文摘

本文提供了新的稳定的相称的离散化结果分数阶连续时间LTI系统使用Al-Alaoui和Tustin离散化方法。新的图形,分析稳定/不稳定条件为离散时间系统获得通过Al-Alaoui离散化方案。在此基础上,分析使用Tustin-based方法驱动的离散时间系统的稳定条件。最后,离散系统的稳定性得到有限长度的近似Al-Alaoui和Tustin运营商进行了讨论。仿真实验证实了稳定的有效性测试。

1。介绍

稳定的连续时间分数阶系统的离散化是一个重要的问题在各领域的科学和技术,包括系统科学、信号处理、控制理论。在这个领域,我们有三个主要的离散化运营商可以为连续分数阶系统生成的离散时间同行,欧拉,Tustin, Al-Alaoui方法。有两个主要问题需要解决分数阶系统的离散化过程中。首先,这三个离散化方案导致理性的无限复杂性,离散分数阶导数的同行。因此,在实际应用的各种有限长度近似离散化运营商一直使用,包括最受欢迎的有限部分差异(FFD)近似在欧拉方法1,2)和有限长度的实现连续分式展开(CFE)方法在Tustin和Al-Alaoui方法(2- - - - - -6]。还提出了其他一些近似的论文数量/离散分数阶导数的方法7- - - - - -10]。

其次,众所周知,离散化过程影响稳定条件连续分数阶系统的离散时间同行11- - - - - -14]。此外,分数阶离散系统的稳定性条件取决于类型的操作符用于离散化的过程。这可以很容易地看到当我们比较稳定结果离散时间系统获得的”forward-shifted“欧拉算子(15,16)与经典的向后欧拉算子(13]。第一个结果离散分数阶系统稳定性分析领域的开发(11),他们只关心的充分条件。更完整的结果取得了积极离散分数阶系统的一种特殊情况(17- - - - - -20.]。简单,分析、必要和足够的稳定性结果离散时间系统已经获得了两个“forward-shifted”和向后欧拉运算符(13,15,16]。具体数值稳定性结果基于欧拉离散分数阶系统扩张已经在(21- - - - - -23]。另一方面,众所周知,有限长度的实现欧拉和Tustin运营商影响底层的离散时间系统的稳定性条件(2,11,13,15]。

在本文中,我们介绍简单,分析驱动或纯粹的分析获得的离散时间系统稳定性测试Al-Alaoui操作符的使用。然后使用这些结果提出基于离散系统的稳定性试验Tustin运营商,可以视为Al-Alaoui方法的一个特例。几乎同时,面向结果的使用有限长离散化实现Tustin的方法(2)扩展到有限长度近似使用Al-Alaoui方法(24]。

本文组织如下。在介绍部分1相称的稳定性问题的离散分数阶连续时间系统,系统表示基于欧拉,Tustin, Al-Alaoui discretizers节中给出2。部分3带来了新的稳定涉及两个图形和分析标准的结果,这是论文的主要结果。此外,部分3采用分析稳定性判据对Tustin-based Al-Alaoui操作符。讨论基于有限长离散化近似的稳定的Al-Alaoui运营商提出了部分4。模拟部分的例子5确认的有效性提出了稳定的结果。部分5总结了论文的成果。

2。预赛

考虑一个线性连续时间状态空间系统的相应的分数阶 所描述的 在哪里代表一个分数阶导数的秩序 ; , , 的状态、控制和输出向量,分别;和 , ,和 系统矩阵,和分别是输入和输出的数量。这里,将分数阶导数所描述的三个不同的表征,包括卡普托,Riemann-Liouville或Grunwald-Letnikov定义。但不管具体的分数阶导数的定义,假设零初始条件(1),这是 ,对于任何 ,的拉普拉斯变换系统(1)如下:

在具体的输出情况下,当 ,系统的(2由传递函数)可以被描述 在哪里和coprime多项式在变量和 , ,和 , ,的极点和零点吗 ,被称为 - - - - - -波兰人和 - - - - - -分别为0(比较16])。请注意, - - - - - -波兰人 , ,状态矩阵的特征值吗 。

在离散化过程中,我们寻求一个离散时间的分数阶系统(2)的形式 - - - - - -变换 在哪里将被用作一个离散时间模型的 。另外,对于输出的情况,我们可以获得一个离散分数阶传递函数的形式 与 , ,和 , ,是 - - - - - -波兰人和 - - - - - -分别为0,系统中定义的(3)。三个主要使用discretizers是离散化的功能 ,即欧拉、Tustin Al-Alaoui运营商。欧拉算子中使用两个版本,即向后欧拉算子 或“forward-shifted”欧拉 与采样周期。Tustin操作符的形式

Al-Alaoui操作符(25,26)是通过一个假设集成规则实现的加权和Tustin和向后欧拉规则。这导致Al-Alaoui操作符(25,26] 在哪里 加权系数。

已经提出了几个文件,选择离散化操作符的离散化过程中影响离散时间系统的稳定性条件(11,13,16]。例如,为代表的两种欧拉方法(6)和(7)导致完全不同的离散系统的稳定性结果。详细的使用获得的离散系统的稳定性分析中的两个欧拉运营商提出了(13,15,16]。

在这篇文章中,一个新的稳定性分析系统获得的离散化过程使用Al-Alaoui操作符将。

3所示。主要结果

首先,我们引入一个图形稳定方法,基于Al-Alaoui算子。

定理1。离散分数阶系统(4)或(5),在(9),当且仅当所有的渐近稳定 - - - - - -波兰人的系统, ,在不稳定区域吗 在哪里 的分数阶系统(4)或(5), 是加权系数,函数的参数吗 。

证明。考虑到离散分数阶系统(4)或(5),在(9)。考虑到Al-Alaoui操作符(9)是亚纯,对稳定区域 - - - - - -波兰人取决于函数的等高线 , (13,15]。因此,绑定的轮廓稳定/不稳定区域如下: 在哪里 , ,和 。现在,用和(12)入圆方程的中心观点 ,我们获得 因此,对于 ,内轮廓 满足圆方程的中心 和半径 。因此,我们可以编写相同的内轮廓作为另一个参数的函数 ,也就是说, 最后我们可以描述的稳定/不稳定轮廓Al-Alaoui操作符(12)的函数作为 的下一个步骤遵循定理1的证明(13]。注意,系统的特征方程(4)或(5) 渐近稳定当且仅当所有的元素吗 , ,不产生不稳定的波兰人吗 - - - - - -域。会计,是亚纯函数(同态在 )和轮廓在(16)是一个简单的封闭轮廓在复平面,我们可以证明稳定的元素 , ,基于柯西的论点原理和Rouche定理(27]。
现在,考虑简单的封闭的轮廓如图1其内部域 这样 和 。然后,圈数 的关于 , ,重要的次数曲线风在点是 在哪里 和和表示0和波兰人的数字内轮廓 ,分别。自从转换在0(见(单极9系数)是0。因此,圈数 将描述一些不稳定的因素的 。轮廓基于(16),并呈现在图2。现在:
( )假设系统渐近稳定。然后,所有元素的所有波兰人 , ,超出了内部域的轮廓 。因此, 和所有 , ,以外的地区有界的 ,这可以被描述为(10)。
( )假设所有特征值 , ,超出了不稳定区域(10)。然后,所有特征值超出了轮廓和圈数 。因此,元素 , ,不产生波兰人在内部域的轮廓 。所以这个系统是渐近稳定的。这就完成了证明。

稳定的图形演示/不稳定区域如图3。

从图可以看出3这取决于权重参数稳定区域Al-Alaoui的方程。为 ,我们获得不稳定区域的向后欧拉算子(比较[13])和增加导致不稳定区域的扩大。

定理的基础上1,我们可以提供一个新的分析结果如下。

定理2。离散分数阶系统(4)或(5),Al-Alaoui所描述的操作符(9), ,是不是渐近稳定当且仅当存在 在哪里和模量和参数,分别的 按系统的 Al-Alaoui权重系数。

证明。考虑到稳定/不稳定边界轮廓是由(15),它可以在形式的 并引入合成参数 ,也就是说, ,我们获得 请注意,(21)提出了模量作为函数的参数 。还请注意, ,这个函数重新定义在 。为 - - - - - -系统的极点 , ,的 - - - - - -波兰人在不稳定区域稳定/不稳定的地区(见定理1)和系统渐近稳定。
( )假设系统渐近稳定。然后,至少一个 , ,内部或在于定理描述的不稳定区域的束缚1。自约束函数重新定义在 ,不稳定特征值的参数必须是 。为 , ,的 - - - - - -波兰人在不稳定区域的模量th - - - - - -极低(或等于)比模量稳定/不稳定边界轮廓在(21)相同的角度 。因此,至少有一个 - - - - - -杆传递条件(18)。
( )假设一个 - - - - - -极 , ,通过系统的条件(18)。然后,考虑到稳定/不稳定约束方程(21), - - - - - -钢管内(或约束)的不稳定区域。考虑到定理1,这个系统不是渐近稳定。这就完成了证明。

定理的基础上2,我们可以立即呈现以下。

定理3。离散分数阶系统(4)或(5),Al-Alaoui所描述的操作符(9), ,是渐近稳定当且仅当 在哪里和模量和参数,分别的 按系统的 Al-Alaoui权重系数。

证明。直接从定理2。

定理的结果2和3零加权系数的Al-Alaoui操作符( )专门为那些落后Euler-based离散化方案提出了(13]。结果的基础上,我们可以很容易的稳定性判据Tustin-based离散化方案。

定理4。离散分数阶系统(4)或(5),Tustin所描述的操作符(8), ,是渐近稳定当且仅当 在哪里的论点吗 按系统的。

证明。考虑到稳定性定理3。会计,Tustin-based Al-Alaoui方法的方法是一个特例 ,我们到达以下模数条件: 考虑到 然后我们有 , ,我们到达条件(23)。

备注1。请注意,定理的结果4连续时间系统的相同(28,29日]。因此,使用Tustin-based离散化方案不影响离散时间系统的稳定性条件。然而,Tustin-based离散化不如对近似精度(10]。

备注2。定理的结果2和3表明,离散化的一个稳定的连续时间系统使用Al-Alaoui-based方法保证了离散时间系统的渐近稳定性。此外,对于不稳定的连续时间系统,我们可以选择这样一个采样周期和加权系数导致一个稳定的离散时间系统。

4所示。有限长离散化操作的实现

重要的是“理想”Al-Alaoui和Tustin运营商不适用在实践中由于无限长的离散化方程的实现。因此,在实际应用中,我们近似上述两个运营商利用理性有限长离散传递函数。通常,通过连续近似得到分数膨胀(CFE)方法,但在Tustin-approach,缪尔递归也可以应用(10]。不管近似法,合理的离散传递函数的估计值来得到如下:

在这种情况下,轮廓的近似在复平面(见[2,24])

现在,如果曲线(27)是一个简单的复平面闭合曲线,然后对稳定/不稳定区域 , ,彼此分离的轮廓。的稳定/不稳定区域 , , ,和各种实现长度提出了在图4。

5。仿真例子

例1。考虑一个相称的连续时间分数阶状态空间系统(1), 和 。该系统有三个 - - - - - -两极,即 和 。注意,因为 ,系统是不稳定的。离散系统的使用Al-Alaoui与采样周期的方法 和四个不同的权重系数值 ,0.6、0.7和0.8。离散系统的稳定性能设计的定理的使用3展示在表1。此外,表1显示了Tustin方法稳定性结果Al-Alaoui方法的一个特例 。的 - - - - - -波兰人与稳定/不稳定区域是描绘在图5。
从表可以看出1尽管连续时间系统是不稳定的,Al-Alaoui法与加权系数 和 会导致稳定的离散时间系统,但对于权重系数 和 ,离散时间系统仍然不稳定。值得一提的是,离散时间系统的稳定/不稳定与不稳定有关 - - - - - -波兰人和 。自 - - - - - -极是稳定的,离散时间总统仍将稳定的对吗 。的结果表1为Tustin-based离散化方案确认定理的结果4。自 - - - - - -波兰人和在不稳定区域吗 和 和内部的不稳定区域 和 ,的结果图5和定理1完全确认表中指定的稳定性结果1。

例2。考虑一个相称的连续时间分数阶状态空间系统(1), 和 的特征值 。请注意,系统是不稳定的原因 。离散系统的使用与采样周期Al-Alaoui运营商 和两个不同的权重系数值 和0.8。离散系统稳定性的结果展示在表2。
从表可以看出2离散时间系统是稳定的 但是不稳定 。

例3。考虑分数阶连续时间系统 与 和三个 - - - - - -两极,即 和 。请注意, 和系统是稳定的。该系统是离散采样周期 和Al-Alaoui的近似算子(26), 和不同的实现长度 和5
稳定地区和 - - - - - -系统介绍了图的两极6。
从图可以看出6,虽然原来的系统是稳定的,离散的利用有限实现Al-Alaoui运营商是不稳定的 和稳定 。因此,与无限长的Al-Alaoui运营商,在一些特定的情况下,有限长度的Al-Alaoui实现稳定的连续时间系统的离散化会导致一个不稳定的离散时间系统。

在上面的例子中给出的结果都被各种BIBO稳定性的实验证实。

备注3。Matlab-scripted文件上面的例子可从web: doi:10.5281 / zenodo.1414176。

6。结论

本文提供了新的、简单,图形和分析稳定/不稳定条件连续时间的分数阶系统离散Al-Alaoui和Tustin运算符的使用。首先,Al-Alaoui算子理论稳定条件得到图形,然后使用简单,分析稳定性测试Al-Alaoui和Tustin方法。最后,通过使用有限长离散时间系统的稳定性近似Al-Alaoui和Tustin discretizers讨论。仿真例子充分证实原来的稳定结果。

重要的是分数阶稳定性分析本文提出基于状态矩阵的特征值,至于integer-order系统。这个方法是非常有用的;然而,在高维度的状态矩阵,特征值可能导致数值计算问题。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。