文摘
本文结果对全球外部随机稳定具有输入饱和和随机外部扰动的线性系统在随机高斯分布的初始条件。控制法律的目标是构建一个类,在没有干扰的情况下,实现全局渐近稳定,同时保证国家的方差有界扰动的存在。通过使用另一种方法,提出了一类新的预定的控制律,和全球外部随机稳定问题可以解决只有通过一些常规操作。此外,报道方法允许更大范围的设计参数。最后,还提供了两个数值例子来验证理论结果。
1。介绍
几十年的稳定线性系统具有输入饱和已被许多研究人员广泛研究;见,例如,(1- - - - - -4)和引用,在一般情况下,内部稳定和外部稳定两种主要研究关注这个话题5]。它是众所周知的6),全球内部稳定是可能的,当且仅当线性系统渐近零可控与有界控件(ANCBC);即线性系统稳定化及其开环极点位于平面封闭左中场。一般来说,应构造一类非线性控制律实现全球内部稳定;见,例如,(7,8]。通过设计一个类的低增益控制法律,semiglobal内部稳定框架中引入[9,10)与线性控制律。
另一方面,外部稳定要求内部稳定是保证在考虑输入饱和,这意味着外部和内部稳定必须同时实现。通过引入外部的框架稳定性,它被证明在11)的通用ANCBC系统输入饱和外部所能达到的水平稳定的线性控制律当外部干扰input-additive和全球/ semiglobal内部稳定是保证这个线性法律在缺乏外部干扰。non-input-additive扰动,众所周知[12一般外部通过一个线性稳定控制律几乎是不可能的。值得注意的结果(13)表明,双积分系统具有输入饱和non-input-additive干扰,任何线性控制律实现外部稳定 ,但没有线性控制律可以实现外部稳定 。考虑到input-to-state稳定(ISS)框架,指出[14)的外部和内部稳定双积分系统可以通过一个线性控制律无法实现。此外,它是不可能得到一个好的稳定响应与non-input-additive干扰如果我们考虑这样的系统。基于这些观察,应该考虑外部随机稳定问题,在考虑ANCBC系统受到输入饱和,随机外部扰动,和随机高斯分布的初始条件;见,例如,(5)中立稳定系统(15一连串的集成商),(16为通用ANCBC系统)。目标是构造一类非线性控制律,在没有干扰的情况下,实现全局渐近稳定,同时保证方差有界扰动的存在的状态。
在上述作品的共同特征15,16位于一个猜想,一些额外的限制对某些设计参数。在这篇文章中,我们回顾一下同时外部和内部稳定的通用ANCBC系统具有输入饱和和随机的外部干扰。本研究的主要挑战是如何解决全球外部随机稳定问题只有通过一些常规操作。此外,值得指出的是,主要的贡献表示如下。(1)另一种方法是首先介绍,和全球外部随机稳定可以解决通过一些常规操作,这意味着猜想/引理(15,16不再需要。(2)与现有的结果(15,16),没有限制强加在设计参数,它允许一个更大的范围。
符号。的符号和表示矩阵的转置和跟踪,分别。矩阵,如果没有显式地声明他们的维度,被假定为代数兼容操作。的符号 (≥0)意味着是一个真正的对称的积极(semipositive)定矩阵。 和分别代表单位矩阵和零矩阵。
2。问题公式化
我们认为以下随机微分方程: 的状态,控制输入和干扰向量值信号的维度,,,分别。在这里是一个维纳过程(一个布朗运动)的意思吗和速率。初始条件 (1)是一个独立的高斯随机向量,是一个标准的饱和函数给出 我们首先假设积和所有的特征值吗在平面封闭左中场。众所周知,所有的特征值有负的实际部分不会影响系统的稳定性能。不失一般性,我们将以下假设。
假设1。这一对是可控的,所有的特征值在虚轴。
接下来,全球外部随机稳定问题可以定义如下。
定义2。考虑系统(1);全球外部随机稳定问题是找到一个控制律 这样,所有可能的值的随机过程,以下属性。(我)在没有干扰的平衡点 的系统(1), 是全局渐近稳定的。(2)在扰动的存在的方差的状态控制系统(1), 是有界的 。为了解决全球外部随机稳定问题,提出一类非线性控制律可能在15] 的参数将根据 提供是足够小,国家控制增益作为吗 在哪里是正定解下列参数依赖代数黎卡提微分方程(是): 在哪里 。
为了避免琐碎的结果,, 不考虑。与此同时,它已被证明在15),使用一个类可能的非线性控制律(3),全球外部随机稳定问题解决提供了以下猜想成立。
猜想3。存在一个标量这样 对所有 。
尽管它是证明(16),上述猜想总是成立,它是指出,该参数时间间隔限制。在下一节中,可以看出上述猜想/引理是不再需要,一种新的计划将提出控制律,我们可以解决全球外部随机稳定只能通过一些常规操作。此外,没有限制强加在积极的设计参数,它允许一个更大的范围。
3所示。主要结果
找到一个解决这个问题的全球外部随机稳定,以下参数依赖应该重新审视: 在哪里 是一个标量。这个参数的依赖中首次引入[17为一个线性系统),属性可以概括如下。
引理4(见[17])。我们的假设1持有。然后,一个任意的 是(8)有一个独特的正解 ,在那里满足参数李雅普诺夫方程: 此外,是一个多项式函数为一个标量输入。一般来说,是一个有理函数。
接下来,我们提出一个新的计划控制法律来解决全球外部随机稳定问题,可以在三个步骤进行。
步骤1。让 在哪里 是一个标量。
步骤2。解决以下是: 在那里的存在保证了引理4。
步骤3。建立一个控制律 作为 在哪里 是国家控制增益。
注6。这是观察到的11),如果需要,标量 可以由任何积极的价值观,这意味着没有限制强加在积极的参数吗。比预定的参数在(4),积极的参数在(11)允许一个更大的范围。此外,众所周知从[17),代表闭环系统的收敛速度。事实上,更大的参数可能表明收敛速度慢。
下面的前题起着至关重要的作用。
引理7。对于任何积极的标量和所有 ,一个 在哪里 定义在(12)。
证明。定义 在哪里系统的状态(1)。注意从(11), ,我们有 根据它随机微分法则,我们获得 请注意, 和替换(17),我们发现 根据(10,我们可以继续19), 它遵循从(15), 这意味着 这就完成了证明。
注8。相比之下,(7在猜想3,上述关系 和在引理7通过分析发现一些常规操作。与此同时,如果需要,标量可以由任何积极的价值观,这表明一个更大的范围。
引理9。我们的假设1持有。然后一个
证明。鉴于(11),很明显, 这是小于或等于。
引理10(见[19])。让 我们是随机变量是一个过滤的是适应和假设存在常数 ,和 , 这样是有界的 和所有 然后对任何 ,有 这样 对所有。
以下是主要的结果对全球外部随机稳定问题。
定理11。我们的假设1持有。考虑随机微分方程描述的系统(1);控制律(13)可以解决全球外部随机稳定问题定义中定义2。
证明。通过使用(1)和(13),我们得到
回忆从引理9那
,我们可以继续27)如下:
考虑一个李雅普诺夫函数
根据引理4,很容易验证是一个全球性的系统的李雅普诺夫函数(28)在没有干扰,建立了全局渐近稳定。
它仍然显示系统状态的方差(28)是有界扰动的存在。根据引理10中,我们将使用
为
和随机过程产生的自然过滤吗。
首先,我们将证明(26为任意整数。根据它随机微分法则,我们获得
注意从引理7那
由此可见,
定义
满足
对于一些合适的常数,我们使用
。此外,定义
满足
对于一些合适的常数。因此我们有
它遵循从[20.所有的高阶的时刻是有界的,考虑到吗是有界的,我们非常发现是有界的和任何
这意味着(26)。
接下来,我们将证明(25)。自
,存在
这样
。考虑这样
意味着
根据(32),我们有
假设
与
,使用杜布的鞅不等式21),我们有
也就是说,对于任何,我们可以选择这样
然而,对于
,我们有
在哪里
是一个上限
和
。因为我们给了
,我们获得
这是不到为
提供是足够小。这意味着(25)是满意的。因此,我们从引理结论10那是有界的所有正整数吗。
在下面,我们将证明的方差是有界的条件下是有界的所有正整数吗。自是一个有理函数,存在
和一个整数这样
这意味着
这个收益率
它遵循从
那
这意味着右边的项的期望是有界的。因此,我们有
,完成了证明。
评论12。从定理11,我们可以知道全球外部随机稳定问题是假设的情况下解决1。此外,它很容易证明结果可以扩展到两人的情况积和所有的特征值吗在平面封闭左中场。
4所示。仿真例子
在本节中,我们提供了两个数值例子来说明该控制律的有效性。
例1。考虑一个连杆机械臂的弹性联轴器由直流电机驱动(22,23与随机干扰。然后,给出了动力学 在哪里 的特征值是,那么就很容易确认 积和所有的特征值吗在平面封闭左中场。我们选择 ,这意味着 。后的设计过程(11)(13)在本文中,给出了仿真结果图1,图1(一)显示了状态轨迹和图1 (b)显示预定参数的进化。见过,结果收益率的方差有界状态,和国家是有界的。此外,似乎状态收敛到常量值的反应。然而,仿真示例中,数据表的零特征值收敛于零状态响应的随机值很小(见绿线),和其他国家的反应特征值收敛于常量值。这可能源于自由平面上的三个特征值的原因,只有一个零特征值虚轴。
(一)
(b)
例2。在这个例子中,做个比较,我们考虑一个双积分器输入饱和和随机外部扰动(借用(16): 这表明系统矩阵是什么 众所周知,对于上述系统, 积和所有的特征值吗在平面封闭左中场。解决(8),我们得到 我们选择 ,这意味着 。根据设计过程(11)(13),给出了仿真结果图2红色和实线。结果表明,状态是有界的,的方差和收敛时间小于秒。此外,我们进行更多的模拟之间的性能比较本文提出的控制律和控制律的类在[16]。基于相同的条件下,仿真结果如图所示2蓝色虚线。它是观察从图2本文提出的控制律需要更少的时间达到全球外部随机稳定。这可能出现的原因,积极的标量在(4)是足够小,这可能表明收敛速度慢。
(一)
(b)
5。结论
本文结果对全球外部随机稳定的线性系统输入饱和。安排一个新的非线性控制器设计过程提出了通用ANCBC系统具有输入饱和和随机的外部干扰。利用一些常规操作,全球外部随机稳定没有取得所需的猜想在现有的结果。此外,报道方法允许更大范围的某些设计参数。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这部分工作是由中国国家自然科学基金(61503079)、江苏省自然科学基金(BK20150625),中央大学的基础研究基金,资助的一个项目优先级的学术程序开发江苏高等教育机构。