文摘

如今,科尔布鲁克方程作为主要接受计算流体流动摩擦系数的关系。然而,科尔布鲁克方程隐式的摩擦系数()。noniterative方法在目前的研究中,利用人工神经网络(ANN)是计算摩擦系数。配置ANN模型的输入参数雷诺数(重新)和管的相对粗糙度()被转换为对数尺度。90000组数据被美联储ANN模型包括三层:输入,隐藏起来,和输出层,2和1神经元,分别。这个配置是能够预测摩擦系数的值在科尔布鲁克公式对于任何给定的值的雷诺数(Re)和相对粗糙度()介于5000和10⁸和10之间⁻⁷和0.1,分别。拟议的安展示了相对误差高达0.07%的高精度与绝大多数的科尔布鲁克的精确显式近似方程。

1。介绍

到目前为止,科尔布鲁克公式(1)作为主要接受标准在管道流体流动摩擦系数的计算 在哪里达西是摩擦系数(无量纲);再保险是雷诺数(无量纲),是相对的内管表面的粗糙度(无量纲)。

科尔布鲁克方程也称为地方Colebrook-White方程或者只是CW方程(1]。分类可用的数据,那些从1937年的实验,他自己和他的怀特教授(2),科尔布鲁克开发了一个曲线拟合描述过渡粗糙,光滑和粗糙的紊流区(3]。科尔布鲁克方程也被认为是作为广泛使用的适当的基地穆迪图除了其层流区(4]。换句话说,他现在著名的图,穆迪科尔布鲁克方程用于整个紊流区和定义的层流区。穆迪图表或穆迪图是达西图相关的无量纲形式的摩擦系数(λ),雷诺数(重新),相对粗糙度()充分发展流动循环管。它可以用来确定在这种管道压降和流量。尽管科尔布鲁克的经验方程的准确性可以有讨论余地的,有时候基本生产快速,准确,方程和健壮的决议,这是特别必要的科学经常密集计算和比较(5]。不幸的是,科尔布鲁克公式患有隐性的摩擦系数(λ)。它不能被重新安排直接推导出摩擦系数没有近似计算。许多不同的策略是用来计算或估计摩擦系数准确(1,6- - - - - -8]。

有一群研究调查使用人工神经网络(ANN)估计摩擦系数。例如,智能液压阻力估计牛顿液体已经在最近的一些调查研究[9- - - - - -13]。使用的其他类型的液体在农业、食品工程、石油工程、等等,如幂律、宾汉,Herschel-Bulkley,和其他类型的非牛顿流体,显示安在大多数情况下不能使用。然而,培训开发方法可以使用适当的数据集或合适的方程产生相关解决方案在这种情况下,不能使用上述安(14- - - - - -16]。应用ANN模拟的其他类型的摩擦系数,而不是科尔布鲁克,即黑曾-威廉斯直径较小的聚乙烯管道摩擦系数,也可以在文献中找到(17安),而最近的其他尝试使用管道摩擦因素建模已报告(18,19]。

如今,安方法不仅可以用于水力学和流体流动模拟,还可以广泛应用于各种工程分支,如控制系统(19,20.在医学[],作为辅助工具21- - - - - -25),微通道中的气液流动的流型指标(26),和结构力学的扩展工具快速测定结构响应(27]。还结合neurofuzzy系统(NFS)方法可用于不同的目的,如学生建模系统,医疗系统,经济系统,电气和电子系统、交通控制、图像处理和特征提取,制造和系统建模、预测和预测,和社会科学(28]。

2。问题的定义

在目前的研究中,为了产生一个高效和准确的过程流摩擦系数的估计(),使用一个基于计算智能系统的方法。人工神经网络(ANN)问题的解决方案。这里显示的ANN模型可以很容易地在MATLAB软件生成的。

首先,原始数据集计算使用安科尔布鲁克方程被用来训练模型,然后未知的摩擦因素(λ)获得安结构预测的相对误差较低。本文实证科尔布鲁克公式(1)及其精确迭代解决方案将被视为默认“准确的”或“绝对正确”(使用“=”的标志,而附录中列出的近似符号“≈”)。

液压阻力取决于流量被认为是主要的问题在测定液压流摩擦系数(λ)。管,液压阻力通常是通过达西摩擦系数表示的(λ),这并不是一个恒定的数量。摩擦系数(λ)相关流量或更准确的雷诺数(重新)和相对粗糙度()。此外,他们两人,雷诺数(Re)和相对粗糙度(),是依赖于流量。事实上,雷诺数(重新)受流速影响而相对粗糙度()取决于管道内流区域的厚度,称为边界层,发生密切的管壁内表面(29日,30.]。相反,本文的相对粗糙度()保留其经典定义,这意味着它不应该随流量(它将作为一个几何量,从而有效治疗应持续不管流量流湍流)的警告。此外,很明显,改变液压阻力的湍流区由非线性法。一般来说,这些液压抗性在紊流区可以建模为logarithmic-law或幂律31日]。科尔布鲁克方程属于logarithmic-law。

提到,科尔布鲁克公式的主要问题与隐式形式的摩擦系数(λ),无法评估没有近似计算(科尔布鲁克公式是一个卓越的函数)。因此,不同的策略被用来找到适当的解决方案科尔布鲁克公式:迭代的解决方案(在目前的研究中,假设值计算了这个方法是高度精确的)(6,7),使用大量的可用科尔布鲁克公式的显式近似导出了许多数学或数值方法(6,8,32,33),使用一些图形解释如穆迪图(4),等等。

应该考虑的是,穆迪图不能作为一个可靠和精确的替代科尔布鲁克公式的读数误差可以甚至超过几个百分点10,34,35]。使用迭代方法,即牛顿-摩擦系数(λ)可以从科尔布鲁克公式计算精度高,0.01%需要小于7迭代的收敛。这个精度(0.01%)不应被混淆与科尔布鲁克的显式近似方程的准确性(36]。回顾相关文献,我们可以认识到,绝大多数的这些近似极其准确,他们可以用来代替隐科尔布鲁克公式计算摩擦系数(λ)。然而,最终的最大误差引起的近似应该估计的最大误差的总和一定的近似和迭代过程造成的误差。

两个最准确的显式近似与0.0026%和0.0083%的相对误差所隐含的Ćojbašić和Brkić37]。此外,还有很多其他近似的相对误差在0.13%以上(6]。实际上,使用高精度的近似可以使流体流动计算。然而,使用先进的和强大的计算机和代码可以部分解决这个问题,减少计算负担(38]。

在这项研究中,隐含安结构导致了低相比,相对误差精确迭代的解决方案。此外,计算负担用于运行应用ANN结构显式近似等于或低于,它,特别是低于原科尔布鲁克的迭代解的方程,而安的准确性的方法仍然是相当高的。

3所示。方法

3.1。准备的数据集

为了生成ANN模型的训练集,科尔布鲁克方程迭代求解。迭代的解决方案是使用因为摩擦系数的高度精确的解决方案(λ)是必需的,而与此同时,计算负担是无关紧要的,因为它是一次性的努力准备训练数据。训练数据集可以有效地解决准备使用电子表格,如MS Excel中使用本文提供的具体情况(6,7]。为了获得最高的精度计算使用Excel,女士应该启用和迭代计算的最大迭代数(它被设置为32767的迭代周期所允许的最大数量精度最高的软件)必须设置(7]。

为了培养了ANN模型输入数据集(电子附件:MS Excel电子表格的9万种组合用于训练的人工神经网络(ANN)网上(见补充材料http://dx.doi.org/10.1155/2016/5242596)涉及90000三胞胎在达西摩擦系数的值(λ)使用的值生成雷诺数(Re)和相对粗糙度()5000 - 10年不等⁸和10⁻⁷-0.1,分别。为了使用输入数据集,雷诺数的值(Re)和相对粗糙度()必须规范化。使用方法将全面解释说在接下来的部分。

3.2。安的结构和培训

由三层前馈神经网络结构(图使用1)。首先,输入层有两个神经元,第二,隐藏层神经元有五十,第三,输出层有一个神经元,乙状结肠隐层传递函数和线性传递函数在输出层。

一般来说,一个安应该训练,或改编,之前或期间使用。良好的训练和验证了使用ANN网络监督离线训练之前获得的网络应用程序的数据迭代科尔布鲁克公式的应用解决方案。

几乎每个神经网络是由大量简单的处理不同的元素称为神经元,节点,细胞,或单元,连接到其他神经元的直接通信链接,每个都有一个关联的重量和偏见。权重代表信息使用的净输出给定的输入。最常见的前馈网络的处理单元有两个或两个以上层相邻层。一般来说,安能有效地模拟功能和识别模式。他们可以被训练来解决问题(学习能力)。这个解决方案的质量很大程度上取决于数量的可用数据训练和网络的结构。

应该强调发达安(生成的安附加电子附件这篇论文;文件ColebrookANN.mat)不使用的科尔布鲁克公式计算。它只使用科尔布鲁克公式产生的结果来建立其内在模式。每一个神经网络被认为是一个“黑匣子”系统;因此,它可以在没有任何知识的输入和输出其内部工作和内部组件。

然而,目前网络的主要问题是相关范围的输入参数相对粗糙度(范围从10)是非常小的⁻⁷至0.1,而另一个参数,雷诺数(Re),相当大范围内的2320 - 10⁸。这个问题可以防止安训练有素,它会导致不准确的结果应用阶段。因此,原始输入数据集应该规范化提供输入数据的安大约相同的数量级。

为了解决这个问题,可以做对数变换的雷诺数(Re)和相对粗糙度()取而代之的是和,分别。这些转换翻译(复制)输入值到新的领域是介于3.7和8在1到6.5之间范围。数据集集合的90000种组合雷诺数(Re),相对粗糙度(),以及相关的摩擦系数(λ)准备在MS Excel已经解释道。充分准备数据集分为训练、验证和测试的子集:(我)训练样本(70%,63000三胞胎)提出了安在培训期间,(2)验证样本(10500年15%,三胞胎)是用来衡量泛化的安,即停止训练时泛化并不能提高了(即。,这样可以防止所谓的“过度拟合”),(3)测试样本(15%,10500三胞胎)没有影响训练,所以它提供了一个独立的安训练期间及之后的性能。输入的规范化和用于训练安这是显示在图1。培训过程的概念图所示2。MATLAB的神经网络工具箱软件被用来模拟提出了显示流安摩擦问题。

3.3。使用安

当训练过程与90000年数据的输入/输出组合完成,生成的安得救了的名义“ColebrookANN”供以后使用。安在这样一种方式,可以进一步用于流动摩擦系数的准确估计(λ)。科尔布鲁克方程用于ANN模型的训练过程。然后,生成的安将使用输入和产生的结果,遵循这种模式的学习阶段对任何未知输入的组合。开发网络的相图所示3。

提出了安,训练的过程持续了几个小时。后来,安可以用来估计流摩擦系数(λ),准确。这可以使用MATLAB软件进行网络加载以前保存的名字“ColebrookANN”使用命令:负载ColebrookANN.mat液压摩擦系数(λ)可以评估使用MATLAB中一行:λ= sim (ColebrookANN [log10 (Re);−log10 (RPR)]),在再保险表示的值雷诺数(Re),而弹性分组环表示相对粗糙度(),也就是说,相对管道粗糙度(RPR),为了避免希腊字母代码。由于MATLAB精致的矩阵处理能力,对输入数据集可以在一行中准备由多个列向量再保险和RPR的变量。在这种情况下,MATLAB生成矢量λ涉及计算摩擦因素(λ)对于每一个输入数据对分数的时候,即使是大的数据集。

为了确定液压摩擦系数(λ)使用安,足够大的训练数据集是使用与其他结果发表在这个领域9- - - - - -13]。该网络能超越甚至科尔布鲁克方程最精确的近似。

4所示。结果与讨论

4.1。模型的性能

为了检查的性能模型,近似质量,模型复杂性和可解释性模型应该解决。事实上,近似/预测误差通常是作为评估标准。在文献中有不同的标准来评估模型的性能。可能是最坏的情况下或平均偏差是至关重要的39,40]。

的培训提出了安,使用反向传播算法Levenberg-Marquardt,均方误差(MSE)作为性能指标在训练阶段。MSE的ANN结构计算的值是10⁻¹²后5000时代的训练(图4)。主要目标是最小化的性能函数,在这种情况下均方误差函数,定义为 在哪里表示数量的样本,表示神经网络错误,表示目标价值,网络输出值。在所有情况下使用的训练算法Levenberg-Marquardt算法(41),网络权值更新的方程和基于海赛矩阵的近似,在那里表示雅可比矩阵,表示单位矩阵,所谓的组合系数总是正的。Levenberg-Marquardt算法被选为稳定、快速、可靠。

安提出的培训结构是通过5000年时代。均方误差(MSE)的安结构计算是10⁻¹²之后没有进一步减少的倾向。此外,同样的测试结果与安涉及100个神经元的结构在一个隐藏层和两个隐藏层包含50的神经元。然而,测试安结构30在一个隐层神经元导致较低的精度与前者相比测试结构,即使在10000年时期的训练。

4.2。估计结果的准确性

为了比较,最好是使用相对误差比均方误差(MSE),在培训过程中使用的安。的最大相对误差提出了前馈神经网络的结构,用一个包含50个隐层神经元,与科尔布鲁克方程的迭代方法相比,增加了0.07%(表1)。

应该考虑的是,有三个层次的准确性36,41]:(1)第一级与科尔布鲁克公式的本质是一个经验关系(事实上,有可能使用其他方程具有较高的准确性,可以使用和相应的显示方法为了发展适当的安在这种情况下)。(2)第二个层次解释了科尔布鲁克公式精度相关的解决方案;科尔布鲁克方程可以解决精确使用迭代过程(在本文中,术语“默认准确”或“绝对正确”和相关的错误可以在很多情况下被忽视)。(3)第三个提出有关安结构和相关近似可以用来避免迭代过程;他们的错误可以在迭代误差估计,并与解决方案(获得错误的建议安结构属于第三类)。摩擦系数的相对误差估计通过提出安在这是0.07%(数据结构5和6)。这意味着可以使用安提出的方法不仅是非常精确的方法,但也作为一个计算有效的一个。

此外,在某种程度上,安结构的复杂性的增加会增加其可能产生更准确的结果。因此,正确的平衡的准确性和复杂性网络设计阶段是必要的。此外,精度取决于训练集的数量条款。网络的复杂性在开发的阶段是相对不重要的自安是一种“黑盒。“它可以产生输出输入和其内在的复杂性不是至关重要的47,48]。

用户可以轻易地应用安没有任何困难由于其结构的复杂性,相比之下使用的近似公式38]。相同情况下的安慰都能感受到的用户准备的计算机代码申请的近似公式。用户可以输入数据输入到一个程序和一台电脑就可以进一步产生输出没有任何不便。

数据显示5和6,相对误差不是均匀分布在整个雷诺数的实际范围(Re)和相对粗糙度()。同样的情况与这个分布将发生错误的显式近似由Brkić(如图所示6,7和胜利和国家33]。安产生的相对误差积累的用小值区相对粗糙度()和高值的雷诺数(Re)。相对误差的分布见表1。根据表1计算的最大相对误差0.0606% Re = 10⁸和。

4.3。比较分析

有看现有的科尔布鲁克公式近似(6,7),一个人可以很明显发现可用的科尔布鲁克公式的显式近似不准确简单或复杂准确。事实上,显式近似(例如,方法的复杂性和兰伯特W-function [8,49)被视为一个严重的问题在几十年前袖珍计算器广泛使用时(38]。如今,即使是非常复杂的近似可以很容易地用于计算机代码。在这项研究中由Brkić[6),认为文学的五种最可用近似最大相对误差0.15%。提出了这些近似Zigrang和西尔维斯特46Serghides], [42),罗密欧et al。43],Buzzelli [45],和Vatankhah Kouchakzadeh [44)(更精确的近似Vatankhah所示(50),其准确性相当近似精度Ćojbašić所示和Brkić[37])。此外,Ćojbašić和Brkić[37)应用遗传算法优化技术(基因技术被用于(51,52])。这种技术改进提出的两个精确的近似Serghides [42和罗密欧等。43]甚至达到极端的精度相对误差高达0.0026%和0.0083%,分别。所有提到的显式近似本文的附录中列出(他们也附在本文电子附件(PDF文件,所有提到的近似科尔布鲁克公式通过文本与MATLAB代码和MS Excel代码))。提出安在当下工作的准确性与精度的近似图所示7在相对粗糙度()作为基地设在的图。此外,在表2雷诺数(重新)作为基础。这意味着,在使用相对误差提出了安图7,相对误差的最大值可以选择每一列的表1,而在使用的表2最大值的相对误差可以从表的每一行被选中1。

比较分析的结果报道在图7显示隐含安结构可能比绝大多数的最精确的近似在大面积的数据域。此外,建议安结构研究中可能会使用最准确的科尔布鲁克公式的显式近似隐含Ćojbašić和Brkić[37),罗密欧et al。43],Buzzelli [45Serghides], [42),Zigrang和西尔维斯特46],和Vatankhah Kouchakzadeh [44]。这些近似计算的最大相对误差为0.0026%,0.13%,0.14%,0.14%,0.14%,和0.15%,分别。

5。结论

为了评价摩擦因素,复杂的ANN模型。隐藏,模型包括三层的输入和输出神经元与2和1神经元,分别。训练有素的安能够预测摩擦系数(λ)的相对误差小于0.07%。的基础上进行比较分析,安发达产生最低的相对误差相比,最准确的科尔布鲁克的显式近似方程。此外,处理的低精度的科尔布鲁克公式或促进特定需求,建议安结构可以训练使用精确的近似或其他的一些实验数据(53,54)(尽管每个神经元之间新的培训将产生不同的内在模式(55),摩擦系数的最终估计仍将几乎相同级别的准确性),甚至使用的组合这些不同部分的输入域,可能被认为是很大的优势56]。由于这些原因,这个建议安结构在目前的研究将是有价值的解决流程问题涉及重复计算摩擦系数(λ)。一个重要缺点可能是大量的培训模式是需要获得精度水平呈现在这篇文章中,但这将是影响有限,因为这个问题可以被曾经的努力。

在我们的方法,我们试图保持简单的解决方案和提供单一的神经网络,覆盖整个范围的输入,但进一步的有趣的研究方向是设计几个网络覆盖部分的输入空间和工作在一起可能提供改进的准确性和牺牲简单的解决方案。他人同时,我们自己的业绩和结果对计算智能的其他技术的应用程序相同的问题,这里介绍的安层层叠加的可能与他们为了改善结果,主要是遗传优化的网络结构可能是有前途的。

附录

科尔布鲁克公式的近似流摩擦使用本文如下(MATLAB和MS Excel代码显示近似电子附录中列出本文的)[λ再保险,有相同的意义(1本文的)辅助条款):(我)Buzzelli近似(45]: (2)Vatankhah和Kouchakzadeh44,50,57]: (3)罗密欧等人近似(43]: (iv)Serghides近似(42]: (v)Zigrang和西尔维斯特近似46,58]: (vi)Ćojbašić和Brkić近似37,43]: (七)Ćojbašić和Brkić近似37,42]:

附加分

软件包用于这项研究MS Excel版本。2007年和MATLAB R2010a MathWorks。本文在内部系统中注册出版PUBSY欧洲委员会联合研究中心的没有。JRC100455。

信息披露

表达的观点纯粹是作者的,可能在任何情况下被视为规定的官方立场,欧盟委员会(European Commission)和Niš大学。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

的工作ŽarkoĆojbašić已经得到教育部的支持,科学和技术发展的格兰特TR35016下塞尔维亚共和国。

补充材料