neuroelectromagnetic逆问题(夹),也就是说,重建大脑负责内部的电流密度矢量附近的电场和磁场测量/头皮,可以表示为一个(第一种)弗雷德霍姆积分方程线性表示数据以外部点之间的关系,<我nline-formula> d ( 年代 ) , 和未知的贡献的叠加电流源密度分布位置<我talic> r大脑内部( 16]:

(1) d ( 年代 ) = ∫ 大脑 l ( 年代 , r ) * j ( r ) d r 。

(向量)领导领域的功能<我nline-formula> l ( 年代 , r ) 包含所有的信息的边界条件以及媒体导率或介电系数的电场和磁场情况下,分别。三维向量<我nline-formula> j ( r ) 表示未知的电流密度矢量,<我talic> r3 d位置变量运行在大脑的体积。

在实验条件下,测量和场函数任意表面/大脑位置而闻名。然而,假设可以近似积分方程离散和,( 1)可以表示为一个欠定线性方程组:

(2) d = l j 。

向量 d和 j和矩阵 l代表了连续函数的离散化,也就是说,<我nline-formula> d k = d ( 年代 k ) , j 米 = j ( r 米 ) , 和<我nline-formula> l 公里 = w 公里 l ( 年代 k , r 米 ) ,<我nline-formula> w 公里 是交的重量。

所有的线性解决方案( 2)可以获得解决变分问题 7]。这个收益率逆矩阵 G当应用到测量数据,产生电流密度矢量估计,也就是说, (3) j ̂ = G d 。

替换的测量数据,所述( 2),到( 3)收益率以下欠定的线性系统的基本方程: (4) j ̂ = G d = G l j = R j 。

在这里,<我nline-formula> R = G l 表示模型的分辨率矩阵(MRM)描述估计之间的关系和原电流密度的大小。用更简单的术语来说,( 4)告诉我们,我们估计独立于原始值的转换 R。这个矩阵是单位矩阵,越近越好估计解决方案类似于最初的来源。

嘈杂的情况下<我nline-formula> d = l j + N o 我 年代 e ,我们总是可以重写它<我nline-formula> d = l j + l j n 在哪里<我nline-formula> j n 最低标准方程的解决方案吗<我nline-formula> N o 我 年代 e = l j n ,因此 (5) j ̂ = G d = G l ( j + j n ) = R ( j + j n ) 。

这里讨论的例子,未知的电流密度矢量包含三个笛卡尔组件每个解决方案。相应地,每个解决方案将由3行3列的MRM。的行 R被称为决议内核( 17]。每个决议内核提供了信息来源影响的估计同时活跃 j在组件相关行。的列 R是点扩散函数(psf)和反映单个源重建的质量。也就是说,每一列对应于电流源密度估计的逆解相关的统一的单一来源时单独活动。基于矩阵乘法的线性度,计算电流源估计的同时积极来源足以添加相关的列。更多细节关于如何计算偏差的偶极子定位从PSF和偶极子定位错误,看到 7, 10]。

很明显,每一个可逆矩阵 W,下面的变量可以应用于( 2):

(6) d = l W - - - - - - 1 W j = ℒ Z , 在哪里<我nline-formula> ℒ = l W - - - - - - 1 和<我nline-formula> Z = W j 。让我们定义 W包含标准的对角矩阵的每一列的 l。它遵循的定义 W它是一个对角方阵可逆的。因此( 6)是相同的原始问题公式化( 2);所做的是一个简单的改变变量的模型矩阵列归一化铅字段,和未知变量吗 Z。

获得一个独特的解决方案( 6)的空间转换变量 Z,我们需要反转模型矩阵<我nline-formula> ℒ 。因为我们正在处理一个欠定的逆问题,矩阵<我nline-formula> ℒ 是不可逆转的。一个典型的逆问题的选择是使用Moore-Penrose伪逆。我们建议使用一个特别简单的一个矩阵的逆矩阵近似,伴随或转置(不要困惑伴随矩阵由代数余子式)。这个简单的选择满足第三和第四Moore-Penrose条件,而违反前两个( 18),也就是说,如果 一个是一个矩阵(或矢量)和 G是它的广义逆,那么它必须认为(1)<我nline-formula> 一个 G 一个 = 一个 。(2)<我nline-formula> G 一个 G = G 。(3)<我nline-formula> ( 一个 G ) t = 一个 G 和(4)<我nline-formula> ( G 一个 ) t = G 一个 。它还遵循的伪逆 G是 一个。因此提出了伴随规范化近似(ANA)逆是由

(7) G = ℒ t = ( l W - - - - - - 1 ) t = W - - - - - - 1 l t 。 安娜和震中之间有密切的关系。虽然震中计算(即三个主要领域的伪逆列。,three single sources) associated with one solution point, ANA corresponds to the computation of the pseudoinverse of each column (i.e., single source) separately. This is straightforward since the Moore-Penrose inverse of a normalized (unitary norm) vector is the transposed vector which fulfills all the four conditions of the pseudoinverse mentioned before. We would also note that the adjoint corresponds to the simpler initial approximation of the inverse for iterative processes. The normalized adjoint is a step forward fulfilling one property of the inverse, that is, the product with the original matrix yields one at the diagonal. As it was the case for EPIFOCUS [ 11),下一节的模拟证实安娜属性不加权的结果或换位孤独但综合效应。

根据( 4),分辨率矩阵与转换关联变量<我nline-formula> z 是由

(8) R = ℒ t ℒ = W - - - - - - 1 l t l W - - - - - - 1 。

,由此可见,安娜的分辨率矩阵逆的解决方案是调换的产品标准化字段乘以规范化铅字段。因此解决矩阵是对称的。

进一步解决矩阵的性质<我nline-formula> R ( 8)可以被注意到的元素派生<我talic> 我th列 R给出的标量产品可能产生的地图吗<我talic> 我th源与所有其他来源的潜在的地图。这源于这样一个事实:每一列的<我nline-formula> l 代表了电势或磁场模式以/头表面只有附近<我talic> 我th偶极源活跃与统一的力量(“提出解决方案”)。因为每一偶极产生不同的激活地图,然后列清楚,每一对的<我nline-formula> l noncollinear。安娜的分辨率矩阵转换空间<我nline-formula> ℒ 一定继承noncollinearity的财产 l因为唯一的变化是一个规范化的因素。因此,<我talic> 我th列 R包含之间的相关系数<我talic> 我th潜在模式和所有其他来源的潜在模式。自相关系数之间的一个给定的潜力与本身必然是一个地图,然后在主对角线的元素 R(地图上的自我)不可避免地等于1。nondiagonal元素,代表一个给定的地图和其他地图之间的相关性,必然是低于一个自不同的单一偶极子无法产生相同的头皮地图。因为这些属性保持所有来源,也就是说,所有列 R每一列的最大值,定义在偶极子定位偏差,达到主对角线和就是一个。因此,以下属性保持独立的分辨率矩阵逆铅领域模型的考虑。

安娜的理想性质的分辨率矩阵在前一节中描述的独立于铅领域模型。这意味着他们甚至将任意小的传感器配置和非常大的解决方案提供的空间,没有共线列字段。我们利用这一点来构建一个简单的算例,可能有助于阐明几个方面影响线性逆的行为解决方案在多个活动源的存在。安娜将促进任务的计算简单,读者感兴趣进一步模拟其行为同步源。

这里的例子认为两个脑电图传感器和四个解决方案的情况下点如图 1。下面的四个解决方案分躺在冠状平面弧的两个传感器被放置。传感器被放置在电极的近似位置C3和C4国际10/20位置的系统。主要领域是计算使用的头结构模型来自蒙特利尔神经学研究所(MNI)平均大脑使用SYSMAC过程描述( 19]。值得注意的是铅场矩阵参数的选择(导率、电极位置和解决方案分)将在下面描述的主要结果有什么影响。这个论点证明我们选择一个非常小的问题,允许描述完整的分辨率矩阵模型及其随后的理解。

在这个简单的例子中,电流密度矢量是一个12组件的形式

(9) j = ( j x 1 j y 1 j z 1 j x 2 j y 2 j z 2 j x 3 j y 3 j z 3 j x 4 j y 4 j z 4 ] 。

这个向量是由偶极子的三个笛卡尔组件(下标 x, y, z)与每个解决方案点(标1、2、3、4),空间分布的模量电流密度矢量可以计算使用

(10) j 我 = ( j x 我 ) 2 + ( j y 我 ) 2 + ( j z 我 ) 2 为 我 = 1、2 , 3、4 , 导致的向量的模量

(11) j 米 = ( j 1 j 2 j 3 j 4 ] 。

表 1显示了模型分辨率矩阵<我nline-formula> R 与安娜的逆解问题。这是一个<我nline-formula> 12 × 12 矩阵,每组的三行(或列)代表决议内核(或脉冲响应)与偶极子的三个笛卡尔组件对应的解决方案。

理论派生显然在前一节中包含的属性问题。主对角线是由那些在各自的主要组成部分行(和列自矩阵是对称的)。第一个需要注意的方面是,虽然每个笛卡尔组件的偶极子的复苏(如果单独)是完美的,模量的复苏。完美复苏的模量可以获得与安娜逆声明原问题的模量,而不是个人偶极组件。这可以通过确定先验取向如山姆beamformer [ 20.)或调整中提出的问题( 21]。我们坚持,为了简单起见,遵守MRM线性,使用rtjcb估计的情况。

以下两个简单的例子说明如何使用模型分辨率矩阵推导出逆解估计为一个活跃的源和两个同时活跃的来源。

根据( 4),如果“真正”的电流密度矢量形式( 9),那么安娜逆解的估计是由MRM的产品和“真正”的向量。让我们想象一下,真正的源分布是由一个活跃的来源,这是<我talic> z分的第一个解决方案点力量<我talic> k。在这种情况下,真正的向量是根据( 9)由<我nline-formula> ( 0,0 , k , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0,0 , 0 ] 。电流密度矢量估计安娜的产物<我nline-formula> R 这个收益率正是第三列的列向量<我nline-formula> R 乘以<我nline-formula> k 。因此,安娜在第三个组件解决方案会导致最大的第一点(第三列的第三个元素),并估计就是力量<我nline-formula> k 。请注意,所有的其他元素重建,虽然比第三个小,不同于零。所有的非零元素的来源。

同样的,每一个活跃的重建的统一的力量来源是由PSF MRM(列)与源组件。而最大总是发生在正确的位置和源强度是正确估计,重建和包含虚假活动噪音相当大(鬼来源)。这种虚假的活动出现在网站的真正源泉力量是零和是零的结果分辨率矩阵的对角元素。为了更好地理解在MRM非零非对角元素的起源,我们应该记住它<我talic> 我列之间的相关系数<我talic> 我th潜在模式和所有其他来源的潜在模式。因此解决矩阵的非零非对角元素出现在的位置来源导致头皮模式相关。安娜逆解,特殊情况下的非对角元素的值将与相关系数之间的各自潜在的模式。不同来源可能产生高度相似的头皮电位模式(高度相关模式)诱导大非对角元素,因此杂散来源。

非对角元素不仅会导致嘈杂的单一来源的重建也,更糟糕的是,他们将完全误导多个源重建。来看看,让我们回到我们的表的例子 1和假设1和12是活跃的来源(统一的力量)。实际上,这意味着<我talic> x偶极子的分量是活跃在第一个点的解决方案<我talic> z偶极子的分量是活跃在第四个点的解决方案。重建提供了在这种情况下就等于列1和12的总和的分辨率矩阵,并给出其数值表 2。

最大的积极价值重建出现在四号源组件,因此在第二个解决方案。的最大绝对值出现在6号源组件也属于第二个解决方案。向量的模量,给出表 3显示了类似的结果。这意味着使用rtjcb重建和模量显示最大值在实际的源位置分1和4的解决方案。事实上第四解点最小的模量,及其活性成分第三个最小的估计强度。解决方案的失败再次检索两个同时活跃的来源是由于MRM的大型非对角元素的存在。希望,这一数值例子有助于理解的朴素直观的应用叠加原理对这个问题是错误的因为只基于MRM的对角元素。

作为比较,我们描述表 4的分辨率矩阵(即最低标准。彭罗斯,摩尔伪逆)解决方案。注意,虽然是对称的,最大值为每一行(或列)不一定是在主对角线。还要注意几个元素为零的数值精度(3小数位数)使用。

到目前为止我们已经展示了安娜的解决方案能够提供完美的定位改变变量的空间内的单一来源 Z。然而,很明显,在原始空间分辨率矩阵的对称性不会举行,我们不能确保MRM元素是有界的。然而,安娜和震中背后的基本原理的基础上,没有理由相信这将防止安娜正确定位单一来源的原始空间。为了阐明这个问题,我们可以采取模拟单一来源。这个问题是令人担忧的,因为单偶极子定位问题的假设下主导发电机仍然感兴趣的几个实用的神经生理学应用程序如癫痫( 22- - - - - - 25]。线性逆解构成非线性偶极有吸引力的替代品,本地化,因为他们更高的计算简单和可能性解决方案适用于不规则的空间建模所需的病人的大脑( 11]。我们可能会因此怀疑安娜对于单个源定位的良好特性保持在原始空间 j。在临床实际应用和研究,我们希望解决方案保证准确定位但也强劲,也就是说,能够处理实验噪音和建模错误(传感器位置,近似导率等),特别是与模式的变化/地图的主要来源由其他较弱的来源同时活跃。

在本节中,我们讨论一些仿真结果研究的理论性能降低噪音在原始空间 j。我们比较定位结果四个线性解决方案包括三个高效的单一源定位:(1)安娜,(2)震中( 11, 26),(3)sLORETA [ 9]。第四个方案,(4)的Moore-Penrose逆规范化引导领域还包括确认安娜的结果不仅仅是由于加权策略介绍了它的设计。

再现性和兼容之前的出版物,我们使用在本节领先领域模型对应于描述的传感器配置和解决方案空间ISBET简报6号,1995年12月,坟墓和冈萨雷斯,2000,坟墓et al . 2001。即单位半径3-shell球形头部模型(必要et al ., 1981),以解决方案分局限于0.8的最大半径。由148个电极传感器配置。解决方案空间由817分在规则的网格intergrid 0.133厘米的距离,对应2451焦。模拟的数据,我们添加到每个电极不相关的随机噪声的范围<我nline-formula> ± 15 % 振幅的无噪声数据。和BDL除以了单元格的大小(0.133)和评估<我talic> x值的设置<我nline-formula> ( 0、0.5、1 , 1.5,2 , 2.5,3 , 3.5,4 , 4.5,5 , 5.5,6 , 6.5,7 ] 。为每个值<我nline-formula> x 我 ,我们计算

注意,尽管实证密度函数描述每个离心率的性能范围,概率函数提供了一个全球评估如何快速达到最大渐近值。

图 2介绍了偶极子定位误差安娜、震中sLORETA, MPNL逆本地化的2451年单一来源数据含有15%的噪音。虽然结果sLORETA和MPNL同样古怪的嘈杂的数据(图 2),他们显然不同噪声数据(这里没有显示)sLORETA达到零DLE而MPNL仍然是不可靠的。相比之下安娜和震中有非常相似的行为无噪声(图中未显示)和嘈杂的数据(图 2)。所有正则化参数检测sLORETA(即<我nline-formula> λ = 0 1 e-6, 0.1, 1, 10)噪声数据产生类似的不稳定的结果。图 2描述了sLORETA的结果只有一个值的测试(<我nline-formula> λ = 0 )。

图 3提出了偶极子定位的偏差安娜,震中,sLORETA, MPNL逆本地化的2451年单一来源数据含有15%的噪音。无噪声(图中未显示)数据sLORETA和安娜达到零BDL来源,而嘈杂的数据(图 3)只剩下安娜在零BDL震中紧随其后。6.5 MPNL和sLORETA产生错误一样大网格单元。所有正则化参数检测sLORETA(即<我nline-formula> λ = 0 1 e-6, 0.1, 1, 10)产生类似的不稳定的结果。结果如图 3sLORETA对应的正则化参数<我nline-formula> λ = 1 。