刚性多波面与弹性半平面的部分接触

摘要

的相互作用的影响，在用弹性半平面刚性multisinusoidal波状面的局部接触而产生，以连续接触配置的假设考虑。对于波浪压头周期性和非周期性接触问题的分析准确和渐近解推导。连续的接触结构中，出现在振幅的小比例的波长对余弦谐波，导致连续振荡接触压力分布和平均压力和接触长度之间振荡关系。定期和非周期性的解决方案显示，远程凹凸之间的弹性相互作用比较并不取决于许多余弦波长。

1.简介

真正粗糙的表面是三维和多尺度。除了完全随机粗糙表面[1有自然表面和技术表面，在几个尺度上具有准规则的苛刻特征(例如，周期性各向异性波纹)[2]。对于这些表面的二维波状2D轮廓的几何模型可以作为第一近似值来施加。另外，在工程的某些字段，不同形状的波浪形纹理被使用（例如，在光学器件和MEMS）[3.]。考虑到弹性接触过程中，存在的软材料（聚合物和生物材料），平面弹性的各种分析方法都可以应用。在完全接触的情况下，当表面之间的间隙被填充，这个问题可以容易地通过傅立叶变换方法[解决4]。然而，即使对于软材料，也需要很高的施加压力才能达到完全接触的条件，所以局部接触更常见。波浪曲面之间的局部接触是一个混合边界条件的问题，用不同的数学方法解决了这一问题。

经典的平面弹性周期接触问题是一个老问题[5,6]。关于波浪曲面的几何，在以往的研究中考虑的余弦[7,8，平方余弦[9，以及均匀间隔的抛物型或楔形邮票[10,11通常被使用。用不同的方法得到了这些曲面的有针对性问题的解析解。对于余弦剖面，它们是复合应力函数[7，对偶级数方程[12]，接点之间的间隙的方法[13、变量变换法[11，断裂力学方法[14]。

考虑简单的波浪几何(余弦或平方余弦)，研究了具有更复杂边界条件的接触问题:15,16]，并附有液体润滑剂[17]，有部分滑移[11,18，具有粘着和滑动摩擦[19，为粘弹性材料[20，对于粘弹性材料与粘附的Winkler模型[21]，对于存在摩擦磨损的弹性层[22，各向异性半平面的动力学问题[23]。

二维非正弦波剖面的法向弹性问题，其中波形的形状由参数控制，可解析求解[24]。压力分布对波浪表面的形状高度敏感，特别是在大载荷下。

波浪表面的几个尺度的存在一般会导致多区周期接触问题[9,25]。得到了用于对两尺度波状面初始接触的渐近近似解[24]。结果表明，即使在初始接触时，谐波之间也存在相互作用。考虑到在大范围的载荷作用下，有必要采用数值计算方法。这些研究是通过不同的技术进行的:傅里叶级数和余切变换[26]，充分接触溶液和迭代过程[27]、FFT与变分原理[28，非线性边界积分方程[29]，边界元法[三十，及有限元法[31]。用于在2D和3D的情况下的正弦压力分布内部应力的方程也衍生[32]。研究结果表明，波浪表面与弹性半平面局部接触时的多尺度特性导致了高压的多个峰值。在这种情况下，压力分布呈锯齿状，在大量谐波时，荷载与面积的关系趋于成比例[31]。

在以前的研究中，由于不同谐波的振幅是可比较的，所以接触在所有尺度上都是局部的。这种情况导致不连续的(离散的)接触配置[33]。除了数值方法外，解决这些问题的另一种方法是采用多粗糙度接触模型。基于表面的性质，模型可以是确定性的和统计的。回顾基于个体粗糙接触的统计模型，与Persson的模型和数值模拟进行比较，在[34]。对于接近完全接触的情况，当实际接触面积与名义接触面积之比接近统一时，基于断裂力学方法建立了统计模型[35]。对于确定性的多尺度曲面(如多尺度自仿射曲面)，Archard的方法被成功实现[36,37]。

然而，如果在某一尺度上余弦谐波的振幅远小于其周期，则在该尺度上发生全接触，并在更大尺度上观测到连续振荡的压力分布[33,38]。为了区分这些情况，使用了约翰逊参数，将振幅、余弦谐波周期和压缩弹性模量与赫兹压力耦合在最大压力发生点处[33]。在本研究中的连续的接触结构，在随后的余弦谐波的振幅较小观察到，被分析分析了在用弹性半平面接触周期性和非周期性multisinusoidal刚性压头。

2.问题的构想和假设

单周期问题的一般方案图中给出了一、二、三次余弦谐波的分布1。

假设波面是刚性的，弹性半平面是具有两个弹性常数杨氏模量的各向同性半无限体和泊松系数ν。另外，平面应变条件被应用。余弦谐波的幅值比其周期小得多（« ,哪里我= 1，2 ...N是谐波序数）。这种情况使得它可以应用线性弹性理论。约翰逊参数χ=πEΔ_我/ 2p_hλ_我(= 2p_∞ /π一个,p_∞是施加的平均压力，和一个是一个接触半宽)应该是χ< 1 (33]，以保持连续接触配置。

研究了具有相似几何形状的刚性曲面的两个不同问题。对于具有周期边界条件的问题，采用带希尔伯特核的积分方程[11]:

哪里h(x)是表面之间的初始间隙，和p(x)为接触压力分布。

对于非周期压头，采用柯西核积分方程[10]:

为了简单起见，选择最大的波长= 2π，可以写出间隙函数的导数的表达式th余弦谐波:

哪里δ是接触的方法和=/ 。在给定的问题公式中 。

所以，叠加原理的基础上，考虑到假定的连续接触配置的总接触压力分布可以作为单独的余弦谐波分布的总和来获得：

哪里是波长的数量(x)是压力分布的一个分量波长。

竖向弹性位移可由下式求得[9,10]:

哪里一个常数取决于所选的基准点和表面的垂直位移是多少波长。

的平均（标称）压力p_∞通过调用平衡方程确定: 哪里p_∞我平均压力的一个分量是否对应于波长。

3.解决问题的方法th谐波

3.1。周期波浪曲面的解

方程(1)和(3.的积分方程次谐波为:

用于所述的接触压力分布的解析解次谐波可以通过方程的还原（获得7)到柯西核积分方程，采用以下变量变换[11]:

考虑到剖面的对称性，积分方程(7)被简化为 哪里-是具有度的第二类契比雪夫多项式(39]。

考虑所考虑的假设，方程(9)可以通过左边的契比雪夫展开和已知的契比雪夫多项式的谱关系(附录)得到。在初始变量中，接触压力分布为次谐波由 哪里

哪里-是第一类具有次数的切比雪夫多项式j(39]。

总压分布由式(4)。用于数值计算，有必要保持在方程无穷级数的有限项（10)。对于任意时段内，变量和在方程(10)和(12）应在2乘以π/ 。的平均压力p_∞我和垂直位移可以通过对方程(5)和(6)。的最大压力被确定为在该点处的压力x= 0。

3.2。波浪刚性非周期压头的解

方程(2)和(3.的积分方程次谐波

该方程的解（13)可以得到，利用在两个端点上无奇点的反演[8,11和左侧的切比雪夫扩张[39]，可明确写出:

在J_j(t)为第一类整数阶的贝塞尔函数和参数t(39]。

接触区域内的位移 可由式(5)及契比雪夫多项式的关系[40]。为谐波的最终关系是

在签署∑^/识别奇数项的和只有。

根据公式(6的平均压力th谐波p_∞我由等式的积分（计算14)，从而形成一个简单的表达:

可以得到用于接触压力分布的近似密形式关系假定的压力最大数值集中点附近x= 0。然后方程(14)可以表示为

在签署∑^/识别奇数项的和只有。

利用切比雪夫多项式的已知关系[41]可以这样写:

利用整数阶贝塞尔函数零之间的近似关系[42]可以这样写:

然后，施加所述雅可比-愤怒膨胀[42，亲密形式的关系是

为最大压力的密切型积分关系（x= 0)可由式(18):

4.结果与讨论

无量纲接触压力分布的演变p(x)/p (p =πEΔ₁/）为一个周期性问题（方程（（6)和(10)- (12)),= 2π,= 0.5)适用于各种接触长度(2一个和两个不同的侧面f(x)如图所示2。

实线，方程14））和近似（虚线，等式（20无因次接触压力曲线图p(x)/p 非周期波形压头的不同截面如图所示3.。

数据2和3.结果表明，随着谐波数的增加，压力分布变得更加复杂，最大压力显著增大。为一个单尺度周期余弦配置文件(图2(一个))韦斯特加德的解决方案恢复了。用于单尺度非周期压头(图)3(一个)当余弦函数非常接近二次抛物线时，可以观察到赫兹解。因此，以数字表示的分布情况3 (b)和3 (c)，对应小波度下的波柱问题[38]。比较单个压头压力的精确值和近似值(图)3.）示出了公式（20）令人满意地描述了压力分布的行为。

通过对周期解和非周期解的比较，研究了弹性相互作用的影响。由周期解和非周期解计算的两种剖面的平均压力-接触长度曲线如图所示4。

数字4示出的是，在小的接触长度（2<0.25λ₁)，解决方案很接近。图的一致性不依赖于轮廓几何。随着载荷的增加，周期解最大限度地减小了弹性相互作用引起的接触长度。对于具有两个余弦谐波和连续接触结构的剖面，本研究观察了平均压力-接触长度曲线的振荡(图)4 (b))。曲线在图4(一)对应于韦斯特高的(曲线)1和赫兹(曲线2)溶液，恢复一个波长的轮廓。

平均值的图表和在区间2的最大压力与接触长度<0.25λ₁图中显示了波浪非周期压头的不同剖面5。

数字5结果表明，剖面几何形状对最大压力的影响比对平均压力的影响更大。但是，添加三次谐波对图形的特性影响不大。多个余弦波长下的连续接触结构导致了平均压力图和最大压力图的振荡特性。从数值上结合这两幅图可以得到平均压力对峰值压力的依赖性(图)6)。

数字6结果表明，对于具有二波长和三波长的谱线，最大压力与平均压力的相关性不存在振荡，附加的余弦谐波使谱线在数值上有很大的变化，但性质上没有变化。这一陈述在分析接触面断裂过程中是有用的[33]。

5。结论

连续接触结构是两种可能的结构之一，产生于多正弦二维波面压入弹性半平面。这种结构导致接触压力分布持续振荡。通过对周期解和非周期解的比较，可以发现，在任意波浪剖面几何条件下，两波之间的长程弹性相互作用不依赖于余弦波长数，在小载荷(接触长度)情况下可以被忽略。忽略长周期的假设导致了精确的方程，以确定远程和最大的压力，从接触长度，由振荡函数描述。然而，最大压力与平均压力之间的依赖关系在二波长和三波长的压头剖面中不存在振荡，与简单的余弦压头剖面相似。在相同接触区长度下，附加余弦谐波对最大压力的影响明显大于对平均压力的影响。所导出的方程可用于分析任意几何形状的确定性剖面的接触特性，也可用于粗糙表面接触的更复杂的数值模型的验证。

附录

周期问题中接触压力分布的推导

给出了考虑接触问题的主积分方程变换变量的th次谐波(8)是

哪里是第二种类，具有一定程度的切比雪夫多项式 。

该积分方程的适当反演必须在两个端点上都是非奇异的[11]:

通过引入新的变量，

表达式(a .）可以写成以下形式：

的函数(年代)是

由于被积函数定义在区间[-1;并满足Holder条件，可表示为第一类契比雪夫多项式的展开[41]。

哪里第一种有次数的切比雪夫多项式是什么j(39]。

系数在方程(要求寄出）由下式定义[43]:

随着第一的切比雪夫多项式和第二类[之间使用积分关系的41]

与方程(各的接触压力分布表达式次谐波

回到原始变量，记住正压力符号，可以得到

数据可用性

没有数据支持这项研究。

利益冲突

作者声明，本文的发表不存在任何利益冲突。

致谢

本研究由RSF(项目编号:14-29-00198)。

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