多/许多客观基于竞争机制的粒子群优化算法

文摘

最近提出的基于竞争机制的多目标粒子群优化算法算法不能有效地处理许多客观优化问题,它的特点是相对贫穷的收敛性和多样性,和长计算运行时。摘要小说多/许多客观基于竞争机制的粒子群优化算法,提出了保持种群多样性的最大和最小夹角普通和极端的个人。和最近提议 - - - - - -采用优势,进一步提高算法的性能。该算法评价标准DTLZ基准问题,WFG, UF1-9和与四个最近提出的多目标粒子群优化算法和四个最先进的许多客观进化优化算法。实验结果表明,该算法具有更好的收敛性和多样性,和它的性能优于其他比较算法在大多数测试实例。

1。介绍

多目标优化问题生成从工程应用1),控制器优化(2),经济调度3)等。当目标的数量大于3,它被定义为许多客观优化问题(MaOP)。解决多/许多客观的两个主要目标优化问题的收敛性和多样性的解决方案。收敛的目的是找到一组解决方案尽可能接近真实的帕累托面前(PF)和多样性是找到一组解决方案尽可能多样化。收敛到真实的PF和保持良好的多样性之间的解决方案是解决问题的两个主要困难多/许多客观优化。然而,当解决许多客观优化问题,需要同时优化多个目标的数量和目标搜索空间和帕累托nondominance呈指数增长的解决方案。此外,nondominated排序的复杂性大大增加。很容易发现以下问题普遍存在于许多客观解决优化问题,如表现不佳,高昂计算复杂性,获得近似解不能近似真实的PF,分布不均,不完整的覆盖,稳定性差。近年来,许多学者已经提出了很多有效的方法来解决许多客观优化问题,提高算法的性能。许多客观优化算法的研究可以概括如下。

分解策略算法主要使用聚合方法将多/许多客观问题转换为一个简略的优化问题,如MOEA / D (4),MOEA /数字-模拟[5],MPSOD [6]。在性能指标算法,解决方案质量的性能指标测量在环境选择作为选择标准,如宣传(7],MOMBI-II [8],MaOEA-IGD [9]。参考点guidance-based算法使用一组参考点来引导进化,评估解决方案的质量,并控制人口的分布在目标空间中,比如NSGA-III [10]和RVEA [11]。基于减少许多客观优化算法的目标数量,从而提高算法的优化能力减少目标维度(12]。松帕累托dominance-based算法增强了算法的选择压力放松的选择环境中的支配关系和加强个体之间的支配关系。这种类型的代表α优势(13],fuzzy-dominance [14),r优势(15),而 - - - - - -优势(5,16]。

近年来,随着metaheuristic优化算法的发展基于不同的群,大量的多目标优化算法被开发出来,如萤火虫算法(17),蝙蝠搜索算法(18[],鸡群优化算法19),和人工蜂群算法(20.]。粒子群优化(PSO)是一种重要的metaheuristic优化技术,已用于解决多目标优化问题和显示有前途的性能(21- - - - - -23]。然而,基于粒子群优化的多目标优化算法容易陷入局部最优。是非常重要的多目标粒子群优化的性能达到一个合理的收敛性和多样性之间的平衡。一般来说,多目标粒子群优化的最佳个人搜索是基于假设没有粒子能实现最好的结果在所有目标的多目标优化问题。对于这个前提,有几种方法可以更新算法的速度和位置。除了传统的方法,更新速度和位置,还有其他有效的方法。双搜索策略(24)采用改进更新粒子的速度,这是旨在加快收敛速度和保持种群多样性,分别。PSO的变种,竞争群优化算子(25]有别于传统更新方法的主要竞争对手在当前组织引导搜索过程而不是历史的位置。和竞争群优化算法收敛性和多样性之间可以实现更好的结果。此外,全面学习粒子群优化使用粒子的最佳历史信息来更新粒子的速度,和这种策略可以保持群体的多样性,防止过早收敛。multiswarm全面学习粒子群优化(MSCLPSO [26])算法使用这种策略,结合多个成群更新粒子的位置,实现更好的结果。

许多论文都提出了不同的多目标粒子群优化算法,但大多数算法同时解决MaOP表现不佳。主要由于算法的选择压力不足,不能有效平衡收敛性和多样性之间的关系,并使算法陷入局部区域,远离真正的帕累托。例如,CMOPSO算法(27),基于竞争机制的更新人口学习,可以有效地解决多目标优化问题。然而,实验表明,在解决许多客观优化问题CMOPSO执行不佳,和算法通常运行很长一段时间在测试问题。CMOPSO算法的缺点,我们采用了一种新的环境选择策略来保持种群的多样性和就业 - - - - - -优势排序(28)和参考点再生策略(11进一步提高算法的性能。多/许多客观基于竞争机制的粒子群优化算法,提出了这是CMaPSO表示。总结了本文的主要贡献如下:(1)本文采用最近提议的竞争机理学习处理许多客观第一次优化问题。(2)新的环境选择策略保持算法的收敛性和多样性和选择最优个体通过使用普通个人和之间的最大和最小角的极端点。(3)该算法CMaPSO与四个最近出版的多/许多客观MMOPSO粒子群优化算法(24],MPSOD [6],CMOPSO [27],dMOPSO [29日]。此外,CMaPSO算法与许多客观四种最先进的优化算法相比,MOMBIII [8],NSGA-III [10],RPEA [30.],MyODEMR [31日标准基准问题来评估算法的性能。实验结果表明,该算法的性能优于对比算法在大多数标准基准问题。

本文的其余部分组织如下。部分2介绍了相关的背景。该CMaPSO详细描述部分3。部分4介绍了基准两个性能指标和算法设置用于性能比较。最后,给出了结论和未来的工作部分5。

在本节中,我们介绍一些概念,包括多目标优化和粒子群优化的定义。我们给最近提议算法的简要概述 - - - - - -DEA (28]。最后,几个最近提议多/许多客观总结了粒子群优化算法。

2.1。多目标优化问题

一般多目标优化最小化问题可以制定如下(32]: 在哪里是一个n维决策向量决策空间中有界 , 代表了米维目标向量,代表了我th最小化目标函数和问题的约束函数。几个相关定义多目标优化如下所示。

定义1。(帕累托主导地位)。一个决策向量据说主宰另一个决策向量 ,用 ,当且仅当

定义2。(帕累托最优)。一个向量如果没有其他是帕累托最优 ,这样。

定义3。(帕累托最优设置)。对于给定的多目标优化问题,帕累托集是由以下方程:

定义4。(帕累托面前)。对于一个给定的多目标优化问题,帕累托前面定义如下:

2.2。粒子群优化

随机算法基于仿生群体智慧叫粒子群优化(PSO) (33进行]提出了肯尼迪和埃伯哈特,模拟鸟类和鱼类的捕食行为。寻求最优解决方案通过群体中个体之间的合作和信息共享。目前,它已广泛应用于函数优化,神经网络训练,模糊系统控制以及其他应用领域。每个粒子代表一个潜在的解决方案优化问题,这是受位置和移动速度的影响。的速度和位置k粒子被表示为和 ,分别。的速度和位置kth粒子更新由以下功能: 在哪里 ,t是一代,惯性重量是用于平衡局部和全局搜索,和从个人两个学习因素和全球最好的粒子,称为加速度系数,然后呢和从两个均匀随机序列元素的范围。

2.3。 - - - - - -DEA

新提出的进化算法( - - - - - -DEA) [28)是基于一种新的统治关系 - - - - - -主导地位,提高了收敛NSGA-III [10)指的是程序的MOEA / D (4)算法,仍然继承了NSGA-III保持多样性的优势。在 - - - - - -优势,解决方案是分成不同的组提供一套参考点运动时,每组由一个参考点。类似PBI的适应度函数的定义来选择一组最优解。的算法框架 - - - - - -DEA (28总结如下。

首先,一组均匀分布生成参考点在目标空间和人口P初始化。理想点和最低点可以很容易地获得。然后,重组算子用于重组P人口产生的后代,这是结合当前的人口P组成一个新的人口年代。接下来,一个新的人口问获得基于帕累托nondominated水平的人口年代。人口问规范化的帮助吗和 ,和人口问集群的集群运营商,每个参考点代表一个集群。最后,nondominated排序的基础上 - - - - - -优势是用来分类问到不同的 - - - - - -主导地位的水平。该算法根据不同级别的选择解决方案 - - - - - -主导地位,直到达到终止条件。

2.4。当前多一些/许多客观粒子群优化

粒子群优化通常是用来解决多目标优化问题,因为它快速收敛和容易实现。目前,有许多研究文献多目标粒子群优化,如NMPSO [34],MPSO-D [6),和D²MOPSO [21]。现有的多目标粒子群优化算法一般可以总结成以下类型。第一类是由多目标粒子群优化算法由帕累托,这决定了个人最佳和全球最佳粒子基于帕累托排名。通过帕累托排名和有限的迭代更新nondominance解决方案,该算法利用和探索全球最好的粒子接近整个真实的PF。经典的多目标优化问题包括MOPSO [22],OMOPSO [23],SMPSO [35],CMOPSO [27],AMOPSO [36]。第二类采用分解方法,拖把分解成一组简略优化问题和解决各单目标优化问题直接算法。这种方法已经被证明是有效地解决复杂的拖把,及其代表算法dMOPSO [29日),维²DMOPSO [21],MOPSO / D [37],MPSO / D [6],AgMOPSO [7],MMOPSO [24]。我们选择一些最新的算法,这些算法进行简要概述。

MPSO-D [6]使用一组方向向量分解的目标空间为一组子空间,并确保每个区都有一个解决方案。此外,拥挤距离和相邻粒子用于确定全球最佳粒子的历史地位。

MMOPSO [24)需要分解的方法将多目标优化问题转换为一组聚合问题,采用双搜索策略来提高更新粒子的速度。的弱点可以有效地提高了进化搜索算法搜索存储在外部档案非惯用的解决方案。

COMPSO [27采用帕累托的主导地位和竞争学习策略用于更新粒子,每个粒子每对获胜者的完成学习。然而,竞争只是精英粒子间选择在当前人口,和没有外部存档保存全球和个人最好粒子。

AgMOPSO [38)还将多目标优化问题转换为一组聚合子问题的分解方法,优化分配的粒子。Archive-guided速度更新方法指导勘探的群,pb,磅,选择和gb粒子从外部存档,这是进化的免疫进化策略。

此外,还有最近提议MOPSO方法指标的基础上,参考点,和平衡的健康评估,如NMPSO [34],MaOPSO [39],R2-MOPSO [40),用于解决高维multiobjection优化问题。NMPSO [34)使用一个平衡的健康评估方法,该方法结合了收敛性和多样性的距离来解决许多客观优化问题。为了提高算法的性能,进化搜索中使用外部档案和新算法的速度更新方程。该算法MaOPSO [39)采用一组参考点,动态地确定基于搜索过程和实施必要的选择压力算法收敛于真实的PF,同时保持PF的多样性。R2-MOPSO [40)结合R2与粒子群优化性能指标和导游解决许多客观的搜索一个设计良好的互动过程优化问题。

3所示。该算法

在本节中,该算法CMaPSO主要是详细描述,因为竞争群算子可以实现更好的收敛性和多样性之间的平衡比传统的粒子群优化算法。本文基于竞争机制的粒子群优化算法结合另一个环境选择机制,这是不同于算法CMOPSO [27]。为了提高该算法的收敛性和多样性在解决许多客观优化问题,最近提议 - - - - - -采用优势进一步加强nondominated解决方案的选择压力。然而,实验表明,简单地使用 - - - - - -主导地位会导致算法退化问题上表现不佳。因此,参考点再生策略是用来改善这一缺陷。我们将描述算法CMaPSO的主要组件,包括竞争机制对速度和位置更新,环境选择基于极端点, - - - - - -主导地位。最后,我们将给出算法的完整框架CMaPSO。

3.1。竞争机制对速度和位置更新

CMOPSO相似算法,人口按nondominated排序和拥挤距离排名,但不同的是,根据当前的人口规模,不同数量的人口从排序获得优秀个人形成一个竞争组织。拥挤距离(41)是一个指数来描述之间的拥挤程度,个人在同一个nondominated面前和他们的邻居。一对粒子随机选择从当前竞争集团的赢家将是用于指导粒子的运动方向在当前群。

如何生成的整个过程精英粒子称为竞争机制。图1显示了生成的过程精英粒子。对于每一个成对竞争,给定一个粒子群,两个精英粒子和随机选择的竞争。精英粒子与一个小角之间的角度后赢得了竞争一个,b,分别计算。很容易找到图的角度的来远远小于角吗的来 ,所以作为一个精英粒子引导人口的发展。

更新的速度和位置的我th粒子计算使用以下方程作为竞争群优化建议: 在哪里两个随机生成的向量和吗冠军的位置,和正在学习的因素。的伪代码修改竞争系统,即学习策略中描述的算法1。最后,多项式变异中广泛采用多目标优化算法(24,27)用于变异提高人口的多样性。多项式的表达变化如下: 在哪里与 , , 一个随机数在吗 , 指数分布,是一个父个体。

	输入:初始种群 ;精英粒子集问;精英粒子集的大小K
	输出:新职位P
(1)	问⟵选择K粒子根据nondominance排序和拥挤距离;
(2)	为我= 1:N
(3)	随机选择两个精英粒子,b从问
(4)	精英粒子与一个小角赢得竞争
(5)	更新粒子的速度使用方程(6)
(6)	更新粒子的位置p使用方程(7)
(7)	更新位置P根据和p
(8)	结束
(9)	P⟵Polynomial_Mutation (P使用方程()8)

3.2。代的参考点

在这篇文章中, - - - - - -优势排序采用增加算法的选择压力,和nondominated解决方案的选择由参考点的指导实现。因此,有必要引入参考点的生成。参考点方法常用于改善MOEAs的多样性和均匀性能力在解决多/许多客观优化问题,如NSGA-III [10), - - - - - -EDA (28]。这些算法首先生成一组预定义的或用户首选基于分解的参考点。本文采用一个两层(边界和内部层)的方法(10,28),它使用系统方法来生成两组参考方向:一套在边界层和内部的其他层。假设边界和内部层的分歧H₁和H₂分别,然后计算参考点数量如下: 在哪里米是客观的维度和空间H₁和H₂是用户定义的整数。

3.3。 - - - - - -优势排序

- - - - - -采用PBI主导地位(penalty-based边界交点)方法MOEA / D (4]。和PBI标量函数定义如下: 在哪里是一个预设惩罚参数和一般设置。是参考点,即为每一个。

规范化的人口聚集PBI标量函数,和 - - - - - -根据的价值优势顺序执行 ,在极端的大小控制的解决方案。的定义 - - - - - -优势如下:给出两种解决方案 , 据说 - - - - - -占据主导地位 ,用 ,敌我识别 , 和 ,在哪里。的目的 - - - - - -nondominated解决方案的优势是获得一组最近PF和调和PF的伪代码 - - - - - -优势排序过程算法所示2。

	输入:人口P
	输出:新的人口P
(1)	GDnum⟵GetParetoDominanceNum (P);
(2)	计算d₁使用方程(12);
(3)	计算d₂使用方程(13);
(4)	k⟵min (d₂);
(5)	为我= 1,N
(6)	D⟵计算d₁(k,我)+d₂(k,我使用方程()11);
(7)	排名⟵排序(D);
(8)	结束了
(9)	P⟵P(等级);

3.4。参考点的再生策略

均匀分布的参考点是基于一般假设PF常规几何结构,也就是说,光滑、连续、和分布式。然而,在实际应用有多种多目标优化问题。PF可能非常不规则的几何结构,如不连续、退化和多通道。对于这些问题,如果均匀分布参考向量仍使用和参考向量可能不是与个人有关,那么帕累托最优解的密度是不够的。基于这样的问题,我们将采用参考向量再生策略提出了RVEA [11]。这种策略主要是再生参考点和替换那些不习惯和浪费。的伪代码参考点再生策略算法所示3。

	输入:人口P,参考点K
	输出:新的参考点K
(1)	副⟵人口与参考点(P,K);
(2)	K未使用⟵找到未使用的参考点;
(3)	K使用⟵找到使用参考点;
(4)	Z马克斯⟵计算最大客观值;
(5)	K未使用⟵之间生成随机值(0,K_马克斯];
(6)	K⟵ ;

3.5。环境选择基于极端点

在本文中,我们讨论了极端点,主要指的是在规范化的解集,让极端的解决方案在规范化的解集是一个解决方案。如果解决方案X有一个组件 ,的最大值或最小值对应的位置组件在所有的解决方案,这个解决方案的定义是一个极端的解决方案。首先,极端的解决方案被选中进入档案。然后,未经选择的解决方案和所选解决方案之间的夹角计算,选择和解决方案进入档案,角的大小。解决方案之间的角度和定义如下:

很明显,

档案更新的过程基于极端点如图2。假设有一个人口目标空间,其中包括5个人 , , , ,和。首先,人口规范化,两种极端观点和通过计算选择。然后,之间的角度 , ,和和和分别计算,获得最大最小化后的结果。首先是选择进入最优人口,就这样,和按顺序选择到最佳的人口。可以从个人选择过程,个人从两个极端点,中间的两个极端点是优先选择,从而保证最优人口的多样性和均匀性。算法4显示档案更新基于极端点的伪代码。

	输入:人口 ;人口数量N
	输出:新档案一个
(1)	问⟵Pareto-dominance排序的人口P与1级和选择个体
(2)	Z分钟⟵min (问);
(3)	Z马克斯⟵max (问);
(4)	问= (问−Z最小值)/ (Z马克斯−Z分钟);
(5)	问⟵ - - - - - -人口优势排序问并选择个人等级1(算法2);
(6)	N₁⟵大小(问);
(7)	角⟵计算人口问和问角使用方程(13)
(8)	选择⟵false (1,N₁);
(9)	Extreme1⟵min (问);
(10)	Extreme2⟵max (问);
(11)	选择⟵选择(Extreme1);
(12)	选择⟵选择(Extreme2);
(13)	而总和(选择)< min (N,N₁)
(14)	选择⟵选择;
(15)	取消选择⟵∼选择;
(16)	k⟵最大(最小(角(选择、取消选择)));
(17)	选择⟵选择(k)= true;
(18)	结束时
(19)	一个⟵P(选择);

3.6。完整的CMaPSO算法

的完整框架提出CMaPSO方法中描述的算法5。首先,初始化种群,和相应的人口数量。一组均匀分布生成参考点K使用方程(8)。然后,外部档案更新与现有的信息。在while循环,PSO算法(算法的竞争机制1)是用于更新人口P获得一个新的人口P。下一步是更新与新的人口外部档案P,精英人群一个是获得。为了避免算法陷入局部最优,遗传算子用于交叉和变异外部档案一个这样可以充分交换了精英个体之间的信息,和新的人口年代可以生成。外部档案更新结合新的人口和精英人群一个,新精英群体一个是上涨的。最后,在一定条件下,采用参考点再生策略获得新的参考点来取代以前的根据个人档案的分布一个。该算法继续while循环,直到满足终止条件。

	输入:初始化种群P;人口数量N;
	输出:更新档案一个
(1)	K⟵产生均匀分布的参考点
(2)	一个⟵初始化档案(P,N,K)算法4;
(3)	而不满足终止准则做
(4)	P⟵竞争学习(P)算法1;
(5)	一个⟵更新档案([P,一个),N,K)算法4;
(6)	年代⟵Cross-mutation的一个通过遗传算子;
(7)	一个⟵更新档案([一个,年代),N,K)算法4;
(8)	K⟵参考点再生策略算法3;
(9)	结束时

3.7。算法的计算复杂度CMaPSO

我们考虑的主要步骤,提出了算法,分析了算法的复杂性算法CMaPSO。学习的算法CMaPSO主要由基于竞争机制,更新精英档案, - - - - - -优势排序和参考点的再生策略。这些主要部分的时间复杂度在最坏的情况下。因此,整体的最坏时间复杂度CMaPSO的一代。

4所示。实验研究

本部分的研究致力于模拟实验比较算法,通过选择适当的标准基准问题,性能指标等。该算法的性能评估CMaPSO相比之下实验结果。仿真实验的背景介绍,包括标准的基准问题,性能指标,实验环境,和一些参数设置。为了评估CMaPSO的表现,最近出版的先进算法相比,该算法。四个最近提议多/许多客观粒子群优化算法,如CMOPSO [27],MMOPSO [24],MPSOD [6],dMOPSO [29日)和四个最近提议许多客观进化优化算法,如NSGA-III [10],MOBIII [8],RPEA [30.],MyODEMR [31日是用来验证该算法的性能。在仿真实验中,我们使用原始论文提出的参数设置比较算法。

4.1。标准基准问题

为了验证该算法的性能CMaPSO,总共25基准拖把,3,5,8日,10日和15个目标从两个测试服是用来评估算法的性能CMaPSO,包括DTLZ [42],WFG [43),和佛罗里达大学44),DTLZ1 DTLZ7, WFG1 WFG9, UF1 UF9考虑。测试问题的帕累托前面特点采用仿真实验进行了总结,如表所示1。测试集的数学表达式DTLZ, WFG,佛罗里达大学提出了补充材料(可用(在这里))。


问题	特性

DTLZ1	线性、多通道
DTLZ2	凹
DTLZ3	凹,多通道
DTLZ4	凹,有偏见
DTLZ5	凹,退化
DTLZ6	凹,退化,偏见
DTLZ7	混合、分离、多通道扩展
WFG1	混合、偏见、扩展
WFG2	凸,断开连接,多通道、不可分的比例
WFG3	线性的,堕落的,不可分的,按比例缩小的
WFG4	凹、多通道扩展
WFG5	凹、欺骗性、扩展
WFG6	凹,不可分的,按比例缩小的
WFG7	凹,偏见,缩放
WFG8	凹,有偏见的,不可分的,按比例缩小的
WFG9	凹,偏见,多通道、欺骗性、不可分的,按比例缩小的
UF1	复杂的帕累托集
UF2	复杂的帕累托集
UF3	复杂的帕累托集
UF4	复杂的帕累托集,凹
UF5	复杂的帕累托集,离散
UF6	复杂的帕累托集,不连续
UF7	复杂的帕累托集
UF8	复杂的帕累托集,凹
UF9	复杂的帕累托集,不连续

我们采用了建议设置决策变量的测试套件DTLZ和WFG [34,45]。DTLZ1 DTLZ7,决策变量的数量设置为 ,在哪里是决策变量的数量,客观的数量,是固定的参数。WFG1 WFG9,决策变量的数量设置为 ,在哪里是决策变量的数量,是设置为 , 是客观的数字,然后呢是固定的参数。目标和决策变量的数量在佛罗里达大学测试组安排根据建议(44),测试函数UF1 UF7数量目标米= 2,标量的数量决定d= 30,UF8 UF9与客观的数量米= 3,d= 30。详细的设置信息如表所示2。


问题	米	d	参数

DTLZ1	3、5、8、10、15	米+k−1	k= 5
DTLZ2——DTLZ6	3、5、8、10、15	米+k−1	k= 10
DTLZ7	3、5、8、10、15	米+k−1	k= 20
WFG	3、5、8、10、15	k+l	k= 2^∗(m - 1); 1 = 20
UF1-UF7	2	30.
UF8-UF9	2	30.

4.2。参数设置

在本文的仿真实验中,不同的人口数量设置为不同的尺寸,和数量的评估是统一设置为150000,如表所示3。对于每个测试用例,所有使用算法独立运行30倍与英特尔酷睿i7 PC - 6500 u @ 10 2.50 GHz双核CPU和Microsoft Windows操作系统。进行了仿真实验在最近提议platemo - 2.0 (46]。模拟数据的平均值和标准偏差的比较算法相比,说明算法的性能,最佳的性能值在每个测试实例以粗体突出显示背景。此外,Wilcoxon采用秩和检验在0.05的显著性水平,在符号“+”“−”和“”表明结果是更好,明显更糟糕的是,和统计算法获得的类似。


维数	人口数量	评价

3	One hundred.	150000年
5	150年	150000年
8	200年	150000年
10	250年	150000年
15	300年	150000年

4.3。性能指标

绩效评估指标是用来测量获得的解集的收敛性和分布性能的算法。常用的绩效评价指标如下。

4.3.1。一代的距离

代的距离(GD) (47是用来评估算法的收敛性能。GD值越小的解集获得的一种算法,算法的收敛性能越好。特别是,当GD = 0,所有获得的最优解的算法在真正的帕累托面前。

4.3.2。间距

间距(SP) (47)是用来反映解集分布的均匀性获得的算法。SP值越小,解集分布越均匀。

4.3.3。反向代距离

反向代距离(IGD) [48)是使用最广泛的指标之一。它可以提供全面的信息融合和分配算法的性能通过计算每个点之间的最小距离和真正的PF和计算个体集。IGD值越小,质量越好获得的解集的算法。特别是,如果IGD = 0, PF包含真正的PF的每一点。

本文采用IGD对算法的性能进行评估。让是一个均匀分布的子集选择正确的和当前获得的是帕累托最优解集的算法。IGD定义如下: 在哪里返回的解决方案集和计算最小欧氏距离的解决方案在客观的空间。

此外,为了直观地量化算法的总体性能在不同的测试问题,介绍了性能得分方法。假设有算法 ,如果算法明显比算法根据IGD,设置为1,否则和0。然后,为每个算法 ,绩效评分计算由以下方程:

表现分表示有多少其他算法比相应的算法测试问题,和较小的值代表比其他算法更好的性能。

4.4。CMaPSO之间的性能比较和四个多/许多客观粒子群优化算法

本节中,我们比较该算法CMaPSO有四个最近出版的多/许多客观粒子群优化算法CMOPSO MMOPSO, dMOPSO,和MPSOD 3、5、8、10和15的目标DTLZ WFG测试套件,分别。综合性能指标IGD用于评估仿真结果,实验结果可以说明算法的性能在不同的测试用例。表现分用于直观地说明了每个算法的性能。表4和5显示该算法的仿真结果和其他比较算法DTLZ WFG测试套件,在实验结果报告的IGD值的平均值和标准偏差。表6和7列表的数量最好的、更好的相似,甚至更糟CMaPSO和比较算法的性能在DTLZ WFG,分别。表8总结了实验结果的表6和7说明每个比较算法的总体显著性检验所有测试问题。图3描绘的平均IGD绩效得分的趋势都比较算法对不同的目标和不同的测试实例和链接该算法用蓝色折线的趋势。图4显示所有比较算法的平均绩效成绩DTLZ并使用直方图WFG测试套件。


问题	米	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

DTLZ1	3	3.2557e−2 (1.79e−2)−	7.8004e−1 (6.93e−1)−	5.4064e−2 (8.59e−2)−	1.9100 e−2 (5.02 e−5) +	2.2047e−2 (2.92e−4)
	5	7.3425e+ 0 (3.95e+ 0)−	7.6675e−1 (7.32e−1)−	1.9539e+ 0 (1.99e+ 0)−	6.7643e−2 (3.40e−2)−	6.4419 e−2 (5.43 e−3)
	8	3.9661e+ 1 (1.55e+ 1)−	4.6021e−1 (1.83e−1)−	1.1739e+ 1 (6.20e+ 0)−	3.5917e−1 (7.11e−2)−	1.0696 e−1 (5.96 e−3)
	10	9.1496e+ 1 (2.26e+ 1)−	1.2893e+ 0 (1.71e+ 0)−	1.3584e+ 1 (3.95e+ 0)−	7.6499e−1 (1.39e−1)−	1.3077 e−1 (1.58 e−2)
	15	1.0964e+ 2 (1.26e+ 1)−	9.2687e−1 (9.42e−1)−	1.6867e+ 1 (7.47e+ 0)−	1.2428e+ 0 (4.81e−1)−	1.3692 e−1 (8.31 e−3)

DTLZ2	3	5.7035e−2 (3.05e−4)=	1.3362e−1 (7.19e−3)−	6.9615e−2 (1.86e−3)−	5.4516 e−2 (1.23 e−5) +	6.0866e−2 (1.22e−3)
	5	3.6973e−1 (3.88e−2)−	2.9030e−1 (4.75e−3)−	2.4978e−1 (1.01e−2)−	1.9659e−1 (6.55e−5)=	1.9525 e−1 (1.20 e−3)
	8	2.3305e+ 0 (2.70e−2)−	5.1260e−1 (3.01e−2)−	7.3105e−1 (6.33e−2)−	3.1787 e−1 (3.28 e−4) +	3.5837e−1 (1.79e−3)
	10	2.3737e+ 0 (1.60e−2)−	6.0004e−1 (3.10e−2)−	1.1142e+ 0 (9.31e−2)−	4.4485e−1 (5.84e−4)−	4.2631 e−1 (2.22 e−3)
	15	2.4967e+ 0 (1.68e−2)−	8.2668e−1 (3.60e−2)−	1.4850e+ 0 (1.96e−1)−	5.3230e−1 (7.13e−4)−	4.9904 e−1 (1.88 e−3)

DTLZ3	3	3.4943e+ 1 (1.33e+ 1)−	3.7248e+ 0 (4.47e+ 0)−	7.3776e−2 (8.27e−3)−	7.6661e+ 0 (3.46e+ 0)−	6.2885 e−2 (6.68 e−3)
	5	1.4470e+ 2 (1.53e+ 1)−	1.2027e+ 2 (5.87e+ 1)−	5.0745e+ 1 (5.00e+ 1)−	1.8499e+ 1 (3.69e+ 0)−	2.1712 e−1 (1.90 e−2)
	8	4.3773e+ 2 (1.09e+ 2)−	1.6852e+ 2 (5.82e+ 1)−	1.6750e+ 2 (3.70e+ 1)−	3.3532e+ 1 (4.90e+ 0)−	6.2463 e−1 (2.48 e−1)
	10	5.3570e+ 2 (1.46e+ 2)−	1.7975e+ 2 (1.55e+ 1)−	1.9185e+ 2 (2.35e+ 1)−	4.8642e+ 1 (5.54e+ 0)−	1.9282 e + 0 (1.17 e + 0)
	15	7.3422e+ 2 (6.36e+ 0)−	1.8714e+ 2 (1.26e+ 1)−	1.8323e+ 2 (4.26e+ 1)−	6.1343e+ 1 (8.37e+ 0)−	1.1990 e + 0 (7.43 e−1)

DTLZ4	3	6.2273e−2 (3.06e−3)+	2.2990e−1 (4.42e−2)+	7.0481e−2 (1.90e−3)+	5.4519 e−2 (1.24 e−5) +	3.3993e−1 (3.21e−1)
	5	4.1558e−1 (5.73e−2)−	4.4812e−1 (2.54e−2)−	2.3859e−1 (9.52e−3)−	1.9596e−1 (1.04e−4)=	1.9522 e−1 (9.00 e−4)
	8	1.5137e+ 0 (1.31e−1)−	5.8493e−1 (1.32e−2)−	7.8410e−1 (1.11e−1)−	3.4118 e−1 (1.38 e−3) =	3.5373e−1 (1.59e−3)
	10	1.3490e+ 0 (8.33e−2)−	6.5214e−1 (1.78e−2)−	1.3628e+ 0 (1.18e−1)−	4.5450e−1 (5.10e−4)−	4.2690 e−1 (4.12 e−3)
	15	1.5053e+ 0 (7.64e−2)−	7.5203e−1 (8.43e−3)−	1.9333e+ 0 (3.48e−1)−	5.7137e−1 (2.72e−3)−	5.3276 e−1 (4.13 e−3)

DTLZ5	3	5.6927 e−3 (8.30 e−4) +	4.0628e−2 (5.35e−3)−	6.1386e−3 (4.10e−4)=	3.2522e−2 (1.17e−3)−	6.3719e−3 (4.23e−4)
	5	3.1111e−1 (2.57e−2)−	2.9915 e−2 (4.86 e−3) +	7.1303e−2 (1.83e−2)−	8.5261e−2 (3.41e−3)−	3.6560e−2 (6.96e−3)
	8	1.8356e+ 0 (4.73e−1)−	2.9288 e−2 (5.87 e−3) +	1.7165e−1 (5.24e−2)−	1.2868e−1 (9.95e−3)−	5.4626e−2 (9.29e−3)
	10	1.7715e+ 0 (7.11e−1)−	2.3843 e−2 (5.25 e−3) +	1.2075e−1 (3.69e−2)−	1.7173e−1 (1.78e−2)−	4.8186e−2 (8.22e−3)
	15	1.7061e+ 0 (2.95e−1)−	2.7307 e−2 (5.83 e−3) +	1.7347e−1 (9.17e−2)−	1.9137e−1 (3.52e−2)−	4.7407e−2 (4.20e−3)

DTLZ6	3	4.2165 e−3 (4.46 e−5) +	3.3835e−2 (1.32e5)−−	6.9594e−3 (9.60e−4)=	3.3198e−2 (3.59e−4)−	6.8460e−3 (6.24e−4)
	5	3.8651e+ 0 (1.57e+ 0)−	3.2017 e−2 (6.18 e−6) +	2.9603e−1 (2.36e−1)−	8.6575e−2 (1.18e−3)+	1.9242e−1 (4.37e−2)
	8	9.6427e+ 0 (1.81e−1)−	2.4404 e−2 (2.53 e−4) +	4.0488e−1 (2.42e−1)−	1.2025e−1 (4.51e−4)+	2.5237e−1 (5.01e−2)
	10	9.7001e+ 0 (2.54e−1)−	2.4908 e−2 (5.63 e−4) +	5.4698e−1 (4.21e−1)−	1.1575e−1 (2.34e−4)+	2.2817e−1 (1.31e−1)
	15	9.7485e+ 0 (1.53e−1)−	5.2210 e−2 (5.22 e−6) +	6.6979e−1 (5.08e−1)−	1.4965e−1 (3.22e−2)+	2.2625e−1 (2.45e−1)

DTLZ7	3	6.4645 e−2 (1.71 e−3) +	1.4252e−1 (2.36e−2)+	8.5361e−2 (5.39e−3)+	1.3306e−1 (1.85e−3)+	1.5317e−1 (8.45e−2)
	5	5.2563e−1 (2.25e−2)+	5.4125e−1 (6.41e−2)+	3.6133 e−1 (8.47 e−3) +	6.2844e−1 (9.43e−3)+	2.0956e+ 0 (7.85e−1)
	8	5.9164e+ 0 (2.86e+ 0)−	1.3807e+ 0 (1.35e−1)+	8.2129 e−1 (3.09 e−2) +	1.7184e+ 0 (3.57e−1)+	2.8717e+ 0 (1.14e+ 0)
	10	1.6003e+ 1 (5.01e+ 0)−	1.6656e+ 0 (1.67e−1)+	1.5255 e + 0 (1.27 e−1) +	2.1238e+ 0 (6.55e−1)+	9.5705e+ 0 (3.19e+ 0)
	15	6.5560e+ 1 (6.40e+ 0)−	2.9213e+ 0 (3.20e−1)+	2.4919 e + 0 (3.91 e−1) +	2.8822e+ 0 (4.36e−1)+	1.5214e+ 1 (3.32e+ 0)

+ /−/ =		6/29/0	14/21/0	7/28/0	14/19/2


问题	米	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

WFG1	3	1.5022e+ 0 (8.42e−3)−	1.5274e+ 0 (6.04e−3)−	4.3581e−1 (4.58e−2)−	1.4777e+ 0 (3.20e−2)−	3.6797 e−1 (6.06 e−2)
	5	2.0348e+ 0 (1.90e−2)−	2.0337e+ 0 (1.12e−2)−	1.5417e+ 0 (4.96e−2)=	1.9401e+ 0 (2.34e−2)−	1.5343 e + 0 (1.87 e−1)
	8	2.6729e+ 0 (5.37e−2)−	2.7149e+ 0 (1.02e−2)−	2.3994e+ 0 (4.93e−2)−	2.6159e+ 0 (1.69e−2)−	1.9306 e + 0 (9.28 e−2)
	10	3.0866e+ 0 (2.20e−2)−	3.1181e+ 0 (2.13e−2)−	2.8852e+ 0 (5.91e−2)−	3.0500e+ 0 (2.39e−2)−	2.6358 e + 0 (1.22 e−1)
	15	4.0310e+ 0 (3.21e−2)−	4.2140e+ 0 (3.10e−2)−	3.8640e+ 0 (4.63e−2)−	3.9929e+ 0 (2.72e−2)−	3.7283 e + 0 (7.91 e−2)

WFG2	3	1.8125e−1 (8.54e−3)−	3.7120e−1 (1.97e−2)−	2.3566e−1 (1.26e−2)−	1.9821e−1 (4.74e−3)−	1.6900 e−1 (2.59 e−3)
	5	6.4846e−1 (2.79e−2)−	6.9837e−1 (3.03e−2)−	7.8138e−1 (4.76e−2)−	6.3753e−1 (3.77e−2)−	4.6603 e−1 (6.91 e−3)
	8	1.2562e+ 0 (3.65e−2)−	1.4097e+ 0 (5.78e−2)−	1.4180e+ 0 (6.18e−2)−	1.1999e+ 0 (3.65e−2)−	1.0521 e + 0 (4.00 e−2)
	10	1.5717e+ 0 (5.30e−2)−	1.6534e+ 0 (2.39e−2)−	1.5513e+ 0 (3.78e−2)−	1.4113e+ 0 (5.47e−2)−	1.1252 e + 0 (3.35 e−2)
	15	2.4815e+ 0 (2.93e−1)−	2.6033e+ 0 (6.95e−2)−	2.0643e+ 0 (9.59e−2)−	1.9621e+ 0 (4.47e−2)−	1.6533 e + 0 (7.00 e−2)

WFG3	3	1.9304e−1 (1.56e−2)−	5.0349e−1 (7.21e−2)−	1.0427 e−1 (1.24 e−2) =	2.7890e−1 (2.65e−2)−	1.0706e−1 (7.68e−3)
	5	1.0736e+ 0 (9.85e−2)−	7.9881e−1 (5.77e−2)−	5.7070e−1 (8.62e−2)−	8.3271e−1 (4.10e−2)−	3.8881 e−1 (7.07 e−2)
	8	2.2141e+ 0 (1.14e−1)−	2.3638e+ 0 (6.11e−1)−	1.2723e+ 0 (1.52e−1)−	1.4738e+ 0 (3.54e−2)−	5.1806 e−1 (8.01 e−2)
	10	2.8920e+ 0 (1.42e−1)−	4.1413e+ 0 (2.61e−1)−	1.5555e+ 0 (2.18e−1)−	1.8289e+ 0 (5.14e−2)−	6.7278 e−1 (9.57 e−2)
	15	4.9914e+ 0 (6.64e−1)−	8.9915e+ 0 (2.49e+ 0)−	2.8363e+ 0 (7.44e−1)−	2.3692e+ 0 (5.44e−2)−	9.6840 e−1 (7.37 e−2)

WFG4	3	2.7079e−1 (2.97e−3)−	3.2880e−1 (1.19e−2)−	2.9431e−1 (1.69e−2)−	2.6878e−1 (3.91e−3)−	2.4216 e−1 (3.15 e−3)
	5	1.0795 e + 0 (2.11 e−2) =	1.5872e+ 0 (1.58e−1)−	1.2103e+ 0 (3.12e−2)−	1.4754e+ 0 (1.97e−2)−	1.1111e+ 0 (1.17e−2)
	8	2.8804 e + 0 (2.52 e−2) =	7.4798e+ 0 (3.60e−1)−	3.2326e+ 0 (4.10e−2)−	4.7715e+ 0 (9.97e−2)−	3.0092e+ 0 (2.50e−2)
	10	4.2454e+ 0 (6.57e−2)=	1.0133e+ 1 (1.55e−1)−	4.5236e+ 0 (3.79e−2)−	6.5960e+ 0 (1.21e−1)−	4.2453 e + 0 (2.07 e−2)
	15	7.9002e+ 0 (1.11e−1)=	1.5922e+ 1 (5.08e−1)−	8.2037e+ 0 (7.88e−2)−	9.0792e+ 0 (3.48e−1)−	7.8890 e + 0 (3.35 e−1)

WFG5	3	2.6458e−1 (8.21e−3)−	3.1650e−1 (3.26e−2)−	2.8914e−1 (1.08e−2)−	2.5515e−1 (9.62e−4)−	2.3862 e−1 (3.81 e−3)
	5	1.0560 e + 0 (9.16 e−3) +	1.3479e+ 0 (3.99e−2)−	1.2652e+ 0 (2.90e−2)−	1.5195e+ 0 (7.72e−3)−	1.1126e+ 0 (1.35e−2)
	8	2.9384 e + 0 (3.29 e−2) +	4.6484e+ 0 (2.25e−1)−	3.4768e+ 0 (7.43e−2)−	4.0103e+ 0 (1.64e−1)−	3.1077e+ 0 (2.64e−2)
	10	4.1166 e + 0 (3.84 e−2) =	6.8581e+ 0 (1.97e−1)−	4.7322e+ 0 (6.47e−2)−	5.4337e+ 0 (1.23e−1)−	4.2940e+ 0 (5.03e−2)
	15	7.6413e+ 0 (1.14e−1)−	1.0395e+ 1 (2.98e−1)−	8.3772e+ 0 (1.16e−1)−	8.1415e+ 0 (9.91e−2)−	7.1937 e + 0 (9.64 e−2)

WFG6	3	2.5950e−1 (8.18e−3)−	2.9186e−1 (1.76e−2)−	3.2614e−1 (1.46e−2)−	2.8432e−1 (1.11e−2)−	2.4022 e−1 (4.65 e−3)
	5	1.1636e+ 0 (3.08e−2)=	2.7199e+ 0 (1.35e−1)−	1.2643e+ 0 (1.98e−2)−	1.4793e+ 0 (5.45e−2)−	1.1512 e + 0 (7.89 e−3)
	8	3.1267e+ 0 (4.98e−2)=	8.4369e+ 0 (4.82e−1)−	3.4341e+ 0 (4.46e−2)−	4.6085e+ 0 (3.11e−1)−	3.1219 e + 0 (3.29 e−2)
	10	4.3428 e + 0 (3.50 e−2) =	1.0817e+ 1 (2.06e−1)−	4.6880e+ 0 (4.17e−2)−	6.3171e+ 0 (2.85e−1)−	4.3853e+ 0 (5.38e−2)
	15	7.7888e+ 0 (9.19e−2)−	1.6862e+ 1 (2.16e−1)−	8.2301e+ 0 (8.32e−2)−	8.9450e+ 0 (2.52e−1)−	7.4678 e + 0 (1.54 e−1)

WFG7	3	2.3377e−1 (3.70e−3)=	4.1408e−1 (1.16e−2)−	2.8324e−1 (1.06e−2)−	2.6031e−1 (2.03e−3)−	2.3088 e−1 (4.14 e−3)
	5	1.1356e+ 0 (2.42e−2)=	2.1718e+ 0 (1.67e−1)−	1.2244e+ 0 (3.73e−2)−	1.4645e+ 0 (1.92e−2)−	1.1329 e + 0 (1.50 e−2)
	8	2.9881 e + 0 (2.59 e−2) +	8.0059e+ 0 (5.46e−1)−	3.4421e+ 0 (4.91e−2)−	4.4225e+ 0 (1.60e−1)−	3.1161e+ 0 (2.14e−2)
	10	4.2298 e + 0 (2.95 e−2) +	1.0927e+ 1 (2.66e−1)−	4.6792e+ 0 (4.96e−2)−	6.0794e+ 0 (8.89e−2)−	4.3651e+ 0 (3.94e−2)
	15	7.6036e+ 0 (8.04e−2)−	1.6080e+ 1 (2.70e−1)−	8.2605e+ 0 (7.27e−2)−	8.1167e+ 0 (1.85e−1)−	7.2438 e + 0 (1.31 e−1)

WFG8	3	3.0896e−1 (8.31e−3)−	5.2524e−1 (1.86e−2)−	3.4639e−1 (8.27e−3)−	2.9225e−1 (5.07e−3)−	2.8088 e−1 (9.10 e−3)
	5	1.2601e+ 0 (2.36e−2)−	1.7185e+ 0 (1.05e−1)−	1.2889e+ 0 (2.74e−2)−	1.3809e+ 0 (1.20e−2)−	1.1628 e + 0 (6.08 e−3)
	8	3.3381e+ 0 (1.61e−2)−	7.7007e+ 0 (3.06e−1)−	3.6005e+ 0 (1.07e−1)−	3.8116e+ 0 (4.78e−2)−	3.1612 e + 0 (2.83 e−2)
	10	4.5975e+ 0 (8.74e−2)=	1.0607e+ 1 (2.12e−1)−	4.8154e+ 0 (9.00e−2)−	5.4392e+ 0 (1.08e−1)−	4.4489 e + 0 (3.53 e−2)
	15	8.1480e+ 0 (1.03e−1)−	1.5893e+ 1 (3.03e−1)−	8.4762e+ 0 (1.36e−1)−	8.8058e+ 0 (2.00e−1)−	7.8886 e + 0 (2.45 e−1)

WFG9	3	2.2829 e−1 (2.82 e−3) +	2.8053e−1 (7.44e−3)−	2.9606e−1 (1.42e−2)−	2.6147e−1 (1.36e−2)−	2.4682e−1 (9.13e−3)
	5	1.0789 e + 0 (1.58 e−2) =	1.8778e+ 0 (1.26e−1)−	1.3602e+ 0 (1.05e−1)−	1.4301e+ 0 (2.11e−2)−	1.1105e+ 0 (7.62e−3)
	8	3.2033e+ 0 (5.01e−2)−	6.7459e+ 0 (1.26e−1)−	3.7661e+ 0 (8.50e−2)−	3.9769e+ 0 (1.86e−1)−	3.0804 e + 0 (2.19 e−2)
	10	4.4527e+ 0 (5.42e−2)−	9.5509e+ 0 (2.31e−1)−	5.0222e+ 0 (4.49e−2)−	5.3584e+ 0 (1.73e−1)−	4.1480 e + 0 (4.35 e−2)
	15	7.9157e+ 0 (4.31e−2)−	1.3970e+ 1 (1.14e+ 0)−	8.5996e+ 0 (1.19e−1)−	8.4536e+ 0 (2.16e−1)−	7.4027 e + 0 (9.57 e−2)

+ /−/ =		8/29/8	0/45/0	0/43/2	0/45/0


	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

排名第一	3	8	4	5	15
更好的(+)	5	14	6	13
相同的(=)	1	0	2	3
更糟的是(−)	29日	21	27	19


	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

排名第一	10	0	1	0	34
更好的(+)	5	0	0	0
相同的(=)	12	0	2	0
更糟的是(−)	28	45	43	45


	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

排名第一	13	8	5	5	49
更好的(+)	10	14	6	13
相同的(=)	13	0	4	3
更糟的是(−)	57	66年	70年	64年

(一)

(b)

(c)

(d)

(一)

(b)

(c)

表4总结了仿真结果的五多/许多客观测试设置DTLZ,粒子群优化算法和最佳值为每个测试用例是用粗体突出显示背景。从表中,可以看到直观的数量的最佳值算法测试用例DTLZ1 CMaPSO, DTLZ2, DTLZ3, DTLZ4占绝大多数。该算法MMOPSO DTLZ7上执行的测试用例。CMaPSO不执行的算法以及算法dMOPSO DTLZ5和DTLZ6测试用例,和最好的数量值的算法dMOPSO这两个测试用例是领先于其他算法。从图3(一个),该算法CMaPSO最佳综合IGD表现分测试用例DTLZ1 DTLZ2, DTLZ3。另外,我们可以发现,该算法MPSOD有最好的综合IGD表现分DTLZ2 DTLZ4。dMOPSO DTLZ5和DTLZ6达到最好的。DTLZ7 MMOPSO收益最好的。CMOPSO不会获得最佳性能DTLZ的任何测试用例。从图3 (b),很明显,该算法CMaPSO性能最好的IGD分数5、8、10和15个目标的DTLZ比较算法。3日,该算法的性能得分目标不如CMOPSO的算法。图的直方图4(一)综合反映了IGD性能DTLZ分数的比较算法,可以有效地评价各算法的性能。该算法CMaPSO获得最佳的IGD性能得分。

表6总结了该算法的显著性检验结果CMaPSO测试集DTLZ和比较算法。总共有35 DTLZ测试用例在测试集。该算法CMaPSO有15个测试用例排名第一,占总数的42.86%。比较算法CMOPSO dMOPSO、MMOPSO MPSOD获得3,8日4和5测试用例排名第一,占8.57%,22.86%,11.43%,和总数的14.29%。算法MPSOD和dMOPSO执行最好的四个工作比较算法。从上述数据分析的结果,可以得出结论,该算法的性能不如CMaPSO DTLZ比较算法的测试套件。

表5介绍了五个比较算法的仿真结果在测试集WFG,和最好的值也是每个测试用例的一个大胆的背景。显然,该算法CMaPSO得到最佳的性能在大多数WFG的测试用例。比较算法的性能WFG几乎是常见的,不如该算法。

图3(一个)直观地显示CMaPSO获得最好的性能测试用例WFG1得分,WFG2, WFG3, WFG4, WFG5, WFG6, WFG8, WFG9,但不包括测试用例WFG7。最主要的原因是,虽然该算法CMaPSO达到最佳的性能在3,5日和15个目标WFG7, 8和10的表现并不令人满意的目标,和平均表现分主要强调平均算法的性能测试用例。注意到,该算法CMOPSO只得到两个最佳性能WFG7测试用例,其平均分数是最好的性能。如图3 (c),平均算法的性能得分CMaPSO 3、5、8、10和15个目标WFG比比较的算法。平均得分比较算法的性能在不同的测试用例的WFG综合计算,得到的直方图是用来直观地表示分数。从图4 (b),算法CMaPSO获得0.94分,这是最好的分数在所有比较算法。其他算法CMOPSO dMOPSO、MMOPSO MPSOD有2.64,3.65,2.8,和2.46点,分别。

本文所有的比较算法是模拟45 WFG的测试实例。从表7的显著性检验算法CMaPSO居第一位34个测试用例,占总数的75.56%。比较算法CMOPSO dMOPSO、MMOPSO MPSOD获得10 0,1,测试用例和0排名第一,占22.22%,0%,2.22%,和总数的0%。在四个比较算法,该算法CMOPSO WFG上最佳的性能。有5个测试用例测试的意义比算法CMaPSO WFG测试问题,类似于CMaPSO 12个测试用例,测试用例和28显然不如算法。

我们分析了所有的比较算法的性能DTLZ WFG测试套件,分别。然后,我们把两个测试套件并进行综合分析比较算法的性能。从表8的重大CMaPSO获得的测试结果排名第一,CMOPSO, dMOPSO, MMOPSO, MPSOD所有测试用例都是49,13、8、5、5、占61.25%,28.89%,10%,6.25%,和总数的6.25%。如图3 (d)的平均表现分CMaPSO比其他比较算法的3、5、8、10和15个目标测试的实例。算法CMaPSO达到更好的性能比算法CMOPSO也采用竞争机制。它也可以有效地从直方图图4 (c)。数据5(一个)- - - - - -5(e)说明了近似帕累托面前得到五DTLZ1的15个目标比较算法。通过比较这些数字,结果得到CMaPSO是比较最接近真正的PF算法。

(一)

(b)

(c)

4.5。CMaPSO之间的性能比较和四个先进许多客观进化优化算法

在本节中,该算法的性能CMaPSO由仿真实验验证,与最近的四个进化算法相比在DTLZ和WFG测试套件。综合性能指标采用IGD说明实验结果。表9和10总结实验结果。表11和12统计数据的最佳数量,更好,相似,甚至更糟CMaPSO和比较算法的性能在DTLZ WFG,分别。表13总结了实验结果的表11和12说明每个比较算法的总体显著性检验所有测试问题。图6说明了不同的平均分数都比较算法的性能目标和测试问题。图7显示所有比较算法的平均绩效成绩DTLZ WFG和两个测试套件,分别。


问题	米	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

DTLZ1	3	2.0565 e−2 (1.04 e−5) +	2.0619e−2 (8.18e−5)+	1.6814e−1 (5.04e−2)−	4.2157e−2 (3.41e−2)−	2.2047e−2 (2.92e−4)
	5	6.3383 e−2 (5.69 e−5) +	6.6678e−2 (9.94e−3)−	1.8383e−1 (3.37e−2)−	8.7627e−2 (2.86e−2)−	6.4419e−2 (5.43e−3)
	8	1.1143e−1 (1.83e−2)=	2.1921e−1 (2.54e−2)−	2.4231e−1 (2.91e−2)−	2.0962e−1 (2.52e−2)−	1.0696 e−1 (5.96 e−3)
	10	1.6571e−1 (5.13e−2)−	2.1222e−1 (3.29e−2)−	2.5486e−1 (3.20e−2)−	3.3665e−1 (6.77e−2)−	1.3077 e−1 (1.58 e−2)
	15	1.8382e−1 (1.10e−1)−	2.7085e−1 (1.26e−2)−	2.6497e−1 (4.63e−2)−	1.3754e−1 (2.15e−2)=	1.3692 e−1 (8.31 e−3)

DTLZ2	3	5.4464 e−2 (4.13 e−7) +	5.4492e−2 (7.81e−6)+	1.0882e−1 (5.73e−3)−	6.9240e−2 (3.21e−3)−	6.0866e−2 (1.22e−3)
	5	1.9490e−1 (8.21e−6)=	1.9522e−1 (2.60e−4)=	2.8356e−1 (3.09e−2)−	2.0436e−1 (2.42e−3)−	1.9415 e−1 (1.20 e−3)
	8	3.6070e−1 (9.57e−2)=	3.2542 e−1 (7.00 e−4) +	3.8254e−1 (1.06e−2)−	3.5330e−1 (4.43e−3)=	3.5837e−1 (1.79e−3)
	10	5.0117e−1 (7.63e−2)−	4.5504e−1 (9.49e−4)−	4.4131e−1 (8.14e−3)−	4.2515 e−1 (5.01 e−3) =	4.2631e−1 (2.22e−3)
	15	6.6601e−1 (7.66e−2)−	7.9236e−1 (6.58e−2)−	5.4126e−1 (2.56e−3)−	5.6685e−1 (1.61e−2)−	4.9904 e−1 (1.88 e−3)

DTLZ3	3	5.4576 e−2 (1.14 e−4) +	5.4600e−2 (3.55e−5)+	2.0403e−1 (2.78e−2)−	2.4784e−1 (2.11e−1)−	6.2885e−2 (6.68e−3)
	5	1.9545 e−1 (4.91 e−4) +	1.9644e−1 (1.09e−3)+	4.5246e−1 (4.01e−2)−	6.4675e−1 (3.12e−1)−	2.1712e−1 (1.90e−2)
	8	6.6757e−1 (1.04e+ 0)−	4.1902 e−1 (1.44 e−1) +	6.8299e−1 (6.66e−2)−	1.1522e+ 0 (6.07e−2)−	6.2463e−1 (2.48e−1)
	10	3.4566e+ 0 (2.42e+ 0)−	6.5314 e−1 (1.20 e−1) +	8.2396e−1 (9.59e−2)+	1.2320e+ 0 (1.66e−2)+	1.9282e+ 0 (1.17e+ 0)
	15	4.5793e+ 1 (2.46e+ 1)−	1.0840e+ 0 (2.34e−2)+	1.0639 e + 0 (2.51 e−1) +	1.2840e+ 0 (1.44e−2)−	1.1990e+ 0 (7.43e−1)

DTLZ4	3	1.0318e−1 (1.54e−1)+	1.0321e−1 (1.54e−1)+	5.7672e−1 (3.08e−1)−	6.9716 e−2 (1.65 e−3) +	3.3993e−1 (3.21e−1)
	5	2.4182e−1 (9.90e−2)−	2.8891e−1 (1.14e−1)−	3.8703e−1 (2.15e−1)−	2.2383e−1 (5.72e−3)−	1.9522 e−1 (9.00 e−4)
	8	3.7941e−1 (1.06e−1)−	3.6120e−1 (4.19e−2)−	3.9606e−1 (3.51e−2)−	3.7977e−1 (5.46e−3)−	3.5373 e−1 (1.59 e−3)
	10	4.7630e−1 (4.28e−2)−	4.5749e−1 (3.48e−4)−	4.4578e−1 (6.26e−3)−	4.7513e−1 (1.10e−2)−	4.2690 e−1 (4.12 e−3)
	15	5.4388e−1 (4.87e−2)−	6.0064e−1 (6.02e−3)−	5.4767e−1 (3.31e−3)−	6.2169e−1 (2.24e−3)−	5.3276 e−1 (4.13 e−3)

DTLZ5	3	1.3276e−2 (1.68e−3)−	2.5140e−2 (3.41e5)−−	2.0755e−2 (4.05e−3)−	3.7309e−2 (9.09e−3)−	6.3719 e−3 (4.23 e−4)
	5	3.0252e−1 (2.37e−1)−	2.7061e−1 (5.20e−3)−	5.1907e−2 (9.00e−3)−	8.8047e−1 (5.26e−2)−	3.6560 e−2 (6.96 e−3)
	8	3.7565e−1 (1.07e−1)−	2.8819e−1 (1.66e−1)−	8.3767e−2 (3.01e−2)−	1.4984e+ 0 (5.73e−2)−	5.4626 e−2 (9.29 e−3)
	10	4.1017e−1 (7.95e−2)−	6.7472e−1 (1.10e−1)−	8.3944e−2 (1.93e−2)−	1.5900e+ 0 (9.84e−2)−	4.8186 e−2 (8.22 e−3)
	15	9.6608e−1 (2.40e−1)−	7.2006e−1 (2.90e−2)−	1.1546e−1 (3.40e−2)−	1.7978e+ 0 (3.24e−1)−	4.7407 e−2 (4.20 e−3)

DTLZ6	3	2.1027e−2 (1.92e−3)−	2.5149e−2 (1.70e6)−−	1.9479e−2 (3.42e−3)−	6.3035e−2 (5.54e−2)−	6.8460 e−3 (6.24 e−4)
	5	3.3816e−1 (1.04e−1)−	3.1434e−1 (1.33e5)−−	1.3371 e−1 (3.60 e−2) +	8.5385e−1 (9.81e−2)−	1.9242e−1 (4.37e−2)
	8	1.3884e+ 0 (1.17e+ 0)−	5.1714e−1 (1.32e−1)−	1.7717 e−1 (6.42 e−2) +	1.1300e+ 0 (1.61e−1)−	2.5237e−1 (5.01e−2)
	10	2.9306e+ 0 (1.62e+ 0)−	5.9585e−1 (1.14e−1)−	2.2791e−1 (6.45e−2)=	1.2125e+ 0 (1.43e−1)−	2.2717 e−1 (1.31 e−1)
	15	6.1288e+ 0 (1.05e+ 0)−	6.7540e−1 (6.14e−2)−	1.9664 e−1 (6.15 e−2) +	1.4495e+ 0 (6.06e−1)−	2.2625e−1 (2.45e−1)

DTLZ7	3	7.6242 e−2 (3.24 e−3) +	2.2087e−1 (2.31e−1)−	2.9105e−1 (2.30e−1)−	2.5739e−1 (3.68e−2)−	1.5317e−1 (8.45e−2)
	5	3.3576 e−1 (1.70 e−2) +	4.4758e−1 (7.53e−2)+	1.4291e+ 0 (1.63e−1)+	8.7415e−1 (6.57e−2)+	2.0956e+ 0 (7.85e−1)
	8	8.1348 e−1 (4.32 e−2) +	2.5140e+ 0 (7.66e−1)+	2.3518e+ 0 (3.34e−1)+	3.4193e+ 0 (5.21e−1)−	2.8717e+ 0 (1.14e+ 0)
	10	1.2525 e + 0 (1.36 e−1) +	4.7379e+ 0 (7.11e−1)+	2.2184e+ 0 (2.87e−1)+	5.3261e+ 0 (4.22e−1)+	9.5705e+ 0 (3.19e+ 0)
	15	3.5665e+ 0 (3.34e−1)+	1.1085e+ 1 (9.34e−2)+	2.4343 e + 0 (8.72 e−1) +	1.0521e+ 1 (3.99e−1)+	1.5214e+ 1 (3.32e+ 0)

+ /−/ =		11/21/3	13/21/1	9/25/1	5/27/3


问题	米	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

WFG1	3	1.4828 e−1 (2.49 e−3) +	1.6620e−1 (5.47e−3)+	9.2744e−1 (1.52e−1)−	1.3417e+ 0 (1.82e−1)−	3.6797e−1 (6.06e−2)
	5	6.4684e−1 (3.78e−2)+	5.8287 e−1 (1.61 e−1) +	1.0331e+ 0 (2.28e−1)+	2.0874e+ 0 (2.46e−1)−	1.5343e+ 0 (1.87e−1)
	8	1.3976e+ 0 (7.24e−2)+	1.3016 e + 0 (1.42 e−1) +	1.5068e+ 0 (1.96e−1)+	3.3522e+ 0 (4.90e−1)−	1.9306e+ 0 (9.28e−2)
	10	2.0023e+ 0 (7.95e−2)+	1.7141e+ 0 (1.15e−1)+	1.6465 e + 0 (4.47 e−2) +	3.8284e+ 0 (5.35e−1)−	2.6358e+ 0 (1.22e−1)
	15	3.1092e+ 0 (1.19e−1)+	2.3870e+ 0 (1.30e−1)+	2.3827 e + 0 (1.27 e−1) +	4.6443e+ 0 (2.96e−1)−	3.7283e+ 0 (7.91e−2)

WFG2	3	1.6470 e−1 (6.72 e−4) +	2.0194e−1 (6.16e−3)−	3.6533e−1 (3.55e−2)−	4.5895e−1 (1.21e−1)−	1.6900e−1 (2.59e−3)
	5	4.7149e−1 (1.75e−3)−	5.7165e−1 (1.42e−1)−	7.8005e−1 (1.13e−1)−	8.2489e−1 (1.70e−1)−	4.6603 e−1 (6.91 e−3)
	8	1.2751e+ 0 (3.16e−1)−	1.2626e+ 0 (1.40e−1)−	1.2647e+ 0 (1.04e−1)−	1.5215e+ 0 (2.79e−1)−	1.0521 e + 0 (4.00 e−2)
	10	1.6707e+ 0 (1.94e−1)−	2.0888e+ 0 (4.73e−1)−	1.4623e+ 0 (1.79e−1)−	1.5048e+ 0 (8.71e−2)−	1.1252 e + 0 (3.35 e−2)
	15	2.1508e+ 0 (1.51e−1)−	8.2290e+ 0 (1.17e+ 0)−	2.2949e+ 0 (4.78e−1)−	3.0521e+ 0 (7.59e−1)−	1.6533 e + 0 (7.00 e−2)

WFG3	3	8.3210e−2 (1.98e−2)+	8.7194e−2 (4.77e−3)+	3.8867 e−2 (2.52 e−3) +	4.4170e−1 (8.55e−1)−	1.0706e−1 (7.68e−3)
	5	4.1981e−1 (7.22e−2)−	1.5880e+ 0 (1.01e−1)−	4.7314 e−2 (3.24 e−3) +	5.2690e+ 0 (7.44e−2)−	3.8881e−1 (7.07e−2)
	8	9.1391e−1 (2.26e−1)−	8.0883e+ 0 (1.11e−1)−	6.2806 e−2 (4.62 e−3) +	8.3924e+ 0 (1.29e−1)−	5.1806e−1 (8.01e−2)
	10	2.6070e+ 0 (1.52e+ 0)−	9.8077e+ 0 (1.12e−1)−	7.4803 e−2 (1.78 e−2) +	1.0188e+ 1 (3.34e−1)−	6.7278e−1 (9.57e−2)
	15	3.7180e+ 0 (1.79e+ 0)−	1.5405e+ 1 (1.42e−1)−	2.5292 e−1 (8.11 e−2) +	1.5672e+ 1 (1.76e−1)−	9.6840e−1 (7.37e−2)

WFG4	3	2.2082 e−1 (3.05 e−5) +	2.4583e−1 (8.40e−3)=	4.2990e−1 (5.53e−2)−	2.7243e−1 (1.20e−2)−	2.4216e−1 (3.15e−3)
	5	1.1738e+ 0 (5.34e−4)−	1.4715e+ 0 (2.57e−1)−	1.2874e+ 0 (3.45e−2)−	1.1384e+ 0 (1.71e−2)−	1.1111 e + 0 (1.17 e−2)
	8	3.1688e+ 0 (5.54e−1)−	3.7620e+ 0 (2.54e−1)−	3.0544e+ 0 (5.59e−2)−	3.0160e+ 0 (4.24e−2)=	3.0092 e + 0 (2.50 e−2)
	10	4.8174e+ 0 (1.69e−1)−	7.1181e+ 0 (6.87e−1)−	4.3969e+ 0 (7.21e−2)−	4.4493e+ 0 (8.51e−2)−	4.2453 e + 0 (2.07 e−2)
	15	8.8091e+ 0 (4.82e−1)−	1.7970e+ 1 (2.11e+ 0)−	7.8842e+ 0 (6.43e−2)=	8.6756e+ 0 (1.15e−1)−	7.8810 e + 0 (3.35 e−1)

WFG5	3	2.2990 e−1 (3.37 e−5) +	2.4460e−1 (6.10e−3)−	3.9181e−1 (3.73e−2)−	2.9952e−1 (9.80e−3)−	2.3862e−1 (3.81e−3)
	5	1.1646e+ 0 (3.35e−4)−	1.2602e+ 0 (2.99e−2)−	1.2474e+ 0 (4.90e−2)−	1.1418e+ 0 (1.20e−2)=	1.1126 e + 0 (1.35 e−2)
	8	2.9408e+ 0 (2.41e−3)+	3.5800e+ 0 (7.16e−2)−	3.0665e+ 0 (3.83e−2)+	2.9863 e + 0 (2.87 e−2) +	3.1077e+ 0 (2.64e−2)
	10	4.7349e+ 0 (8.84e−3)−	6.5255e+ 0 (2.19e−1)−	4.4372e+ 0 (8.84e−2)−	4.3173e+ 0 (3.59e−2)=	4.2940 e + 0 (5.03 e−2)
	15	8.0003e+ 0 (5.40e−2)−	2.5317e+ 1 (1.22e+ 0)−	7.6767e+ 0 (7.70e−2)−	8.0252e+ 0 (3.24e−2)−	7.1937 e + 0 (9.64 e−2)

WFG6	3	2.2516 e−1 (1.33 e−3) +	2.3983e−1 (6.51e−3)=	4.7244e−1 (8.63e−2)−	2.8904e−1 (3.28e−2)−	2.4022e−1 (4.65e−3)
	5	1.1664e+ 0 (8.31e−4)=	1.4798e+ 0 (2.15e−1)−	1.6724e+ 0 (2.56e−1)−	1.1727e+ 0 (2.88e−2)=	1.1512 e + 0 (7.89 e−3)
	8	2.9554e+ 0 (4.23e−3)+	3.7423e+ 0 (1.69e−2)−	3.4378e+ 0 (1.56e−1)−	2.9837 e + 0 (2.41 e−2) +	3.1219e+ 0 (3.29e−2)
	10	4.7823e+ 0 (1.14e−2)−	7.1299e+ 0 (5.60e−2)−	4.6581e+ 0 (9.25e−2)−	4.4373e+ 0 (5.43e−2)=	4.3853 e + 0 (5.38 e−2)
	15	1.1085e+ 1 (5.47e−1)−	1.6092e+ 1 (2.29e+ 0)−	7.8701e+ 0 (9.14e−2)−	8.1375e+ 0 (1.86e−1)−	7.4678 e + 0 (1.54 e−1)

WFG7	3	2.2106 e−1 (6.94 e−5) +	2.3205e−1 (1.00e−2)=	5.3389e−1 (1.02e−1)−	2.8956e−1 (1.13e−2)−	2.3088e−1 (4.14e−3)
	5	1.1751e+ 0 (4.29e−4)−	1.3428e+ 0 (2.36e−1)−	1.6856e+ 0 (1.46e−1)−	1.1859e+ 0 (1.59e−2)−	1.1329 e + 0 (1.50 e−2)
	8	2.9697 e + 0 (6.98 e−3) +	3.7402e+ 0 (1.59e−2)−	3.5080e+ 0 (1.56e−1)−	3.0879e+ 0 (4.12e−2)=	3.1161e+ 0 (2.14e−2)
	10	4.8138e+ 0 (3.06e−2)−	6.7608e+ 0 (3.78e−1)−	4.6440e+ 0 (1.67e−1)−	4.5280e+ 0 (5.27e−2)−	4.3651 e + 0 (3.94 e−2)
	15	1.0458e+ 1 (7.63e−1)−	1.4015e+ 1 (2.08e+ 0)−	7.9997e+ 0 (8.23e−2)−	8.3747e+ 0 (3.39e−2)−	7.2438 e + 0 (1.31 e−1)

WFG8	3	2.3431 e−1 (1.40 e−3) +	2.8959e−1 (2.51e−3)−	4.6968e−1 (4.60e−2)−	2.9584e−1 (5.32e−3)−	2.8088e−1 (9.10e−3)
	5	1.1461 e + 0 (6.16 e−4) =	2.9829e+ 0 (2.30e−2)−	1.5205e+ 0 (6.39e−2)−	1.1519e+ 0 (1.79e−2)=	1.1628e+ 0 (6.08e−3)
	8	3.4504e+ 0 (5.59e−1)−	3.8210e+ 0 (1.16e−1)−	3.4439e+ 0 (1.78e−1)−	3.0529 e + 0 (3.78 e−2) +	3.1612e+ 0 (2.83e−2)
	10	5.0070e+ 0 (3.78e−1)−	7.2435e+ 0 (8.51e−2)−	4.8263e+ 0 (1.69e−1)−	5.4932e+ 0 (2.10e−1)−	4.4489 e + 0 (3.53 e−2)
	15	9.3500e+ 0 (5.01e−1)−	1.9697e+ 1 (2.05e+ 0)−	8.0531e+ 0 (1.17e−1)−	1.0313e+ 1 (9.71e−2)−	7.8886 e + 0 (2.45 e−1)

WFG9	3	2.3336 e−1 (1.44 e−2) +	2.7000e−1 (1.50e−2)−	3.9451e−1 (5.41e−2)−	2.9471e−1 (7.23e−3)−	2.4682e−1 (9.13e−3)
	5	1.1330e+ 0 (5.26e−3)=	2.6498e+ 0 (1.75e−1)−	1.2971e+ 0 (1.14e−1)−	1.1141e+ 0 (2.39e−2)=	1.1105 e + 0 (7.62 e−3)
	8	2.9408 e + 0 (1.80 e−2) +	3.7030e+ 0 (3.45e−2)−	3.5023e+ 0 (2.83e−1)−	2.9853e+ 0 (3.12e−2)+	3.0804e+ 0 (2.19e−2)
	10	4.5640e+ 0 (1.61e−2)−	7.0156e+ 0 (1.15e−1)−	4.9314e+ 0 (4.81e−1)−	4.3104e+ 0 (3.19e−2)−	4.1480 e + 0 (4.35 e−2)
	15	7.9258e+ 0 (1.66e−1)−	2.6021e+ 1 (8.11e−1)−	8.3650e+ 0 (2.09e−1)−	8.1817e+ 0 (6.41e−2)−	7.4027 e + 0 (9.57 e−2)

+ /−/ =		17/25/3	6/36/3	10/34/1	4/33/8


	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

排名第一	9	3	5	2	16
更好的(+)	11	13	9	5
相同(≈)	3	1	1	3
更糟的是(−)	21	21	25	27


	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

排名第一	11	2	7	3	22
更好的(+)	17	6	10	4
相同(≈)	3	3	1	8
更糟的是(−)	25	36	34	33


	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

排名第一	20.	5	12	5	38
更好的(+)	28	19	19	9
相同(≈)	6	4	2	11
更糟的是(−)	46	57	59	60

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(我)

(一)

(b)

(c)

(d)

从表9,算法CMaPSO DTLZ1最佳性能,DTLZ4,和DTLZ5测试问题和达到最佳的性能在8、10和15个目标。该算法没有得到最好的性能在3、5、8、10和15个目标测试问题DTLZ2最好只执行在5和15个目标,但它仍然通过一个微弱的优势,来实现最佳的性能比对比算法。从图6(一)在测试用例的平均表现分CMaPSO DTLZ1, DTLZ2, DTLZ4, DTLZ5是最好的。而从图6 (b),很明显观察到最好的平均表现得分CMaPSO为不同目标数字测试套件DTLZ是5,8和10个目标。比较算法NSGA-III最佳性能在DTLZ7测试问题,并获得最佳性能3,5,8,分别和10个目标。请注意,该算法对DTLZ7最糟糕的表现与其他四个比较算法。比较算法NSGA-III和MOBIIII DTLZ3上达到相同数量的表现最好,NSGA-III获得最佳性能在3和5目标,而MOBIII获得最佳性能的8和10个目标DTLZ3测试问题。算法RPEA 5上的最佳性能,8日和15日目标DTLZ6测试的问题。

表11总结了最好的数量,更好,类似的,更糟的是DTLZ CMaPSO和比较算法的性能。从表9总共有35个测试用例。和该算法拥有16个测试用例排序第一,从表占总数的45.7%11。此外,从图可以清楚地观察到7(一),该算法性能最好的平均得分为不同目的DTLZ数字测试套件。比较算法NSGA-III MOBIII、RPEA MyODEMR达到9,3,5,测试用例和2排名第一,占25.7%,8.5%,14.2%,和总数的5.7%。算法MOBIII执行最好的在所有的比较算法。共有13个测试用例是明显优于算法CMaPSO DTLZ,但显然比CMaPSO 21测试实例。从数据分析的结果,可以得出结论,该算法的性能CMaPSO优于对比算法DTLZ测试套件。

从表10,该算法CMaPSO WFG2最佳性能,WFG4, WFG5, WFG6, WFG7,和WFG9测试问题和5日基本上达到最佳性能,10和15个目标。该算法和比较算法NSGA-III有相似的表现WFG8测试问题,NSGA-III得到最佳的性能在3和5目标,尽管CMaPSO在10和15目标上最佳的性能。从图6(一),它可以直观地观察到,该算法具有最好的性能测试用例WFG2得分,WFG4, WFG5, WFG6, WFG7 WFG8, WFG9。此外,从图6 (c),该算法的平均表现分数是最好的5、10和15目标WFG测试套件中。的性能测试问题WFG3 RPEA居第一位,这是优于其他算法。算法MOBIII RPEA得到相同数量的最佳表演WFG1测试问题。注意算法CMaPSO执行测试问题WFG1比比较算法NSGA-III MOBIII, RPEA。

表12统计数据的最佳数量,更好,相似,CMaPSO和糟糕的性能和比较算法NSGA-III MOBIII, RPEA, MyODEMR WFG的测试套件。所有采用的算法的性能评估通过45测试用例3,5,8、10和15个目标WFG测试问题。该算法获得了22个一流的测试用例,占总数的48.9%。图7 (b)显示的平均表现分所有测试套件WFG比较算法,该算法获得了最好的成绩。MOBIII,算法NSGA-III RPEA, MyODEMR达到11个,2、7和3排名第一WFG测试套件的测试用例,占22%,4.4%,15.6%,和总数的6.7%。算法NSGA-III执行最好的比较算法MOBII RPEA, MyODEMR。共有17个测试用例是明显优于算法CMaPSO WFG测试问题,但是大部分的测试用例是不如该算法。我们可以总结算法的性能在WFG测试套件,这显然比采用比较算法。

表13总结了最好的数量,更好,相似,甚至更糟CMaPSO和比较算法的性能NSGA-III, MOBIII, RPEA, MyODEMR测试套件DTLZ WFG。从表中,该算法的性能CMaPSO 38测试用例居第一位,占总额的近一半。图6(d)说明了综合平均表现分数的比较算法对不同目标数字测试套件DTLZ WFG,该算法达到最好的得分在5、8、10和15个目标。和图7 (c)介绍了平均分数的比较算法性能测试套件DTLZ WFG,和该算法获得最好的成绩。NSGA-III算法的性能,MOBIII、RPEA和MyODEMR取得20日5日,12日和5测试用例排名第一,占25%,6.25%,15%,占总数的6.25%。NSGA-III的性能是最好的使用中比较算法。然而,性能算法NSGA-III大多数不如该算法CMaPSO测试用例。从上述讨论,我们可以得出结论,该算法的性能比采用比较算法DTLZ和WFG测试套装。数据5(f) -5(我)介绍了近似PF五许多客观的进化优化算法获得的15 DTLZ1目标。显然,大多数比较算法能收敛到真实的帕累托前沿,但是算法的多样性CMaPSO优于其他算法。

4.6。实验的测试集UF1-9比较算法

综上所述,我们已经核实所有比较算法的性能在许多客观测试问题的测试套件DTLZ WFG,以及3-objective测试问题。接下来,我们使用复杂的测试用例UF1-9 [44)进一步证明该算法的性能在2和3的客观测试问题。表14和15现在IGD的平均值和标准偏差值的算法和四个最近的多目标粒子群优化算法和四个先进许多客观测试集UF1-9进化优化算法。每个测试用例的最佳值是用粗体突出显示背景。


问题	米	CMOPSO	dMOPSO	MMOPSO	MPSOD	CMaPSO

UF1	2	5.7138e−2 (1.83e−2)+	3.7540e−1 (7.68e−2)−	5.9788e−2 (1.53e−2)+	5.1749 e−2 (1.34 e−2) +	1.3331e−1 (3.73e−2)
UF2	2	2.9899e−2 (1.04e−2)+	9.2730e−2 (1.52e−2)−	2.4096e−2 (2.37e−3)+	1.8998 e−2 (2.46 e−3) +	6.3018e−2 (1.76e−2)
UF3	2	1.2699e−1 (3.38e−2)+	3.1958e−1 (5.65e−3)=	1.2233 e−1 (4.01 e−2) +	1.2517e−1 (1.90e−2)+	3.1369e−1 (2.23e−2)
UF4	2	8.1806e−2 (8.02e−3)−	1.1693e−1 (5.52e−3)−	4.5258e−2 (2.98e−3)−	4.4709e−2 (1.32e−3)=	4.4248 e−2 (2.67 e−3)
UF5	2	3.8937 e−1 (1.25 e−1) +	2.1659e+ 0 (2.83e−1)−	5.1412e−1 (2.03e−1)+	5.3157e−1 (1.15e−1)+	1.1908e+ 0 (2.65e−1)
UF6	2	2.2563e−1 (1.06e−1)=	1.3225e+ 0 (3.58e−1)−	3.4226e−1 (1.48e−1)−	2.2916e−1 (5.69e−2)=	2.2525 e−1 (1.68 e−1)
UF7	2	7.6681e−2 (1.27e−1)+	3.0330e−1 (7.88e−2)−	1.3358e−1 (1.18e−1)+	1.9950 e−2 (3.37 e−3) +	2.3489e−1 (1.84e−1)
UF8	3	6.8855e−1 (9.86e−2)−	3.2944e−1 (3.23e−2)−	2.4841e−1 (7.90e−2)−	2.2823e−1 (6.93e−2)=	2.2780 e−1 (5.92 e−3)
UF9	3	9.4259e−1 (1.61e−1)−	6.2794e−1 (4.36e−2)−	3.4257e−1 (6.32e−2)+	2.4705 e−1 (5.94 e−2) +	5.0482e−1 (6.16e−2)

+ /−/ =		5/3/1	0/7/2	6/3/0	6/0/3


问题	米	NSGAIII	MOMBIII	RPEA	MyODEMR	CMaPSO

UF1	2	1.3356e−1 (2.19e−2)=	9.4162e−2 (1.62e−2)+	1.3086e−1 (3.66e−2)=	6.2656 e−2 (3.88 e−2) +	1.3331e−1 (3.73e−2)
UF2	2	3.7800 e−2 (7.34 e−3) +	4.7754e−2 (1.52e−2)+	6.5567e−2 (2.89e−2)−	6.1227e−2 (4.67e−2)=	6.3018e−2 (1.76e−2)
UF3	2	2.1073e−1 (4.71e−2)+	3.1511e−1 (6.13e−2)=	2.9777e−1 (3.22e−2)=	1.9565 e−1 (6.36 e−2) +	3.1369e−1 (2.23e−2)
UF4	2	4.6032e−2 (1.33e−3)−	4.6501e−2 (2.61e−3)−	7.5297e−2 (1.17e−2)−	5.1650e−2 (2.55e−3)−	4.4248 e−2 (2.67 e−3)
UF5	2	2.7662 e−1 (7.32 e−2) +	2.9237e−1 (1.00e−1)+	3.2235e−1 (1.15e−1)+	3.1381e−1 (6.56e−2)+	1.1908e+ 0 (2.65e−1)
UF6	2	1.7038e−1 (1.09e−1)+	1.7013 e−1 (9.07 e−2) +	2.0888e−1 (1.11e−1)+	2.4345e−1 (1.21e−1)−	2.2525e−1 (1.68e−1)
UF7	2	1.3985e−1 (1.35e−1)+	2.2897e−1 (1.76e−1)=	2.4553e−1 (1.39e−1)−	5.2280 e−2 (6.40 e−2) +	2.3489e−1 (1.84e−1)
UF8	3	4.9871e−1 (1.03e−1)−	4.3170e−1 (1.26e−1)−	5.2668e−1 (4.79e−2)−	2.9866e−1 (4.61e−2)−	2.2780 e−1 (5.92 e−3)
UF9	3	3.0157 e−1 (8.61 e−2) +	3.6046e−1 (1.10e−1)+	5.0350e−1 (9.58e−2)=	5.8142e−1 (1.31e−1)−	5.0482e−1 (6.16e−2)

+ /−/ =		6/2/1	5/2/2	2/4/3	4/4/1

在表14,该算法MPSOD获得最佳性能的四个测试问题,该算法CMaPSO是第二,最佳的性能获得了三个测试问题。CMOPSO MMOPSO有一个。通过综合比较和分析,MPSOD的性能是最好的,MMOPSO CMOPSO更好,综合性能CMOPSO不如这三个算法。从表15,算法NSGAIII MyODEMR实现最佳的性能在三个测试问题,该算法和CMaPSO获得最佳的性能在两个测试问题。虽然算法MOMBIII得到最佳的性能在一个测试问题,其综合性能仍然很优秀。通过Wilcoxon等级和测试分析,很容易发现NSGAIII表现最好,MOMBIII性能更好,CMaPSO MyODEMR执行类似。为了能观察到实验结果更直观地,图8显示了所有的实验结果比较算法对测试用例UF1-9采用箱图。这些测试问题的盒子图可以更生动地解释所有比较算法的性能。很容易得出结论,虽然算法的性能测试问题UF1-9 CMaPSO不是最好的在所有的比较算法,它能有效地解决最复杂的多目标优化问题。

(一)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

(我)

4.7。比较算法CMaPSO和CMOPSO之间的运行时间

算法CMaPSO和CMOPSO采用竞争学习方法来更新粒子的速度和位置。为了评估算法的性能更全面,有必要比较算法的运行时间。从表16,它可以直观地观察到最佳值的灰色背景CMaPSO获得的算法。摘要CMaPSO可以视为CMOPSO的概括。表中的数据16表明CMaPSO较短的运行时间比CMOPSO多/许多客观优化问题。此外,从表17算法运行时间的意义测试数据还表明,该算法比CMOPSO算法更有效。


问题	米	CMOPSO	CMaPSO

DTLZ1	3	2.0325e +1 (6.40e +0)−	1.3247 e + 1 (7.85 e−1)
	5	9.8638e +1 (4.97e−1)−	1.3337 e + 1 (1.19 e + 0)
	8	1.7133e +2 (8.88e +1)−	1.5771 e + 1 (9.33 e−1)
	10	9.6345e +2 (8.72e +1)−	2.0261 e + 1 (1.96 e + 0)
	15	1.0586e +3 (3.81e +1)−	1.9567 e + 1 (1.75 e + 0)

DTLZ2	3	1.0213e +2 (1.16e +1)−	1.3558 e + 1 (9.22 e−1)
	5	1.1368e +2 (7.83e +0)−	1.3941 e + 1 (1.33 e + 0)
	8	7.2410e +2 (3.37e +1)−	1.5809 e + 1 (1.15 e + 0)
	10	1.3434e +3 (1.17e +2)−	2.4512 e + 1 (2.05 e + 0)
	15	1.1525e +3 (4.03e +1)−	2.2854 e + 1 (2.69 e + 0)

DTLZ3	3	1.3356 e + 1 (3.38 e + 0) =	1.4022e +1 (9.61e−1)
	5	1.2529 e + 1 (2.35 e + 0) =	1.3185e +1 (5.12e−1)
	8	4.0956e +2 (1.88e +1)−	1.4730 e + 1 (8.98 e−1)
	10	1.0847e +3 (7.70e +1)−	2.0134 e + 1 (1.48 e + 0)
	15	1.0725e +3 (2.48e +1)−	1.9188 e + 1 (2.33 e + 0)

DTLZ4	3	8.7389e +1 (8.57e +0)−	2.1440 e + 1 (1.72 e + 0)
	5	1.8360e +2 (1.82e +1)−	1.2812 e + 1 (1.03 e + 0)
	8	6.9939e +2 (3.26e +1)−	1.6309 e + 1 (1.06 e + 0)
	10	1.3385e +3 (7.43e +1)−	2.4079 e + 1 (1.69 e + 0)
	15	1.0910e +3 (6.83e +1)−	2.2716 e + 1 (2.43 e + 0)

DTLZ5	3	5.5077e +1 (2.27e +0)−	2.0834 e + 1 (1.82 e + 0)
	5	9.6019e +1 (9.49e +0)−	1.5241 e + 1 (2.38 e + 0)
	8	6.7374e +2 (4.92e +1)−	1.5641 e + 1 (1.02 e + 0)
	10	1.2522e +3 (5.87e +1)−	2.2997 e + 1 (8.48 e−1)
	15	1.0647e +3 (6.33e +1)−	2.0185 e + 1 (2.56 e + 0)

DTLZ6	3	7.4785e +1 (3.08e +0)−	2.1424 e + 1 (1.94 e + 0)
	5	1.7705e +2 (6.23e +1)−	1.2330 e + 1 (9.39 e−1)
	8	7.4953e +2 (3.44e +1)−	1.5401 e + 1 (9.24 e−1)
	10	1.3524e +3 (1.51e +2)−	2.0092 e + 1 (1.94 e + 0)
	15	1.1064e +3 (4.43e +1)−	1.9240 e + 1 (2.52 e + 0)

DTLZ7	3	4.4794e +1 (6.82e +0)−	2.4811 e + 1 (2.15 e + 0)
	5	1.5473e +2 (1.08e +1)−	1.7914 e + 1 (1.61 e + 0)
	8	5.5592e +2 (3.54e +1)−	2.4724 e + 1 (3.07 e + 0)
	10	1.0898e +3 (7.96e +1)−	1.9551 e + 1 (2.98 e + 0)
	15	1.1207e +3 (1.96e +1)−	2.8312 e + 1 (1.30 e + 1)

WFG1	3	7.5295e +1 (5.78e +0)−	2.0274 e + 1 (2.07 e + 0)
	5	1.6252e +2 (1.93e +1)−	1.5829 e + 1 (2.06 e + 0)
	8	2.6396e +2 (2.69e +1)−	1.7167 e + 1 (1.95 e + 0)
	10	4.0521e +2 (8.53e +1)−	1.8244 e + 1 (3.50 e + 0)
	15	5.6740e +2 (1.73e +1)−	1.8881 e + 1 (1.99 e + 0)

WFG2	3	3.8167e +1 (2.22e +0)−	1.3256 e + 1 (1.46 e + 0)
	5	2.3355e +2 (1.66e +1)−	1.4563 e + 1 (1.38 e + 0)
	8	5.7765e +2 (1.90e +1)−	1.7866 e + 1 (1.28 e + 0)
	10	1.2167e +3 (3.60e +2)−	2.2871 e + 1 (2.67 e + 0)
	15	9.5575e +2 (2.00e +1)−	2.2693 e + 1 (1.62 e + 0)

WFG3	3	4.2085e +1 (1.82e +0)−	1.2114 e + 1 (9.71 e−1)
	5	2.7558e +2 (4.94e +0)−	1.3580 e + 1 (1.13 e + 0)
	8	7.6980e +2 (2.19e +1)−	2.1984 e + 1 (1.91 e + 0)
	10	1.4993e +3 (2.84e +2)−	3.5400 e + 1 (1.10 e + 1)
	15	1.1370e +3 (2.93e +1)−	2.6364 e + 1 (3.04 e + 0)

WFG4	3	1.0979e +2 (6.46e +0)−	1.4193 e + 1 (1.04 e + 0)
	5	3.4257e +2 (1.10e +1)−	1.4548 e + 1 (1.12 e + 0)
	8	8.9442e +2 (5.22e +1)−	2.2418 e + 1 (1.48 e + 0)
	10	1.4845e +3 (1.63e +2)−	2.7789 e + 1 (3.35 e + 0)
	15	1.1123e +3 (5.59e +1)−	2.7387 e + 1 (4.26 e + 0)

WFG5	3	1.3188e +2 (6.75e +0)−	1.4279 e + 1 (2.29 e + 0)
	5	3.7246e +2 (2.76e +1)−	1.4887 e + 1 (2.55 e + 0)
	8	9.2150e +2 (1.14e +2)−	1.8684 e + 1 (1.16 e + 0)
	10	1.4429e +3 (1.25e +2)−	2.9439 e + 1 (4.44 e + 0)
	15	1.0793e +3 (4.72e +1)−	2.4731 e + 1 (3.08 e + 0)

WFG6	3	9.3599e +1 (4.71e +0)−	1.3490 e + 1 (1.75 e + 0)
	5	2.9378e +2 (1.98e +1)−	1.4815 e + 1 (1.63 e + 0)
	8	7.7411e +2 (3.71e +1)−	1.8815 e + 1 (1.32 e + 0)
	10	1.4829e +3 (1.28e +2)−	3.0236 e + 1 (4.03 e + 0)
	15	1.0765e +3 (5.49e +1)−	2.5458 e + 1 (2.88 e + 0)

WFG7	3	1.1370e +2 (1.30e +1)−	1.3340 e + 1 (8.87 e−1)
	5	3.2237e +2 (2.06e +1)−	1.5460 e + 1 (1.01 e + 0)
	8	8.9250e +2 (1.36e +2)−	1.6997 e + 1 (1.76 e + 0)
	10	1.3971e +3 (2.05e +2)−	2.9195 e + 1 (6.42 e + 0)
	15	1.1366e +3 (1.01e +2)−	2.5141 e + 1 (2.82 e + 0)

WFG8	3	8.7390e +1 (8.17e +0)−	1.4061 e + 1 (2.43 e−1)
	5	3.0043e +2 (1.38e +1)−	1.4979 e + 1 (1.15 e + 0)
	8	7.1609e +2 (3.23e +1)−	1.7472 e + 1 (1.58 e + 0)
	10	1.3283e +3 (1.52e +2)−	2.6407 e + 1 (2.45 e + 0)
	15	1.1042e +3 (1.92e +1)−	2.6856 e + 1 (2.65 e + 0)

WFG9	3	1.0228e +2 (7.44e +0)−	1.4616 e + 1 (2.02 e−1)
	5	2.8967e +2 (1.54e +1)−	1.5815 e + 1 (1.41 e + 0)
	8	8.5906e +2 (3.19e +2)−	1.6439 e + 1 (1.29 e + 0)
	10	1.2128e +3 (5.55e +1)−	2.7584 e + 1 (2.53 e + 0)
	15	1.2783e +3 (2.52e +2)−	2.5133 e + 1 (2.04 e + 0)


	CMOPSO	CMaPSO

排名第一	0	78年
更好的(+)	0
相同(≈)	2
更糟的是(−)	78年

5。结论

在本文中,我们提出了一个新的多/许多客观粒子群优化算法,称为CMaPSO,采用竞争学习来更新粒子的速度和位置。该算法可以被视为CMOPSO的泛化算法。的主要原因如下:首先,它们都采用相同的学习方法来更新粒子的速度和位置。其次,算法CMOPSO不执行在解决许多客观优化问题。第三,算法的运行时间CMOPSO相对比较耗时。我们主要修改CMOPSO的环境选择机制和采用普通的最大和最小夹角和极端个体选择优秀个体进入下一代种群。为了更有效地解决一些复杂的问题,我们使用 - - - - - -优势排序和参考点再生策略来进一步改善算法。

评估的竞争力提出的算法,该算法CMaPSO四个最近比较多/许多客观粒子群优化算法和四个许多客观的进化优化算法相比,在八十九年相比已经验标准基准测试用例。CMaPSO实验结果表明,该算法具有良好的鲁棒性在大多数测试问题,可以有效地处理多/许多客观优化问题。然而,从仿真结果比较,我们发现算法的性能测试用例DTLZ7 CMaPSO是令人失望的。为了进一步提高算法的性能,我们将继续研究该算法CMaPSO并应用它来解决工程问题。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

知情同意是获得所有个体参与者包括在这项研究中。

的利益冲突

所有作者宣称他们没有利益冲突。

确认

这项工作的部分支持由中国国家重点研究与发展计划项目(批准号2018 yfc1504700)和陕西省自然科学基金项目(批准号2018 jm6029)

补充材料

测试集的数学表达式DTLZ, WFG,佛罗里达大学提出了补充材料。(补充材料)

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