文摘

描述粘弹性材料从机械的角度通常是通过动态力学分析(DMA)执行,包括稳态波形的激励响应的单轴酒吧标本,允许所谓的复杂的模量,实验测量评估弹性储能和内部能量耗散的粘弹性材料。现有理论调查复杂的模量的影响接触行为特性严重限制由于采用接触解决方案推断不减少的接触半径在加载程序。对于谐波循环加载,验证这种假设只有在振荡压痕深度相比可以忽略不计,由于载荷步。这种限制被释放在目前的数值模型,这是能够接触模拟任意载荷作用下资料,不规则几何接触,和复杂的线性粘弹性材料的流变模型,由一个以上的弛豫时间。的经典方法,推导粘弹性应力分析问题的解决方案,基于elastic-viscoelastic对应原理,在这里获得的位移响应应用粘弹性材料在任意分布的表面牵引。后者进一步解决方案是用来构造一系列接触问题边界条件相匹配的原始的粘弹性接触问题在特定的时间间隔,保证接触过程的精确复制的历史。发达计算机代码验证反对古典接触解决方案通用流变模型,然后采用模拟的聚甲基丙烯酸甲酯的谐波循环缩进楼梯由刚性球体。接触过程稳定后第一个周期是证明和计算能量损失每循环一个扩展频谱谐波负载频率,强调内部能量耗散的频率达到最大值。

1。介绍

重要工程应用领域涉及汽车皮带和轮胎等产品、海豹、或生物医学设备需要准确预测摩擦学的过程之间的粘弹性材料,如橡胶或弹性体。考虑到一个封闭的描述粘弹性接触难以实现是由于新兴的复杂性方程,数值模拟了自己是一个有价值的替代,能够协助摩擦学的主管产品使用粘弹性材料的设计。

经典的方法求解线性粘弹性应力分析的问题是基于弹性问题相关的概念(1,2]。这种方法涉及的时间维度通过拉普拉斯变换,从而减少正式粘弹性问题的弹性问题的解决方案更容易实现。尽管该方法的应用程序是有限的瞬态边界条件中遇到的大多数接触问题不能直接通过拉普拉斯变换,成功获得有限的可行性解决方案。李和Radok [3)派生Hertz-type问题涉及线性粘弹性材料的解决方案的情况下接触面积随时间单调增加。猎人(4为单调接触半径或解决同样的问题时,拥有一个最大半径。粘弹体的接触问题是延长杨5)封面一般线性材料和任意二次接触几何。一个更通用的解决方案,允许任意数量的加载和卸载,接触面积的一个单连通区域上,后来通过Ting [6]。进一步的迭代(7)涉及多个连接接触区域和接触半径所描述的任意时间的函数。轴对称硬度计压头之间的接触问题和粘弹性半空间内被格林伍德(最近重8]。这些部分解析解的数学复杂性挑战他们的广泛应用,特别是在谐波循环荷载下的接触过程中,当五个不同的情况下7)被认为是由于接触半径的细节依赖于加载历史的计划。算法化也可能有问题,由此产生的隐式解决方案需要数值积分和分化,以及超越方程的解析,可以提高收敛问题。

最近的事态发展在弹性接触问题的数值解析鼓励粘弹性接触问题的新方法。Kozhevnikov et al。9)先进的粘弹性半空间介质缩进的新算法基于矩阵求逆方法(MIM)。陈等人。10)开发了一种新的半解析方法(SAM)接触建模的聚合物材料具有复杂的特性和表面形貌。这些作者(11]研究了multi-indentation刚体的粘弹性半空间内使用双刻度迭代法(TIM)。

Spinu和Gradinaru12先进的半解析方法计算位移的线性粘弹性的身体受任意表面牵引。Cattaneo-Mindlin问题解决方案包括粘弹性材料被Spinu先进和Cerlinca [13),基于该算法的无摩擦粘弹性接触问题报告(14]。最近,同一作者研究[15)的粘弹性材料的接触通过施加一个简化的方式可塑性影响表面微凸体的顶端都占了。在处理摩擦和表面微形貌,这些接触模拟采用简单的加载程序通常在增加载荷步组成。循环谐波负载下的接触过程是本文研究基于粘弹性接触的一个扩展版本算法[先进14]。新算法的发展允许更一般的边界条件,包括位移驱动接触场景,以及评估post-unloading接触状态。

从算法复杂度的角度来看,使用的半解析方法(SAM),来自于边界元法(BEM),具有显著的计算优势有限元方法(FEM),因为它需要一个2 d空间离散化(即。,潜在的接触表面的啮合),而3 d网格的有限元模拟需要整个接触身体。根据这一审查(16,山姆大大超过了有限元的计算效率;例如,一个3 d山姆接触可以进行模拟计算的努力与2 d有限元分析。本文算法的计算效率优化采用最先进的数字技术:共轭梯度法(CGM),以其超线性收敛速率,用于新兴的解决线性方程组,而离散卷积快速傅里叶变换(DCFFT)技术(17)从事产品离散卷积的快速计算。

2。粘弹性本构律法和相关联系的解决方案

在线性粘弹性理论的框架18),材料表现出线性应力-应变关系;即压力由一个常数因子的增加会导致应变响应的增加同样的因素。响应函数通过亥维赛步励磁的传达函数被称为粘弹性的材料功能的身体,即松弛模量和蠕变柔量,都是时间的函数 。蠕变柔量函数描述了粘弹性应力、应变响应单位阶跃变化和松弛模量 ,相反,描述了应力应变响应单位阶跃变化。这些函数,线性粘弹性响应各种序列的应力或应变评估,根据玻耳兹曼遗传积分,通过两个沃尔泰拉积分方程: 在哪里和是偏应力和偏应变张量,分别。因此,(1)可以被视为一系列加载历史组成的叠加无穷小应变或应力的变化,分别应用分别观察的一个窗口 最初,选择(即。,在 粘弹体是安静的。

模拟力学模型,用线性弹簧和阻尼器,安排串联或并联,方便工具模型单轴加载下的线性粘弹性行为。这些基本单元的组合规则,蠕变遵从性加入系列和并行松弛模。

理想的春天,也称为胡克模型或理想的固体,弹性元件的力成正比的扩展。通过确定力和应力与伸长应变根据胡克定律, ,相关的(即。,longitudinal or shear) elasticity modulus. The dashpot, also referred to as the Newton model or the perfect liquid, is the viscous element in which the force is proportional to the rate of extension. According to the Newton equation, ,在那里 应变率和吗粘度系数。胡克和牛顿模型代表粘弹体的极限情况。

并行分支由弹簧和阻尼器被称为开耳文模型,而一个分支由弹簧与减震器系列被称为麦克斯韦模型。麦克斯韦模型的微分方程可以表示为18] 为 假设下 为 。的蠕变柔量函数描述的粘弹性半空间内麦克斯韦模型包含弹簧的剪切模量串联阻尼器的粘度结果(19] ,在那里表示弛豫时间: 。

停的形式主义6,7)可以用来描述麦克斯韦粘弹性半空间内的压痕的刚性球形打孔半径在一个步骤加载 ,在那里表示亥维赛阶跃函数和是固定的,但否则任意选择。取得的压力分布方程的时间第一次接触后,径向坐标 ,结果 在哪里表示接触半径 : 和表示真正的复杂参数的一部分。这部分分析的解决方案是一种计算更加友好的相应方程推导出在20.]。

麦克斯韦模型账户来放松但处理严重蠕变(模型爬没有绑定在恒定速率;因此也称为麦克斯韦流体)和恢复(只有弹性变形恢复,这是瞬间完成)。开耳文模型,另一方面,处理蠕变和恢复良好但不放松。此外,后者模型展览没有瞬时弹性反应;因此,弹性模量是正式无限,接触压力的结果是无限的开始接触边界的加载过程,证明了停的模式6,7在[]实施报告19]。因此,可以断言,开尔文模型的假设使其不适合接触分析。

麦克斯韦和开尔文模型适合定性或概念上的分析,但行为的定量表示真正的材料需要增加数量的参数。广义麦克斯韦模型由许多并行麦克斯韦模型和一个孤立的春天,而广义开尔文模型包含的开尔文单位+一个孤立的弹簧串联。标准线性固体模型,也称为齐纳模型,可以表示为一个弹簧的剪切模量在系列开尔文模型的参数和或弹簧与麦克斯韦模型。采用前表示,齐纳的微分方程模型结果(18] 产生蠕变柔量函数如下:

齐纳模型展览瞬时弹性应变压力时立即应用;如果压力保持不变,应变爬向极限,然而,在恒定的压力下,对极限压力放松。此外,当压力是移除,瞬时弹性回复发生,其次是对消失的应变逐渐复苏。使用Ting的形式主义6,7),齐纳的加载步半空间内压力分布的刚性球形打孔半径结果 与的接触半径(3)。

这些基本模型,只有一个弛豫时间,能够提供只有定性描述的粘弹性行为,而精确的定量评估需要更多的参数,与天然的放松时间的粘弹性材料。这样的目标可以实现通过使用复杂的模型如广义Wiechert模型,它由几个麦克斯韦单位和一个免费的春天,并行连接。Wiechert模型的剪切松弛模量函数可以表示为18] 在哪里长期模量(纵向或剪切)一旦材料完全放松和和 ,与 ,弛豫时间和每个麦克斯韦的弹簧刚度单元。自然产生的松弛时间谱可以描述粘弹性材料包括尽可能多的指数条款。关系(7)也称为普龙尼系列。普龙尼系列粘弹性材料通常是通过一维松弛试验,粘弹性材料受到突然的压力保持不变,同时测量压力反应。初始压力是纯粹的弹性响应的相关材料。后来,压力放松由于粘弹性材料的粘性效应。数学描述采用普龙尼系列可以通过拟合实验数据(7通过调整模型参数 , ,和 。

真正的粘弹性材料的本构定律认为本文是聚甲基丙烯酸甲酯(PMMA)、热塑性聚合物的机械性能被广泛的研究拉梅什·库马尔和纳史木汗21]。试验得到的这些作者PMMA松弛模量数据进行单轴压缩在一个窗口观察的1000年代。根据他们的研究结果,连任两届普龙尼系列PMMA结果(10] 这是材料的松弛模量函数(用纵向弹性模量来表示),描绘在图吗1。

在时域,松弛模量和蠕变柔量不交换(如纯弹性情况下);也就是说, 。然而,在拉普拉斯变换域,适用下列关系(18他们的转换: 在哪里在拉普拉斯变换域变量。后者方程可以推导出蠕变柔量PMMA首先通过计算它的拉普拉斯变换的函数从(9),随后应用拉普拉斯逆变换获得在时域中,导致

后者方程表达了PMMA蠕变柔量的剪切模量通过使用泊松比 (21]。的半解析解接触问题涉及线性粘弹性材料所描述的复杂的流变模型像普龙尼系列将在以下部分中讨论。

3所示。接触模型

接触模型,采用本文是基于一般接触模型由约翰逊(20.弹性域)。接触方程,以及实施的假设和局限性,在这里重复为了清楚起见,新成立的依赖关系,与前一节中描述的粘弹性本构定律,然后详细讨论。

方程组和不等式约束接触过程都写在笛卡儿坐标系统和轴躺在常见的平面(即联系。,the plane passing through the initial point of contact, which separates best the two contacting surfaces). The two contacting solids are subjected to a normal force aligned with轴,压缩的两个边界表面在一起。而不是一个长期有效的纯粹的弹性接触的过程,在最终状态只取决于加载水平,粘弹性接触状态取决于时间,以及加载历史,由于粘弹性材料的记忆效应,因此第三次参数添加到弹性接触模型。

静力平衡法向力有关的压力分布随时观察窗 。保持独立的参数的数量降到最低,接触被认为是无摩擦的,也就是说,剪切牵引不能持续在接触界面。此外,被认为是准静态问题,意义,由于变形可以忽略不计的惯性力量:

两者之间的方程分离的表面接触身体产生变形的几何条件在正常的方向: 在哪里是未变形的(即之间的差距。,初始时间 )表面,变形表面之间的差距,是正常的相对位移,是刚体的方法。

完成接触模型的边界条件和约束,也称为互补条件文学的弹性接触。后者方程需要接触面积不知道是先天的,因此必须找到以迭代的方式由一个试错的方法。的差距变形接触表面之间的接触面积就消失了,因为没有互相贯通的框架允许接触固体的弹性。另一方面,必须积极的接触区域外的差距,哪里有接触体之间的间隙。以同样的方式,压力是正面的接触面积和接触区域外的消失。同时必须满足这些边界条件和约束可以表示为

non-negativity压力的假设导致忽视接触粘附和可以被认为是非常保守的粘弹性材料。附着力几乎出现在所有接触真正的表面,但附着的力量可以常被忽视的金属材料,当实际的接触面积,建立了粗糙面高度之间,比明显(即小得多。从地形上光滑的身体)之间的接触面积。在本文提出的框架,联系解决方案是通过使用一个优化方案,需要接触的non-negativity牵引。后者得到了变分问题最初制定的解决方案领域的接触力学,这些作者(22),寻求最小的二次型,也就是说,补充能量,受到限制,即边界条件。这二次优化的收敛是保证,但该方法失败时adhesion-like拉伸牵引被假定联系。应该注意的是,没有考虑粘附在经典或现代文学(3- - - - - -15的粘弹性接触。联系互补条件在本文中使用的弹性接触模型匹配边界条件用于(7),导致表面位移与接触面积内的硬度计压头概要文件兼容。作为粘附在解析或半解析接触模型的集成仍然处于早期阶段(23),没有退一步是由框架提出了。

接触模型(求解上的困难11)- (14)源于接触面积和压力分布是已知的。因此需要一个迭代的方法,涉及一种试错的方法,假设接触区域,然后计算压力分布基于这样的假设。如果所有接触模型中约束获得的解决方案,验证了接触问题的解决方案。这个解决方案是独一无二的基于elastostatic问题的解的唯一性定理。否则,接触面积和一个新的调整压力分布计算新的猜测。这种迭代方法要求的反应接触材料,即位移引起的表面牵引,计算任意的接触面积和压力分布。后者计算管理系统才能实现,因此离散化问题是实施执行接触过程的数值分析。

接触模型综述了这里也广泛用于接触场景涉及history-dependent过程的模拟像可塑性24,穿25),或摩擦26)通过添加一个外部负载应用增量的循环。在后者接触情况下,时间参数不需要考虑明确只要接触的历史过程是正确模拟(即。,加载应用足够小的增量)。目前的工作试图联系接触模型粘弹性行为的理论,明确依赖时间的材料属性。操纵现有的半解析解在弹性域,旨在实现一种粘弹性接触算法,在以下部分中有详细描述。

4所示。粘弹性位移

表面分布的正常牵引,如压力造成的机械接触过程,引起的位移场知识在解决接触问题是至关重要的,在接触体进行应力分析。虽然真正的极限边界固体本质上是粗糙的,计算接触力学采用半无限的假设,允许使用(即基本解决方案。,绿色的函数)在线性弹性理论推导出半无限体平面有界。这个近似保持有效,接触的斜率几何必须保持在整个接触面积小。正常的位移场产生一个线性弹性各向同性固体分布的正常牵引 运用叠加原理计算格林函数 为弹性半空间内得到了布西涅斯克(27]: 在哪里 是正常的坐标位移感应点吗 由一个单位集中力作用在起源的方向 ,和和泊松比和弹性半空间内的剪切模量。

李和Radok [3]得到粘弹性接触半径的球面接触问题通过应用类型的遗传积分算子赫兹(即。,purely elastic) solution in which the elastic compliance取而代之的是粘弹性蠕变柔量 。本课程的行动是正当的经典方法求解线性粘弹性应力分析问题,基于弹性问题相关的概念(1,2]。利用这一事实基本积分方程的应力分析粘弹性材料减少在拉普拉斯变换域积分方程的类型描述强调在弹性材料,它已被证明1,2),粘弹性问题都有一个关联的弹性问题,而前者减少切除后应用拉普拉斯变换的时间依赖性。因此,如果长期有效的边界条件,解决方案在频域是相应的弹性解决方案相同的形式。这种技术的派生从他们的弹性与粘弹性的解决方案也称为对应原理。由刚性粘弹性半空间介质的压痕硬度计压头通常不能以这种方式解决,接触问题的特性时变边界条件,阻碍转移到拉普拉斯域。在应用这种技术在相关的赫兹弹性接触半径公式问题,粘弹性的解决方案适用只要接触半径随时间单调增加,但需要额外的操作,当时间接触面积是一个任意时间的函数,如图所示(6,7]。

在这篇文章中,相同的技术替代弹性接触遵守粘弹性蠕变柔量函数应用于(15): 产生的粘弹性位移由一个已知的历史压力 在一个窗口的观察 :

与它对应的表达的接触半径Hertz-type粘弹性接触,位移方程(17)不需要额外的操作,可以用与任何边界条件的历史。交换分化和整合(17)的收益率

在粘弹性接触问题,接触面积和压力分布是事先不知道的,而且,在接触过程中不断改变,粘弹性材料的反应也随时间变化。因此,积分(18)必须评估不同加载历史,暗示集成任意函数/任意域。这些方程的半解析治疗达到一种计算友好是下面几节详细讨论。

5。问题离散化

无论是积分(15)弹性情况下也没有(18)粘弹性框架可以计算分析一般接触几何、加载历史,或材料属性。重要的研究工作致力于获取这些积分半解析的方式的解决方案(17,28]。半解析法的原理在于考虑所有分段常数函数连续分布,统一在每个表面元素均匀间隔的矩形网格建立的共同平面接触。控制点必须选择对所有网格的基本细胞(细胞的中心使优秀的候选人),和所有的连续参数评估在这些代表点,导致每个连续分布的数字化副本。这离散化鼓励一个简化符号作为参数索引的细胞而不是连续的坐标。例如, ,和整数,表示压力值计算中心的细胞 , ,在那里和细胞的中心的坐标吗 。因此,在任何矩形贴片压力假定是统一,因此可以被分解积分算子(外15)。格林函数的积分 、接管基本块长度和沿着方向的和 ,分别产生的影响系数(28弹性位移) : 这表达了正常位移观测细胞诱导 由一个统一的压力大小Pa细胞中的作用 。二重积分的封闭的解(19)是由爱情衍生29日]:

在这个框架中,半解析的(15)结果 在哪里和沿着方向表示网格的数量和 ,分别。离散卷积(两倍21)可以执行任何强加的压力分布。优化算法的效率是通过使用DCFFT算法先进,刘等人。17]。订单的减少计算源于卷积定理,即卷积操作可以减少产品在傅里叶变换域以聪明元素。半解析位移计算使用(21)一起DCFFT技术现已广泛应用于计算接触力学。在本文中,该技术的推广提出了粘弹性行为的情况。

方程描述纯弹性模型本质上是长期有效的,空间离散化是足够的绕过持续集成(15)。额外的集成在时间跨度的尸体被加载(17)需要额外时间网格能够模拟特定于粘弹性材料(即记忆效应。取决于当前状态的财产,所有以前的状态从第一个加载成功)。这个时间离散化应该选择这样 身体是安静的,时间增量应该足够小,这样,在每一步中,问题参数可以假定为常数。分段常数法因此沿着时间轴,第三个参数添加到纯粹的符号实现弹性模型。例如, 是离散的 ,表示压力的基本细胞 在空间网格,之后实现时间增量, , 。这些假设关于模型参数的时间变化授权偏导数的替换在(18与有限差分) 。离散化的18)在时域的收益率

应该注意的是,在后者的方程,简化符号数字化相关问题是仅用于时序参数,而连续坐标用于空间定位。压力是统一在每一个基本块,它可以被分解外空间积分算子作为纯粹的弹性模型,允许对粘弹性的影响系数定义类似于它的弹性在(19):

后者方程采用离散符号相关参数在空间和时间维度。影响系数(23)表达后的位移观测时间基本块中的步骤 的空间网格,由于统一的压力Pa行动的补丁 在th时间步后的参考时刻身体是安静的, , , 。的半总统(18),离散在时间和空间两个维度,因此可以表示为 在哪里 , , 。这个方程清楚地表明,记忆效应被认为是显式的位移计算,所有之前的状态(也就是压力分布。之前,在所有时间增量),与当前的压力,需要评估当前的位移。值得注意的是历史的贡献压力可以分开的贡献目前的压力,从而导致下一节中描述的算法策略。

6。算法概述

粘弹性接触仿真是通过构造一系列弹性接触问题边界条件相匹配的粘弹性接触问题的每一个新的时间离散化的时间增量。这种方法是基于这一事实,提供了兼容性和内部平衡方程满足瞬间,任何弹性的解决方案适合瞬间粘弹性接触问题的解决方案。方程组和不等式(11)- (15实际上)描述一个纯粹的弹性接触过程,而替换(15)和关系(18)完成算法推广到粘弹性本构定律。

由于强劲的半解析公式的本质纯粹的弹性接触过程,history-dependent过程也可以模拟使用这种算法通过应用增量的负载,保证加载路径正确复制。对于粘弹性材料,然而,时间参数显式出现,接触参数预计将有所不同,即使负载水平保持不变。

从本质上讲,节点压力结果的解决方案数字化带来的方程组(12)。后者由于刚体的存在本质上是非线性的方法但是可以为这个参数线性化,采用估计基于当前压力。一旦初始猜测值压力和接触面积的(12)可以考虑每一个细胞都在接触面积,以及由此产生的一系列方程,所有消失的差距 ,提供一个估计 。换句话说,刚体方法,压力分布和接触面积同时迭代,和真正的价值发现当所有接触参数收敛。这种方法的优点在于线性化(12),因此可以使用适当的数值方法解决方程的线性系统。根据这一审查(30.)的数值方法应用于接触力学,CGM是最佳人选,提供最快的残留率降低。

方程(12)应用于所有细胞在计算域生成离散方程,但只有那些与细胞接触区域形成系统解决。额外的困难提前接触区域是未知的,因此压力分布和接触面积必须同时迭代。因此,线性系统的大小,这是直接关系到细胞的数量的接触面积,在迭代过程中也不尽相同。在任何迭代,细胞与负压被排除在接触面积,而细胞(即负差距。,细胞接触的身体重叠)预计将在哪里(重新)包括在内。这些调整请联系互补条件(13)和(14)和力的计算节点压力服从接触问题的边界条件。如图2外,这些限制强加的核心CGM-type迭代。线性系统的调整导致复议的下降方向和CGM的后裔步骤之前计算残差最小化的过程。

为了使用CGM,证明收敛只对系统有一个对称正定矩阵,是不方便包括静力平衡方程(11系统中)。以这种方式,系统矩阵是事实上的影响系数矩阵,对称、正定(如一个对角占优矩阵)。应该注意的是,影响系数矩阵的对角元素(任何时间)保留的贡献系数表达压力位于每个单元位移位于相同的单元中。此外,(20.)表明,影响系数衰减迅速与激励之间的距离(即。(即,压力)和影响。、位移);因此影响系数矩阵是对角占优的细网格。静力平衡方程(11)是实施CGM算法的每次迭代中额外的校正系统的解决方案在CGM核心之外,如图2。这个校正由修改的节点压力的比值成正比的电流负荷施加负载。

迭代过程停止这样的一个系统时发现,它的解决方案在压力特性只有积极的条目和分配的差距只需要正面的价值观对整个计算域。发现一组方程类型(12)另外的解决方案满足边界约束和静力平衡标志着成就的同时收敛解压力、接触面积、刚体的方法。为每个新时间间隔,一个新的设置这样的接触参数发现,粘弹性位移是在每一个新的更新时间增量占新历史的压力。

在任何迭代和为每一个新时间间隔,计算域应充分将接触面积;否则,接触过程模拟应该重启与一个更大的估计。如前所述(28),如果预测接触区域的边界 ,虚假的压力集中器由于最终妥协解精度的影响。特别是粗糙接触场景,试样粗糙度的样品应该妥善处理通过扩展与光滑凸形状的几何信息。详细描述的算法来解决正常无摩擦接触问题,读者被称为(15,28]。

联系解决本文改编允许更一般的边界条件,从而解决缩进场景的一个重要组成部分,在刚体方法(即。位移的历史),而不是负载(即。,表面应力历史)。•波隆斯和科尔提出的联系解决28是load-driven (LD)(即。,the applied normal force is expected as input) but can be modified for displacement-driven (DD) scenarios (i.e., in which the load is not specified, but the rigid-body approach is imposed). A distinctive feature of the original solver [28)是正常的方法是没有明确计算。这可以实现的算法(28)最小化剩余 从修改类型的干扰方程计算(12): 正常的方法是没有直接考虑。作为刚体方法是独立的空间定位(但依赖时间),它的贡献是本质上占剩余时纠正其平均值(28]。DD配方,另一方面,正常的方法称为输入数据,因此干扰计算应该进行理论模型。系统剩余比赛的差距变形表面和消失之间的接触面积:

因此,剩余校正的平均值在原始算法(28变得冗余和应该被删除。缺乏正常的负荷作为输入,另一方面,妥协的采用的猜测值压力分布、平均压力不再计算。在我们的数值模拟,没有收敛问题与非零的均匀的压力分布发生初始猜测。算法序列执行压力校正的附加荷载也变得冗余,应该取消。这一事实的正确价值刚体方法从一开始就被强制压力收敛算法没有任何额外的修改。修改的收敛速度DD版本的联系解决被发现相同的数量级为LD。广义算法的流程图,包括常见的和具体步骤相关的每一种类型的边界条件,在图中进行了描述2。

前一节所示,瞬时粘弹性位移可以根据以前所有接触的知识状态。利用这个结果,仿真的粘弹性接触过程可以通过解决一系列连续的接触状态相关的时间离散化足够好,粘弹性材料的记忆效应具体是准确地捕获。主要详细的算法步骤如下:(1)获取输入的粘弹性接触问题:加载历史 , ,最初的接触几何 和接触的标准,即蠕变柔量函数的粘弹性材料。(2)采用计算域和空间和时间离散化参数: , , , , ,和 。(3)数字化输入所有问题。获得 , , 。(4)计算数组的影响系数 , , ,可以存储为一个三维数组,有两个维度相关的三维空间维度和时间离散化。在th时间步骤, ,只有第一层的使用这个数组。(5)解决一个初始接触状态( 合规)联系并获得相关的压力分布 , 。在这种特殊情况下,表面位移是卷积系数之间的压力和影响,没有记忆效应占: (6)应用一个新的时间增量(即。,增加)和解决th瞬时接触状态 。这可以实现所有历史的压力 在这一点上。产品影响系数和历史之间的压力分布可以包含在(12)作为一个初始状态(即。叠加,)。通过这种方式,结构模型(11)- (14)保持不变,相同类型的算法可以应用于解决每一个新的时间步的粘弹性接触问题。这种方法类似于一个用于半解析(24的弹塑性接触问题,残余位移由于塑性变形区域添加到几何接触,形成一个修改后的初始状态。(7)如果年底达到仿真窗口(例如, ),停止程序的执行和导出计算数据。否则,进入步骤6。

基于(24),因此,该算法的计算复杂度当直接multi-summation。算法的效率可以通过实施DCFFT急剧增加技术(17]在粘弹性位移的计算,导致一种改进的操作顺序 。实际上,有一个粘弹性接触场景 空间离散化和200年时间的步骤可以解决3 GHz四核处理器在几分钟内。

在这篇文章中,添加一个附加的条件分支,以便计算位移的存在(有限或无限期时期,根据实施流变模型)接触后开放。半解析方程(24)粘弹性位移计算适用即使接触开放通过假设消失时间后续步骤的压力分布载荷删除,直到负载已恢复。然而,条件分支应该添加一个额外的算法,直接联系解算器不能处理负载消失。扩展算法的流程图,提出了接触问题的仿真涉及线性粘弹性材料,与一般边界条件和任意加载程序,提出了数字3。在这一数字,为了简便起见,我们省略了空间定位和整数标用于索引时间增量。

7所示。代码验证和结果

新算法对部分基准测试分析结果导出了Ting [6,7]麦克斯韦和齐纳粘弹性半空格缩进的刚性球形打孔半径在一个步骤加载 ,在那里表示亥维赛阶跃函数和是固定的,但否则任意选择。应该注意,而挺的框架需要轴对称的穿孔,导致单调乏味的代数操作由于五个可能的算法分支时接触面积不单调变化随着时间的推移,本文提出的算法可以很容易地处理不规则几何接触,广义边界条件和复杂的材料属性。

压力分布预测的新高级计算机程序在第一次接触几次后,描述数据离散符号4和5,匹配关系的数值计算产生的数据(2)和(6),分别显示使用连续的线。无因次压力分布和径向坐标定义为比赫兹中心的压力和接触半径 ,都对应于最大负荷水平 。两个数据集之间的良好的协议提供了合法的粘弹性接触模拟的新算法。

应该注意的是,麦克斯韦材料的接触模型预测接触半径无限期生长在固定负载下的缩进。然而,解决方案应该被拒绝大压力。

在以下模拟三种不同加载程序被认为是关于麦克斯韦半空格:例1、瞬时加载坡道卸载紧随其后 ;例2,瞬时加载和随后的多项式卸载 ;和案例3、正弦加载 。无因次接触半径描绘在图6规范化的赫兹同行吗对应的最大负载达到加载程序(例如,在所有三个案例)。时间轴使用作为加载项目1和2和标准化者第三,麦克斯韦的弛豫时间单位。预测的接触半径趋势Ting的结果吻合较好6),证明的能力处理任意加载历史(即计算机代码。,contact radii whose evolution is described by increasing and/or decreasing functions of time). It is noteworthy that the maxima and minima of the contact radii do not necessarily coincide with those of the loading program.

为了测试小说DD配方的线性粘弹性域,齐纳粘弹性半空间介质的模拟 ,缩进一个刚性球体的半径 ,进行了刚体方法的一个实施的历史后,造成停的模型应用于一步加载,即方程所描述的吗 ,接触半径由(3)。预测的压力分布的历史时间范围,类似于图中所示5产生的,与数值计算(6)。好两个数据集之间的协议被发现,合法化的新displacement-driven接触模型。

图7(一)描述了表面位移概要文件的加载步麦克斯韦粘弹性半空间介质接触刚性球形压头,紧随其后的是瞬时卸货时间 。post-unloading位移的弹性组件,即相应的弹性弹簧从麦克斯韦模型,瞬间恢复,而组件与阻尼器单元将无限期地持续下去。一个更现实的场景呈现在图7 (b),齐纳粘弹性接触 卸货时间 ,后续步骤加载。在这种情况下,位移逐渐恢复,预计将消失在一个特定的时间间隔。post-unloading位移概要文件显示使用红线图7。

8。动态力学分析(DMA)

稳态波形响应在粘弹性的诱因标本(例如,单轴杆)在稳态振荡测试常常使用(31日)作为评估的方法粘弹性材料的力学性能。DMA方法采用所谓的“复杂的粘弹性材料模量,实部组成,也就是说,存储模量与弹性能量存储,和一个虚数部分,即损耗模量相关的内部能量耗散。这个复杂的模量结果通过应用傅里叶变换的玻耳兹曼遗传积分类型 。相角的复模量定义为应变响应的滞后角落后压力激发。直接存储器存取过程,响应振幅和相位角的粘弹性标本不同激励频率是用来计算复杂的模量在频域。后者模量可以进一步使用(32,33在粘弹性材料的接触行为的特征谐波负荷下缩进。

近似解析解的压痕深度的粘弹性材料复模量振幅在无摩擦的球形压痕正弦负荷下导出了黄等。34]。然而,后者的解决方案是基于初步粘弹性接触解决方案(3假定一个单调递增加载历史期间接触面积。后者限制也可以被认为是严重的,除非在加载程序包括在正弦荷载叠加载体加载步,由于振动振幅的压痕深度相比可以忽略不计,由于步骤负载。上述限制的假设可以公布的数值模拟,并分析循环荷载下的滞回能量损失可以用精度进行挑战的空间和时间离散化的错误。

齐纳粘弹性接触谐波负荷条件下的性能首先是分析了在这一节中使用新提出的半解析模型。缩进加载历史是正弦,选择这样的阶段 负载消失及其一阶导数: 在哪里 表示数量的振荡(周期)发生的每个时间间隔相等 。后者参数和荷载振幅是固定但除此之外可以任意选择。通过改变(即。,by varying the excitation frequency with respect to),加载频率对接触参数的影响评估。无量纲时间参数是定义为比率 。

数值模拟预测,除了第一个周期,谐波激励引起的稳态正弦响应频率相同但相位。当很小,也就是说,在0.1的范围 、稳态机制达到几乎立即,力-位移曲线的描绘在图所示8(一个)。后者表现出类似于材料弹性滞后。在这种情况下,只有第一个加载(即。,the ascending branch of the first cycle) is unique; subsequent loadings and unloadings overlap to an imposed precision. With increasing ,一个特定的,但有限,需要数量的周期响应稳定,如图8 (b)。图9表明接触参数比较稳定的反应在7日和8日加载周期。hysteresis-type延迟的存在压痕深度和激励之间的负载也证明。

进一步观察可以接触响应的稳态机制分析的基础上对频谱的负载(励磁介于0.1和1.5赫兹·s)。接触半径的数值模拟表明,振幅随激励频率的增加而衰减,而峰值压力的振幅增加,如图10。另一个有趣的特性是,在相同的加载水平,接触更形降支的正弦信号,证明压力概要图中描述11。在较小的加载频率差距更加明显。

力-位移曲线描绘在图12证明接触过程是滞后的。载荷和压痕深度之间的不同相的反应是能源在粘弹性阻尼材料的来源。每个循环的能量损失发生可量化的磁滞回线包围的面积。这个循环是获得的离散形式,好时间离散化才能获得其详细描述。图中给出的循环12获得征收100时间步加载周期,和仿真时间延长至稳态政权达成(最多10个周期是必要的吗 赫兹·s)。仿真结果表明,调查范围的激励频率和考虑流变模型,能量损失衰变与激发频率的增加。

研究能量耗散的变化在不同频率的激励载荷进行了PMMA材料,包括球形压痕的PMMA半空格在正弦荷载加载程序组成的振幅 ,固定但否则任意选择的,叠加载体负载的一步 。接触后的振荡应用负载稳定下的一步。考虑接触条件下的蠕变行为获得的粗糙接触PMMA试件在[15),500年代被允许接触达到稳定状态:

进行数值模拟在一个扩展频谱的激励载荷,稳定的粘弹性接触行为和能量损失每循环得到没有任何简化假设。预测滞后循环类似呈现在图12每周期,但能量损失,相关的内部粘滞摩擦粘弹性材料,被发现拥有最多在一个特定的谐波负载频率,如图13。数值计算领域磁滞回路封闭的力-位移曲线,由最大值归一化,表明,峰值时的能量损失增加从0增加到0.0031然后衰变与加载频率的进一步提高一个渐近值。这种行为可能归因于两个弛豫时间的使用PMMA松弛曲线,而不是单一弛豫时间的齐纳流变模型。这个结果证明了提出的数值模型的模拟和预测能力粘弹性材料的接触性能复杂的机械性能,造成实际实验测量。

9。结论

一个健壮的算法解决线性粘弹性接触场景摘要先进概括现有的知名的数值解的线性弹性机构的联系。方法依赖于应用对应原理的玻耳兹曼遗传积分达到粘弹性位移的数值计算,基于时间离散化的每一个新状态评估考虑之前的所有时间增量,从而模拟特定于粘弹性材料的记忆效应。与其他现有方法相比,新方法可以处理任意几何接触,任意的蠕变柔量(可输入离散形式造成实验数据),和任意加载程序,导致接触半径被增加或减少时间的函数。而经典的粘弹性接触解决方案仍然需要数值治疗通常可以提高收敛问题,新算法是基于共轭梯度方法,其收敛性得到保证。计算效率增加使用行之有效的方法来快速计算卷积的产品。

解决评估接触参数从变形的几何条件增强,允许在更一般的边界条件。displacement-driven接触的解决方案是通过修改load-driven接触场景的算法。另一个模型扩展处理post-unloading位移计算,在加载程序允许接触机会。

新先进的预测数值程序与现有结果进行线性粘弹性半空间内所描述的麦克斯韦和齐纳流变模型,缩进了一个球打在步骤装载。

谐波循环荷载下的接触模拟表明,稳态,不同相的谐波响应达到几个周期。齐纳理论模型,接触半径的振幅,每周期,以及能量损失随激励频率的增加而衰减,而峰值压力的振幅增加。发现接触更保形的降支加载配置文件。数值计算的能量耗散在聚甲基丙烯酸甲酯的扩展频谱激载荷表明最高达到在特定频率。谐波负荷频率的进一步增加导致区域包围的一个渐近值产生的磁滞回线。

进行数值模拟证明新算法的能力协助动态力学分析推导复杂的模量的粘弹性材料,提供了重要的理论工具研究粘弹性接触较少的简化的假设比其他现有的半解析解。

数据可用性

数据支持PMMA本构定律从以前的研究报告,已被引用。数值模拟的结果支持本研究的发现可以从相应的作者。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作部分支持从项目“集成中心的研究、开发和创新的先进材料,纳米技术,和分布式系统的制造和控制”(合同编号。671/09.04.2015)和部门操作程序提高经济竞争力的欧洲地区发展基金的示范。