文摘

电阻抗断层成像(EIT)和脑电图(EEG)各向异性非齐次问题媒体像人类头上的类属于三维椭圆型方程边值问题与混合衍生品。我们介绍和探索一些新的有前途的性能数值技术,它似乎更适合解决这些问题。提出的数值方案结合虚拟域方法与有限差分方法和最优预处理共轭梯度(CG)——类型离散模型的迭代法进行治疗。数值方案包括总和的标准操作和稀疏矩阵和向量的乘法,以及FFT,便于实现和获得有效的并行实现。一些典型用例的EIT /脑电图问题被认为是证明提出的数值技术的效率高。

1。介绍

进展在建模和逆电脑照相术(EEG)和脑磁图描记术(MEG)源定位以及电阻抗断层成像(EIT)取决于工作的效率和准确性提出解决管理偏微分方程(PDE),特别是,泊松方程,描述高度异构的电势分布和各向异性人类头上的组织。

现代提出解决者使用各种基于有限差分计算方法(FD),边界元(是)和有限元(FE)方法1- - - - - -9),多栅的10)和预处理共轭梯度(CG)类型迭代方法(11- - - - - -15],高性能并行计算技术(16- - - - - -22]。

描述导电性与任意几何异构生物媒体,嵌入的方法边界或一个虚构的域可以使用[23,24]。在这种方法中,任意形状的对象感兴趣的是嵌入到一个矩形的计算域与极低的电导率值在外部免费建模区域周围的空气。这有效地保证没有电流的物理区域和隐式地设置零通量诺伊曼边界条件表面的对象。这个设置保留有限差分法(FDM)的优势,这是最突出的矩形域。

以前,我们构建了一个迭代的有限差分提出解决问题的各向同性版本的泊松方程为脑电图/ EIT基于vector-additive交替方向隐式(ADI)算法(19]。这是一个经典的ADI算法的泛化,但改善稳定在3 d的情况下(25,26]。vector-additive ADI算法的并行化在共享内存的多处理器环境中(OpenMP)很简单,因为它由巢独立循环遍历的“酒吧”压在每次迭代求解有效1 d问题[19]。然而,ADI方法不太适合实现分布式内存的环境。因此我们也提出了在过去一个各向异性vector-additive域分解类型的算法(20.实施]这是潜在的更大的平行度(21]。

方法属于家庭的共轭梯度(CG)方法11- - - - - -16)最近已成为最具吸引力的迭代数值技术解决远期脑电图/ EIT问题。这些方法的收敛速度达到所需精度高:迭代数量成正比的平方根矩阵在线性代数方程组的条件数(莱城)来解决。在有限差分离散化的情况下,一个系统矩阵的条件数成反比的网格步方导致增加迭代次数的增加网格分辨率。此外,条件数取决于异质性PDE的系数,特别是在媒体上最大和最小比导率。降低条件数,需要采用预处理CG-type迭代方法如BiCG [13,14)的强烈非均匀和各向异性导电介质。在本文中,我们演示一个有效的预处理方法FDM利用快速傅里叶变换(FFT)的好处11)技术作为一种工具来构建quasioptimal CG-type迭代解决预调节器。作为quasioptimal预调节器,我们建议使用幽灵似地适应均匀各向同性系数矩阵相应的狄利克雷问题在同一个计算域。虽然这个想法不是全新的(见,例如,23,24]),我们所知,它已被应用到目前为止在EIT / EEG背景下只有在我们以前的工作在各向同性圆柱向前解算器(19]。这种预调节器的最有吸引力的优势是能够消除依赖迭代法的收敛速度的网格尺寸。此外,我们还应用标准的雅可比预调节器,这有助于提高性能的解决者强烈的异构电导系数。值得注意的是,可怕地适应quasioptimal预调节器基于FFT没有类比有限元或在FDM不规则域和/或FDM非均匀网格。

2。方法

2.1。问题的数学表述

相关的频谱在脑电图、梅格和EIT的人头通常是低于100 kHz,和大多数脑电图/梅格研究处理频率0.1和100赫兹之间。因此,脑电图/梅格的物理描述的准静态近似麦克斯韦方程和泊松方程(3]。电气提出问题可以表示如下:考虑到位置,方向,和震级的偶极电流源, 几何和导电性的体积(Ω),计算表面电势的分布头(头皮)( )。在数学上,这意味着解决不均匀各向异性泊松方程(2]: 无需通量诺伊曼边界条件在头皮上: 在这里 是一个非齐次对称张量的头部组织电导率。在计算势 和电流密度 ,磁场 可以通过毕奥萨伐尔定律的发现梅格前进的问题。类似的非平稳的各向异性扩散方程是相关还在向前扩散光学断层扫描问题建模1),扩散的肿瘤在大脑27),白质tractography研究利用扩散张量磁共振成像(28]。

为了验证提出的数值解算器(1)和(1 b)我们雇用了几个卷传导模型,包括一个光滑的解析解,一个各向异性multishell球面模型,分析解决方案是可用的(29日],性器官的基于核磁共振的人头模型如下所述。

2.2。光滑的解析解

一个简单的解析解(1)和(1 b可以构造)假设在一个立方计算域2边的长度 解决方案的形式 显然,这种解决方案满足狄利克雷边界条件计算域边界。如果电导率张量分析组件(1)和(1 b)的形式选择平滑空间变量的分析功能,例如, 然后右边的项, ,可以通过直接分析微分探测解决方案的功能, 和系数(3根据(),1)。

2.3。Multishell球面模型

4-shell球形模型的各向异性头骨层被用来测试案例的解算器高度非均质各向异性介质。壳模型代表了头皮,头骨,脑脊髓液(CSF)和大脑。后Ferree et al。30.),外壳的外部半径被选为0.084 (m,头皮),0.065 (m,头骨),0.05 (m CSF)和0.03 (m,大脑),球面模型中使用和电导率值被设置为0.44 (S / m,头皮),0.018 (S / m,头骨),1.79 (S / m CSF)和0.250 (S / m,大脑)。符合最近的证据大脑的颅骨电导率比设置为14:1 (31日- - - - - -33,与80年相比:1比传统上认为[34]。我们选择最大的切向径向热导率1:在文献[10报告35)推动我们前进的稳定性和健壮性各向异性的极限解算器。找到系数的各向异性电导率张量在全球笛卡尔坐标系统,我们使用了旋转转换应用到当地坐标系统,在电导率张量对角形式(36]。在这样一个模型的各向异性电导率张量是一个公平的近似颅板电导率的人头(3]。球面模型的主要目的使用,然而,对分析结果验证数值解算器(29日)和演示的效率提出了数值方法在高度非均质各向异性的情况下;因此被选出的外壳厚度更大方便的比较数值性能的粗和细有限差分网格分辨率。

2.4。基于现实的MRI / CT模型

软头的结构上精确的模型组织的成人主题是来自t1先生和DT的图像的42岁的白人男性健康记录的3 t爱兰歌娜扫描仪(德国西门子医疗、埃朗根)和存储在俄勒冈州规范数据库(电测地线,Inc .)。这个主题的骨骼结构是来自CT扫描记录的通用CT扫描仪(美国通用电气、费尔菲尔德)。收购矩阵有大小256×256×256的体素的大小1毫米×1毫米×1毫米在CT和T1扫描。DTI只进行颅头部分的立体像素分辨率2毫米×2毫米×2毫米。构造各向同性头几何,T1 MRI图像自动分割成七种组织类型(大脑灰质、白质、脑脊液、头皮,眼球,空气,和头骨),coregistered,并与CT图像扭曲使用分割和图像处理方案,BrainK [37,38]。我们从原始估计扩散张量扩散加权图像最小平方拟合过程使用大量出现软件包[39]。占白质各向异性,标量扩散系数的地图DTI计算然后严格登记T1的大脑图像互信息度量(40- - - - - -43]。最后,使用相同的仿射转换整个扩散张量场重新取样和对齐T1形象及其分段组织面具利用log-Euclidean张量插值(44]。电导率值在这个现实的模型用于各向同性组织被设置为0.44 (S / m,头皮层包括眼睛),0.018 (S / m,头骨),1.79 (S / m CSF)和0.250 (S / m,大脑)。大脑白质电导率张量是获得直接的产品白质各向同性导电率( S / m)和coregistered扩散张量 比例的平均扩散系数(张量跟踪除以3)[5- - - - - -8]: 在这种方法中,生成的白质电导率各向异性和非齐次由于扩散张量特征值的空间相关性。

2.5。有限差分方法

我们使用有限差分近似均匀的矩形网格上的空间衍生品的分多模板由8像素点与一个共同的节点,如图1。所有模板节点属于三个相互正交的飞机。让我们说明了离散化的飞机上 。近似的二阶导数我们使用有限数量的标准保守方案(25,45]: 在哪里 和指数(上标和下标)指电导率参数和潜力在相应模板节点,如图1。近似的复杂衍生品研究五种二阶精度的方案。作为一个例子,我们在座的这些近似为一个混合衍生品:


图1
一个离散的有限差分模板近似各向异性问题(1)和(1 b))。

在哪里 。人们可以看到,在均匀的常数电导率所有这些近似(除了例(6 b)是等价的。在不均匀各向异性介质近似的情况下(6)通常是更可取的由于其保守的性质(25),类似于有限体积近似用于(2)。有限差分近似(6 b)也是保守派和满足离散最大原则在某些条件下(25,46]。有限差分近似(6摄氏度)是一个简单的修改方案(6)和一些额外的网格点的模板(参见图1),平均相似系数近似(2)。计划(6 d)是一个泛化的不均匀情况下的典型四点近似混合衍生品与常系数。最后,有限差分近似(6 e与额外的重要属性)是一个保守的方案相比,(6)- (6 d):它使用相同的模板节点斜和非对角的电导率张量组件。这个属性使得近似(6 e)更稳定,确保积极的明确的张量近似分段不均匀各向异性介质在本地量表是典型的multishell脑电图/梅格EIT模型。

考虑所有情况下,离散问题导致解决一个大型系统的莱城广场19-diagonal矩阵(图2(一个))的尺寸 和迭代方法是选择处理的最佳选择莱城这样的系统: 的有效性定义的迭代方法收敛速度(迭代次数达到给定的精度)以及一个迭代的计算复杂度。应用迭代方法的收敛速度取决于相应的系统矩阵的条件数(12]。在最好的情况下的基本迭代方法收敛速度的函数依赖的平方根矩阵的条件数系统 这个问题。例如,如此高的收敛速度,是固有的CG迭代方法的埃尔米特矩阵系统。如果系统矩阵非对称,CG的修改方法可以使用如BiCG或BiCGStab [14]。

(一)
(一)
(b)
(b)
图2
结构系统的矩阵(a)和(b)的预处理。

对系统中发生的莱城有限差分数值近似PDE,条件是成反比的网格步方(12,25]。此外,异质性在PDE导致进一步增加系数矩阵条件数,使系统非对称。由于这些原因,预处理BiCG迭代法是一种选择的选择在pd高度非均匀系数高分辨率网格。通常,预调节器是一个满秩矩阵 矩阵的条件数等 远小于原始矩阵的条件数 。预调节器的使用实际上相当于从最初的问题(7)以下的问题: 另一个重要的标准选择一个好的预调节器(除了减少条件数)的主要功能是计算逆矩阵计算的成本。在这方面,预调节器的对角线,三角形,或稀疏矩阵循环是最有吸引力的。在后一种情况下快速逆矩阵的计算可以通过使用快速离散傅里叶变换。

作为一个最简单的形式的预处理几乎不需要额外的计算可以建议Jacobi-type(对角线)预调节器13,14]。它允许减少迭代次数,解决pd与强烈的不均匀系数的狄利克雷问题的虚拟域我们这里讨论。然而,雅可比预调节器不潮湿的增加迭代次数增加网格的分辨率。除了雅可比预调节器,可以作为预调节器系统矩阵相应的均匀各向同性的情况下限制。这个矩阵(也称为三维泊松矩阵(12,25)有7-diagonal循环形式(见图2 (b))。因为可以使用快速傅里叶变换(FFT)计算逆矩阵的这样一个预调节器,它被称为傅里叶预调节器(23,25]。随着图像重建问题,傅里叶预调节器是成功地用于数值分析pd (13,23)包括泊松方程在EIT /脑电图(16]。在许多情况下,迭代次数的傅里叶预调节器可以消除依赖从电网融合解决方案(16,23),类似的情况下多栅的预调节器(10]。我们已经检查了上述类型的预处理效率BiCG迭代方法中使用他们的标准实现MATLAB (16,17]。考虑到统一的狄利克雷边界条件我们已经修改的后处理模块使用傅里叶预调节器的sin-Fourier变换,它允许展示的预处理矩阵对角形式。

3所示。结果:验证和数值例子

数值模拟的分析调查解决方案(2)和(3PDE问题))((1)和(1 b)已被证明是近似的二阶的所有5个网格一步近似混合衍生品(6)- (6 e))。我们也验证了数值方法对层状各向异性分析球面模型(29日]。基于这些模拟测试我们推导出建议的数值方法的性能数据。各向异性球头被嵌入到虚构的立方计算域的边缘长度0.1米垫与介质(空气)的电导率10−10S / m。传感器沿着测地线均匀分布。导致计算头皮地形如图3(一个)对于一对源库放在中间的赤道的外壳。在图3 (b)模拟地形相比,是一个近似解析解(29日]。结果显示良好的数值解与协议分析与一些明显的偶极子源附近的偏差,可能会由于不同的离散和分析电流源近似。

(一)
(一)
(b)
(b)
图3
验证的数值方案对各向异性球面模型解析解(29日]。FD计算势(固体)和分析(圆圈)曲线和通道数量。

研究建议方法的性能我们调查依赖网格分辨率和收敛速度的有限差分近似的类型。所需的迭代次数和总计算时间实现给定的精度作为网格节点数的函数图所示4和5。

(一)
(一)
(b)
(b)
图4
效率不同的预调节器不均匀光滑的解决方案(一个分析探针函数(2))。迭代(a)和运行时的秒数(b)和一种混合导数近似((6)- (6 e为不同的决议()) )。
(一)
(一)
(b)
(b)
图5
效率不同的分段预调节器的非均匀各向异性球面模型(见图3)。迭代(a)和运行时的秒数(b)和一种混合导数近似((6)- (6 e为不同的决议()) )。近似C是由其他人表现。

顺利Dirichlet-type解决方案BiCG法和傅里叶Fourier-Jacobi (FJ)预调节器需要9 - 11迭代独立网格的分辨率和优于大因素BiCG方法和不雅可比预调节器的计算时间。每个迭代的计算时间的傅里叶预调节器是一个数量级大于BiCG与雅可比方法没有或预调节器。然而,当使用雅可比预处理迭代收敛的数量随网格节点数量的增加而成正比增加。为 雅可比迭代的数量超过300,总计算时间解决问题所需要的时间大约是3倍的傅里叶预调节器(图4)。迭代收敛的数量大约是相同的所有五个混合导数近似((6)- (6 e))的先决条件在所有三个BiCG方法。

当使用分段异构4-shell球形模型,离散近似的性能取决于选择的复杂衍生品(6)- (6 e))。更稳定和健壮的近似结果类型(6 e),FJ预调节器有效地降低了收敛的迭代次数和删除网格分辨率的依赖。例如,所需的迭代次数达到的精度 不大于30,不依赖于网格分辨率。同时与近似(6摄氏度)中失去了标度性,反映了FJ预处理迭代依赖从网格分辨率的数字。值得注意的是雅可比预调节器这个问题也恰恰证明了良好的性能的相对粗分辨率离散模型。例如,在128点在每个空间方向的情况下,每个迭代的计算总成本在使用雅可比和Fourier-Jacobi预调节器大约是相同的,但是,由于迭代依赖数量的决议BiCG-J方法,BiCG-FJ方法更可取的网格分辨率就越高。同时,FJ-BiCG方法的收敛很弱各向异性率的依赖。的平均收敛迭代数,以防4-shell球面模型与一个各向异性层从20增加头骨各向异性比1:1 - 25在1:10和30 1:50。

我们也测试了我们解决现实中基于MRI / CT人头multishell模型来源于高分辨率(1毫米3生和分段MRI与CT卷coregistered地图册节中描述2。头皮上的传感器均匀分布沿着测地线。首先,模拟了一个虚拟的金属外科夹在头骨(形状为希腊字母” ”维度12毫米×12毫米×12毫米,2毫米×4毫米的横截面,和钛导电率2.5 e6 S / m)测试的极限解算器公差异质性。因为它是图所示6(一),引入高导电金属夹到一头模型导致只有温和的局部扭曲脑电图地形,类似于某种程度上对脑电图的影响手术毛刺在头骨9]。分流效应越来越明显与偶极子之间的近距离和剪辑和他们的平行取向可以看到通过头皮的等势线的畸变图6 (b)。值得注意的是EIT /脑电图的建模问题存在的金属植入物使用虚拟域与空气包复导致异质性的比率极高~ 1010−1016和不适定的系统矩阵的离散模型。我们之前的FDM版本的向前脑电图/ EIT解决基于ADI方法[19)分化在这样高水平的异质性。然而,BiCG-FJ的使用方法和健壮的混合类型的衍生品近似(6)和(6 e)允许达到60 - 80次迭代后一个近似解,而其他预调节器得到迅速增加网格分辨率的表现。第二,作为一个测试用例,我们建模一个大脑白质各向异性和非均匀性影响脑电图使用大脑白质电导率张量推断从DTI依照(4)。我们可以看到数据7和8,由此产生的电流流线和头皮地形是明显不同的。更多的定量分析脑深部的偶极子模拟呈现在图8 (b)显示大脑白质各向同性模型和各向异性的一个介绍一个错误高达25%的铅字段在头皮上与早些时候发表结果定性协议建模白质各向异性(4- - - - - -6];因此各向异性导致场计算是重要的引入增加了源定位精度等功能性神经成像的脑电图或梅格6]。这里值得注意的是,报告量化不同的白质各向异性的影响取决于使用的模型继续出现在文学,特别是在出版物上经颅电刺激(47,48)和脑电图(7]。李等人。7]报道相当主持白质各向异性的影响源定位精度上证实了功能磁共振成像。因此,进一步优化的模型和算法能够准确地处理各向异性仍在持续改进的过程,是一个重要的目标。

(一)
(一)
(b)
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图6
(一)建模的影响手术钛夹(白色的“π”)脑电图提出的解决方案在一个“虚拟”postoperational病人。面向水平偶极子是0.6厘米的剪辑。分流效应越来越明显与偶极子之间的近距离和剪辑和平行取向,因为它可以看到通过电流的畸变流线(黑色)。(b)的影响手术钛夹(白色的“π”)术后脑电图提出的解决方案在一个“虚拟”的病人。3 d地形视图(顶部)和1 d电压(μV)和通道数量(底部)详细的定量比较。面向水平偶极子是0.6厘米的剪辑。分流效应越来越明显与偶极子之间的近距离和剪辑和平行取向,因为它可以看到扭曲的等势线在头皮上。

图7
影响大脑白质(红色的组织)的各向异性的脑电图提出解决方案:轴向视图(上);矢状视图(底部)。白质是各向异性(左)和各向同性(右)。面向水平偶极子被放置在中央大脑区域。可以看到当前流的扭曲线条在各向异性的情况下(左)(右)相对于各向同性情况。
(一)
(一)
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(b)
图8
大脑白质脑电图的各向异性的影响提出解决方案:3 d地形视图(a)和1 d电压(μV)和通道数量(b)详细的量化比较。面向水平偶极子被放置在中央大脑区域。

4所示。讨论和结论

在上下文的建模脑电图/ EIT问题有几个最讨论和实践中可用的数值方法。这些连续超松弛(SOR) CG-type方法如Bi-Conjugate梯度和Bi-Conjugate梯度稳定合理的预调节器(对称连续超松弛(SSOR),柯列斯基不完整和不完整的上层(IC / ILU)较低,分解,雅可比,阻止雅可比,等等)和代数多重网格(AMG)迭代方法。这些方法的效率的情况下各向同性和各向异性问题了(15,22),结果表明,最佳的性能是由AMG方法证明。AMG方法的关键优势是独立的收敛速度的计算网格分辨率。

在本文中,我们提出了一种新颖的脑电图/ EIT各向异性FDM家庭从CG提出解决方法。合并后显示了前所未有的性能和鲁棒性比得上Fourier-Jacobi预处理AMG方法当应用于高非均质性和各向异性的问题。它能够解决128×128×128像素点的各向异性问题极端电导率张量特征值的比值10:1和10的各向同性组织异质性的比率16(包括显式钛夹和气泡建模)一分钟内运行时在MATLAB实现。该方法的高性能是由于光谱的等价属性Fourier-Jacobi预调节器。其结合BiCG方法消除了依赖收敛速度的空间网格离散模型的分辨率和异质性比率。的迭代次数达到所需的精度几乎是独立的网格的分辨率,将该技术符合流行的多栅的迭代方法(3,10,15,22]。提出的数值算法包括总和的标准操作和稀疏矩阵和向量的乘法以及FFT,使其易于实现且容易获得有效的并行实现。

结果表明,某些类型的不同各向异性问题的近似系数的情况下具有较强的异质性问题不支持Fourier-Jacobi预处理的最优谱性质。我们相信,这是与遗传相关的离散模型的对称性的基本属性和积极的电导率张量的明确性。当这个属性是迷失在一种特殊的离散近似((6)- (6 e),例如,在近似(6摄氏度),它的不利影响矩阵属性在离散模型和迭代方法求解问题的效率。这是支持的事实,最可靠的结果与差分近似,得到的对角线和非对角的组件电导率张量场均在同一模板分的有限差分网格(近似(6 e))。基于现实的磁共振成像模型的脑电图和EIT应用程序,我们的仿真结果表明,白质的引入各向异性电导率来源于空间非均匀扩散张量可以改变各向同性铅字段在头皮上,高达25%,而高导电金属外科剪辑扰乱脑电图潜力主要在本地。建议的解算器还可以找到应用程序领域的经颅电刺激(47,48),精确建模是重要的预测电流密度送到皮层区域的利息。

利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

作者承认大卫·哈蒙德博士的贡献帮助大脑白质的coregistration DTI数据T1 MRI图像体积。谢尔盖Turovets工作的部分支持由国家神经疾病和中风研究所(授予5 r43ns077598-02 5 r43ns067726-02, 5 r44ns056758-04)。