一个新的3 d自动连续系统有两个孤立的混沌吸引子拓扑的马蹄铁

文摘

基于三维自治连续混沌系统,提出了一种新的3 d自动连续混沌系统,还有混沌吸引子共存的3 d自动连续混沌系统。此外,没有重叠之间的混沌吸引子共存;即有两个孤立的混沌吸引子(本文称为“积极的吸引子”和“消极的吸引子,”职责。)。“积极的吸引子”和“负吸引子”依赖于初始点之间的距离(初始条件)和不稳定平衡的点。此外,通过拓扑马蹄铁理论和数值计算,这个3 d自动连续系统的拓扑马蹄铁,和获得的拓扑熵。这些结果表明,混沌吸引子出现在新的3 d自动连续系统。

1。介绍

一个非常有趣的现象,在非线性系统混沌的可能性。混沌系统的一些典型特征包括不规则高、不可预见性,和复杂性1,2]。1963年,第一个混沌吸引子在一个光滑的3 d自动连续系统由洛伦兹发现,被称为洛伦兹混沌系统(3]。作为第一个混沌模型,洛伦兹系统揭示了复杂和非线性动力学系统的基本行为。1999年,陈和Ueta报道另一个混沌吸引子在一个平滑的三维自治名叫陈混沌系统的连续系统(4),不过不是洛伦茨拓扑等价的。之后,卢和陈仔细讨论了陈3 d Lorenz混沌系统和三维混沌系统,并在2002年发现了另一个混沌吸引子,叫做陆三维混沌系统(5]。陆三维混沌吸引子连接三维洛伦茨吸引子和3 d陈吸引子,代表了从一个过渡到另一个。此外,研究混沌系统吸引了越来越多的关注在过去几十年里因其巨大的应用在许多领域像安全通信6),数据加密(7)、电力系统保护(8),直流电机控制8- - - - - -10),水流动力条件(11],等等12- - - - - -18]。

另一方面,混沌吸引子共存已报告在许多非线性系统近年来(19- - - - - -23]。在[20.,21),发现混沌吸引子共存的一些4 d光滑系统,还有混沌吸引子共存之间的重叠。在[22],Kengne等人报道了一个简单的3 d自主反射系统与多个吸引子;的混沌系统22陆)属于广义混沌系统的家庭。在[23),范教授等人发现小说中的混沌吸引子共存3 d no-equilibrium自治混沌系统,还有混沌吸引子共存之间的重叠。的混沌系统23陈)属于广义混沌系统的家庭。然而,很少有结果在混沌吸引子共存的关系和初始条件。

出于上面的讨论中,一个新的3 d自动连续混沌系统有两个孤立的混沌吸引子(两个断开连接的混沌吸引子)报告。一些基本的动力学行为耗散等新混沌系统的李雅普诺夫指数谱,得到了分岔图和相图。它可以发现这个新的混沌系统有两个孤立的混沌吸引子或两个断开连接的混沌吸引子(名为“积极吸引子”和“负吸引子”),这取决于初始点之间的距离(初始条件)和不稳定平衡。“积极的吸引子的必要条件”或“消极的吸引子”。此外,马蹄铁和熵三维混沌系统中还讨论了通过拓扑马蹄铁理论和数值计算。

我们的纸是组织如下的轮廓。节2,一个新的3 d自动连续混沌系统是解决,和一些基本的动力学行为的产生新的混沌系统。节3马蹄铁和熵三维混沌系统的调查。节4,结论。

2。一个新的3 d自动连续混沌系统

通常情况下,3 d自动连续混沌系统可以被描述 。在这里, 状态向量, 的非线性项3 d自动连续混沌系统,和常数矩阵 是由线性三维自治混沌系统的一部分。结果显示(24]报道Vanecek Celikovsk, 3 d自动连续Lorenz混沌系统满足 陈,3 d自动连续混沌系统满足 陆,3 d自动连续混沌系统满足 。一个可以获得的混沌系统22)满足 ,混沌系统(23)满足 。在本节中,一个新的3 d自动连续混沌系统,满足 将讨论。

陆三维混沌系统(5描述如下: 在哪里 , , , 。

现在,基于陆三维混沌系统(1),一个新的3 d自动连续系统,满足 提出,显示如下: 在哪里 。第二个和第三个方程系统(2)类似于系统(第二个和第三个方程1),分别。但是,第一个方程系统(2在系统(不同于第一个方程1)。很明显, 在系统(2)。因此,系统(2陆)是不同的三维混沌系统(1)。

它很容易产生 。因此,新系统(2)是一个耗散系统,经验或开发吸引子。

首先,系统的李雅普诺夫指数谱(2)对参数可以通过数值计算,这是显示在图1。

根据图1最大李雅普诺夫指数是正的 , , , , 。因此,混沌吸引子出现在系统(2合适的系统参数 。

现在,设置参数 ,五个不稳定平衡系统(2) , , , , ,分别。李雅普诺夫指数是 , , ,分别。李雅普诺夫维度是 ;这个结果意味着系统(2)是分形的。因此,混沌吸引子出现在系统(2)参数 。通过数值计算,它可以发现有两个孤立的混沌吸引子,这依赖于初始条件。大量数值计算之后,一个混沌吸引子的取决于初始点之间的距离和不稳定平衡点( , , ,和)。一些结果如下所示:

(1)当初始点 关闭不稳定平衡点或 ,新系统(2)具有相同的混沌吸引子。这吸引子被命名为“积极的吸引子”,指 。一个“积极的吸引子”的必要条件 。

(2)当初始点 关闭不稳定平衡点或 ,新系统(2)具有相同的吸引子。这吸引子被命名为“负吸引子”本文指 。一个“负吸引子”的必要条件 。

接下来,选择一些初始条件,例如。

例1(起始点关闭不稳定平衡点)。让初始条件(2 2 2)。这个初始点和不稳定平衡点之间的距离 , , ,和是1.8464,6.7420,6.9944和7.0215,分别。因此,起始点是封闭的,不稳定的平衡点 。因此,新系统(2)“积极的吸引子”,如图所示2。

例2(初始点关闭不稳定平衡点)。让初始条件(−2−2 2)。这个初始点和不稳定平衡点之间的距离 , , ,和是6.7420,1.8464,7.0215和6.9944,分别。因此,起始点是封闭的,不稳定的平衡点 。因此,新系统(2)“负面吸引子”,这是显示在图3。

例3(初始点关闭不稳定平衡点)。让初始条件(3 3−−2)。这个初始点和不稳定平衡点之间的距离 , , ,和是5.6257,7.3097,0.7266和9.2092,分别。因此,起始点是封闭的,不稳定的平衡点 。因此,新系统(2)“积极的吸引子”,如图所示4。

例4(初始点关闭不稳定平衡点)。让初始条件(−3 3−2)。这个初始点和不稳定平衡点之间的距离 , , ,和是7.3097,5.6257,9.2092和0.7266,分别。因此,起始点是封闭的,不稳定的平衡点 。因此,新系统(2)“负面吸引子”,这是显示在图5。

数据显示2,3,4,5,我们可以获得新系统(2)有两个孤立的混乱的区域:一个被命名为“积极的吸引子”,另一个是名为“负吸引子”。值得一提的是,还有两个孤立的混沌吸引子的任何其他参数 。例如,我们 ;系统的李雅普诺夫指数(2) , , ,分别。在新系统(两个孤立的混沌吸引子2)如图所示6,初始条件的“积极吸引子”和“负吸引子”(3 3−−2)和(3−3−2),分别。

此外,让 ;系统的李雅普诺夫指数(2) , , ,分别。所以,没有混沌吸引子,周期性的轨道图所示7。

最后,变量的分岔图和对参数显示在图8。它可以观察到,分岔图和李雅普诺夫指数谱一致。

备注1。显然,陆混沌系统(1)和系统(2摘要)变换下是不变的 → 。然而,几何图形的Lu混沌系统的混沌吸引子(1)和系统(2)有很大的不同。首先,对于一个给定的初始条件,状态变量陆混沌系统(1)可以大于零或小于零。相反,状态变量在系统(2)只能大于零或只能小于零。其次,对于任意的初始条件,状态函数陆混沌系统(1)只能大于零。相反,状态变量在系统(2)可以大于零或小于零。

3所示。马蹄铁和新混沌系统的熵(2)

首先,一些理论的标准拓扑马蹄铁是回忆道。

让是一个度量空间,是一个紧凑的子集 ,和 : 是一个令人满意的假设存在地图吗互不相交子集紧凑 的 ;的限制对每一个 ,也就是说, ,是连续的。

定义2(见[25])。为每一个 ,让和有两个固定不相交的紧凑的子集 。一个连接的子集的据说连接和 ,如果 和 ,我们表示通过↔ 。

定义3(见[25])。让 是一个连接子集;我们说是适当的关于和 ,如果包含一个连接的子集这样 , , ;也就是说, 。在这种情况下,我们表示了 。在情况下, 适用于每一个连接的子集 与 ,我们说是适当的两双 和 ,或 如果没有混乱。

定理4(见[26])。假设的地图 满足以下假设:
(1)存在互不相交子集紧凑 的 ; 是连续的。
(2)关系 适用于每一对 从 。那么存在一个紧凑的不变集 ,这样semiconjugate完整吗转变动力学 ,和拓扑熵 。

备注5。的转变也称为伯努利转变。象征性的系列空间是集所有bi-infinite序列: 在哪里 。地图上的转变被定义为 众所周知,康托尔集,紧凑,完全不连通,完美。作为一个动力系统上定义的 , 有可数无穷周期轨道的轨道组成的所有时间,不可数无穷周期轨道,一个密集的轨道。这三个属性的一个直接后果是,动态生成的地图对初始条件敏感的转变。数学上的拓扑熵 措施其复杂性,这大概意味着指数增长的轨道的数量随着时间的进步。当 , ;因此,系统混乱。更多细节上面的符号动力学和马蹄铁理论,我们参考读者25- - - - - -28]。

推论6(见[27])。如果 , , , ,那么存在一个紧凑的不变集 ,这样semiconjugate 2-shift动态, 。

为了找到一个马蹄铁系统(2)与参数 和初始条件(−2−2 2),我们将首先利用横截面的技术和相应的庞加莱映射。通过一组 庞加莱截面平面,我们选择相应的庞加莱映射 如下: ,是第一个返回点在流的初始条件 。然后,我们使用一个MATLAB GUI程序称为“一个工具箱寻找马蹄铁在2 d地图”(27]。经过多次尝试,我们发现一个拓扑马蹄铁类似的方法(27),如图9。

如图10,我们发现两个子集和 ,四个顶点的坐标在哪里是 和四个顶点的坐标是

数值计算表明,这两个子集是连续的,他们的图像所示数据吗10 ()和10 (b),分别。

很容易看到从图10 ()那通过和顶端和底部和横向之间的相交与和和相交与和 。所以每个连通子集 ,如果是连接的和 ,那么它的图片下必须在关于和和跨关于和 。然后我们有 和 。同样,我们有 从图10 (b)了。

根据拓扑马蹄铁推论6,有一个紧凑的不变集 ,这样semiconjugate 2-shift动力学和拓扑熵的是 的确,这表明地图是混乱的。

通过同样的方式,一个马蹄铁系统(2)与参数 和初始条件(2,2,2)。因此,混沌吸引子出现在系统(2)参数 。

4所示。结论

在本文中,一个三维混沌系统满意 建议。一些基本的动力学行为如耗散、李雅普诺夫指数谱,得到了分岔图和相图。混沌吸引子共存是发现在这个三维混沌系统,有两个孤立的混沌吸引子(名为“积极吸引子”和“消极的吸引子,”职责。)依赖初始点之间的距离和不稳定平衡的点。没有重叠之间的“积极吸引子”和“负吸引子。”

此外,通过拓扑马蹄铁理论和数值计算,在系统(马蹄铁2)与参数 是获得。与此同时,我们获得的拓扑熵 。这些结果表明,混沌吸引子出现在系统(2)参数 。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

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