建模的滑液

文摘

滑液是一种高分子液体通常表现为粘弹性流体由于透明质酸分子的存在。我们限制自己的政权作为粘性流体流体响应。一种新的广义幂律流体模型中幂律指数取决于透明质酸的浓度。这样一个模型将足以描述液体的流动,只要他们不受瞬时刺激。假设两种不同结构形式的幂律指数,按照物理的期望,我们数值求解滑液的流动(约束的不可压缩性,所描述的线性动量的平衡,和透明质酸的浓度对俩散方程)在一个矩形腔。获得的解决方案与我们的模型与基于模型的预测相比过去已经使用来描述滑膜液。在所有的三个模型似乎可用的实验结果吻合较好,提出的模型之一我们似乎符合数据最好的;然而,它将是草率的判断基于这一特定实验的相关性。

1。介绍

滑液(SF)是一种粘弹性聚合物溶液。这确实是如此被Ogston和Stanier记录1),确认后由吉布斯et al。2)检查外部刺激的影响在科幻和瑟斯顿的粘弹性性质和Greiling3]研究粘弹性性质的变化与病理条件的科幻小说。最近的工作关于科幻在各种实验条件下的粘弹性性质已由戈麦斯和瑟斯顿4)和路易et al。5]。尽管有关科幻的粘弹性性质明确证据,还可以找到许多出版物描述了科幻作为粘性流体。原因之一是科幻的行为作为一个广义粘性流体,只要它不受瞬时外部刺激,因此在过程稳定或没有瞬时组件的响应是一个通用的粘性流体。在这个简短的研究中,我们试图描绘viscous-like近似的条件是合理的,制定一个合适的数学模型,这样的行为,也就是说,能够捕获的剪切稀化流体(见,例如,Ogston和Stanier1和王6])。

大多数生物液体进行大量的化学反应,导致退化或提高其力学性能。忽略这些生化反应,只是模型流体作为惰性体本质上使生理的研究无关的大多数问题感兴趣,因为它是病理情况下需要适当地理解和建模。例如,如果有人认为生物材料如血,这是生化反应,导致各种血液疾病,目前的挑战对于建模;不是一个事实,即流发生在一个复杂的几何不重要,只是,它关注与解决方法比一个适当的数学模型的发展。有趣的是,在科幻小说中,响应非牛顿是健康的,正常的,发炎时接近古典牛顿流体(见第4页)。我们的兴趣是关于数学建模而不是一个特定的研究在一个复杂的几何方程。我们使用的方法,即耦合的线性动量平衡的身体感兴趣的和对俩散方程组成,影响身体的属性,采用研究退化和增强流体的流动特性(见桥梁和Rajagopal [7])和固体负荷能力的几个作者(相关的引用和其他特别的方法详细讨论了这个问题在沙et al。8]和Darbha Rajagopal [9])。

从生化角度滑液的超滤液血浆(即等离子体自由从大型蛋白质)富含本地合成多糖分子,称为透明质酸(HA)。加强生化科幻和HA见第11章的描述在沃特和沃特(10]。HA的滑液的存在非常重要,因为HA是组成滑液的非牛顿行为负责,这决定了整个滑膜关节的功能系统。透明质酸分子的科幻小说很长无支链的组成和强烈的阴离子聚合物多达重复二糖单位,由N-acetylglucosamine和D-glucuronic酸交替有关和债券。的anionicity HA链发挥了重要作用,其亲水特性。大致说来,outwardfacing亲水性的甲酰胺和羟基羧酸盐组和相邻的糖残基提供了大量的自由水分子的潜在绑定的地方。因为在水溶液HA链大量水分,他们占据大量,超过倍比干燥状态,他们能够绑定水次自己的体积。这允许连锁创建科幻扩大线圈配置中接触到对方甚至以相对较低的质量浓度。在更高浓度的连锁店创建灵活的分子网络在整个解决方案由共价固定(因此相对较弱的)债券相同的字符water-chain债券。在这个角度看,紧固债券实际上water-chain并发的债券。债券的首选的主要取决于流条件。在加载较快,HA链保持互相联系随机组织在解决方案,因此科幻响应elastic-like因此滑膜关节可以承担密集的加载。另一方面,在缓慢和长期流条件下,链被迫对齐,因此它们之间的债券都被水分子所取代。这导致HA链的部分分离结果的能力彼此更自由地滑过去,科幻响应粘性流体。更多细节,请参阅Bothner和伟嘉11),Scott et al。12),沃特和沃特(10]。我们应当关心这粘性液体的反应。

2。模型

2.1。模型的建议

自反应液、弹性效应或粘性效应是否主导,取决于流动的性质,科幻的模式必须依赖于流的“动力”。高剪切率意味着对齐的链,从而降低粘度。另一方面,工作浓度的影响相反因为更高的HA浓度意味着更高的enlacement链,这就增加了粘度。在以前的研究中,科幻的粘性行为已经被剪切稀化流体数学建模与常数浓度(Rudraiah et al。13,赖昌星et al。14])或浓度和剪切速率对粘度的影响分离(莫里斯et al。15])。这是相反的实验结果表明,浓度影响剪切率的反应,这可能意味着剪切速率指数可能取决于浓度的幂律模型。恒定浓度的限制是不适合在生理条件下对科幻行为建模。在真正的关节,HA的浓度不同。例如,它已被证明(见科尔曼et al。16])哈创造某种边界层附近5倍浓度的滑膜滑膜关节腔的中央部分(这是不同的后果滑膜公顷生产结合流条件)。因此我们开发一个模型,广义的科幻粘度取决于剪切速率和HA的浓度。

我们考虑粘度模型属于幂律类。我们比较模型与文献介绍了(例如,Laurent et al。17,赖昌星et al。14]) (模式1)

与我们的新模型,该模型考虑了不同浓度影响剪切稀化效应在以下形式: (模型2)

两种模型的参数,是未知的,他们要通过实验确定。自从科幻与零HA浓度是血浆,参数应该代表血浆粘度。张代表着对称的速度梯度的一部分。因为哈发生真正的生理浓度的值通常0 mg / mL至15毫克/毫升,浓度高于20毫克/毫升的解决方案开始变成一个凝胶(我们的方法是不合适的),我们的参数化集中在以下方式:,在那里毫克/毫升,HA浓度参数化的值在0和1之间。模型2我们也需要指定依赖剪切稀化指数的浓度。

找到一个合适的形式在模型2中,我们必须满足剪切稀化指数的自然条件,这是()的值必须保持之间的范围确保剪切稀化行为,()浓度的依赖是单调,和()为零的科幻小说变成了牛顿的浓度。为了不使公式太复杂,我们决定使用指数行为与一个自由参数 (模型2)

和一个简单有理函数有两个自由参数 (模型2 b)

满足这些条件和主要拟合程序,下一节的主题,并导致更好的结果比任何其他简单的函数只有一个或两个自由参数。

2.2。未知参数识别

每个模型的介绍包含一些未知参数。模型1在模型2我们,在模型2 b。我们发现这些参数的拟合技术,更精确地使用最小二乘方法以适应可用实验数据取自Ogston和Stanier1),这代表的范围意味着HA浓度在正常科幻。(病理科幻小说或科幻小说,介绍了炎症通常表现出浓度下降的哈,或HA链长度明显缩短,因此这些液体不表现出这种占主导地位的非牛顿特性了。通过正常的科幻小说是科幻流变响应和生化成分的科幻健康年轻的个人。)适合使用MATLAB计算软件。你可以看到在图的绘制结果1和拟合值模型的参数表1。

即使类2的模型符合实验数据更准确,模型1可以符合一些特定的应用程序的数据相当不错的正在使用的浓度,这意味着在0.14到-0.25之间。我们比较所有模型更高的浓度用描绘在图的结果2。从这些图表,很容易观察到二班的模型预测现实的粘度值甚至更高的浓度,而模型1不能使用在安装它的浓度范围外。这并不意味着二班的模型推断给准确的粘度值,这些只能通过实验来验证扩展范围的浓度。

相比之下,我们绘制的剪切稀化指数行为模型,介绍了,见图3。我们发现,当浓度趋于统一,流体表现接近凝胶时,粘度倾向于幂律指数参数值,确定剪切稀化的极限。

3所示。数值模拟

3.1。控制方程

虽然科幻是复杂的生物材料,在正常情况下,它可以近似作为不可压缩均匀单组分液体。均化作用可以这样做,是因为HA的生理质量浓度很低(通常不到),我们不承担任何的高分子蛋白质,侵略者或炎症。一般来说我们会使用混合理论方法和记录每个成分的平衡方程。我们然而忽视法律平衡公顷,仅仅写下对俩散方程。隐性假设是惯性的影响由于HA的运动和相互作用可以忽略不计。HA的唯一影响是影响其浓度对等离子体的性质。这种方法采用了桥梁和Rajagopal [7]研究化学反应流体脉动的流。此外,我们描述的科幻流体的流动速度场和压力场它们由吗广义的n - s方程。浓度()分布的影响只有通过广义粘性流动的描述对俩散方程。甚至可以扩展对俩散方程的体积生产/破坏任期将代表最终酶反应炎症病理阶段疾病的科幻小说。因为我们不允许任何一种病态行为的科幻小说在我们的模型中,和HA链仅通过滑膜,我们假设这个体积项为零。系统的控制方程的形式 在哪里代表了科幻密度,和代表浓度的扩散通量。自HA浓度非常低,我们假设密度不受不同浓度因此保持不变。我们指定本构方程的扩散通量 在恒定的扩散系数的生理价值来自科尔曼et al。16]。尽管实验已经发现的扩散系数可以改变浓度和剪切速率(见Rudraiah et al。13),Gribbon et al。18]),我们认为它是常数变化和价值本身是小而占主导地位的对流。

它将有助于重塑(5)的无量纲变量,定义的 在哪里和分别是特征长度和速度。我们使用参数化集中介绍了在部分3的一致性,我们选择

从现在,符号为简单起见,我们使用而不是大写字母小写字母的无量纲变量。因此,控制方程转化为制度 与标准符号雷诺数减少和沛克莱数。

这种类型的系统的数学分析中可以找到Buliček et al。19]或Antontsev和罗德里格斯[20.]。虽然Buliček et al。19)考虑浓度依赖的不可压缩流体的流动粘度也对应于我们的模型1,Antontsev和罗德里格斯的纸20.)对不可压缩流动与幂律指数幂律粘度模型依赖于温度可用于我们的模型类2。

3.2。几何、初始和边界条件

数值模拟的需要我们考虑一个简单的二维矩形域用的几何图所示4。墙上我们开无滑动速度边界条件诺伊曼和狄利克雷边界条件的浓度在以下方式: 在哪里(见图4),是墙底部的时间常数抛物线概要文件的速度。通过和我们表示速度的切向和法向分量的向量,分别。规定的非零边界条件只能在墙底部。初始条件与统一集中休息状态

我们决定选择这样的几何形状和边界和初始条件来演示和比较模型的基本流程的行为,正在考虑。边界条件是用来被连续沿整个边界和展览连续进化时间的休息状态,有利的数值实现。

3.3。数值方法

为了使用有限元方法引入控制方程系统(9弱形式):我们寻求三联体这样,,,和满足狄利克雷边界条件(10)和三满足 那里的空间,被定义为,。

问题的离散化然后遵循标准的有限元程序。首先,我们使用四边形网格近似定义域通过域然后我们定义了有限维近似空间和 在哪里和双线性函数表示的空间双二次,在四边形元素分别为,表示空间的线性函数相邻元素之间,没有连续性的要求。这种速度和压力的结合空间满足Babuška-Brezzi稳定条件,从而保证耦合的离散系统的可解性。

由于减少了雷诺数n - s系统离散化不需要稳定。另一方面,由于沛克莱数对俩散方程的离散化的浓度必须稳定为了防止寄生振荡的数值解。我们使用经典的流线扩散稳定,减少寄生振荡的存在只通过引入额外的数值扩散的方向流动。

我们使用的时间离散化Crank-Nicolson方案和隐式治疗的不可压缩性与时间步约束和压力。由此产生的非线性代数系统可以被写成以下形式: 在哪里和是有限元质量矩阵,是离散梯度算子,离散散度算子,和是相应的离散对俩散运营商。向量指的是当时解决有限元近似水平。

这个非线性代数系统是解决阻尼牛顿法和线性利用直接线性规划求解子问题。

3.4。计算结果

我们数值计算解决方案对应的所有模型边界条件(10)和初始条件(11)。显示流的剪切稀化的影响,我们也解决了这个问题所描述的n - s方程常数粘度()相同的设置(在文本表示的计算模型)。绘制图表显示的数值解。我们引入区域分布和概要文件中心的计算解决方案。

首先,我们现在的速度大小的分布在整个域(图5),我们有更详细的比较和速度资料- - -轻易进行的域(图6)。接下来,我们显示浓度(图7(数据)和维粘度分布9和11在对数刻度)和个人资料在同一领域削减的速度(数字8,10,12)。我们没有情节的粘度分布计算模型,因为它保持不变的情况下。作为最后一组数据我们提出的剪切稀化的变化指数模型类2(图13)。

比较流场,可以看到显著差异解决方案之间的计算模型,模型1和模型2 a、2 b。计算模型的计算给出了近对称的解决方案设在其他模型的解决方案是不对称的(见图6 (b))。作为一个可以看到速度概要图6(一),而最大的流量计算情况下位于上方设在,模型二班略小,位于周围设在,而对于模型1的最大最小,夷为平地,位于下方设在。

至于速度资料,概要文件的模型2 a和2 b浓度是相似的。浓度的运输是最快的计算模型由于更高的流动速度相比其它模型。在图8(一个)可以看到数值振荡的出现在解决方案通过很小的扩散系数和浓度梯度高,导致的减少浓度低于0.1的价值。

检查图9一个可以观察到的粘度计算模型1达到更高的值相比,模型二班,主要领域的更高的浓度。另一方面,数字11在粘度分布显示了明显的差别。

最后的图在图13呈现剪切稀化指数分布表明,模型2 b展品略大的传播价值,它延伸到一个更高的最大和最小值低于模型2,在这个例子中。

4所示。总结

我们建模滑液作为广义粘性流体这样一个模型是一个很好的近似为一个类提供的滑液流的过程不涉及瞬时响应。我们有三种不同的模型相比,与牛顿模型。模型1以人工方式结合两个特点介绍了文学,即粘度指数依赖的浓度和剪切稀化能力,和新引入模型2,2 b,描述了科幻小说作为一个幂律型流体与浓度相关的指数。虽然这三个模型符合实验数据相当不错很明显,模型2 b提供了最合适的方法。当然,这可能只是偶发事件对这个特殊的边值问题。不幸的是没有提供额外的实验数据来进一步证实了该模型。我们已经建立了的结果,是合理的假设模型2 b滑液的反应最好的预测模型,是迄今为止的使用。

我们数值解决了流在一个简单的配置这三个模型。有一些差异解决方案模型2,2 b即使安装结果非常接近对方。另一方面,模型1的解决方案展示不同的模式对于流场和粘度分布。这意味着,即使是亲密的粘度模型,小的差别足以产生显著差异的流动模式。

因为控制方程的系统有一个非常小的扩散系数,对俩散方程使用标准有限元方法解决方案表现出大的寄生振荡,主要在解决方案中的浓度,因此粘度。这些振荡减少流线扩散法,然而,这将有助于实现更好的稳定数值方法(内部处罚图雷克法和Ouazzi [21],TVD方法•库兹民与图雷克(22没有任何人工振荡])来获取解决方案。

我们已经解决了这个问题的几何不反映实际生理问题的复杂性。我们的目标仅仅是获得流体的流动特性的理解。在未来,我们打算研究流动几何更生理有关。

确认

j . Hron支持的项目LC06052 (Jindřich Nečas数学建模中心)由MŠMT资助。j .马列的贡献是一个研究项目的一部分MŠMT的男男同性恋者0021620839资助;的支持GAČR 201/09/0917也承认。p . Pustějovska支持的项目LC06052 (Jindřich Nečas数学建模中心),由MŠMT和GAUK批准号2509/2007。k . r . Rajagopal感谢美国国家科学基金会的支持。

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