优化维纳和Randić指数的图表

文摘

维纳和Randić指数一直在化学学习图论作为图的连接强度的措施。之后,这些指标是用于网络分析等不同领域。这些指标,我们考虑两个优化问题与潜在的应用网络理论,特别是流行病学网络。给定一个连通图和一个固定的总重量,我们研究如何个人权重必须分配给边缘,最小化的连接强度图。为了测量连接强度,我们使用加权维纳指数和普通Randić指数的修改版本。维纳指数优化是线性的,而Randić指数优化是非线性和非凸。因此,我们采用分离程序生成的技术解决方案。我们目前的实验结果通过相关算法应用到几个图表。

1。介绍

图的拓扑指数作为数值不变量的化学结构、化学结构的拓扑图形理论特征。在大多数情况下,这些指标是用来衡量化合物的连接强度。首次发现这种拓扑指数文学是维纳指数的目的是探索热力学和生化的烷烃的分子形状的属性(1]。因此,维纳指数的变异和不同的其他指标出现在类似的目的,引入一个新的领域,化学图理论,理论化学(2- - - - - -4]。虽然不同的指标用于化合物的不同特征,他们分享共同的连接强度或紧密相关的概念图结构。

虽然这些指数最初局限于化学图论,后来他们的范围已经扩展为包括其他学科领域。拓扑指数网络超越化学结构的适用性莫豪尔由古特曼发起的开创性工作,在1996年,它被证明的一种变体维纳指数恰逢电网络的基尔霍夫指数(5]。2002年,Otte和卢梭的范围进一步扩展拓扑指数,使用它们来分析社交网络(6]。在最近的一次工作,伊姆兰等人分析了互联网络使用拓扑指数(7]。所有这些作品与固定拓扑指数描述现有的网络使用顶点和边的权值,以获得关于网络的信息。相比之下,Ghosh等人研究了边如何被分配一个固定的总重量,为了优化拓扑指数,与应用程序一起到电路(8]。这个应用程序被解释为分配电阻电网络的边缘,总固定电阻之和,旨在最小化总有效抵抗,类似地,最大化的连接强度。总有效电阻的拓扑测量一直作为代数连接(重要的拉普拉斯算子的特征值最小)的相关图,这是证明是与维纳指数密切相关(5]。有趣的是,相关的是凸优化问题,保证高效的可解性。

优化拓扑指数受不同的限制在不同的上下文中被几个以前作品感兴趣的主题。大部分的这些优化问题相关化学图论,特别是化合物的设计。在[9),拉曼和Maranas发达一个整数规划模型优化的组合拓扑指数包括维纳和Randić指数和漂煮锅的形状指数(10]。优化聚合物的分子互连指数设计一直讨论(11),解决方案产生的非凸整数线性规划公式。计算方案设计新的分子在药物化学中描述(12]Siddhaye et al .,一阶分子连接性指数是通过一个整数规划优化重构,和方法。不同味道的一个优化问题在化学图论的背景下被认为是在13),单纯形算法被用来推导最优版本的几种拓扑指数。

几个工作优化拓扑指数出现在化学领域的图论。一个概念论文Preußet al。14)提出了维纳和Randić指数的优化来解决地形的最大覆盖问题。最近工作(15]探索优化的可能性维纳指数为解决关键节点检测问题,在弯管机算法(16)采用技术的解决方案。应用程序讨论了通信网络的代数连通最大化(17]。

具体的优化问题被Ghosh et al。8)是特别感兴趣的,可以与其他的优化模型与优化拓扑指数是受一个常数边缘体重总和。很自然寻求问题的性质是什么如果代数连接是被不同的拓扑指数。这是一个有效地解决优化问题吗?此外,如果目标是改为最小化强度与电网的连接上下文?这些问题不仅仅是理论的兴趣;有一个流行病学网络有用的应用程序。考虑在一个地理区域病媒传播疾病的传播。这个区域可以被认为是一个网络,其中顶点代表城市或郊区,而边缘代表它们之间的联系,如道路和通道,以及病媒传播疾病的传播(18]。的重量的优势在这个网络可以被视为衡量向量的繁殖地的有利条件。已经声称,这种疾病的快速传播在很大程度上是受到网络的密实度(19,20.]。因此,健康规划者可能感兴趣的最小化的密实度网络通过消除矢量沿道路的有利条件或水通道。然而,这个过程并非没有预算限制。总额预算控制过程中可用来消除病媒滋生地点必须沿着道路和渠道最有效的利用。因此,总重量必须由一个常数有界的边缘。当目标是最小化的密实度流行病学网络,它相当于一个适当的拓扑优化指数受固定的总重量。这是这项工作的主要问题感兴趣。

我们首先考虑维纳指数,这是最简单的拓扑指数描述网络的密实度。然而,在流行病学网络的背景下,基于距离测度作为mba维纳指数显著低于测量地区许多联系可能会对疾病的传播作出了重大贡献。我们找到了mba拓扑指数在1975年由Randić引入[21适合我们的目的。虽然这本来是用于测量的程度分支碳氢化合物的碳原子,类似维纳指数,后来Randić指数的发展已经证明其适用性在不同的上下文中(22- - - - - -24]。

因此,我们认为两个维纳指数和Randić指数来衡量网络的密实度的优化问题。优化问题的维纳指数是线性的,因此非常可以解决的。相反,优化Randić指数是一项具有挑战性的任务,因为它是非线性和非凸。为了克服计算硬度,我们采用可分离的编程技术25,26)和替换相应的非线性函数的分段线性近似,最终结束了一个近似的解决问题的办法。

本文的其余部分组织如下。节2用最小化的问题,维纳指数图受固定边缘总重量的线性规划。节3我们考虑相同的优化问题,替换维纳指数Randić指数,它是凸。我们再形成使用分离变量编程技术可以在相同的部分。部分4包含我们的计算结果,讨论部分5是动机。

2。优化维纳指数

最简单的图表和开创性的拓扑指数是维纳指数。考虑一个简单的连通无向图 与顶点。然后,维纳指数的图被定义为 在哪里 之间的距离是th和th顶点的 。一个可能会发现几个论文发现维纳指数不同的图表(27- - - - - -29日]。虽然未加权的版本的维纳指数通常用于vertex-weighted图介绍了更高版本(30.],它取得了进步在过去的几年里31日,32]。此外,一个edge-weighted版本(称为古特曼指数)介绍了维纳指数[的自然延伸33]。我们遵循这个edge-weighted维纳指数的优化问题。因此,对于一个图与功能和 ,在哪里顶点的度和边缘的重量吗 ,加权维纳指数表示如下:

我们的目标是最小化函数 在方程(2),主题相关的约束。流行病学网络环境而言,唯一的主要约束是预算控制过程的可用性。这个约束执行资源配置的道路和通道必须完成固定的总预算。让总(最大可能)预算资源被用 。然后,相关的约束可以表示为

最后,nonnegativity必须指定

可以看出,优化问题由方程(2)- (4)是线性的。因此,维纳指数获得的非平凡解的优化。

3所示。优化Randić指数

介绍的拓扑指数描述化合物的连接强度的米兰Randić化学图论中广为人知。图这是一个主题感兴趣的理论家,和一些作品可以用图方面找到Randić指数(34- - - - - -36]。做一个优雅的连接强度的测量,这个索引也被应用在不同的上下文中。例子包括测量控制论中的鲁棒性(22),通信网络的可靠性37),移动网络的连通性38),和信息内容的图(39]。普通Randić指数表示如下:

显然,Randić指数是一个mba拓扑指数,与基于距离维纳指数。因此,不像维纳指数优化更多的理论兴趣,Randić索引优化直接关系到我们的流行病学应用程序中提到的部分1。此外,Randić指数的减少导致的减少维纳指数,一个事实,通过比较可以看出方程(1)和(5)[40]。

的edge-weighted版本Randić指数引入Araujo和德拉佩纳如下41]:

旨在减少edge-weighted Randić指数,现在我们表达目标函数是最小化 ,同样的预算和nonnegativity约束由(3)和(4),分别。

因此,问题是非线性的。进一步研究可能揭示其nonconvexity。召回的问题优化拓扑指数作为代数连接是凸,封闭的解得到[8]。与此相比,优化Randić指数是一个非凸优化问题;因此,它是具有挑战性的找到全局最优。因此,而不是寻找封闭精确解,我们寻求一个近似的解决方案通过使用适当的优化和近似方案。不难看出我们的目标函数方程(6)可以很容易地转换到可表现的一种形式的个人决策变量的函数。这激励我们利用分离变量编程技术为近似的解决方案。

3.1。分离程序制定

分离编程的方法首次引入非线性约束优化的凸函数,每当这些函数是可表现的总结的一个变量的函数(25]。功能与后者所提到的财产被称为分离,后来调查工作的可能性扩大技术非凸函数(42,43]。自成立以来,分离程序一直是一个非常有用的优化技术,与应用程序几个实际问题包括农业规划(44),线性互补问题(45],报童问题[46),和需求分配(47]。

请注意,目标函数方程(6)是非线性和非凸。因此,我们将目标函数转化为一个可分离的形式。让

从方程(6),我们可以重申作为目标函数

自 对所有 , 可以更换的 ,在哪里 。然后,可以变换分离变量形式的目标函数与可分下列约束形式:

现在,目标函数可以重申

这是最小化

3.2。线性近似的程序

注意到的约束方程(11 c)是非线性的。为了近似分段线性函数,首先,我们重申方程(11 c), 在哪里

我们的领域的时间间隔 。然后,我们把时间间隔细分的长度通过定义如下: 在哪里

现在,一个点 可以唯一地表示为 在哪里

然后,分段线性近似可以表示为 在哪里

我们的领域的时间间隔 。然后,我们把时间间隔细分的长度通过定义如下: 在哪里

然后,分段线性近似可以表示为 在哪里

现在,来近似非线性程序下面的问题: 受 最多两个相邻是积极的。

可以看出,线性近似的问题给出了方程(24)和(25)可以有效地解决如果邻接限制是满意。此外,理论上已经证明,如果每个函数的目标函数是严格凸和每个函数约束凸为每一个相关的变量,然后线性近似的解决方案制定不邻接限制是可行的最初的问题(26),然而,不是我们的问题的情况给出了方程(10)和(11)。在文献中有几种数值技术来克服这个问题,找到近似的解决方案(42,48- - - - - -50]。我们采用的方案马科维茨和曼勒50)来生成我们的计算结果。

4所示。计算结果

我们实现了算法使用SageMath的混合整数规划模型。实验发生在许多图结构15顶点。特别是,我们测试了所有的连接图6顶点。至于维纳指数优化,尽管配方的琐事,一些观察是特别感兴趣的。例如,总重量总是分配给一个图的边缘。此外,这条边总是属于边缘控制图(表的集合1)。这是很自然的,因为边缘主要集中最重要的保持的连接强度图,图中每条边是在边缘控制集或相邻的至少一个边缘的边缘支配集。例如,当图在图1(一)维纳指数被认为是优化的结果导出在方程(3)等于1,分配的最优解的总重量1边缘在 。有趣的是,这一优势使得优势支配集。很容易看到相对应的顶点在如图2让一组控制。同样的,在(图1 (c)),在(图1 (c))被选元素的支配集的线形图。

相比之下,在Randić索引优化,不同的权重被分配给不同的边缘。因此,人们很自然地问Randić索引优化处理图形对称性。特别是,它是很重要的,看看时边缘等价形式考虑分配权重。因此,我们研究了这些图的等值问题检查任何可能的边缘连接到最优加权赋值。边缘图的等价定义在全球的对称关系图表,同构的优势特点。这是定义在类似于代数同构的概念图理论。图的自同构群是一组由所有还利用排列的顶点和用吗 。两个顶点和在G据说如果有一个自同构结构等效在这样 。图的自同构群被定义为线形图的自同构群的定义为图通过将一个顶点与每个边缘连接两个顶点和边,如果相应的边缘有一个共同的顶点。因此,边缘的一个图形可以分为等价类,在全球对称的感觉。各自的分类三个图在图1可以看到图吗3。

现在的问题因此可以重申如下:如果两个边缘结构上是等价的,最优Randić指数分配分配等于重量?如果是的,它总是区分两个非等值的双边缘?答案似乎是负的。例如,边缘的自同构群是由 这意味着和结构等效边缘,如图3(一个)。然而,根据表中2,他们分配不同的权重。相反,同样的重量分配到和 ,尽管他们属于不同的等价类。因此,似乎Randić索引优化并不能反映全球的对称图形。已经说过,必须提到,在我们的实验中,我们遇到了许多图表Randić指数的优化非常和谐与边缘分类等价。例如,三个边的等价类(图3 (b)优化配置(表)是有区别的2),每一个类被分配自己的体重类所特有的。

5。讨论

出于流行病学应用程序和以前的工作由Ghosh et al。8)与电路有关,我们认为分配权重的问题边的图,总固定边的体重,目标是最小化的连接强度图,首先由维纳指数特征,然后由Randić指数。虽然这两种拓扑指数密切相关,特别是Randić指数的变化导致维纳指数的变化,我们考虑的两个优化问题远不同于彼此。维纳指数优化是微不足道的,因为它是一个线性公式,而Randić指数优化是一个非线性非凸优化问题。因此,我们采用了分离技术编程找到Randić指数近似解的优化。最后,我们提出了计算经验的感觉支配集和全球对称关系的图。

在理论的角度来看,有趣的比较可以对不同拓扑指数的优化。回忆的优化代数连接(第一重要的拉普拉斯算子的特征值)是凸的,一个可以比较维纳指数优化,过程更简单的解决方案,和Randić索引优化,它的困难。这可能进一步延长通过考虑优化不同的拓扑指数如Balaban指数(51,52],Harary指数[53,54],Graovac-Pisanski指数[55],Hosoya指数(56]。相反,有趣的是调查这些指标是如何相关的全球对称图。虽然拓扑指数从用图的角度广泛的研究,他们的同构关系并没有被重视。这将是一个有趣的未来的工作需要考虑如果权重的优化配置其他拓扑指数显示任何与边缘等价关系的图表。值得注意的是,最近的工作介绍维纳指数的一种变体,主持全球对称的图形特征的自同构群(57]。自然是希望这个版本类似的全球对称图,验证是留给未来的研究。此外,不同的拓扑指数的关系优势支配集也可以调查。

在实际的观点来看,不同的流行病学条件可能需要优化不同的拓扑指数。上下文中的快速传播的媒介传播疾病,正如我们感兴趣的问题,资源必须分配控制这种病边缘(互联)。相反,如果是一个慢慢传播疾病,资源可能被分配到顶点(地区),这可能是重申作为vertex-weighted版本的这些指标的优化,而不是edge-weighted版本我们已经考虑。尽管最近趋势的智能资源分配时控制流行病[58- - - - - -61年),只有有限的作品中可用的数学和计算流行病学文献利用的资源优化,以减少疾病的传播率。未来在这个方向上的研究可能有助于健康规划者,特别是在有流行倾向限制资源成为一个国家控制过程的主要障碍。

数据可用性

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。

信息披露

这个手稿的结果被展示在第八届国际欧亚会议数学科学和应用程序。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是由格兰特rph / 2016 / D / 05年美国国家科学基金会,斯里兰卡。

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