哈密顿亚临界随机流行病动力学的分析

文摘

我们扩展技术超临界随机近似的长期行为的流行病模型,利用WKB近似和哈密顿相空间,在亚临界情况。模型和近似的限制行为有很大的不同在亚临界情况下,需要一种新型的分析限制行为的哈密顿系统远离其确定性的子系统。这产生一个小说,通用技术近似quasistationary分布的随机流行和生灭模型和可能导致的技术分析这些模型除了quasistationary分布。经典的SIS模型,近似发现quasistationary分布非常类似于出版近似但不完全相同。生灭过程没有损耗的易感人群,近似是恰当的。动力学相平面上类似的预测中演示了哈密顿分析横断面沙眼治疗试验的数据在埃塞俄比亚,肥胖盛行程度下降符合亚临界的流行动态。

1。介绍

随机模型是一种常见的工具在流行病学研究中,在公共卫生干预措施旨在减少波动项感染或感染的个体(1,模型用于解释、预测和应对急性和慢性疾病的公共卫生意义。

一个基本的结果是一个关键的存在价值基本繁殖数量,定义为预期的二次病例数单一感染情况,否则所产生的易感人群。超临界疾病,那些 倾向于稳定在一个正数的感染病例,可以持续很长时间,而在亚临界情况下( )感染在相对较短的时间尺度计数下降到零。在这两种情况下,长期、固定的感染病例数的概率分布是琐碎的,因为所有流行有限总体中随机传输模型必须最终灭绝由于波动的机会,但quasistationary分布分布条件nonextinction的疾病会对系统的行为十分的有限时间区间内。

当 感染病例数的quasistationary分布在简单的传输模型通常大约几何,概率感染性病例成正比(2,3]。肥胖盛行程度一致的几何分布,同时分析多个位置的统计,已观察到沙眼消除试验有时疾病的动力学亚临界(4- - - - - -6]。

这样的统计观察病例数分布在多个社区在一个时间可以帮助提供一个评估动力学的一种疾病,可能是它的基本再生数,因此,未来的时间进程。大约几何分布的肥胖盛行程度也意味着将会有更多的高患病率比会有社区lighter-tailed分布,即使平均患病率较低,下降。这表明,异常高发社区可能只是统计离群值,可以将回归到平均水平没有干预,而不是一个“传播热点”呼吁加强干预(5]。

虽然quasistationary特定的随机分布模型可以计算作为一个马尔可夫转移矩阵的特征向量,自这个向量方程条目不能明确,即使是非常简单的模型,解决研究都集中在近似([2,7- - - - - -9),例如)。巴伯和Pollett10]建立quasistationary分布是一个给定的定点地图上定义概率质量函数,允许高效的近似技术(11]。映射的不动点也可以发现使用“意味着比”的方法建立在等待时间而不是过渡率(12),可以帮助计算。Quasistationary近似为扩散过程和分支过程也发育良好,积极研究和开发的主题(3,11,13]。

在本文中,我们介绍的方法近似quasistationary分布随机模型的亚临界政权,运用这一技术,已经使用以前近似罕见量较大事件超临界动力学(14- - - - - -16]。这种技术需要一个庞大的人口限制模型的动态的方式产生一个哈密顿雅可比方程,可以通过分析相关的哈密顿颂歌系统的几何。

这个随机力学哈密顿方法,创新格雷厄姆和电话(17)对胡锦涛扩散方程和延长(18]主方程,主要被用于研究固定解决方案限制的随机过程,通过定位哈密顿颂歌的特殊解决方案系统,特点是 ,在那里是哈密顿。哈密顿ODE体系包括确定性随机模型的限制作为一个不变的子系统在等位( ),在每个极限集的确定性系统,向外延伸至设置的等位不确定性区域的哈密顿系统的相空间。这些扩展显示定量信息在流动系统的随机行为。因此他们被用来分析固定概率密度与确定性系统的吸引子和其他限制集和罕见的逃逸事件的频率和路径从一个吸引子到另一个(15,19- - - - - -22]。几何结构,编码的特点确定的随机系统的限制和偏差的概率分布确定的极限,奇怪的是相比在哈密顿系统物理结构,更容易理解。

在这里,我们调查的使用结构内的等位,但距离确定的子系统,分析随机模型的行为。我们确定了这样一个结构的确定性与quasistationary子系统行为的流行病模型,相比之下使用结构相交的确定性子系统分析固定行为。

2。生灭过程的限制行为

许多随机流行病动力学的模型,更普遍的生物种群动态和分支过程都包含在生灭过程的范畴。这里我们应用分析胡18]这类过程,下面我们将应用到具体实例模型。

随机大小的生灭过程模型一个人口,改变通过事件的大小增加或减少一个。增长的速度大小标签是和减少的速度大小标签是。写作 的概率大小在时间随着时间的推移,概率的变化是由一个主方程: 采取 和 对所有大师的动力学方程是局限于非负的值。为了large-system-size限制,让等尺寸的测量系统,例如,一个最大的人口规模,等,我们认为越来越多的大型生灭系统两种和成为无限制地大,比例 仍然是有限的。例如,在一个系统有限的人口规模,我们可以用 下面,我们将会看到。然后让 ,我们得到一个改变了主方程 在哪里 和 。让功能和是光滑的函数为每一个,光滑极限 。

此外,让 是一个光滑的概率密度函数和,这样 。之后胡锦涛(18),这使得建筑Kramers-Moyal扩张的动力、取代和泰勒扩大主方程所以,它是表示只使用值:

获得一个偏微分方程在大型系统极限下,我们重写密度指数表达式: 假设函数可以扩展的权力在 , 这样的条款以外的扩张 渐近的消失趋向于无穷。这拟设被称为WKB近似(18,26),可以生成一个偏微分方程。

与这些假设,衍生品的产品在一个简化的形式, 替换的扩张(3)一阶 因此,在大尺寸极限下,(3)成为一个偏微分方程:

2.1。相关的哈密顿系统

因为右边的(8)只包含第一个偏导数,经典力学的哈密顿雅可比方程的形式27), 结果,它可以使用特性曲线分析描述了一个相关的常微分方程组(18]。这个分析是基于哈密顿函数

从哈密顿可以编写一个二维动力系统,其状态变量按比例缩小的人口规模,一个共轭变量,它需要的地方 在哈密顿。相关的哈密顿动力学系统 该系统的轨迹不对应随机生灭过程的实现,而是跟踪曲线的表面与和,可用于分析的行为随着时间的推移。

因此我们可以获得信息生灭过程相关的大尺寸限制通过使用这个系统分析的哈密顿雅可比方程(8)。静止的主方程的解决方案,以平衡条件 与曲线确定 飞机上 。

对于这一维系统,虽然不是一般主方程的情况下,哈密顿有两个因素, 提供两套解决方案的解决方案 。

平坦的子空间 始终是一个解集吗 以这种方式在哈密顿系统由主方程(18]。动力学在这个设置是ODE的动力学近似随机动力学,和不动点和其他限制集位于这组对应的哈密顿系统不动点和其他限制集确定性子系统。其他解决方案的方程 横向穿过那些极限集的随机行为,可以揭示信息主方程系统,我们会看到治疗超临界SIS模型,如下。

的生灭系统我们考虑 是一个吸收状态,常见的因素可以的和,让我们来描述三个分量的解集。

3所示。SIS模型

SIS (susceptible-infective-susceptible)模型提供了一个简单的表示传染病过程缺乏免疫(28]。经典,该模型描述了易感人群的数量和感染病例在人口固定大小,增加感染类是由infective-susceptible接触事件,和感染性病例回到易感类速度独立与他人的联系。SIS模型被用来描述一系列的疾病,包括沙眼(29日)和性传播感染(30.]。在种群生物学,这个模型相同的形式被称为随机逻辑模型(31日]。

在基本的SIS模型中,感染类增加的速度 ,它正比于二次susceptible-infective接触率,并减少人均恒定速率, ,总人口保持固定。因此,感染病例的数量,,这是随机模型的不同状态变量。感染性病例增加传播事件,在利率 ,在那里每susceptible-infective对发射率(1]。在利率情况下返回易感类,在那里人均去除率。可以组合成一个无量纲值的参数重新调节变量的一个因素后,出生率和死亡率 在哪里 是基本的繁殖数量(28]。

使用系统的大小 生灭系统,分析提出了适用于SIS模型哈密顿 在哪里 是感染性分数的人口。

3.1。超临界情况

在超临界( )情况下,SIS过程是积极的吸引,或者流行,平衡值 ,出生率和死亡率是相等的。分数的概率密度感染性病例集中在那个值。然而,在很长一段时间尺度上,在有限的系统中,随机波动会带来感染性病例比例为零,这是一种吸收状态的流行不能返回。因此过程的平稳分布是一个质点 ,周围的密度函数集中地方病平衡状态,而这是一个无穷大的平稳分布的限制和quasistationary分布在有限的情况下。

的哈密顿分析超临界SIS模型已经完全治疗其他地方(16,20.]。哈密顿系统的相平面如图1。

固定PDE对应解决方案的解决方案 这架飞机,什么时候被解释为 。哈密顿因素分成三个部分: 直接识别的三个解决方案曲线 在平面上:两个简单的解决方案, 和一个非平凡解, 如图1。这些曲线轨迹的哈密顿动力学系统(11)。

相平面的水平轴,这是 解决方案,是确定性的SIS系统同构。的两个不动点的哈密顿系统不动点的确定性系统无病平衡点和地方病平衡点 。它们位于水平轴相交的点,另外两个曲线的解决方案。第三个不动点, ,也对应于无病状态( ),但在解曲线的交点远离水平轴。

非平凡解曲线(17)对应的稳态解概率集中在流行的平衡,和固定的点描述流行的概率密度和无病平衡。这个解决方案是一个函数能解决 改变变量 和集成产生封闭的解, 这提供了一个封闭的解quasistationary概率密度: 常数是由约束呢 。

在超临界模型在一般情况下,等势面(解决方案 )附近的非平凡解的确定性子系统描述稀有事件的概率分布的行为,这是位于平稳分布的尾部。

上述固定解决方案接近quasistationary密度有限SIS系统,给出大灭绝是一种罕见的事件。

它提供了一个近似的随机动力学的灭绝。这个函数是行动经典力学。最可能的路径可以最大化函数获得的灭绝,并产生等位面 。计算出的路径是明确整合沿 曲线,在这SIS和更复杂的模型(例如,(16])。

4所示。亚临界动力学

在确定性的SIS系统在亚临界情况下,放松对所有初始条件为零 。主方程的解决方案也放松 与概率质量下降为零,所有其他的值(2]。在这种情况下,quasistationary分布即使在大——不是静止的限制由于原点确定性的吸引力。吸收附近的WKB假设概率当前状态 消失当系统规模生长没有绑定就不满意,我们不使用PDE的固定行为质点(放松)分析quasistationary行为的主方程。相反,我们使用PDE的瞬态行为识别哈密顿相平面的平衡结构,描述了主方程的quasistationary解决方案。

4.1。利用相平面分析力学的哈密顿雅可比方程

在亚临界的哈密顿相平面模型中,相同的三个解决方案曲线 在超临界的情况下存在,但是他们在不同的地方相平面,如图2。在这种情况下,重要的曲线的交点(17)和水平轴转向左边的原点。这一点所表示的地方病平衡点是失去了在超临界分岔下降低于1,原点成为吸引随机SIS系统的解决方案。非平凡的拦截曲线(17)满足垂直轴 上面,现在 。

因为这种分歧,在亚临界情况下我们不能应用分析用于超临界情况下,随着系统的奇异值的 曲线穿越水平轴是垂直的,不能翻译的值 的函数。研究这个系统需要进一步的quasistationary分布分析。

任何平滑的初始分布可以映射到一个曲线 飞机上 在每一个值,在那里被定义为 如上所述。这条曲线的初始分布绘制在图一个例子3。

向前集成点的曲线沿该系统产生的轨迹的几何表示时间演化系统的相平面移动曲线,形状的改变 可见,之间的关系 和提供信息的形式功能。

在哈密顿动力学方面,函数 是行动的系统,一个标量可以评估通过整合沿着它的轨迹:

为了方便起见,可以计算直接将哈密顿动力学数值时,通过扩展动力系统包括状态变量: 将这个系统,与初始条件 在指定点的初始曲线,那么收益率的值 明确的积极的。

4.2。亚临界系统的进化从初始条件

随着时间的流逝,每个点的与- - - - - -相平面上曲线移动根据哈密顿动力学。他们的进化延伸和翻译在相平面曲线,如图4。在任何给定的点可能会有些奇怪的方式,包括许多在右上方向趋于无穷,曲线向左移动顺利,接近垂直的线 和灰色的曲线延伸到第一象限。

从移动的点 这条曲线的情节与可以构造,或者 与,在每一个时间。图5礼物的情节与在时间。概率密度的峰值渐近向移动 ,还有一个尾巴右边的峰值下降。

的进化的许多特征 与可见在这个视图的动态。正如上面所讨论的,动态的水平轴相平面是相同的SIS系统通常的确定性的颂歌。当是读 由此可见,水平轴, ,对应于势函数的极值 关于。照片摄于这些数字,唯一极值是最低的 ,这是一个最大的 。这意味着最大值点的概率密度函数概率分布的模式,在大型系统近似,我们使用的是(8),完全按照确定的SIS动力学。

的区域值的曲线- - - - - -平面是水平轴以下地区 和等价 是在增加上面的曲线,和地区轴位置 减少在。纵轴附近与- - - - - -曲线是发散的 。这一事实,代表 ,成为负无限强烈表明,是不同的在 ,所以 ,至少在类似的一个说明在初始条件为零。

如果哈密顿雅可比PDE (8)是用来近似任何有限的-系统,通过将概率密度分组为箱子的宽度 ,结果将是本,包括概率质量积累 和所有其他的箱子包含一个尾巴,正在减少,其渐近总质量下降为零 。

图4表明,从长远来看,与- - - - - -曲线变得渐近接近下面的垂直轴的工会积极-平衡和非平凡 曲线(17)以上,平衡。我们得出这样的结论:概率密度累积近了 尾巴的形状,密度 方法对角曲线所描述的一个函数,这是重要的解决方案(17) 。这尾巴定义的条件分布鉴于 ,因此极限曲线(17)应提供一个近似的quasistationary分布SIS主方程。

4.3。显式近似Quasistationary分布

从上面的分析我们得出这样的结论:quasistationary主方程系统的概率密度函数(1)是近似的密度函数所代表的非平凡 曲线(17)。这是解决超临界情况相同的方式: 在哪里 。

在超临界情况下密度函数有一个模式的特有价值 ,在这种情况下,密度是最大的 ( ),函数是单调递减区间 。

改变变量回感染病例的数量, ,quasistationary近似 使用适当的规范的因素离散型概率质量函数。

这个quasistationary近似密切相关的经典近似Kryscio et al。2,8)(参见[32):他们的近似, 当转换使用阶乘斯特林近似, 收益率近似推导: (,正常量)。

以前的近似和数值评价建立了(2,7,8]亚临界SIS系统的quasistationary分布近似几何附近 ,连续的概率值有比。

因此,近似几何分布的形式 常数边坡的几何分布的特征是它的对数:

比较我们的近似的斜率,不是常数:

然而,附近 非常数的一项大约是0,对数的斜率大约是,结果,大约是几何分布与期望的比率 。

自比 当小于一个 因此它的对数是负的,它遵循概率质量函数迅速下降到零比几何函数确实是增加。

在附录中,我们比较了SIS过程生灭过程的SIS模型的传输和删除率没有损耗的影响的易感人群,quasistationary分布是完全接近上述分布的几何分布。生灭过程的相平面分析视觉提供证据证明参数描述近似几何分布的衰变率是由非平凡的拦截曲线(17)穿过垂直轴。

5。应用SIS模型分析沙眼案件数量

沙眼是一种常见的儿童亚临床感染在某些地区的欠发达的世界。反复感染导致眼睑瘢痕,倒睫(睫毛的闭关自守,以便对角膜的眼睑刮)。数以百万计的失明了。病原体,沙眼衣原体高功效,可以清除阿奇霉素的一剂(33]。世界卫生组织目前推荐年度大规模治疗受感染社区作为一个公共卫生控制措施(33,34]。

在时机的临床试验质量管理阿奇霉素在埃塞俄比亚的阿姆哈拉地区(23,34,35],村级发病率数据收集。在基线村级肥胖盛行程度的概率分布,省略零值,均值0.39(范围0.08 - -0.62)(图6,情节)。质量的起始治疗后达到或超过推荐水平,平均患病率下降,分布的指数(5)(图6,随后的情节)。这一发现是大约符合指数分布预测的简单的流行病模型,正如上面所讨论的。问题是以上的理论兴趣,正如我们的介绍中提到:长尾理论的指数分布意味着,在消除运动,一些社区可能似乎出乎意料的患病率和离群值,但事实上,他们完全符合预期的变化。

SIS模型被用于实践评估治疗所需频率消除沙眼(4,29日,36]。

图7显示这些概率密度函数转化为上面定义的相平面表示, 。我们假设一个人口规模 每个村庄,大约是儿童的数量风险在其中一个村庄23]。在这个情节,同样的运动从左上右下是可见的,与收敛曲线的纵轴和可能离开该轴在积极的象限。更丰富的数据可能允许这种限制曲线相交的位置的垂直轴表示的数据。曲线将提供一个估计的quasistationary行为疾病,疾病和其拦截将提供一个估计的。

6。总结

哈密顿结构描述主方程和扩散方程系统进行探索的主题在随机过程的研究中,解套 附近的确定性子空间是用来模拟quasistationary行为和罕见的过渡事件,如状态之间的切换或噪音性灭绝。我们已经给出了一个应用程序的这些结构远离确定性子系统,近似概率分布的过程在一个吸收奇异点附近,那里的WKB假说并不持有和瞬态动力学限制PDE的而非其大部分的时间限制行为必须用于识别结构对应于quasistationary——的尺寸系统的概率分布。

Quasistationary解决方案在流行病模型通常不可以完全解决,所以近似技术在分析这些过程是至关重要的。我们提出一个替代方法近似问题,这可能是可扩展到其他类似的模型设置的完整有效性尚未被发现。WKB近似的哈密顿和拉格朗日技术分析,可用强大和灵活的和可能应用在亚临界疾病设置远远超出quasistationary分布。

我们探索横断面流行沙眼试验的数据,当流行分布表示为哈密顿相平面曲线,揭示了一个模式相平面上的运动符合运动预测的这对亚临界传输模型分析。因此它是一致的,至少在定性方面与一个假设沙眼传播实际上是亚临界和随机试验设置。这种分析未能推翻这个假设,尽管其他的解释是可能的。在流行病学设置更多的数据可用,它可能成为可能观察到上极限曲线在这样的情节以及收敛到垂直轴。通过揭示一个新兴流行的尾巴的形状分布,曲线信息可能导致疾病的quasistationary行为的描述。这些信息也可能导致估计的基本繁殖数量,到达独立于任何估计基于时间变化数据大相径庭。

超出了我们分析了单变量生灭模型,这里,我们探索的技术研究quasistationary动力学可以使用模型更多的疾病进展阶段或不同的过渡,multitype模型,模型与补丁或网络结构(cf。37]),和其他情况下更复杂的比这里给出的简单模型。种群生物学中,我们已经讨论了SIS模型也称为随机逻辑模型(38),这个前景分析种群生物学模型,这个模型相似但不完全相同的。而保护生物学的主要目标是保持人口的问题,而不是根除它们在流行病学、人口下降明显的兴趣和使用的模型可能会受益于一个类似的分析。这种分析可能是在其他应用程序中使用,在附近quasistationary动力学吸收状态是感兴趣的。

附录

与泊松生灭过程

SIS的密切近似几何和其他传播模型时感染性计数很小也可以解释为比较传输模型和泊松生灭过程,也就是说,一个过程中损耗的易感类是不占1]。quasistationary限制Yaglom限制的这个过程是相关的分支过程(39,40),就是几何。

这里我们使用上面的哈密顿相平面分析泊松近似quasistationary限制的生灭过程基本相同的繁殖数量比较上面的结果。

泊松生灭过程,出生率和死亡率在SIS模型是一样的,除了没有非线性的出生率的因素: 由此可见,由此产生的哈密顿也是相同的,只是没有的因素:

在SIS的情况下,相对应的哈密顿因素分成三个部分,三个相交部分的解集 。再一次,两个组件的垂直和水平轴。第三,在这种情况下非平凡解是一条水平线,而不是一个上升的曲线。与SIS的情况不同,这里的非平凡的曲线不相交水平子系统(除了在关键的情况下,我们将在此讨论搁置)。

在超临界的情况下(图8),水平轴上的动态(确定性子系统)类似于SIS模型,积极远离零值上升,但随着不同,他们增加无穷而不是一个有限的地方病平衡值。在亚临界情况下(图9),生灭过程趋于灭绝,哈密顿系统的行为 半平面定性与亚临界SIS。唯一的区别是重要的曲线的形式,指定quasistationary分布。

指定的quasistationary曲线方程 ,或 。替换 为生产quasistationary解决方案行动, 概率密度, 。这相当于几何分布的参数,这是众所周知的quasistationary分布这一过程。

我们注意,我们可以把几何近似哈密顿相平面的几何形状。正如上面所讨论的,几何近似quasistationary分布特点是对数的斜率 。密度函数的分数是 ,行动被定义为 ,或 。相结合, 这 但是注意,在相平面,垂直坐标是认同 ;这是几何分布的参数近似quasistationary分布近了 是揭示了非平凡解的值在 ,即限制曲线描述的拦截quasistationary分布跨越纵轴。拦截=,在那里的参数近似几何分布。

我们注意到泊松生灭模型中的水平线的相平面和SIS过程的极限曲线收敛于相同的值 在 ,证实视觉,这生灭过程是一个很好的近似SIS过程感染数远小于。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

确认

本研究由传染病剂研究的模型(MIDAS)授予来自美国国立卫生研究院/美国加州大学,旧金山(U01GM087728),由美国NEI R01-EY025350和研究预防失明奖。爱尔兰共和军b·施瓦兹被海军基地的资金支持(N0001414WX00023)和海军研究办公室(N0001414WX20610)。

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