文摘

模型以其电导率不同高度非常薄层将被考虑。它与一个稳定的幻影车型,这是发明产生一定的视电导率在一个地区被一薄圆柱孔。薄圆筒绝缘体,薄cylinderare内外充满了同样的生理盐水。注入的电流可以输入只有通过洞采用薄圆筒。模型有一个高对比度的电导率不连续薄圆柱层的厚度和孔的大小相比是非常小的域模型的问题。数值方法对于这样一个模型需要一个非常细孔附近的薄层来解决导不连续。在这项工作中,一个有效的数值方法对于这样一个模型问题,提出了利用均匀网格,不需要解决导不连续。然后解决离散问题迭代方法,在解决一个简单的解决方案是提高了离散问题统一的电导率。在每个迭代中,右边是通过整合之前的迭代更新薄圆筒。这个过程的结果在一定的平滑作用微观结构和我们的离散模型可以提供一个更实际的模拟视电导率的工具。 The convergence of the iterative method is analyzed regarding the contrast in the conductivity and the relative thickness of the layer. In numerical experiments, solutions of our method are compared to reference solutions obtained from COMSOL, where very fine meshes are used to resolve the conductivity discontinuity in the model. Errors of the voltage inl²规范遵循O (h)渐近和电流密度匹配quitewell来自一个足够小的网格大小的参考解决方案h。实验结果提供一个有前途的功能我们的方法模拟视电导率与微观分子结构的变化。

1。介绍

导电性的材料是衡量其允许电荷的运动的能力。基于材料的原子或分子组成,电荷的形式可以是自由电子或离子。均匀的盐溶液,例如,有离子电荷及其导电性的总额是由乘法的浓度和溶液中各种离子的流动呈现(1]。离子迁移率取决于环境的组成结构移动。一个典型的例子是离子的运动在生物细胞的膜材料。膜本身是绝缘体,但它有毛孔,使离子的流动(2]。为了更好地理解这种生物电现象一个简单而强大的建模方法将大有益处。

当材料是均匀的,一个简单的方法来测量其电导率的绝对值比材料内部的电流密度和电场(1]。这不是那么简单在生物组织中异构,组成的细胞,细胞外结构和流体。测量电导率的方法得当,我们必须调查材料通过注入电流和测量感应电压,反之亦然(1,3,4]。其他测量方法包括注入当前或射频/声学磁场和感应磁场测量/通量密度(5- - - - - -10]。在这项工作中,我们考虑使用电导测量技术称为磁共振电阻抗断层扫描(MREIT)。在MREIT,组织由外部注入电流和感应探测磁通密度测量使用磁共振扫描仪。重建图像重建算法使用这些测量电导率的形象组织(3]。

显微镜下的细胞结构影响电流模式在生物组织。宏观电导率测量的电流注入探测方法可以为基础,因此,理解为明显的电导率(11]。明显的电导率在一个固定的宏观尺度决定作为一个教会组织内的微观效应。特别是在低频率,膜极大地影响组织的视电导率测量值在宏观范围内由于细胞膜可以建模为一个绝缘球洞,离子可以迁移(11]。模型内的微观影响组织的能力将非常有利于更好地了解生物材料的电导性质。

因为我们感兴趣的一个宏观电导率值,我们需要理解微观结构如何影响宏观电导率测量。了解测量电导率的意义在细胞膜与显微结构变化的关系,我们需要定量与宏观尺度的视电导率与微观结构变化。由于规模不同,数值研究可能需要一个高度非均匀网格非常大量的元素导致大量的计算和内存需求,这可能不是实际可行的。

有以前的研究来解决实际数值方法治疗此类模型异构性(12- - - - - -14]。在[13),有限差分方法是由纠正有限差分模板根据电导率不连续。修正项的计算变得相当复杂的模型与微观结构时考虑。在[12),粗有限元基础由解决问题的模型在每个粗网格与适当的边界条件对于电导率不连续。然后由离散模型使用粗糙的基函数。这个过程可以被理解为平滑电导率不连续。这种方法仍然给了准确的近似比工作(13),结果在一个坏脾气的线性系统根据电导率的异质性。在[14),一个实用的离散方法开发模拟固耦合通过使用两个独立的变量:为背景上的流体欧拉变量和拉格朗日变量沉浸弹性体移动。分离后,流体和弹性体之间的交互计算通过使用平滑狄拉克δ函数近似,在狄拉克δ函数用于模型的位置移动的弹性体。平滑近似的力是由流体上的弹性体。与施加的力解流体方程后,弹性体的位置更新的流体速度。我们参考引用其中的许多成功应用沉浸边界方法;这是最实用的离散模型模拟一个非常薄的弹性体。

与某些平滑离散模型的微观结构会更适合我们的目的不是一个非常准确的离散模型。在这个工作中,为一个更实际的方法我们建议采用均匀网格迭代方法而不是一个高度非均匀网格。我们认为与单个细胞模型,并提出一个新的基于均匀网格数值方法无须过多的关注在单个细胞的细微结构。我们首先用统一的导电性和解决一个简单的模型然后迭代提高数值精度通过更新的右边的简单模型。右边是通过整合当前的计算解决方案在单一的细胞膜,从而提供一定的平滑作用类似,在[14)当一个模型,其中许多被认为是研究宏观性质与微观分子结构的变化。我们注意到在每个迭代中一个简单的模型与均匀电导率解决,因此任何可用的快速解决,也就是说,FFT(快速傅里叶变换)15)或多栅的方法(16),可以用来加快计算时间。我们分析的收敛迭代法对导电性差异的对比和相对细胞膜的厚度。

我们的方法是进行一个简单的模型检测单个细胞,然后更复杂的模型和许多的小细胞。这些结果与参考解决方案从COMSOL (COMSOL Inc .)、美国),在哪里很精致的非均匀网格用于解决高对比度的电导率跳穿过细胞膜。电压的错误规范渐近遵循一阶对于给定的筛孔尺寸精度和电流密度同意很好参考的解决方案。解决功能的方法捕捉各向异性细胞结构,我们测试模型与许多细胞,每个细胞膜孔采用在不同的位置。这些结果提供一个有前途的功能我们的方法近似宏观性质与微观结构变化有关。

本文组织如下。节2多尺度结构,模型问题、铁(有限元)模型的离散化问题,迭代方法离散模型的解决方案。节2.5分析了迭代法的收敛与细胞膜的厚度和电导率跳过细胞膜的对比。数值研究的结果发表在部分3。提供了讨论和结论部分4和5。

2。方法

2.1。模型的问题

我们考虑一个椭圆模型在薄层高度不同导电率的问题内部, 的电导率是哪里 两个积极的常数和,这样。在这里,和表示部分的边界狄利克雷和诺伊曼边界条件,分别。图2(一个)说明了该模型在微观尺度的问题。在模型中,一个薄层有四个洞介绍模拟单个细胞半透膜躺在细胞外空间。类似的模式出现在幻影车型(发明的17]基于实验幻影采用哦et al。

2.2。Multiscalability模型问题

的描述我们的模型继承了两种类型的多尺度:之间的导电性差异细胞膜和细胞外区域的厚度大小区别细胞膜和细胞外区域的直径。为了构建一个离散模型对于这样一个问题,一个非常阐述了非结构化网格是不可避免的解决电导率不连续;参见图3。有限元方法在给定的非结构化网格导致一个坏脾气的线性系统由于高度异构的电导率,长宽比的各向异性元素,和非均匀网格大小18- - - - - -21]。在[13),处理电导率不连续有限差分方法是由纠正有限差分模板根据电导率不连续。修正项的计算相当复杂,甚至变得不可能这么一个瘦小的异常区域与许多采用洞。因此这两种方法成为我们的模型不切实际的问题。我们强调,我们的目的是模拟一个明显的电导率影响细胞膜的微观结构变化。对于我们的目的,一个离散模型和一个平滑的微观结构将是更可取的非常准确的离散模型。在接下来的小节,我们数值方法解决这方面发展。

2.3。模型离散化

我们离散化模型的问题(1使用有限元方法)(22用统一的网格)。让是一个统一的网格。然后,我们介绍一个分段线性符合有限元空间获得统一的网格。这里我们强调,网格不需要解决导不连续。

我们获得一个弱形式的(1)使用测试函数, 在哪里是空间平方可积的函数一阶导数和零值吗,边界的狄利克雷边界条件。然后,我们近似有限元基础, 在这里节点基函数节点吗,是一组指标均匀网格的节点,位于内部和,边界的诺伊曼边界条件,和与指数的节点设置吗,另一部分狄利克雷边界的边界条件。为节点在,相应的节点值狄利克雷边界条件决定的,也就是说,对所有在。

通过近似并利用测试函数,尽管在,得到有限元离散化模型的问题(3), 在哪里 由此产生的线性系统从上面的伽辽金近似取决于。的均匀网格离散化承认不连续导电率在一个网格;因此从这种统一的网格有限元近似结果在某些平滑离散模型;参见图1。这样一个平滑可以提供一个更实用的工具计算表观电导率有关显微细胞结构的变化,而我们的离散模型的精确度就会低于从非常细化网格的离散模型。大小的线性系统在我们的例子中变得比情况下使用一个非常好的非结构化网格。然而,薄层的电导率不连续仍然使生成的线性系统病态矩阵。为了得到更快的解决方案中的离散模型(5),我们将开发一个迭代法求解离散模型。

2.4。迭代法

我们的迭代方法将基于一个定点迭代。我们分解电导率 在哪里被定义为

使用(7我们重写(5) 我们获得 在哪里 在这里和表示组件的向量和为在分别为,特征函数关于集吗,也就是说, 我们现在提出迭代方法(10)。

算法1(迭代法)。(我)步骤1:让是一个初始。(2)步骤2:迭代,直到是收敛的。

鉴于、更新从

之前我们讨论上面的迭代法的收敛,我们定义以下概念。对于一个矩阵,我们定义了一个标准 我们说一个矩阵是对称的当。对对称矩阵和,我们定义的关系 当两个矩阵满足 意味着所有的特征值的关系最大特征值有界的吗。我们说一个对称矩阵是正定当 对称正定矩阵,规范矩阵的最大特征值是一样的吗。我们注意到两个矩阵和在上面的算法是对称的正定。对于任何给定的对称正定矩阵,我们获得

自,矩阵满足, 让然后 从(19)结合(18),我们获得 和然后收敛于零;换句话说,迭代收敛, 因此,我们的迭代法是一种定点迭代。

我们还观察到快速收敛的面积相对较小的一部分吗在我们的模型。在每个迭代中,我们解决了系统刚度矩阵和右边从先前的迭代计算。自从均匀网格获得,我们可以使用任何可用的快速解算器找到更新吗,如多栅的预调节器或快速傅里叶变换。这个词的电导率间断治疗,评估集成的异常区域。一个精确的集成,我们应用复合高斯求积。

我们生成的方法变成了类似于沉浸边界方法(14]在尊重中的电导率不连续模型被视为简单的模型问题的源项均匀电导率,问题是通过使用一个近似值,统一的网格。

2.5。迭代法的收敛性

在本节中,我们将提供一个更精确的收缩系数根据异常的厚度的相对比例的网格大小和相对比来。我们定义 在哪里的面积是准备好了吗。

对于每一个三角形在,这样,我们可以扩展来这然后我们定义通过 自 我们获得 在矩阵,,对应的导函数,,,分别。

通过使用,是相同的值所有三角形,相交,是常数为每个,我们有 因此 通过应用两岸的不平等之上,看到(18),我们最后获得 错误减少迭代法是有界的和。当相交只有少量的三角形,我们得到一个更好的换算系数,因为大多数条目为零。

定理2。减少误差因素至少由迭代方法 在哪里和通过参数定义

备注3。当的厚度是,。因此减少误差因素的相对比例是由筛孔尺寸的厚度异常。随着异常区域变得更薄,占据了一个小的一部分,误差减少给定网格大小的因素变得越来越小和一个给定的电导率的相对比例。

备注4。更快的收敛的迭代法,提出了网格大小对于一个给定的厚度是满足 为正数。有这样一个,减少误差的因素是有界的常数。从下面的数值试验,错误的解决方案在离散模型观察。网格的大小应该考虑决定所需的准确性以及迭代法的收敛。

3所示。数值结果

我们目前的数值实验方法。我们将考虑模型图2。问题域是一个矩形区域,异常区域由薄圈采用孔。厚度圆的是0.002,每个圆的直径是0.02。洞中引入每个圆的直径是0.005。的电导率异常区是由0.001和导电性是由1在其他地方,也就是说,和。所有的模型在以下的实验中,,,(网格大小)将决定一次是选择。

我们学习错误的行为通过近似均匀网格模型与有限元方法的问题,不解决电导率异常区域不连续。我们首先研究单细胞模型如图2(一个)。然后我们考虑更复杂的模型与多个单元如图2 (b)和2 (c)。为了计算错误,我们获得一个参考解决方案从COMSOL解决相同的模型问题使用一个非常精致的非结构化网格,可以解决电导率不连续;参见图3。我们考虑的固定解算器COMSOL获得各种模型的参考解决方案在这个工作。固定解算器适用于线性和非线性静止PDE的问题。在内部,一个名为femstatic的函数是一个固定的线性和非线性问题的解决者。默认值是“汽车”,这意味着femstatic自动选择一个解决取决于问题的线性。线性规划求解femstatic的模型选择问题在这工作。COMSOL使用直接或迭代线性系统动力学解决系统矩阵。各种预处理算法用于处理生病调节系统的矩阵。其中包括不完全LU,几何多重网格,不完整的柯列斯基,和其他一些(美国COMSOL Inc .)。

在表1,我们报告相对错误的解决方案(电压)和减少网格大小的电流密度。在这里在每个方向和表示的网格数量表示,计算误差在圈内的地区。例如,相对的误差在通过计算 在哪里从COMSOL参考解决方案,从我们的方法和网格大小的解决方案吗,网格点位于。迭代法的迭代停止时,相对误差在两个连续的迭代是减少的一个因素,也就是说, 和迭代的数量数量也报道在表1每个网格级别。

我们观察到的错误在电压跟随在整个域和圈内的错误显示更好的精度。的电流密度计算每个网格点通过使用电压的解决方案。的电流密度从我们的计算方法相同的方式使用。从结果我们可以看出,电流密度的错误成为更小的网格尺寸越来越小,因为电压的导数是使用较小的网格大小近似。获得更精确的近似电流密度,我们可以制定一个一阶系统(1)通过引入一个新的变量,。类似的想法目前的工作可以用于一阶系统。这个问题将在我们即将出版的研究。

迭代计算,误差在迭代方法取决于还原速度和。对于一个给定的,然后之间的比例和就变成了 当我们可以观察到的数值实验,我们有更快的收敛的迭代方法。

在表2,我们对模型与一个更复杂的异常报告错误,它由很多圈子里的洞。类似的错误的行为观察表1。相同的网格级别迭代数变大,随着越来越多的圈子里介绍了异常区域,即从模型(a)模型(c)时,即使是一个非常复杂的模型(c)的异常情况下我们看到不错的迭代计算。在数据4和5情节,我们也从COMSOL获得解决方案和电流密度和我们的方法,我们可以观察到很好的协议,所有这三个模型。

为了表明我们的方法是能够捕捉宏观性质,我们运用我们的方法与各向异性电导率模型。这里我们考虑一个圆有两个水平采用孔;每个孔的中心位于左和右端点的圆。研究各向异性模型,我们注入电流在水平方向或垂直方向,我们也考虑一圈没有采用洞。

在数据6和7,并给出了电压和电流密度与每个异常模型组成的圈子里有两个水平采用洞。在域的边界在水平方向电流注入。我们从我们的方法与比较结果而且从COMSOL非常细网格。我们观察这两个结果匹配好,他们也在良好的协议与前两个数字4和5异常时,由两个水平和垂直两个孔的圆,和当前水平注入在边界。

在数据8和9,并给出了电压和电流密度与每个异常模型组成的圈子里有两个水平采用洞。在域的边界电流注入在垂直方向。我们从我们的模型比较结果而且从COMSOL非常细网格。我们观察到垂直注入电流不能检测采用的水平在每个圆孔。

在数据10和11,并给出了电压和电流密度与每个异常模型组成的圈子没有任何采用洞。我们从我们的模型比较结果而且从COMSOL非常细网格。我们观察到的结果非常类似于那些数字8和9。

数值研究各向异性电导率模型提出,我们的方法可以捕捉宏观电导率对微观细胞膜的变化。

4所示。讨论

我们开发了一个实用的数值方法模拟宏观电导率与微观细胞膜的变化。有限元离散化和统一的网格应用于多尺度模型没有太多关注微观结构。我们指的是以前的研究的12,14),类似的想法是多尺度问题或多个结构。

对于一个更实际的方法,我们使用一个标准的线性有限元基础的统一的网格而不是使用粗基础(12]。类似于(14),平滑近似的微观细胞结构嵌入的右边的迭代方法,在解决一个简单的离散模型与均匀电导率提高准确性。收敛的迭代法分析了关于导电性差异的对比和细胞膜的相对比筛孔尺寸。

由于统一的网格不解决导不连续,我们的结果不太准确的近似方法(14]。在当前的工作中,我们报告的数值结果收敛错误在整个域。这样的属性(近似已经报道的14)当一个非常薄的弹性体。

从数值实验中,我们可以看到,我们的方法是能够捕获视电导率对微观分子结构的变化。获得一个更精确的电流近似,我们的方法可以进一步应用于两个未知数的一阶系统,和即将到来,这将在我们的研究。

5。结论

这种多尺度方法是需要正确解读重建电导率图像MREIT在细胞膜与微观结构变化的关系。我们将使用该方法来构建一个非均匀组织模型包括许多细胞与不同的膜孔结构。我们将计算磁通密度以及电压和电流密度MREIT模拟。使用计算磁通密度,我们将重建图像的视电导率。我们将看到明显的电导率变化如何改变微观细胞膜结构。我们将把该方法与MREIT模拟,这样我们可以通过使用一个MREIT解释明显电导率重构算法。

承认

第三作者是韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(最高明的)(没有。20100018275)。