文摘

本文提出一种新颖的聚类方法,基于quasi-consensus动态线性高阶多重代理系统。图拓扑与选择的多重代理系统,每个代理对应一个顶点。为了揭示集群结构,属于类似的代理集群将聚合在一起。建立理论基础,充分必要条件检查小组共识的成就。两个数值实例的说明我们的方法的结果。

1。介绍

迅速增加的规模巨大的数据和信息,大数据探测潜在的知识,如数据结构和某些未知的相关性,一直吸引着越来越多的学者。作为数据挖掘的一个重要技术,集群已经被广泛应用于各种实际领域,如语言学(1),骨微体系结构分析(2)、社区检测(3],风力发电预测[4,图像分割5,6),甚至基因表达研究[7]。

集群是关于分配特定的数据点到不同的集群,为了突显出相似的数据点被组织在同一集群,同时反映出不同集群之间的区别(8]。在过去的几十年中,不同的聚类算法和标准已经充分发达,例如,规范化的削减(6和min-max削减9)算法,图像分割算法(10),基于优化算法的模块化功能(11),和谱聚类算法12]。

除了上述文献,提出了一些聚类算法的研究都是建立在某些网络的动力学行为,例如,随机游走算法和网络同步算法。沿线随机随机漫步意味着改变,每一步新的最近的顶点。通过随机漫步算法(13),给定的聚类结构网络拓扑可以探测的帮助下生成的随机漫步流动。相反,网络同步算法站从另一个角度14),认为协调不同顶点之间的信号。通常采用某些Kuramoto振动器,这样的同步振动可以实现在同一组。

在本文的研究,提出了一种新颖的聚类方法,是建立在观察动态可替换主体系统的运动。具体来说,为了辨别不同关系的顶点在一个给定的网络,选择的动态多重代理系统应与相关的网络拓扑中,每一对之间应该有一个一一对应的动态代理和顶点。代理在一个共同的空间,持续运动物理或抽象。的顶点对应隶属于任何特定的集群应该总随着时间消逝。最后,集群结构将被自动发现,根据代理立场的形成。

类比上面讨论的话题,通常称为组织控制理论领域的共识。于和王关心这一现象在早些时候15]。胡锦涛等人讨论组共识两类动力可替换主体系统,分别与混合动力系统协议(有不连续传输最近的群体之间的信息(16])和系统与不同团体由不同类型的代理(17]。实现同步的耦合振动器,苏等人认为自适应不约而同地控制策略(18和多个领导人的情况19]。谢et al。20.解决一阶系统的群体共识的问题。其他最近的相关研究包括(21- - - - - -23]。

当前工作的新颖性与上述结果在文学在于几个观点。据我们所知,在现有的研究,预期的集群形成事先规定,主要关注特定信息的综合传输协议为每个组,以便代理分配给该集团可能最终聚合。相比之下,在当前论文的框架,完全应该由集群分布网络本身的拓扑结构,不需要任何事先的必备知识。在这方面,当前工作的好处是显式的,尤其是在其潜在的实用性。

除了引入聚类的新方法,本文的主要贡献是提出了一个标准检查是否高阶LTI(线性定常)多重代理系统可以达到共识,推广了现有的共识的成就(著名的充分必要条件24- - - - - -28]。事实上,现有的条件达成共识是一个特定条件的群体决策共识这里介绍的实例。

除了上述之外,当前的论文提供了一个范例使用不稳定的动力系统,然而,相比之下,不稳定系统控制理论通常被认为是无关紧要的。

理论研究动态可替换主体系统已经广泛领域的控制理论,尤其是在共识的问题。然而,这些理论相对应的应用程序实例,可以支持他们仍然稀缺。我们探索尝试介绍一个实用的场景的数据分析领域,在动力促进应用,验证,或浓缩某些相关研究。

当前论文的其余部分持有以下组织。介绍了预赛和模型公式部分2。节3详细阐述了聚类方法,基于理论分析条件组共识。部分4充分体现了技术由两个仿真案例。最后,本文的结论部分5。

2。模型制定和预赛

网络的拓扑结构为集群可以表达的 ,顶点集和加权边集。被认为是一个图表的阶,无向和连接。集群是分配的最终目标的元素发散从属关系,按照拓扑结构。

对于这样一个目的,一个过程植根于观察动态的运动可替换主体系统,自动算出集群的形成。过程由以下两个基本步骤。

步骤1。定义一个动态多重代理系统如下并附上有关网络拓扑,每个代理与一个特定的顶点。 在哪里 表示状态的代理这是朝着赋范状态空间吗, 是重量表示顶点之间通信链路的力量和,的功能和表达self-dynamics和动力interagent信息传输协议,分别。

步骤2。确定合适的初始值 然后让动力系统自主运作。

随着时间的流逝,群体共识或quasi-consensus清单,只要的总体设置动态多重代理系统的结构和参数(1)是可行的配置。最后,聚类结果可以通过观察得出的结论形成的设置代理状态中的状态空间。

下面的定义制定集团共识本文中讨论的概念。

定义1。动态的多重代理系统(1),如果 然后代理和达成一项协议。一个顶点组 ,如果 的代理和达成协议,然后系统(1)到达共识在。如果达到共识 分别与 然后整个动力系统到达集团的共识。

备注2。假设图是无向和连接仅仅是由于集群的实际需求并不是由于任何技术上的限制。这可以理解通过后讨论。

3所示。团体动力学线性定常系统的共识

在本节中,聚类过程的详细阐述了采用高阶LTI多重代理系统,称为 在哪里 表达了状态向量的代理我和矩阵 表达的LTI self-dynamics代理和最近的代理之间的信息传输协议,分别。技术成功地获得一个合理的聚类结果取决于适当的选择值矩阵和。

为此,综述了一些以前的结果一致。

引理3(见[28])。动力LTI高阶系统(4),如果它达到共识,然后,当 ,任何代理规定的运动方程 。

引理4(见[29日])。拉普拉斯算子的矩阵一个有向图正好有一个零特征值 敌我识别包括一个生成树,与相应的特征向量 。除此之外,其余的所有特征值 有积极的真实部分。

推论5。拉普拉斯算子的矩阵一个无向图正好有一个零特征值 敌我识别相关的特征向量,连接吗 。除此之外,其余的所有特征值 。

引理6(见[28])。动态的多重代理系统(4), 作为有向图的拉普拉斯算子矩阵的特征值,如果不是赫维茨敌我识别系统达到共识(1)图的拓扑结构包括一个生成树;(2)所有的矩阵 赫维茨。

引理3意味着如果一个代理达到共识的某些子集,然后这个子集的整体运动,最终将由矩阵一个。只要一个赫维茨,不同的运动一致的独立子集将收敛到状态空间的起源,即使没有任何的信息交换。因此,为了区分代理之间不同的关系,矩阵一个不应该赫维茨。事实上,它是更可取的一个不稳定,以避免临界稳定的可能性,这样不同的集群将相互偏离。

定理7。考虑到动力系统(4)。假设拉普拉斯算子矩阵的谱有向图的生成树 与一系列的矩阵 不是赫维茨和 赫维茨。两个代理和 (或和,如果 敌我识别)达到协议th行产品的 具有配置: 在哪里 代表任何可行解的矩阵方程 代表了拉普拉斯算子矩阵满秩矩阵变换到类似的约旦标准型 和“”表示任意值。

证明。如果堆栈向量定义为美国的代理 然后可以描述系统动力学 让 ;然后(12可以转换成) 相当于 ,“”表示可能无限期矩阵或零。定义辅助向量 和堆放形式 很明显, 和 用(9收益率)上面的方程 由此可见, 根据(14), ;因此 因为 赫维茨。同时, 持有,导致 ,因为 赫维茨和 。可以递归地进行到类似的分析是派生的。因此,可以得出结论 由于结构的事实上, ,第一个的极限n条目的向量 是零和的极限条目索引 来 是无限的,而剩余的条目都是零的极限。换句话说, 方程(19)可以写成 根据结构,代理和 达成协议意味着左侧的条目(22)索引 来往往接近零。也就是说, 如果 ,然后(23)是正确的,因为结构的(21)。相反,如果 ,注意到这一事实协议是独立于初始状态和有关的结构(21),我们可以得出这样的结论:

注8。定理7可以验证任意两个代理之间的协议,因为索引任务是微不足道的一个网络。用这个定理,整体肖像可以很容易地推导出集团的共识。

备注9。为了集群应用程序,只有无向图应该担心。然而,定理7更广义自地址可以直接弧的系统图。

备注10。矩阵可以发现通过求解矩阵方程(9), 与表达一个Moore-Penrose逆30.单数的拉普拉斯算子的矩阵。此外,矩阵由广义特征向量构成的。因此,简单的计算矩阵乘积 。

备注11。两个矩阵和来自拉普拉斯算子矩阵。因此,如果只是的价值是明确的,聚类的结果仅仅取决于图形的拓扑结构。

评论12。定理7是一座桥连接的概念的共识与多样化nonconsensus病例。的值越小自由度越高,矩阵会拥有,为了确保协议。这里有两个极端:如果 ,那么整个系统达到一个共识,任何的价值是;相对的,如果所有的矩阵 不赫维茨,那么不应该有协议。实际上,现有的知名标准检查共识(24- - - - - -28(概括为引理6)可以被看作是一个特定的情况或定理的推论7当 。

4所示。模拟集群上

本节将例证提出的聚类技术由两个简单而典型的仿真实例。

例1。考虑一个图在图1。
加权邻接矩阵 相关的拉普拉斯算子矩阵 和频谱。设置相应的多重代理系统 在这种情况下, 和 是不稳定的, 赫维茨。因此, 。收益率, 因此, 基于定理7,它是明确知道代理1 ~ 3达成共识;同时代理4 ~ 6到达另一个共识。因此,集群的形成显然是展出。代理的运动的二维状态空间图2。

例2。在第二个例子中,考虑如图所示的图形3。
邻接矩阵是 拉普拉斯算子的矩阵 与频谱 。让相关的代理LTI二阶系统 在这种情况下, , 是不稳定的,而 赫维茨。尽管如此, 。它可以很容易地派生 作为一个结果 根据定理7,只有两双的代理可以达成协议,1和2分别是代理和代理5和6。实验中获得的状态轨迹图所示4。
尽管并不是所有的代理可以实现精确的群体共识在这种情况下,从图4,六个代理仍然可以分化为两个不同的集群,实际上,因为两个集群之间的分歧的速度要快得多的速度散度任何集群内部的特工,在一个特定的时间跨度。的变化区别的代理商见图2和图35,这是 。

从图5,一个人可以清楚的变迁代理3和其他代理的区别在同一集群是复杂的,包括两个阶段: 有一种倾向,协议;但是,后来,变成一个离职的倾向。这可以通过比较直观的解释和例子1。

让我们检查代理3的动力学方程;也就是说, 向量场是由三个组件如上所示:自治力,离最近的邻居互动力量相同的集群,并从其他集群互动力量。在第一阶段的例子2的影响,第三部分是相对较弱的,因为小的价值;因此美国的代理属于同一个集群,也就是说,1,2,3,往往达到共识;然而,随着时间的流逝两个集群之间的距离增加,第三个组件的影响也不断增加,最终使得减少第二个组件和泪水代理3离其最近的邻居1和2。相比之下,在例子1精确的组织可以达成共识,因为互动从第三组件是平衡强加于每个代理。

5。结论

小说介绍在当前的聚类方法,基于群体共识或quasi-consensus动力系统的运动。为了将顶点集合分类到不同的簇,一个特定的动态多重代理系统是连接到图形处理,与每个顶点与代理联系在一起。如果正确地配置动力系统,那么代理隶属于相似集群应该逐渐聚集在一起,他们的共同状态空间;与此同时,不同集群相互偏离。除了聚类的方法,介绍的主要贡献是标准检查是否达成的共识可能是一组高阶线性可替换主体系统,这是一个充分必要条件概括前面的著名的共识。事实上,的范围可能的效用条件组共识是广泛的,超出了集群的场景被处理。表现出了两个典型的仿真实例来说明聚类方法的过程。潜在的未来的扩展,主要有几个明确的方向:)的方法可以用来处理各种现实世界的应用,如图像分割、心电信号分析、自然语言和分类;()进一步探索群体共识的机制或者quasi-consensus可以进行,和一个更直接的联系组共识,网络的拓扑特征可能获得;()的模式多样化nonconsensus运动可以深入研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由国家自然科学基金(NNSF)中国(拨款61374054和61374054),由基础研究基金为中央大学(拨款31920160003和31920160003),并通过程序对年轻人才的国家民族事务委员会(SEAC)中国格兰特(2013-3-21)。