神经电磁逆问题与零偶极子定位误差

摘要

一旦解决神经电磁逆问题（NIP），可以从EEG / MEG录像构建神经源的层析成像。遗憾的是，NIP缺乏一个独特的解决方案，因此需要额外的约束来实现唯一性。然后，研究人员面对选择一个解决方案的困境，根据他们的作者宣传的优势。本研究旨在帮助研究人员通过澄清逆解决方案背后的内容超越其明显最佳的属性来提升他们的选择来更好地指导他们的选择来定位单个来源。在这里，我们介绍了一个逆解决方案（ANA），其获得单个来源的完美定位，以说明杂散的源是如何出现和破坏同时活动源的重建。虽然ANA可能是由单个主导源加噪声生成的数据最简单和强大的替代方案，但是本手稿的主要贡献是表明单个源的零本地化误差是一种微不足道的，并且很大程度上是无法预测性能的在同时有源源存在的反向解。我们建议求解NIP的最合理策略，该额度结合了关于神经发电机的先验信息，用于补充数据中包含的信息。

1.介绍

确定产生头皮电场或磁场图的神经来源和强度需要解决一个逆问题。这个所谓的神经电磁逆问题(NIP)缺乏唯一的解决方案。尽管存在严重的困难，但过去和正在进行的这一领域的研究非常活跃(见[1)，因为这一问题在临床和研究方面具有极端的重要性。到目前为止，一个可靠的最优解决方案是研究正常人类受试者神经元活动的直接反映的唯一可能的替代方案，该方案需要高时间分辨率来追踪人类大脑的高度动态行为。

基于多种方法，提出了几种线性和非线性解。然而，独立于所使用的方法，我们需要评估所选择的逆过程所提供的估计的可靠性。虽然有一些有趣的研究正在进行中[2- - - - - -5迄今为止，对这个问题还没有明确或笼统的答案存在．评估线性逆解的局部特征的一个替代方法是所谓的模型分辨率矩阵(MRM) [6，7，尽管在评估中使用它的方式仍然是一个高度争议的问题，原因如下。

一些作者将注意力集中在MRM的列上，也称为点扩展函数(PSFs)，它允许推断单个准时源的解的行为。这些作者认为PSF是衡量线性逆的“良度”的适当尺度[8，9］．这里需要考虑的一个方面是，在文献中存在对单一(准时)源定位错误的两种平行定义[10］．

(1）偶极定位中的偏差(BDL)是根据估计偶极子每个笛卡儿分量位置的精度来定义的。因此，它是一个线性测度，完全符合模型分辨率矩阵定义中涉及的线性，可以直接从PSF估计。（2）定义的偶极定位误差（DLE）定义为定位电流密度向量的模数的误差。由于模量是不直接由PSF直接反射的单个偶极组件的非线性变换，这种定义概念性地不同意使用MRM和PSF。此外，通过叠加原理连接偶极本地化误差是自叠加的基础是线性的。虽然它当然认为，两个同时活动的偶极子的PSF是它们单独的PSF的总和，但这不是DLES的情况。由于模量是当前显示在脑成像中的幅度，偶极本地化误差概念的广泛使用遵守历史和实际原因。

在本文中，我们将使用单源这个术语来表示与解点相关的三个标准正交(即与酉范数正交)偶极子中的每一个。这与模型分解矩阵的结构是一致的，其中每个解点由三列表示。因此，每一列对应于偶极子的三个笛卡儿分量中的一个且仅一个。正如在这个领域中通常使用的那样，当单个源的DLE或BDL独立于该列的非对角元素为零时，将使用完美定位这个术语。

在NIP文献中已经报道了两种线性逆解来明确优化单源的定位。EPIFOCUS解决方案[11]的目标是最小化解决方案空间中所有数据源的噪声和无噪声数据的DLE和BDL。相反，sLORETA逆解[9]只对无噪声数据最小化DLE和BDL。

提倡使用PSF的使用雇用叠加原则的吸引人论点[12]作为从单源定位结果推断多源定位解决方案能力的基础。因此，他们集中精力优化MRM的列，并很可能将零偶极子定位误差作为反估计器构造的最终目标。另一组作者从这一观点出发，坚持认为在存在多个源的情况下，线性逆解的性能只能从分辨率核(MRM的行)推断出来。他们认为PSF分析仅对单源定位有效，但不足以令人满意地描述分布式源模型的性能[3.，13］．因此，他们将认为，将尽可能多的先验信息纳入解决方案以处理非唯一性，也就是说，他们的目标是描述包含实际来源的空间[14，15］．

在本文中，我们引入了一个“平凡的”和易于计算的线性逆解伴随归一化近似(ANA)，它将原始的逆问题转化为一个空间，其中模型分辨率矩阵显示了单源定位的最优性质。我们证明了在变换空间中，ANA逆解能够完全正确地定位单个源，即具有零偶极子定位偏差和非常精确的强度。这些特性被证明可以满足任意的铅场模型，而不依赖于头皮传感器的数量。使用ANA解决方案构建了一个简单的教学示例，说明了单源在位置和强度上的完美定位有对同步源本地化没有影响。给出的例子是为了理解伪源的出现，以及当多个源活动时它们是如何完全扭曲重建的。我们进一步证明了ANA可以用于在原始电流密度矢量空间中检索源。即使在这个空间中偶极子定位误差的偏差不是处处为零，ANA解对噪声的鲁棒性也比迄今为止给出的单源定位的最佳方法要好。它对噪声的稳健性和计算的简单性使核磁共振成像成为由单一主要源加上噪声生成的数据的合理替代方案，就像癫痫的情况一样。尽管如此，ANA更有可能促进这一领域的进一步发展，因为它提供了最简单的证据，证明优化单一源定位既琐碎又无用。因此，在源空间中加入合理的物理和生理约束是解决NIP非唯一性的唯一合理方法。

2.方法

2．1．问题的理论基础

neuroelectromagnetic逆问题(夹),也就是说,重建大脑负责内部的电流密度矢量附近的电场和磁场测量/头皮,可以表示为一个(第一种)弗雷德霍姆积分方程线性表示数据以外部点之间的关系,和未知电流源在位置密度分布的贡献的叠加r在大脑里面[16]：

(向量)导场函数包含关于边界条件的所有信息以及介质的电导率或介电常数，分别为电和磁的情况。三维向量为未知电流密度矢量，为r是在大脑体积上运行的3D位置变量。

在实验条件下，对于任意的表面/大脑位置，无论是测量结果还是铅场功能都是未知的。然而，假设积分方程可以用离散和近似，(1)可以用线性方程组的欠定表示:

向量d和j和矩阵l表示连续函数的离散化，即， 和,是正交权值。

所有线性解决方案（2)可以通过求解变分问题得到[7］．这就得到了逆矩阵G当应用于测量数据时，产生估计的电流密度向量，即

按(2),到(3.)得到欠定线性系统的基本方程如下:

在这里,表示模型分辨率矩阵(MRM)，描述电流密度的估计值与原始大小之间的关系。简单地说，(4)告诉我们，通过变换，我们的估计值与原始值分离R．该矩阵越近的是标识矩阵，估计的解决方案越好类似于原始源。

对于嘈杂的情况，我们可以把它改写成在哪里方程的最小范数解是多少,因此

对于这里讨论的特定例子，未知电流密度矢量包含在每个解点的三个笛卡尔分量。相应地，每个解点将由MRM的3列3行表示。的行R被称为分辨率内核[17］．每个分辨率内核都提供了有关活动源如何同时影响估计的信息j在与该行关联的组件上。的列R为点扩展函数(PSFs)，反映了单源重构的质量。也就是说，每一列对应的电流源密度由反解估计，当相关的单一源单独有源。根据矩阵乘积的线性关系，在计算同时有源估计的电流源时，只需将相关列相加即可。关于如何计算偶极定位中的偏置和PSF中的偶极定位误差的详细信息，请参见[7，10］．

2．2.逆矩阵的伴随归一化逼近

很明显，对于每个可逆矩阵W，则可对(2）：

在哪里和．让我们定义W为包含的每列范数的对角矩阵l．它是由定义引出的W它是一个对角方阵，因此是可逆的。因此(6)与(2）;我们做了一个简单的变量变换模型矩阵是列归一化铅场，未知量是变量Z。

得到(的唯一解6)在变换后的变量空间中Z，我们需要对模型矩阵求逆．因为我们在处理一个欠定逆问题，矩阵是不可逆转的。反问题的一个典型选择是使用Moore-Penrose伪逆。我们建议使用矩阵逆的一个特别简单的近似，伴随矩阵或转置矩阵(不要与由余子组成的伴随矩阵混淆)。这个简单的选择满足第三和第四个摩尔-彭罗斯条件，同时违反前两个[18]，也就是说，如果一个是一个矩阵(或向量)和G是它的广义逆，那么它必须是(1)．（2）．（3）和(4)．也就是说，的伪逆G是一个．因此，本文提出的伴随归一化逼近(ANA)逆矩阵由

ANA与EPIFOCUS关系密切。EPIFOCUS计算的是与一个解点相关联的三列(即三个单源)的伪逆，ANA则分别对应于每一列(即单个源)的伪逆的计算。这是直接了当的，因为一个标准化(酉范数)向量的Moore-Penrose逆是一个转置向量，它满足前面提到的伪逆的所有四个条件。我们还将注意到伴随对应于迭代过程的较简单的初始逆近似。归一化伴随矩阵向前迈进了一步，实现了逆矩阵的一个性质，即与原始矩阵的乘积在对角线处为1。就像EPIFOCUS的情况一样[11，下一节的模拟证实ANA特性不是加权或换位的单独结果，而是一个综合效应。

3.结果

3．1.ANA分解矩阵的理论性质

根据(4），与变换变量相关联的分辨率矩阵是由

由此可知，ANA逆解的分解矩阵为转置归一化铅场与归一化铅场的乘积。因此，分辨率矩阵是对称的。

解析矩阵的进一步性质（8的元素可以推导出我th列R的势映射的标量积给出我这个来源与所有其他来源的潜在地图。这是由于。的每一列表示在磁头表面/附近测量的电势或磁场模式我Th Dipolar Source具有统一强度（“前向解决方案”）。由于每个偶极均产生不同的激活图，因此它可以清除每对列noncollinear。ANA在变换空间中的分解矩阵必然继承非胶凝性的属性l因为唯一的变化是标准化因子。因此,我th列R的相关系数我潜在的模式和所有其他来源的潜在模式。由于给定的潜在映射与自身之间的相关系数必须为1，那么主对角线上的元素R(地图自相关性)必然等于1。由于不同的单偶极无法产生相同的头皮图，代表给定地图和所有其他地图之间相关性的非对角元素必然低于一个。因为这些属性适用于所有的源，也就是说R，则每一列的最大值，定义偶极定位中的偏置，在主对角线处达到，且恰好为1。因此，对于独立于所考虑的铅场模型的这个逆的分解矩阵，有以下性质。

(1）点分布函数(列R)在对角线元素处达到极大值，从而完美地重建所有单源的位置(偶极子在每个解点的所有笛卡尔分量)。（2）由于分辨率矩阵的对角线为1(由于归一化)，估计的源的强度正好是原始源的强度活动。（3）自R是对称的，则分辨率核的形状接近理想，在正确的位置获得最大值。

３．２．单源定位的完善是否意味着多源定位的正确?

ANA的分辨率矩阵的理想特性与引导场模型无关。这意味着它们即使是任意小的传感器配置和非常大的解决方案，则提供了引线领域中没有共线柱。我们已经利用了这一事实来构造一个简单的数字示例，这可能有助于在几个方面上阐明，影响线性逆解决方案在存在多个有源源的情况下的行为。ANA的计算简单性将有助于读者对进一步模拟其与同时源的行为的读者的任务。

本文给出的例子考虑了两个EEG传感器和四个解点的情况，如图所示1．四个解点位于两个传感器所在的弧下方的冠状平面上。传感器被放置在国际10/20放置系统的电极C3和C4的近似位置。使用蒙特利尔神经学研究所(MNI)的半真实头部模型计算铅场，该模型采用SYSMAC程序，在[19］．值得注意的是，引线场矩阵参数(电导率、电极位置和解点)的选择对下面描述的主要结果影响不大。这个论点证明了我们选择一个非常小的问题来描述完整的模型分解矩阵及其后续的理解。

在这个简单的例子中，当前密度矢量是窗体的12个分量矢量

这个矢量由偶极子(下标)的三个笛卡儿分量构成x，y，z)连接到每个解点(上标1,2,3,4)

得到模的向量

表格1显示模型分辨率矩阵与ANA逆解有关。这是一个矩阵，其中每一组三行(或三列)表示与偶极子在相应解点的三个笛卡尔分量相连接的分解核(或脉冲响应)。

上一节推导出的理论性质显然适用于所提出的问题。主对角线由它们各自的行(和列)中的主导元素填充(因为矩阵是对称的)。需要注意的第一个方面是，虽然偶极子的每个笛卡尔分量(如果单独)的恢复是完美的，但模量的恢复不是。通过对模量的原始问题而不是单个偶极组分进行反求，可以得到模量的完美恢复。这可以通过预先确定SAM波束形成器的方向来实现[20.]或按照[21］．为了简单和遵守MRM线性，我们坚持为逐组件估计的情况。

下面两个简单的例子说明了如何使用模型分辨率矩阵来推导一个有源和两个同时有源的反解估计。

根据(4)，如果“真”电流密度矢量具有(9)，然后由MRM和“真”向量的乘积给出ANA逆解估计。让我们假设真正的源分布是由一个活动源形成的，它是z- 具有强度的第一个解决方案点的组成k．在本例中，真正的向量为(9)由．由ANA估计的当前密度载体是产品由这个列向量生成的第三列乘以．因此ANA解在第一点的第3个分量(第三列的第3个元素)处达到最大值，估算的强度是准确的．请注意，重构中的所有其他元素，尽管小于第三个元素，但都不等于零。所有的非零元素都是伪源。

以同样的方式，每个单一的单位强度的主动源的重建是由链接到这个源组件的PSF (MRM列)给出的。虽然最大值总是出现在正确的位置，并且源强度也被正确估计，但重建是相当嘈杂的，并且包含虚假活动(鬼源)。这种伪活动出现在真源强度为零的位置，是分辨率矩阵非零非对角元素的结果。为了更好地理解MRM中非零非对角元素的起源，我们应该记住我第Th列包含了两者之间的相关系数我潜在的模式和所有其他来源的潜在模式。因此，分辨率矩阵的非零非对角线元素出现在导致相关头皮模式的源位置。对于ANA逆解的特殊情况，非对角元素处的值将与各自势图之间的相关系数相同。不同的源可能产生高度相似的头皮电位模式(高度相关模式)，从而产生大的非对角元素，从而产生伪源。

非对角元不仅会导致单源重建的噪声，而且会完全误导多源重建。要了解如何操作，让我们回到Table的例子1并假设源1和源12是活跃的(都具有单一的强度)。实际上，这意味着x偶极子的-组分在第一个解点是有活性的z偶极子的-组分在第四个解点是活跃的。本例中提供的重构将等于分辨率矩阵的第1列和第12列之和，其数值如表所示2．

重构的最大正值出现在源分量4处，因此出现在第二个解点。最大的绝对值出现在源分量6处，也属于第二个解点。向量的模，如表所示3.，显示出类似的结果。这意味着在解决点1和4处的实际源位置上，每个分量的重构和模量都没有出现最大值。事实上，第四个解点的模量最小，其活性组分的估计强度最小。由于MRM中存在较大的非对角线元素，因此无法同时检索两个有源。希望这个数值例子有助于理解naïve对这个问题的叠加原理的直观应用是错误的，因为只基于MRM的对角元素。

至于比较，我们描绘了表4最小范数(即摩尔彭罗斯伪逆)解的分解矩阵。注意，虽然它是对称的，但每行(或每列)的最大值不一定在主对角线上。还要注意，对于所使用的数字精度(3个十进制数字)，有几个元素为零。

3．3．的源空间单源定位算法和合成噪声数据

到目前为止，我们已经证明ANA解决方案能够在转换变量的空间内提供完美的单源定位Z．然而，很明显，在原始源空间上，分辨率矩阵的对称性将不成立，我们不能保证MRM元素是有界的。然而，基于ANA和EPIFOCUS背后的基本原理，没有理由认为这会阻止ANA在原始源空间中正确定位单个源。为了阐明这个问题，我们可以使用单源模拟。这个问题值得关注，因为在主导发生器假设下的单偶极子定位问题在一些实际的神经生理学应用中仍有兴趣，如癫痫[22- - - - - -25］．线性逆解是非线性偶极子局域化的一个有吸引力的替代方案，因为它们具有较高的计算简单性，并有可能应用于建模患者大脑所需的不规则解空间[11］．因此，我们可能想知道ANA对于单源定位的良好特性是否在原始源空间内保持j．对于临床和研究常规中的实际应用，我们期望一种既能保证精确定位又健壮的解决方案，即能够处理实验噪声和建模误差(传感器位置、近似头部电导率、等)，特别是当其他同时活跃的较弱的辐射源引起主导辐射源的模式/地图发生变化时。

在这一节中，我们给出了一些仿真结果，以研究理论性能在原始源空间中随噪声降低多少j．我们比较了四种线性解的定位结果，其中三种解对单源定位非常有效:(1)ANA， (2) EPIFOCUS [11，26]和(3)sLORETA [9］．第四个解，即(4)也包含了归一化铅场的Moore-Penrose逆，以确认ANA的结果并非简单地归因于其设计中引入的加权策略。

为了再现性和与以前的出版物的兼容性，我们在本节中使用了与ISBET通讯第6号(1995年12月)、Grave和Gonzalez(2000年)、Grave等人(2001年)中描述的传感器配置和解决方案空间相对应的领先场模型。即单位半径3壳球形头模型(Ary et al.， 1981)，解点限制在最大半径0.8以内。传感器配置包括148个电极。解空间由规则网格上的817个点组成，网格间距离为0.133 cm，对应2451个震源。为了模拟噪声数据，我们在每个电极的范围内加入不相关的随机噪声无噪声数据的振幅。DLE和BDL除以网格单元的大小(0.133)，并对其进行评价x集合中的值．为每个值,我们计算

(1）经验概率分布函数，定义如下＝错误的来源数量/ 2451;（2）定义的经验密度函数如下:密度＝有错误的源的数目/ 2451。

注意，虽然经验密度函数描述了每个偏心率范围的性能，但概率函数提供了关于最大渐近值的速度达到速度的全局评估。

数字2给出了2451个单源数据在15%噪声污染下，ANA、EPIFOCUS、sLORETA和MPNL反演的偶极子定位误差。而sLORETA和MPNL的结果对于噪声数据同样不稳定(图2)，它们明显不同于无噪声数据(这里没有显示)，其中sLORETA达到零DLE，而MPNL仍然不可靠。相比之下，ANA和EPIFOCUS对于无噪声(未显示)和有噪声的数据(图)具有非常相似的行为2)．sLORETA测试的所有正则化参数(即，， 1e-6, 0.1, 1, 10)对噪声数据也会产生类似的不稳定结果。数字2描绘了仅测试其中一个值的斜面的结果（)．

数字3.给出了ANA、EPIFOCUS、sLORETA和MPNL逆在2451个单源数据被15%噪声污染时的偶极子定位偏差。对于无噪声(未显示)数据，sLORETA和ANA对所有源的BDL为零，而对于有噪声的数据(图3.)只有ANA保持零BDL, EPIFOCUS紧随其后。MPNL和sLORETA产生的误差高达6.5个网格单元。sLORETA测试的所有正则化参数(即，，1E-6,0.1,10）产生类似的不稳定结果。结果显示在图中3.对于sLORETA，对应正则化参数为

4.讨论

本文所描述的ANA逆解，据我们所知，是NIP的第一个线性解，同时(在变换空间中)满足以下三个性质:(1)对称分解矩阵;(2)完美的单源定位，(3)完美的单源强度估计。也许这也是具有这些性质的最简单的(从数字复杂性的角度来看)解。重要的是，这些性质源自于理论解析矩阵，因此适用于任意(带有非共线列)铅场模型。

如果我们接受完美的单一来源定位，就是正确估计位置和源强度，或者在SLORETA中正确估计位置或正确估计位置，就足以确保完善的多源重建，我们必须得出结论，ANA或SLORETA是leid的解决方案。这句话对任何理由都具有公然的矛盾。错误地驻留了假设完美的单源定位，定义为零DLE或零BDL，意味着精确的多个源定位。这种含义仅针对具有零性对角线元素的理想分辨率矩阵而真实，这对于未确定的问题是不可能的。如这里所示，ANA解决方案是理论上是完美的，用于单源重建，但在两个同时活动源的最简单情况下失败。如图所示，这种失败的原因是由DLE或BDL忽略的模型分辨率矩阵内的非零非对角线元件的存在。如我们所看到的，非零对角线元素由于与不同准时源相关联的头皮电位（磁场）模式之间的相关性而出现。这种偏离对角线元素是问题陈述的固有状态（引导字段模型），并且将出于所有线性逆解决方案（例如，SLORETA，MPNL，EBIFOCUS等），但在不同程度上。注意，虽然无噪声数据意味着选择单个MRM列的选择，但噪声数据可以被解释为附加源（生成噪声），这意味着应该添加MRM的多列以获得最终电流密度估计器。 As shown before, off-diagonal elements might dominate such reconstruction even in the noiseless case. However, as long as the components of the additional source are lower than the correlation between patterns of neighboring dipoles, ANA (and the closely related EPIFOCUS) should yield low BDLs. Simulations suggest that this is not the case for sLORETA or MPNL with errors up to 6.5 grid units.

重要的是，人们普遍认为，通过增加头皮记录传感器的数量，定位精度将无限期地提高。在增加传感器数量的同时，增加了关于底层源的信息量，它也增强了引导场矩阵行之间的相关性(冗余)，即一个传感器看到所有源的方式。行之间相关性的增加会导致不稳定(对噪声敏感)问题，需要特殊的正则化策略来避免噪声放大。新测量方法所传递的独立信息和它们的冗余之间的这种权衡，将决定用于源定位的电极数量的实际优势。

我们已经看到，无论是完美的单源定位，还是记录传感器数量的无限增加，都不能最终解决NIP问题。显然，剩下的唯一选择是将尽可能多的关于生成器的先验信息合并到问题中。这些信息应该独立于测量中已经包含的信息。先验信息可以通过前场矩阵的右侧变换被包含在离散形式中，进而可以解释为变量的变化。只有这个过程，这里说明的ANA解决方案(见(6)，将允许有效地修改分辨率核的形状。然而，问题仍然是开放的，这些右边的修改先导场将导致正确的中心分辨率核。在NIP文献中已经采用的超前场右侧变换的例子是ELECTRA的无旋转源模型[15，27]或根据预先设定的地磁源方向而转换的铅场[8，20.］．

ANA解决方案的价值不仅仅是教学。从我们的仿真结果可以看出，ANA可以用于在原始变量的空间中检索源j．虽然在这个空间中偶极子定位误差不是处处为零，但偶极子定位中的偏置仍然为零，并且结果对噪声具有很强的鲁棒性。在这个意义上，ANA解决方案与迄今为止提出的更健壮的方法相比。其计算简单，易于应用于不规则分布的解空间，以及定位能力，使ANA成为分析由单一主导源和噪声产生的数据的合理选择。在来源定位的最重要的临床应用之一，即确定癫痫活动的发病部位时，这样的假设并不罕见[22，25］．

值得一提的是，这里所描述的局限性并不是针对线性逆解的，它们肯定会出现在非线性逆过程的不同掩模下。由于模型分解矩阵形式提供的可能性，这些困难很容易在线性框架内分析，但它们实际上反映了原始逆问题的不适定性质。因此，除非发现一个有用的先验信息，不能纳入线性逆，我们看不出好的理由，以其固有的计算和解释的简单性取代舒适的线性框架。

上十年内的线性反相解决方案的评估和设计被误入其中，只有能够准确定位大部分单个来源的解决方案将在寻求构建神经发电机的断层扫描过程中取得成功[9，12］．希望本文的例子和论点将有助于重新定位这一领域的研究，以表征神经生成器的性质，作为克服NIP逆问题的非唯一性的唯一方法。这个方向的研究并不是注定要失败的，现有的逆解可以导致相关的和新的发现在神经科学，如果正确地利用和解释。虽然经常被忽视，但功能性磁共振成像也有一些对NIP线性逆解的限制。例如，功能磁共振成像对比信号的绝对大小不能依赖于测量两个不同皮质位置的神经反应振幅[28］．类似地，我们在比较两个不同解点的电流源密度估计值时应该谨慎，因为幅值估计值是实际电流分布以及MRM的对角线和非对角线元件的函数。然而，我们既可以依赖于fMRI所做的实验对比，也可以依赖于尺度变换不变的度量，如来自估计源的时间信息的光谱度量[29- - - - - -31]，以提高从逆向检索信息的可靠性。

5.结论

本文介绍了一种线性逆解，即ANA，它满足了单源定位的几个最优性质。我们通过模型解析矩阵的形式证明了ANA能够正确地定位所有单源的位置和振幅。这些特性适用于任意的铅场和任意小的传感器配置。我们利用这一事实来介绍一些简单的例子，以阐明伪源是如何形成的，以及它们与同步源重建的巨大相关性。我们进一步证明ANA解对噪声具有很强的鲁棒性，在单源定位(sLORETA和EPIFOCUS)方面优于已建立的方法。它对噪声的稳健性和计算简单性使ANA成为由单一主要源加上噪声生成的数据的合理选择，就像癫痫的情况一样。

该手稿最重要的贡献是提供了明确的证据，证明从单源定位特性推断线性解的行为的看似合理的想法是错误的(尽管naïve)。因此，零定位误差本身是一个微不足道的和无用的性质，无法预测同时存在有源的逆解的性能。我们期望这些结果将有助于研究人员在方法发展以及临床和神经科学应用中指导反相方法的选择。我们还希望，这将进一步激发人们的兴趣，寻找神经生理学上可信的约束条件，可以在NIP中用作先验信息，这应该是这项努力的最终目标。

致谢

作者感谢两位匿名评论者的建设性意见。这项工作得到了欧洲项目FP6-IST-027140 (BACS)和成本行动BM0601“NeuroMath”的支持。本文仅反映作者的观点，资助机构对使用本文中包含的信息不承担任何责任。本局对本刊所提及的外部网站概不负责。我们要感谢英国医学研究理事会对其中一位作者的财政支持(OH, U.1055.04.003.00001.01)。

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