文摘
我们研究解决部分弗雷德霍姆积分微分的方程。修改版本的分数幂级数方法(RPS)提出了提取模型的近似解。rp方法的组合广义泰勒级数部分和剩余函数。显示该方法的效率,提出了数值结果。
1。介绍
部分弗雷德霍姆积分微分的方程有几个在科学和工程应用。封闭形式的此类问题的精确解是很难找到,在大多数的情况下是不可用的。为此,研究人员正在寻找这些问题的数值解。Irandoust-Pakchin和Abdi-mazraeh1)对解决部分型积分微分方程利用变分迭代法与非局部边界条件。Adomian分解方法用于(2,3)在使用同伦摄动法(4,5]。Wazwaz [6- - - - - -8]研究了弗雷德霍姆积分方程的形式 在哪里和是常数,是一个参数,是一个光滑函数所需的讨论, 是内核。在本文中,我们研究上述问题的概括。我们研究下面的类的部分弗雷德霍姆积分微分的方程形式 受 分数阶导数(2)是卡普托意义上。如果 我们不需要初始条件(3),我们返回的问题讨论Wazwaz [8]。在接下来的定义和定理,我们写卡普托导数的定义以及我们使用的能量规则。更多细节的几何和物理解释,卡普托部分衍生品,看到9]。
定义1。为超过最小的整数,卡普托部分衍生品 被定义为
定理2。卡普托分数阶导数的幂函数满足
定义3。Riemann-Liouville部分积分算子的秩序α的
,被定义为
在哪里是真正的空间功能
,这样,对于每个,存在一个实数
这样
在哪里
此外,
如果
在哪里
。我们提出以下定义和使用分数幂级数的一些性质。可以找到更多的细节在10]。
定义4。幂级数展开的形式 在哪里 ,叫做分数幂级数FPS。 。
定理5。假设有一个分数FPS表示 的形式 如果 ,是连续的,然后 。
定理6。让 和 为 在哪里 。然后,
定理7。让 , ,可以区分 关于为 在哪里 然后,
定理8。让 在 在哪里 。然后,提醒满足
本文组织如下。的描述修改分数幂级数方法(MFPS)近似部分弗雷德霍姆积分微分的方程问题(2)- (3)提出了部分2。几个算例讨论了部分3。在部分给出结论和结束语4。
2。MFPS方法的算法
考虑以下的部分弗雷德霍姆积分微分的方程的形式 受 使用MFPS方法,解决问题(2)- (3)可以写分数幂级数形式 获得值的近似上述系列(14),th截断系列写在表格 自 我们重写(14), 在哪里 被认为是第0个可机读护照近似解的 找到MFPS-coefficients的值 ,我们解决分数微分方程 在哪里是th剩余函数,定义为 确定系数在扩张(15),我们替代第一rp近似解 到(18) 然后,我们解决 得到 找到,我们用第二rp近似解 到2日剩余函数这样 然后,我们解决 得到 找到,我们用第三rp近似解 到3日剩余函数这样 然后,我们解决 得到 找到,我们用第四rp近似解 到4日剩余函数这样 然后,我们解决 得到 使用类似的论点,我们发现 因此, 为 。
3所示。数值结果
在本节中,我们提出三个例子展示该方法的效率。我们使用Mathematica软件来生成结果在这一节中。
例1。考虑以下部分弗雷德霍姆积分微分的方程: 受 确切的解决方案是 使用相同的参数描述在前一节中,我们发现 因此, 这是确切的解决方案。
例2。考虑以下部分弗雷德霍姆积分微分的方程: 受 确切的解决方案是 使用相同的参数描述在前一节中,我们发现的前几项 继续在这个过程中,我们发现 因此,如果 对于一些正整数, 因此, 这是确切的解决方案。
例3。考虑以下部分弗雷德霍姆积分微分的方程: 受 确切的解决方案是 使用相同的参数描述在前一节中,我们发现前几项 继续在这个过程中,我们发现 因此, 这是确切的解决方案。
4所示。结论和结束语
在本文中,我们采用MFPS方法处理部分弗雷德霍姆积分微分的问题。中显示的可靠性的方法处理这些病态问题。值得一提的是,我们得到了精确解在上面的三个例子。我们测试散文的方法,我们得到了非常准确的结果。虽然可机读护照方法不常用的此类问题,这让我们非常准确的结果。这种技术可以扩展到其他应用科学和工程。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
作者也想表达自己的真诚感谢阿拉伯联合酋长国大学研究事务的财政支持批准号确定+ 21。