和分配子模型。

存在几个调查文章在文献中,提供了一个框架或分类相关的生产布局规划问题。我们简要回顾现有的调查和引用文献中发现的一些贡献,特别强调最近的文献中找到。相关文献的概述协调生产计划在多个植物假设垂直整合公司是由(5]。回顾相关的文献之间的协调规划的两个或两个以上的决策/阶层供应链提出了(6]。的类别分析对应生产布局规划问题。他们提出一个分类的贡献buyer-vendor协调,生产布局协调、库存配送协调。重大决策的分类综合生产布局规划是由(7]。他们强调操作的复杂性,使哲学的出现的引用作为应对市场的竞争压力,如全面质量管理和柔性制造系统和供应链管理。在这种情况下,目标是实现完美的产品质量和快速反应和敏捷制造的低成本和高效的分销产品消费者点较低的股票。

此外,审查提出的战略生产经销模式(8),强调全球物流系统和混合整数规划模型。他们分类的贡献分为四类:先前的评论,优化模型,额外的问题建模和案例研究。综合分析生产经销系统的另一个评论是由(9]。他们评估的目的是确定不同的物流方面可以包含在一个集成的分析和竞争优势可以获得什么整合生产和分配的决定。他们只包括那些贡献,明确解决交通系统,并提供一个distribution-inventory分类模型指出文献[中的贡献10- - - - - -15]。

另一个相关的调查提出了(16]。他们分类贡献和现有文献提供了一个框架,定义了一个研究议程。生产经销调度提出了分类(17]。他们指出,考虑到生产和销售阶段的供应链往往与库存阶段,贡献文献中经常涉及的库存决策和注意到文学,考虑调度决策最近吸引了研究者的注意在文献[18- - - - - -21]。他们现有的模型划分为五类:(i)模型考虑个人和立即交货,(ii)模型与批量交付到一个客户通过直接配送方法,(iii)模型与批量交付到多个客户通过直接运输方法,与批量交付到多个客户(iv)模型的路由方法,并与固定(v)模型交付出发日期(22- - - - - -26]。

另一方面,审查存在的方法基于使用的建模方法和解决方案技术提出了(27]。他们提供了一个分类的贡献。最近的评论是由(28],考虑生产布局规划问题的进化对供应链管理的协同生产布局规划。他们分析的综合方法对该行业产生影响和他们真正的需求。

解决方案的技术,可以直接找到数学programming-based方法或解决一个商业解算器(例如,[3- - - - - -5,10- - - - - -16,21,23,29日- - - - - -37]);大量的贡献,提出启发式技术,出于的复杂性产生的问题18,19,22,26,32,38- - - - - -47];和基于仿真的方法来解决这个问题48- - - - - -51]。

另一个重要特性是相关的优化目标。几位贡献考虑简略优化方法2,22,29日- - - - - -33,39,41- - - - - -46,49,52,53]。然而,最近的贡献是捕获更现实的功能整合规划决策的同时优化多个目标(40,51,54]。典型的目标是利润最大化,成本最小化,提供给客户的服务水平。例如,在[54),总成本的最小化和最小化总迟到的产品运送到配送中心是目标。在[55)该模型的重点是对客户的服务水平,测量平均交货时间和运输总成本。另一方面,在56),减少车辆的总运营成本交付的产品和顾客的等待时间被认为是客观的;因此他们更关注分布问题,尽管他们也考虑生产调度决策。

以前的贡献都没有注册工作负载平衡作为优化的目标。工作负载平衡被认为是决定规划问题(车辆路径问题57- - - - - -60)和机器调度问题(61年]。供应链平衡工作负载的内容是一个重要的元素在考虑一个垂直整合的公司。这是有意义的公司旨在利用其资产。也与overutilization植物产生拥堵而其他人可能没有得到充分利用。最好的作者的知识,这是第一篇文献中,混合工作负载平衡为目标的综合生产布局规划问题。

这项工作的另一个贡献是相关解决方案的特定特性的方法。只有很少有论文掌握适应解决biobjective问题。此外,我们提出一个明确的两个目标函数在构建解决方案的集成。此外,施工方法,我们用启发式的杂交数学编程技术。局部搜索方法探索的典型社区路由问题,也要用一个数学编程技术完成运动。

本文的组织结构如下:部分2介绍了提出的数学模型。部分3描述了启发式算法和部分4介绍了数值结果显示了该算法的适用性近似帕累托。最后,部分5提出了最后的评论和建议进行进一步的研究领域。

2。Biobjective优化模型

这个手稿的问题被认为是与生产和销售规划决策所面临的单个产品的制造公司。生产部分,该公司负责制造产品的工厂,尊重植物的能力。同时,公司必须满足所有客户的需求所提供的仓库中产品合并,类似在一个标准的运输问题。另一方面,分布情况下,该公司已确定航线服务客户的需求分配给每个仓库。为此,经典的假设认为在车辆路径问题。例如,路线应该开始和完成在仓库;有一个最大持续时间由每个路线,建立一个客户访问一次由一个车和一个车辆与线路有关,和满足所有客户的需求。此外,均匀的车队被认为是能力。在网络设计方面,它已经建立了仓库没有连接到其他仓库,一个仓库可以有多个车辆分配,每个服务一个路线。还以为仓库uncapacitated,而植物有能力约束。

公司的规划决策目标同时优化两个目标同时尊重前所述约束。第一个目标是最小化总成本(生产和销售),第二个目标是平衡总工作量的工厂和仓库。平衡工作负载的内容在每个设施有助于达到更好的通过网络资源利用率;少,因此,它预计将达到拥堵在工厂和仓库等设施。在这种背景下,一个简单的解决方案是同样把仓库之间的生产工厂和客户的需求。然而,这种解决方案未必会降低生产和销售成本。因此,该公司正面临着生产经销问题考虑的典型约束运输问题与一个multidepot合并车辆路径问题(MDVRP)。

之前描述该问题的数学模型,设置,参数和决策变量的定义。在这里考虑组的植物,仓库的设置,的客户,的车辆。让的设定弧连接仓库和客户。客户的仓库 都包含在和客户包括汽车 都包含在 。同时,让是在仓库的车辆使用 。

请注意,涉及不同的成本模型。与生产相关的运营成本在植物产品 船到仓库 用 。分配成本与货物相关的产品从仓库或客户 仓库或客户 ,在那里 用 。每个客户 有一个需求 ,每个工厂的生产能力 是 。此外,通过一个弧旅行所需的时间 用 ,卸载客户需求所需的时间 ,从任何车辆是由 ,汽车的能力 是 ,和车辆的最大持续时间 在一个路线 。

在这个问题上,二元决策变量和吗是连续的。这一事实 意味着车辆 使用弧 。同时,代表在工厂生产产品的数量 运到仓库 。

平衡工作负载在工厂和仓库,偏差对理想情况下计算。后者是指在工作负载均匀分布在工厂和仓库,分别。对于植物来说,理想的情况是当他们所有人都在同一水平能力;也就是说,每个工厂的生产能力成正比,这样总生产满足客户的总需求。例如,植物以更大的能力可能比能力较低的植物生产更多的产品。对于仓库来说,理想的情况是,当客户需求是所有的仓库中均匀分布。注意,在这种情况下,工作负载的平衡在工厂和仓库建模基于偏差值的产品在每一个植物和巩固在每个仓库,分别。这类似于公司的客观目标工作负载在每个设备的价值。

基于这些观点,我们计算植物的最大偏差如下: 最大偏差与仓库相关计算如下: 注意,产品在工厂生产的数量大于产品整合到仓库的数量。因此,给定的值(1)可能大于给定的值(2)。在这种情况下,我们是平衡工作负载的内容只在工厂和仓库。为了克服这个问题,一个价值包括标准化的单位。

由此产生的混合整数biobjective编程问题定义如下: 方程(3)代表第一个目标函数,其目的是为了减少运营成本之和(制造和运输)和航运产品从仓库到客户的成本。第二个目标函数表达的是(4),旨在平衡工作负载在仓库和植物。它表达了最大偏离理想情况的纠正和分裂。第二目标函数与小偏差,旨在找到解决方案,与平衡工作负载的内容在工厂和仓库。生产约束表达(5)和(6)。约束(5)确保每个工厂生产的量不超过其最大的生产能力。约束(6)保证客户的需求分配给每个仓库都是满意的。分布约束表达(7)- (15)。来访的客户一旦由单个车辆强制约束(7)和(8)。约束(9)和(10)确定客户仓库的作业。尽管事实上,为了平衡工作负载都必须使用仓库,以最小化成本可能是希望只使用仓库的一个子集。约束(11)和(12)防止interdepot流。这是作为仓库之间的运输是不允许的。Subtours禁止在约束(13);约束(14)确定车辆的容量约束和路线由车辆的最大持续时间被定义为约束(15)。方程(16)表示路由是基于二进制的变量,和(17)建立了制造业的nonnegativity变量。

3所示。的描述提出Biobjective掌握

掌握metaheuristic,已经被证明是有效解决复杂组合优化问题时(62年]。它由两个主要方法。第一个方法是构造一个初始解和本地搜索第二个方法问题,旨在改善当前的解决方案。把握是multistart metaheuristic由于随机过程实施的施工方法,可以构造多个解决方案,进一步提高在当地的搜索方法。因此,这两种方法是反复重复,直到达到停止准则。最好的解决方案的目标函数值作为算法的输出返回。

除了掌握解决简略问题的成功使用,它也被成功地应用于近似帕累托效率方面不同的多目标优化问题(63年- - - - - -68年]。前面引用的引用特定组件的掌握适应相应的问题正在研究。然而,分类标准化提供的适应多目标问题的把握是(69年]。因此,我们遵循以前称为分类算法的描述。掌握的主要元素biobjective问题如下:贪婪的函数被认为是当构建一个解决方案,但是,如果有多个目标,必须选择一个标准确定的指导功能,局部搜索方法考虑了多个目标来评估如果当前解决方案已得到改进,和一套有效的解决方案是提供当算法达到一些停止准则,而不是返回现任的解决方案。

在提出biobjective掌握pure-random建设完成;,其中一个目标函数是随机选择的,所有的解决方案的建设是由贪婪的引导功能与该目标函数相关联。此外,本地搜索的纯策略被认为是对随机选择一个目标函数(注意,它可能不同目标函数考虑建设)。在这种情况下,一种改进的解决方案可能有更好的目标函数考虑目标函数的值,但它可能恶化在其他目标函数值。我们的算法的一个重要特性是目标函数考虑在本地搜索可能比目标函数时使用不同的构建解决方案。通常,在纯策略,目标函数考虑在施工和本地搜索是相同的。

3.1。施工方法

施工方法的第一步是随机选择一个目标函数。在这里,目标函数都是同样可能被选中;也就是说,如果 ,然后选择问题的目标函数总成本(见(3)),以防当 ,目标函数相关的工作负载平衡被认为是(见(4)),是一个0到1之间的随机数。对于任何两个目标函数,施工方法可分为三个阶段:集群、路由和制造业。

3.1.1。聚类阶段

在聚类阶段,客户仓库的分配是由随机贪心策略后,分配问题的解决取决于目标函数考虑。如果(3)正在考虑,然后定义的辅助问题(18)- (20.)是最佳解决最大化策略, 是一个随机的数字。 以后,我们担心在构建一个好的解决方案的总成本,配送成本的最小化从客户仓库中追求(18),考虑到客户必须分配一个仓库。分销成本的扰动被认为在集群阶段允许一定程度的随机性。

在其他情况下,当(4)已经被选中时,客户的分配仓库如平衡工作负载。在这种情况下,问题定义为(21)- (25)是最佳解决最大化策略,是一个预定义常量值和 是一个随机的数字。 记住我们正试图构建解决方案与平衡工作负载,约束(22)和(23)将作为平衡约束但考虑公差值 。一个小的值意味着更加平衡集群。类似地,更大的价值让仓库整合客户需求减少。注意,如果 理想的情况下发生(即。,when all depots have the same workload), but this case may be infeasible due to the unique allocation of customers to depots imposed by (24)。

3.1.2。路由阶段

一旦客户分配给仓库,有必要设计路线将产品分发给客户。为此,greedy-randomized自适应策略。创建的路线,我们认为一个车辆离开仓库,路线是由合并客户访问,分配一个客户仓库,以类似的方式。关于可用的每个仓库的车辆数量和他们的能力,同样的假设的47被认为是。

注意,路由是由为客户分配在同一个仓库。因此,很明显,每个仓库的工作负载。在此基础上,我们创建路线分布较低成本没有必要考虑其他目标函数。因此,对于这两个目标函数,以相同的方式创建的路线。

添加一个客户在一个路线,指导相关的成本函数,计算总结了它的贡献。作为指导功能,我们考虑增加客户的成本后客户在目前的路线,仓库用 ;也就是说, 。后者是所有客户的计算 在一个特定的仓库 。然后,考虑同一仓库,限制候选人列表(创建)。一个标准考虑添加一个客户到RCL是当 ,在这和表示的最小和最大成本添加一个客户。同时, 是一个参数调节的贪婪程度考虑 。注意,当 贪婪的方式,客户选择,如果 客户是随机选择的。其他两个重要的客户必须符合纳入标准是车辆的容量和线路的最大持续时间不得超过。当形成(所有 ),客户是随机选择要添加在当前仓库的路线 。像上面提到的,一个客户/仓库添加一次,也就是说,一个平行的路由。这种策略一直持续到所有的客户都在一个路线。值得澄清的是,如果没有客户,满足所有上面提到的标准, 。在这种情况下,一个新的车辆开始使用的路线。

3.1.3。制造阶段

最后阶段的施工方法对应于工厂的生产决策。这一阶段的决策是在每个工厂的产品。这产生的问题可能被视为经典运输问题,不同的结构被认为是根据当前目标目标函数。例如,如果第一个目标函数被认为是,它的目的是制造产品的工厂运营成本较低。另一方面,如果考虑第二目标函数,它的目的是根据其生产能力平衡工作负载的植物没有关于操作成本。

因此,如果(3)被认为是以下辅助运输问题优化通过最大化策略来解决。 (定义的问题26)- (29日植物)试图减少运营成本,同时尊重植物的生产能力(见(27在每个仓库)和需求满足合并(见(28))。

如果(4感兴趣的)被选为目标函数,辅助问题必须适应这种方式,工作负载平衡。由此产生的问题提出了未来,是一个预定义的常数值。 (定义的问题30.)- (33)是优化通过最大化策略来解决。请注意,(31日)同样分配之间的生产工厂。

已经建立一个解决方案后,对目标函数计算相应的值。如果解决方案是构造基于成本的最小化,对应的值与负载平衡评估,反之亦然。

3.2。局部搜索方法

实现本地搜索方法试图提高构建解决方案的两个目标函数之一;也就是说,一个目标函数是随机选择的。本地搜索主要是表现在路由阶段与社区名字删除/插入和交换, 和 ,分别。社区可以考虑intradepot和interdepots运动。探索期间,最好的改进标准。认为运动是改编自描述的47),但他们为每个目标函数进一步解释。

如果第一个目标函数是作为指导函数(见(3)),然后 和 顺序是探索。首先, 被认为是,一个预定义的小数量()的客户提供更高的成本从每一个路线。然后,随机选择其中的一个客户是插入任何路线的最佳位置,不违反任何约束(车辆的容量或路线的最大持续时间)。特定客户可以插入路线相同的仓库或在不同的路线。如果插入过程中执行路线属于一个不同的仓库,涉及到仓库的综合需求的变化。因此,生产决定更新解决运输问题,最小化(26)受约束(27)- (29日)。这个问题的目标是最小化与生产过程相关的运营成本没有意识到工作负载平衡的植物。在其他情况下,如果合并仓库的需求保持不变,不需要更新生产决策。的探索 当所有的终止客户是插入一个路由。

在那之后, 探讨了。在这里,两个客户从不同的路线相互交换。一个交换其他的客户占据了完全相同的位置互换的客户,但在相应的路线。作为交换,可能会或可能不会修改合并涉及到仓库的需求。如果合并需求修改,然后定义的问题(26)- (29日)是优化解决。在其他情况下,制造阶段不需要更新。

现在,当第二个目标函数(见(4)被认为是描述。指导函数来改善当前的解决方案是(2)。为 ,客户从每条路径都是随机选择的。然后,这些客户将插入到路线(可能从不同的仓库),提高客户的需求仓库的工作负载平衡。注意,没有显著差异的路线相同的仓库中插入一个客户。因此,路线与相同的仓库是随机选择的。在这附近,生产决定必须更新后最好的改进进行了。(定义的问题30.)- (33)是最佳解决实现后者。的探索 适应在一个类似的方式相比,其他目标函数描述的一个。即客户之间交换路由但聚焦在工作负载平衡的目标。通过这样做,我们可以评估运动的便利。最好的交换进行了之后,定义的问题(30.)- (33)与制造阶段解决。

没有对目标函数进行的探索 和 ,我们测量的改善解决方案通过检查它是否包含在nondominated集()。一种改进的解决方案是包含在 ,如果没有解决方案,同时优于当前解决方案的目标函数。迭代的停止准则是一个预定义的数量没有更新集。

图流描述算法的步骤如图1。

4所示。计算实验和结果

执行计算实验测量了biobjective掌握算法的性能。一组十个实例之前文献中用于解决被认为是类似的生产布局规划问题。中使用的实例(70年]适应创建实例对所研究的问题。适应的情况下,收购成本忽略和标准化工作负载的大小的价值包括仓库和植物。为表示节3.1。1,的值和被随机定义的 和 。信息关于客户的数量,仓库,和植物如表所示1。

该算法实现了在微软Visual Studio 2012编码在c++中。的版本是12.6.1最大化策略用于解决辅助问题。个人电脑中的所有计算实验进行了英特尔(R)的核心处理器速度的2.60 GHz和4 GB的RAM。自从biobjective掌握在一些地区特性转化,每个实例解决了五次。表2总结了所有运行的结果。第一列显示了实例和第二列显示了平均nondominated解决方案的数量在五分。第三和第四列显示的最小和最大数量nondominated解决方案从所有的运行。最后一列显示了算法所需的平均时间(以秒为单位)解决每个实例。

从表中所示的结果2,它可以看出一个相对较少的nondominated解决方案被发现的算法(从(9)(28))。特别是,例如 ,少量的nondominated在每次运行解决方案被发现。相反,得到nondominated最多的解决方案,例如, 。同时,五年的十实例,最小和最大数量的nondominated解决方案非常相似,这表明该算法执行稳定(见实例 , , , ,和)。尽管nondominated解决方案获得的相对少数,后者的事实验证,该算法具有良好的性能。此外,注意,这个组合问题往往有一个相对少量的解决方案的帕累托前由于结构问题。

方便突出,计算时间很短的这种性质的复杂的操作问题。因此,停止准则可能会改变探索更多的解决方案,目的是增加nondominated解决方案的数量。

说明前面的近似帕累托测试实例,数据nondominated解决方案策划2- - - - - -11。nondominated集的运行有更多的解决方案是为每个实例绘制。在这些数据中,横轴表示目标函数的最小化总成本(见(3))和纵轴对应于负载平衡(见(4))。注意,与低成本解决方案往往是不平衡的(具有更高的工作负载中偏差);相反,一个解决方案高度平衡与更高的成本。

从数据可以看出2- - - - - -11的近似得到帕累托面前不覆盖所有的空间。一些地区没有nondominated解决方案。据(71年),这取决于建模方法对于平衡工作负载,可以找到更少数量的解决方案接近帕累托。他们测试了四种不同方案的工作负载平衡模型目标函数为生产配送车辆路径问题,结果表明,帕累托最优解的数量大幅变化。数量少的帕累托解时发现平衡约束建模为路线的总差异的旅行距离对预期的目标或平均值。注意,这是我们使用的方法模型偏差的工作负载分配给工厂和仓库。

例如,对于实例 , , ,和 ,nondominated解决方案非常极化。换句话说,有很多nondominated解决方案关于第一个目标和解决方案,支持工作负载平衡。但这两个目标之间的权衡触发一个不连续的帕累托。即小增量价值的第一个目标函数(轴),与第二个目标函数(轴相关联的值)显著降低接近于零。因此,帕累托前面是不连续的,这是常见的多目标组合问题[72年]。同时,几乎所有的情况下,近似的帕累托前凸,本研究强调困难的问题。

5。结论

在这篇文章中,我们介绍一个biobjective生产布局规划问题两个阶层垂直整合供应链。该模型考虑总成本的最小化和植物之间的工作负载平衡和仓库参与供应链。后者的目标一直在常用的车辆路径问题和制造系统。由于公司的垂直整合自然,平衡工作负载的设施是一项重要的性能指标。因此,导致了文学的介绍模型同时考虑这两种目标函数在一个生产布局规划问题。

由于所研究问题的复杂性,我们提出一个启发式方法基于知名metaheuristic把握得到一个近似的帕累托。掌握适应考虑施工期间目标函数和局部搜索方法。评估算法的性能,我们采用一组实例从文学用于类似的问题。然而,结果在文献中报道,对应于使用实例不能与我们相比结果由于各自考虑模型之间的结构差异。结果表明,帕累托前面是不连续的几乎所有的测试实例。根据(72年),这一事实是常见的组合biobjective约束导致不连续解空间的问题。帕累托的情况下近似面前不连续,nondominated解决方案极化的极端地区;即一个目标函数的解决方案非常好但是非常糟糕的其他目标函数(这可以从数据2- - - - - -11)。此外,获得近似的帕累托前面是几乎所有的测试实例和非凸,(说的71年),nondominated解决方案的数量取决于工作负载平衡的方式获得目标建模。建模在本文中,我们希望有一个工作负载与不偏离目标值(与同样平衡)。因此,帕累托面前不包括所有的解空间和不连续和凸是由于考虑的结构模型。

作为未来的研究,我们提出应用路径链接获得nondominated解决方案来验证近似帕累托前沿的不连续。如果没有显著增加的数量nondominated解决方案,我们可以通过实验得出结论不连续。此外,可以使用不同的建模方法来平衡工作负载(如[71年])。通过做后者,理论上我们可以评估他们的适当性和适用性生产经销问题考虑。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

前两个作者的研究部分由墨西哥国家科学技术委员会(CONACYT)授予sep - conacytcb - 2014 - 01 - 240814。第二作者也承认教授的专业发展计划与格兰特即/ 511 - 6/17/7425研究停留在他休假。

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