文摘
基因调控网络是动态的系统描述基因产物之间的相互作用(信使rna和蛋白质)。基因调控网络的内部状态由信使rna和蛋白质浓度的参与,非常有助于了解其动态行为。然而,由于一些限制等实验技术,并不是所有的内部状态的基因调控网络可以有效地测量。因此成为一个重要的问题来估计无节制的州通过可用的测量。在这项研究中,我们设计一个状态观测器来估计状态的基因调控网络的时间延迟测量可用。此外,基于线性矩阵不等式(LMI)方法,建立标准,保证估计误差的动态是全局渐近稳定的。基因repressillatory网络是用来说明我们的设计方法的有效性。
1。介绍
最近提出了非线性微分方程模型,基因调控网络。基于这个模型,基因调控网络的稳定性已经深入研究,这被认为是有用的在设计和控制基因调控网络。在[1),充分必要的当地判定稳定性条件给出了几种类型的简化的基因调控网络与一个单一的时间延迟。在[2,3),我们现在当地的一些充分必要条件判定稳定性条件,一般与单个基因调控网络延时和多个时间延迟。一些充分条件全球稳定的基因调控网络推导基于LMI方法(4- - - - - -6[m]定理7,8]。
另一方面,了解基因调控网络的动态行为,测量的内部状态是非常有用的。基因调控网络的内部状态由信使rna和蛋白质浓度的参与。然而,由于一些限制等实验技术,并不是所有的内部状态的基因调控网络可以有效地测量。因此,基因调控网络的内部状态不能完全可用。因此,状态估计问题可以发挥重要作用在理解基因调控网络的动态行为。解决的状态估计问题是估计美国根据可用的输出测量的动态估计误差是全局渐近稳定的。实际上,状态估计方法在理解非常重要,设计和控制的动态系统,如工程控制系统(9),神经网络(10,11),和复杂的系统12]。
在这项研究中,我们将研究基因调控网络的状态估计时滞非线性微分方程的模型。部分2简述遗传调节网络延迟和监管逻辑。节3我们设计一个全阶状态观测器来估计状态的延迟基因调控网络。观察者的一些性质进行了讨论。节4我们建立一个充分条件,基于LMI方法,设计了状态观测器的动态估计误差的渐近稳定性判据和稳定。节5,一个基因repressillatory网络是用来说明部分中描述我们的方法的有效性4。部分6本研究给我们的结论和未来的工作指出了方向。
2。遗传调节网络延迟
延迟的基因组成的监管网络信使rna和蛋白质可以被描述为如下方程: 在哪里,代表mRNA的浓度和蛋白质,分别。和是正实数表示信使rna的降解率和蛋白质,分别。是一个积极的常数代表翻译mRNA的速度蛋白质。是一个非线性函数的代表的监管功能基因。这两个和是积极的常量指示时间延迟mrna和蛋白,分别。
方程模型(底部1)描述转化过程。这个词反映出的一种蛋白质翻译只从一种信使rna分子。上面的方程模型(1)描述了转录过程。一个基因或信使rna通常是由多个蛋白质激活或抑制转录过程中显示的定义。在本文中,我们选择,叫做“总和”逻辑13]。也就是说,每个转录因子调节基因的行为分析。和逻辑是适用的,如果一个基因可以由几个独立蛋白质绑定不同的启动子或一个家庭独立相似的蛋白质绑定到一个启动子。在许多自然基因网络,这个和逻辑确实存在(13]。调节功能是山上的函数形式(14)如下: 如果转录因子是一个阻遏基因,或 如果转录因子是基因的激活吗,在那里和都是非负的常量和是希尔系数代表的协调程度。在这项研究中,假设。请注意, 然后系统(1)可以改写如下: 在哪里和;,,;是一个化学计量矩阵代表监管关系的网络,定义如下:如果转录因子不直接调节基因,如果转录因子直接激活基因,如果转录因子直接压制基因;在哪里是一个常数的定义是,代表的阻遏蛋白的基因。在哪里是一个单调递增函数。显然这些函数与有连续衍生品吗。从微积分,我们有
3所示。状态观测器
在实践中,关于网络状态的信息通常是不完整的实验测量。例如,蛋白质的浓度可能是不可估量的,因为测量技术的局限性。我们的本研究的目的是开发一个有效的评估系统(称为状态观测器)为了估计测量可用的网络状态。在本文中,假设测量mRNA和蛋白浓度的线性组合,从而输出可以表示如下: 在哪里是一个维向量代表测量和是一个观测矩阵。除非矩阵的秩在(7)是系统的状态5)不能准确估计从静态观测方程(7只)。在实践中,矩阵的秩在(7)小于。大约估计的一个动态系统,类似于原来的动态系统设计来估计状态。摘要网络的完整的订单状态估计量(5)设计如下: 在哪里和州和估计是估计增益矩阵决定。
让估计误差
然后从(5),(8)和(9),误差系统可以描述如下: 在哪里和。
现在设计网络的状态估计量(5)是减少找到估计增益矩阵这样的错误系统(10)是全局渐近稳定的。从(6),我们有 此外,对于任何非负对角,从(11), 在哪里。
一次矩阵确定,估计和数值计算(8)。同样的技术可以被应用为解决(1解决系统(直接)是一样的8),结果在一个估计误差系统(10),。如果系统(1)是不稳定的和的值和不同于真正的同行,那么估计错误将会成倍增加。即使的值和相同的是真正的同行,舍入错误也可以使估计误差成倍增加。因此,在实践中是很重要的设计矩阵确保估计误差系统是稳定的。定理1和2下一节将保证,任何的值和,估计错误将渐近聚合为零。
4所示。主要结果和证明
在本节中,我们将首先获得的条件误差系统(10)是全局渐近稳定对于一个给定的估计增益矩阵。
定理1。对于一个给定的估计增益矩阵,误差系统(10)有一个独特的平衡状态和如果存在,是全局渐近稳定正定矩阵和正定矩阵和和积极的对角矩阵,比如以下LMI持有: 在哪里,,,。
证明。考虑以下Lyapunov-Krasovskii功能:
在哪里
区分上面定义的轨迹系统(10),我们有
不平等(12)考虑,我们有
在哪里。
从Lyapunov-Krasovskii理论(15),误差系统(10)是全局渐近稳定的。从(10),和是一个平衡态。证明错误的平衡态系统的独特性(10),这里我们使用反证法的技术。注意,Lyapunov-Krasovskii功能(18)与错误相关的系统(10)是独立于平衡态。因此,如果误差系统(10另一个平衡态,它也是全局渐近稳定,这是不可能的。
在定理1对于一个给定的估计,增益矩阵错误的稳定条件动态系统(10)建立的线性矩阵不等式(LMI)方法,可以通过标准的MATLAB函数来解决。如果矩阵是未知的,矩阵不等式(13)成为非线性矩阵,,,,,,这是不容易得到解决。然而,让;然后矩阵不等式(13)成为线性矩阵,,,,,。因此,我们有以下定理。
定理2。如果存在正定矩阵和正定矩阵和、积极的对角矩阵和一个矩阵这样下面的LMI 持有,,这些,,在定理是一样的吗1,然后估计量增益矩阵 错误的系统(10)有一个独特的平衡状态和是全局渐近稳定的。
5。一个例子的例子
在本节中,我们采用基因repressilatory网络展示我们的理论结果的正确性和有效性。基因repressilatory网络包括三个基因和三个蛋白质(lacl,tetR,cl),每个抑制转录的下游合作伙伴(16)如图1。这个网络没有时间延迟从理论和实验上研究了在16]。这个基因的局部和全局稳定性判据稳定repressilatory网络时滞广泛研究[1- - - - - -8]。
这个基因repressilatory网络的数学模型与时间延迟是由以下方程描述: 在哪里,,,正的常数和下标吗。
在这项研究中我们考虑基因repressillatory网络(20.)值的参数设置如下:,,,,。对于系统(20.)与这些参数规格, 和为。
一个案例。假设所有蛋白质的浓度是无法测量。观测矩阵是 通过使用MATLAB LMI工具箱,我们解决LMI (18)与上述数据,,,,并获得 因此,我们有
图2描述了估计错误的蛋白质浓度的延迟基因调控网络20.图的标题)与指定参数2。从图2可以看出,在六分钟估计蛋白质浓度一模一样真正的浓度虽然他们没有测量。需要准确的时间估计真实的状态取决于最初的真实状态和估计状态之间的错误(这在实践中是随机猜测)。在图2的蛋白质,最初的错误估计范围从0.1到0.6。如果最初的错误是零,估计状态将确切的真实状态从头。
案例B。假设所有蛋白质的浓度能够被测量而我们想估计基因表达式。观测矩阵就变成了 通过使用MATLAB LMI工具箱,我们解决LMI (18与上面的数据),,,,并获得 因此,我们有
图3描绘了信使rna浓度的延迟的估计错误基因调控网络20.图的标题)与指定参数3了解蛋白质浓度。从图3在大约十分钟后,可以看出,估计可以很好地近似真实的信使rna信使rna浓度浓度虽然他们没有测量。在图3的蛋白质,最初的错误估计范围从0.2到0.5。
6。结论和未来的工作
在本文中,我们研究了基因调控网络的状态估计随着时间的延迟。基于LMI方法,设计了一种全阶状态观测器来估计状态的不完整的测量,这样状态估计误差是全局渐近稳定的。本文中给出的定理说明了基因repressillatory网络。仿真结果验证我们设计的观察者可以有效地估计无边无际的状态。在这项研究中,我们假设所有参数的基因调控网络是可用的。在实践中,一些参数的网络可能是未知的。我们未来的工作方向之一是采用扩展卡尔曼滤波(17)的已知参数和状态估计系统同时进行。参数不确定性和噪声扰动存在于基因调控网络(4,6,7,16,18)和测量输出,从而影响状态观测器的性能。第二我们未来的工作方向是设计鲁棒状态观测器遗传调节网络参数不确定性和噪音。通常测量输出采样的一系列时间点虽然基因调控网络的状态变量是连续的。第三我们未来的工作方向是设计一个状态观测器与离散输出为基因调控网络。
利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。
确认
这项工作是由基地《尉缭子》北京大学的基金和基金北京优秀教学团队数学通过并口和加拿大自然科学和工程研究理事会通过FXW (NSERC)。作者要感谢那些评论家的意见和建议。