在霍夫施塔特心脏序列

文摘

在霍夫施塔特序列和序列Hofstadter-Conway 10000美元也许meta-Fibonacci序列的两个最著名的例子。在本文中,我们探讨一个意想不到的联系。当康威序列序列中减去,心形的混沌模式数据出现。我们使用技术Pinn Tanny等人去探索这个序列。然后,我们介绍并分析显然是相对的序列,说明它还生成的心当减去从康威序列模式。

1。介绍

在霍夫施塔特序列是递归定义的嵌套的递推关系 和初始值 。这是序列A005185斯隆的在线百科全书的整数序列(OEIS) [1),它的前几项1,1,2,3,3,4,5、5、6、6、6、8、8、8、10、9、10、11、12

在他的书中哥德尔,埃舍尔,巴赫:一个永恒的金色编织(2],霍夫斯塔特介绍这序列是一个谜。他指出,尽管简单序列的定义,似乎很大程度上不可预测的序列值。但似乎有某种包罗万象的结构(见图1迄今为止),证明有逃避数学家(3]。更令人沮丧的是,还不知道甚至存在对所有 。如果它发生 ,然后将引用一个负值的指数和无法存在。在这种偶然的事件,我们说序列死。基于图的模式1(继续描述以外的条款),人们普遍认为序列不死亡。至少我们知道它的存在条款(4]。

Golomb描述了有趣的是飘忽不定的行为序列为“非常混乱,”尽管他证明了如果存在,那么它必须一半(5]。但先天的,没有理由这个限制应该存在;Golomb自己描述另一个序列满足复发(A244477)的限制是不存在的。这个条件限制价值本质上是唯一的严格证明的结果序列(6]。出于这个原因,研究序列主要是实验。

观察序列清楚表明的开始点明显的块结构接近连续3 * 2的幂。为了解释的碎片形的行为顺序,第一个广泛的研究是由Pinn [7]。在他的作品中,被描述为一个孩子的“母亲” 和“父亲” 。使用此方法,Pinn分区的值间隔“代”相对应的“香肠”图1他指出,第一个十一代有定义良好的起点,区别的地方和 突然跳跃。此后,详细的统计分析表明,后代开始奇怪的力量 。最近,道尔顿等人,而不是用递归方法检测代(8]。他们定义了一个函数 ,被称为一代序列基于现货 ,的复发 和初始条件 。这个函数是用来确定的世代的开始点序列。更准确地说,最值这样等于给了这是定义为起点的th代序列。表1显示的值(1 - 11代的起始点同意,无论使用哪种方法;代数字 ,这两种方法给不同的点开始一代又一代的8)范围内我们将考虑序列。

我们注意到序列似乎混乱的元素和结构。也有许多类似的定义的序列序列,不混乱4- - - - - -6,9- - - - - -12]。有些序列组合的解释涉及数在无限的树木的叶子10]。但是,对我们来说,最重要的行为端正的meta-Fibonacci序列Hofstadter-Conway 10000美元序列(A004001,缩短康威序列),由复发 和初始条件 。这个序列的名字来自一个10000美元的奖,约翰·h·康威提供价值的发现这样 对所有 。锦葵提供这样的分析仅几周后,他表明对应 (13]。序列是单调递增,连续差异0或1,然后呢 。此外, 对所有 ,当且仅当与平等是2的幂。图2是一个块 是对称的,其零(11),这说明了这个序列的碎片形结构。锦葵猜想这些结构收敛于一个特殊的曲线形式的图表,可以参数化的高斯分布,这是证明了久保和Vakil [11]。康威序列,如序列,可以分割成几代人。在这种情况下,生成边界是2的幂。更准确地说,一开始的th母性的一代 为 (8]。

本文的结构如下。节2介绍和分析了霍夫施塔特混乱的核心序列,构造的差异序列和康威序列。然后,在节3,我们执行一个类似的建设有了一个新的序列各种各样的有趣的观察序列,我们报告。最后,我们提供了一些结论4。

2。霍夫斯塔特的混沌序列

我们愿意考虑的差异序列和康威序列。的序列似乎徘徊在 ,而从未跌破康威序列 。出于这个原因,它是更自然的考虑康威序列减去序列。

定义1。让 ,在那里表示届任期的序列和表示康威序列中的术语。

我们所说的序列霍夫斯塔特混乱的心序列(A284019)。这个名字的原因应该清楚的看它的情节在图3。在这一点上,观察外观的过程就好了飘忽不定的心形状与越来越多的几代人。连续的一代又一代的霍夫施塔特混乱的心序列,见图4。

序列有一个日益增长的心的碎片形的结构。心脏的形状可以被考虑以下成分:(我)的显然序列构建的自相似“香肠”。(2)的 在每一代大约是对称的。(3)的序列似乎长约 。(iv)的序列的代沟约3 * 2的幂,连续坐中间2的幂。(v)康威序列的增长 。(vi)康威序列自相似代划分为2的幂。(七) 是对称的3倍2开始的前一代的力量。(八) 。

所有这些点在一起意味着底部的心应该是2的乘方附近,这正是观察。这都是总结在图5。我们也是的初始值为了显示代际结构的决定的作用序列。

我们现在分析霍夫施塔特混乱的心脏序列使用Pinn的统计方法和孕产妇现货代(我们也研究相同的分析方法与Pinn代方法估计的整数部分的起点是吗th代序列为 ;结果观察到主要是类似于表的值2)。就像Pinn工作,让 ,让 。在我们的分析中,我们将不使用的有效组成部分 不像Pinn的工作(7),为了防止信息丢失的统计分析。换句话说,和给noninteger条款奇怪的价值观 。对于一个给定的序列 ,让我们定义、Pinn一样(见下文),各种各样的方差 ,的指标被认为是在一代。屏也借符号:让表示的平均值在代,并定义 , , 如下。在我们的分析中,一代边界从表1因为观察图5这清楚地表明,世代的边界心脏的序列也边界模式。例如,如果 ,然后 是第一个指数和 是最后一个指数的计算以下数量:(我) (2) (3) (iv)

自 ,同样的th代边界,它是明确的 ,在那里 。见表2的值为 , ,和和的值 在我们的实验范围。

3所示。“哥哥”序列

除了序列,霍夫斯塔特的还有许多其他的解决方案复发与不同的初始条件(6]。还有其他初始条件对霍夫斯塔特的吗复发, 有一个碎片形结构日益增长的心在哪里康威序列?我们的目的是寻找一个简单的回答这个问题。因此,首先,我们做了实验复发和三个初始条件。让我们表示初始条件 , , 通过 ,在那里 。在这种情况下,序列的初始条件 是霍夫施塔特序列。序列与初始条件 , , , , 霍夫施塔特本质上是一样的吗序列为所有 和 。序列与初始条件 (A244477)和 准周期性的(5]。初始条件 , , , , 给序列相比更混乱了序列。所有其他的组合 立即死亡,除了 。剩下的唯一序列的初始条件 有一个行为密切相关序列本身,因此我们叫它哥哥序列。

定义2。让递归定义的 为 ,初始条件 , 。

哥哥的前几项序列(A284644)2、2、1、3、5、3、5、6、4、6、10、5、7、9,9,10,11,11、12 。

定义3。让 ,在那里表示届任期的序列和表示康威序列中的术语。

图7显示的情节序列 。参见图8心的出现过程模式与越来越多的几代人。事实上,这里的心更明确,由于更多的香肠结构的逐渐开始哥哥序列。

图9描述了哥哥序列。就像自相似组成的序列,它似乎是混乱的香肠附近住 。同时,像序列,很容易证明存在,它必须等于 。有趣的是,香肠的兄弟之间的连接序列本身似乎由小香肠(见图11)。

我们现在学习的代际结构 。我们的目的是计算 ,在那里 。请注意,我们定义 和为相应的在前一节中。记住这些定义,我们需要确定每个主要包含间隔块哥哥序列的测量范围。我们将把这些主要模块因为观察,如图11,也有小块结构。确定主要街区的起点,我们采用以下方法。当父亲的最低 和母亲 点是大于或等于第一个成员代,我们定义的第一个成员 圣代。在我们的实验中,这种方法分区数据干净到代。量化的纯度我们的后代,我们定义的 项的比例th代他的父亲或母亲点位于 nd的一代。如果接近于0,那么代接近纯。

在我们的例子中,将开始的第一代,将第二代的开始。现在我们定义一些辅助序列(类似辅助序列也可以为康威定义序列;让是最少的这样的母亲 点=和= 为 与 和 ;在这种情况下,的起点是吗th孕产妇提供代(8上面提到的近似)。

定义4。让是最少的这样的最低的父亲 和母亲 点是大于或等于 。

定义5。让 为 , 。

见表3前25的值 。我们可以确认的条款可以限制区间包含每个主要块在我们的实验范围。参见图10为例, 。

因此,我们将使用它们作为我们一代又一代的开始为了计算统计量,我们上面提到的,在前面的部分中。表4显示该分区的主要统计数量。

现在让我们说明图11更多的深度。为此,我们需要以下定义。

定义6。让数字的顺序这样 。

我们已经计算的前几项(A287118): 84, 172, 348, 700, 1404, 2720, 2754, 5448, 10904, 21816, 43640, 87288。

的哥哥的数字是有意义的序列,以检测小elliptic-like香肠的连接 。例如,87288的指数是时刻在图的小香肠11。详细分析代际特征的小块结构的连接主要街区未来的工作。然而,我们将提到的一些性质序列表现出一些奇怪的模式。例如, 为 。此外,有一个有趣的秩序序列有 。表5简单地总结了这一点。结果表明,2754年的数量是一个例外 。这观测以来意义不同研究搜索顺序迹象在高度混乱的本质序列(7,8]。在这里,这是一个明显的相对序列展览一个意想不到的时刻的模式小elliptic-like香肠简而言之规模。

我们想确认表中的数值结果的有效性4。这一目标,我们可以选择两个不同的常量和做一个仔细的检查。之间的和 ,实验观察表明, , 和 , 可以限制包含每个主要块间隔。与限制连续主要街区,计算表明,该值0.88。注意两个常数是由观察范围有限,所以两个常数和应被视为一种工具分区序列相似的主要街区为了计算并确认 。

计算的结果 是有意义的,因为0.88是常数,Pinn猜想在他的分析序列(我们也确认了 大约0.88代边界振荡所确定的表3在我们的实验范围)(7),他获得相同的常数一个类似的分析不同的序列(14]。看来, 波动在0.88更有序的行为。此外, 看起来迷人地稳定在1。

因为我们知道现在某些代哥哥序列的属性,我们准备对序列进行分析在我们的实验范围。我们之前的分析显示 足够大的 。我们进行分析类似于前一节。我们用哥哥的代边界序列表3代表。见表6我们获得的结果。对比数据6和12表明,这里的秩序更明显的迹象。在这种情况下, 似乎真的比更稳定 和 小于 对所有 除了 。

4所示。结论

本研究旨在提供一个不同的视角对meta-Fibonacci序列。我们的目标是显示有未被发现的和有趣的事实背后的两个著名meta-Fibonacci序列以及它们之间的关系。我们已经进行了各种实验为了理解霍夫施塔特心脏序列的性质,我们介绍。当我们探索霍夫施塔特混乱的核心序列,我们还介绍和研究的兄弟序列,它提供了有意义的实验结果和有趣的观察而言,新的霍夫施塔特的推论复发。未来的工作可能会进行更详细的分析其代际结构比我们在这里完成。这项研究还表明,有一个神秘的分类混乱meta-Fibonacci序列取决于各自的代际结构的共同特征。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者要感谢d·r·霍夫施塔特n·j·a·斯隆和Antti Karttunen OEIS A284019有价值的评论。他们还要感谢罗伯特为枫相关要求以色列对他有价值的帮助。

引用

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2. d·霍夫施塔特哥德尔,埃舍尔,巴赫:一个永恒的金色编织,基本书,纽约,纽约,美国,1979年。
3. 在数论r·k·人,尚未解决的问题,问题E31, 1994。
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