优势gydF4y2Ba 行动研究进展gydF4y2Ba 1687 - 9155gydF4y2Ba 1687 - 9147gydF4y2Ba HindawigydF4y2Ba 10.1155 / 2020/3139867gydF4y2Ba 3139867gydF4y2Ba 研究文章gydF4y2Ba 优化维纳和Randić指数的图表gydF4y2Ba https://orcid.org/0000 - 0003 - 2828 - 6090gydF4y2Ba MahasinghegydF4y2Ba a . C。gydF4y2Ba https://orcid.org/0000 - 0003 - 0271 - 857 xgydF4y2Ba ErandigydF4y2Ba k·k·w·H。gydF4y2Ba 佩拉gydF4y2Ba s . s . N。gydF4y2Ba 琼斯gydF4y2Ba 迪伦F。gydF4y2Ba 研发中心的数学模型gydF4y2Ba 数学系gydF4y2Ba 理学院gydF4y2Ba 科伦坡大学gydF4y2Ba 科伦坡03gydF4y2Ba 斯里兰卡gydF4y2Ba cmb.ac.lkgydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 09年gydF4y2Ba 06gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 04gydF4y2Ba 08年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 版权©2020 A。c . Mahasinghe et al。gydF4y2Ba 这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。gydF4y2Ba

维纳和Randić指数一直在化学学习图论作为图的连接强度的措施。之后,这些指标是用于网络分析等不同领域。这些指标,我们考虑两个优化问题与潜在的应用网络理论,特别是流行病学网络。给定一个连通图和一个固定的总重量,我们研究如何个人权重必须分配给边缘,最小化的连接强度图。为了测量连接强度,我们使用加权维纳指数和普通Randić指数的修改版本。维纳指数优化是线性的,而Randić指数优化是非线性和非凸。因此,我们采用分离程序生成的技术解决方案。我们目前的实验结果通过相关算法应用到几个图表。gydF4y2Ba

 国家科学基金会gydF4y2Ba 气道/ 2016 / D / 05gydF4y2Ba 1。介绍gydF4y2Ba

图的拓扑指数作为数值不变量的化学结构、化学结构的拓扑图形理论特征。在大多数情况下,这些指标是用来衡量化合物的连接强度。首次发现这种拓扑指数文学是维纳指数的目的是探索热力学和生化的烷烃的分子形状的属性(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba]。Consequently, variants of the Wiener index and different other indices appeared for similar purposes, introducing a new field, chemical graph theory, into theoretical chemistry [ 2gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba]。虽然不同的指标用于化合物的不同特征,他们分享共同的连接强度或紧密相关的概念图结构。gydF4y2Ba

虽然这些指数最初局限于化学图论,后来他们的范围已经扩展为包括其他学科领域。拓扑指数网络超越化学结构的适用性莫豪尔由古特曼发起的开创性工作,在1996年,它被证明的一种变体维纳指数恰逢电网络的基尔霍夫指数(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba]。2002年,Otte和卢梭的范围进一步扩展拓扑指数,使用它们来分析社交网络(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba]。在最近的一次工作,伊姆兰等人分析了互联网络使用拓扑指数(gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba]。所有这些作品与固定拓扑指数描述现有的网络使用顶点和边的权值,以获得关于网络的信息。相比之下,Ghosh等人研究了边如何被分配一个固定的总重量,为了优化拓扑指数,与应用程序一起到电路(gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba]。这个应用程序被解释为分配电阻电网络的边缘,总固定电阻之和,旨在最小化总有效抵抗,类似地,最大化的连接强度。总有效电阻的拓扑测量一直作为代数连接(重要的拉普拉斯算子的特征值最小)的相关图,这是证明是与维纳指数密切相关(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba]。有趣的是,相关的是凸优化问题,保证高效的可解性。gydF4y2Ba

优化拓扑指数受不同的限制在不同的上下文中被几个以前作品感兴趣的主题。大部分的这些优化问题相关化学图论,特别是化合物的设计。在[gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba),拉曼和Maranas发达一个整数规划模型优化的组合拓扑指数包括维纳和Randić指数和漂煮锅的形状指数(gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba]。优化聚合物的分子互连指数设计一直讨论(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba),解决方案产生的非凸整数线性规划公式。计算方案设计新的分子在药物化学中描述(gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba]Siddhaye et al .,一阶分子连接性指数是通过一个整数规划优化重构,和方法。不同味道的一个优化问题在化学图论的背景下被认为是在gydF4y2Ba 13gydF4y2Ba),单纯形算法被用来推导最优版本的几种拓扑指数。gydF4y2Ba

几个工作优化拓扑指数出现在化学领域的图论。一个概念论文Preußet al。gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba)提出了维纳和Randić指数的优化来解决地形的最大覆盖问题。最近工作(gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba]探索优化的可能性维纳指数为解决关键节点检测问题,在弯管机算法(gydF4y2Ba 16gydF4y2Ba)采用技术的解决方案。应用程序讨论了通信网络的代数连通最大化(gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

具体的优化问题被Ghosh et al。gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba)是特别感兴趣的,可以与其他的优化模型与优化拓扑指数是受一个常数边缘体重总和。很自然寻求问题的性质是什么如果代数连接是被不同的拓扑指数。这是一个有效地解决优化问题吗?此外,如果目标是改为最小化强度与电网的连接上下文?这些问题不仅仅是理论的兴趣;有一个流行病学网络有用的应用程序。考虑在一个地理区域病媒传播疾病的传播。这个区域可以被认为是一个网络,其中顶点代表城市或郊区,而边缘代表它们之间的联系,如道路和通道,以及病媒传播疾病的传播(gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba]。的重量的优势在这个网络可以被视为衡量向量的繁殖地的有利条件。已经声称,这种疾病的快速传播在很大程度上是受到网络的密实度(gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba]。因此,健康规划者可能感兴趣的最小化的密实度网络通过消除矢量沿道路的有利条件或水通道。然而,这个过程并非没有预算限制。总额预算控制过程中可用来消除病媒滋生地点必须沿着道路和渠道最有效的利用。因此,总重量必须由一个常数有界的边缘。当目标是最小化的密实度流行病学网络,它相当于一个适当的拓扑优化指数受固定的总重量。这是这项工作的主要问题感兴趣。gydF4y2Ba

我们首先考虑维纳指数,这是最简单的拓扑指数描述网络的密实度。然而,在流行病学网络的背景下,基于距离测度作为mba维纳指数显著低于测量地区许多联系可能会对疾病的传播作出了重大贡献。我们找到了mba拓扑指数在1975年由Randić引入[gydF4y2Ba 21gydF4y2Ba适合我们的目的。虽然这本来是用于测量的程度分支碳氢化合物的碳原子,类似维纳指数,后来Randić指数的发展已经证明其适用性在不同的上下文中(gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

因此,我们认为两个维纳指数和Randić指数来衡量网络的密实度的优化问题。优化问题的维纳指数是线性的,因此非常可以解决的。相反,优化Randić指数是一项具有挑战性的任务,因为它是非线性和非凸。为了克服计算硬度,我们采用可分离的编程技术gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba)和替换相应的非线性函数的分段线性近似,最终结束了一个近似的解决问题的办法。gydF4y2Ba

本文的其余部分组织如下。节gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba用最小化的问题,维纳指数图受固定边缘总重量的线性规划。节gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba我们考虑相同的优化问题,替换维纳指数Randić指数,它是凸。我们再形成使用分离变量编程技术可以在相同的部分。部分gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba包含我们的计算结果,讨论部分gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba是动机。gydF4y2Ba

 2。优化维纳指数gydF4y2Ba

最简单的图表和开创性的拓扑指数是维纳指数。考虑一个简单的连通无向图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba VgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba EgydF4y2Ba 与gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 顶点。然后,维纳指数gydF4y2Ba WgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 的图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 被定义为gydF4y2Ba (1)gydF4y2Ba WgydF4y2Ba GgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 经销gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba 经销gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 之间的距离是gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba th和gydF4y2Ba jgydF4y2Ba th顶点的gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 。一个可能会发现几个论文发现维纳指数不同的图表(gydF4y2Ba 27gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 29日gydF4y2Ba]。虽然未加权的版本的维纳指数通常用于vertex-weighted图介绍了更高版本(gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba],它取得了进步在过去的几年里gydF4y2Ba 31日gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 32gydF4y2Ba]。此外,一个edge-weighted版本(称为古特曼指数)介绍了维纳指数[的自然延伸gydF4y2Ba 33gydF4y2Ba]。我们遵循这个edge-weighted维纳指数的优化问题。因此,对于一个图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 与功能gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 和gydF4y2Ba wgydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 顶点的度gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 边缘的重量吗gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 加权维纳指数表示如下:gydF4y2Ba (2)gydF4y2Ba WgydF4y2Ba wgydF4y2Ba GgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba dgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba dgydF4y2Ba jgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

我们的目标是最小化函数gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba WgydF4y2Ba wgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 在方程(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba),主题相关的约束。流行病学网络环境而言,唯一的主要约束是预算控制过程的可用性。这个约束执行资源配置的道路和通道必须完成固定的总预算。让总(最大可能)预算资源被用gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 。然后,相关的约束可以表示为gydF4y2Ba (3)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

最后,nonnegativitygydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 必须指定gydF4y2Ba (4)gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 0。gydF4y2Ba

可以看出,优化问题由方程(gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba)- (gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba)是线性的。因此,维纳指数获得的非平凡解的优化。gydF4y2Ba

 3所示。优化Randić指数gydF4y2Ba

介绍的拓扑指数描述化合物的连接强度的米兰Randić化学图论中广为人知。图这是一个主题感兴趣的理论家,和一些作品可以用图方面找到Randić指数(gydF4y2Ba 34gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba]。做一个优雅的连接强度的测量,这个索引也被应用在不同的上下文中。例子包括测量控制论中的鲁棒性(gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba),通信网络的可靠性gydF4y2Ba 37gydF4y2Ba),移动网络的连通性gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba),和信息内容的图(gydF4y2Ba 39gydF4y2Ba]。普通Randić指数表示如下:gydF4y2Ba (5)gydF4y2Ba RgydF4y2Ba GgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba dgydF4y2Ba jgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

显然,Randić指数是一个mba拓扑指数,与基于距离维纳指数。因此,不像维纳指数优化更多的理论兴趣,Randić索引优化直接关系到我们的流行病学应用程序中提到的部分gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。此外,Randić指数的减少导致的减少维纳指数,一个事实,通过比较可以看出方程(gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba)[gydF4y2Ba 40gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

的edge-weighted版本Randić指数引入Araujo和德拉佩纳如下gydF4y2Ba 41gydF4y2Ba]:gydF4y2Ba (6)gydF4y2Ba RgydF4y2Ba wgydF4y2Ba GgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

旨在减少edge-weighted Randić指数,现在我们表达目标函数是最小化gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba RgydF4y2Ba wgydF4y2Ba GgydF4y2Ba ,同样的预算和nonnegativity约束由(gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba),分别。gydF4y2Ba

因此,问题是非线性的。进一步研究可能揭示其nonconvexity。召回的问题优化拓扑指数作为代数连接是凸,封闭的解得到[gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba]。与此相比,优化Randić指数是一个非凸优化问题;因此,它是具有挑战性的找到全局最优。因此,而不是寻找封闭精确解,我们寻求一个近似的解决方案通过使用适当的优化和近似方案。不难看出我们的目标函数方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)可以很容易地转换到可表现的一种形式的个人决策变量的函数。这激励我们利用分离变量编程技术为近似的解决方案。gydF4y2Ba

3.1。分离程序制定gydF4y2Ba

分离编程的方法首次引入非线性约束优化的凸函数,每当这些函数是可表现的总结的一个变量的函数(gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba]。功能与后者所提到的财产被称为分离,后来调查工作的可能性扩大技术非凸函数(gydF4y2Ba 42gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 43gydF4y2Ba]。自成立以来,分离程序一直是一个非常有用的优化技术,与应用程序几个实际问题包括农业规划(gydF4y2Ba 44gydF4y2Ba),线性互补问题(gydF4y2Ba 45gydF4y2Ba],报童问题[gydF4y2Ba 46gydF4y2Ba),和需求分配(gydF4y2Ba 47gydF4y2Ba]。gydF4y2Ba

请注意,目标函数方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba)是非线性和非凸。因此,我们将目标函数转化为一个可分离的形式。让gydF4y2Ba (7)gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

从方程(gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba),我们可以重申作为目标函数gydF4y2Ba (8)gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba CgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

自gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba 对所有gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 可以更换的gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba ,在那里gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。然后,可以变换分离变量形式的目标函数与可分下列约束形式:gydF4y2Ba (9)gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

现在,目标函数可以重申gydF4y2Ba (10)gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

这是最小化gydF4y2Ba (11)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba VgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (b) 11日gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (11 c)gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba +gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (d) 11日gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (e) 11日gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (11)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba >gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

3.2。线性近似的程序gydF4y2Ba

注意到的约束方程(gydF4y2Ba 11 cgydF4y2Ba)是非线性的。为了近似分段线性函数,首先,我们重申方程(gydF4y2Ba 11 cgydF4y2Ba),gydF4y2Ba (12)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba pgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba +gydF4y2Ba pgydF4y2Ba xgydF4y2Ba pgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (13)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (13)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (13 c)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba xgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba −gydF4y2Ba 日志gydF4y2Ba 一个gydF4y2Ba 年代gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

我们的领域gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba 的时间间隔gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 。然后,我们把时间间隔gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba 细分的长度gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 通过定义gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba 如下:gydF4y2Ba (14)gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba 米gydF4y2Ba =gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (15)gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba −gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba dgydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

现在,一个点gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 可以唯一地表示为gydF4y2Ba (16)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (17)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1。gydF4y2Ba

然后,分段线性近似gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba 可以表示为gydF4y2Ba (18)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (19)gydF4y2Ba ygydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1。gydF4y2Ba

我们的领域gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba pgydF4y2Ba xgydF4y2Ba pgydF4y2Ba 的时间间隔gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 。然后,我们把时间间隔gydF4y2Ba hgydF4y2Ba 细分的长度gydF4y2Ba 问gydF4y2Ba 通过定义gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba 如下:gydF4y2Ba (20)gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 0gydF4y2Ba =gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba ⋯gydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba hgydF4y2Ba =gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (21)gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba −gydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba +gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 问gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

然后,分段线性近似gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba pgydF4y2Ba xgydF4y2Ba pgydF4y2Ba 可以表示为gydF4y2Ba (22)gydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba pgydF4y2Ba xgydF4y2Ba pgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 在哪里gydF4y2Ba (23)gydF4y2Ba xgydF4y2Ba pgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1。gydF4y2Ba

现在,来近似非线性程序下面的问题:gydF4y2Ba (24)gydF4y2Ba 最小化gydF4y2Ba ZgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba rgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba /gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 受gydF4y2Ba (25)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba VgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ≤gydF4y2Ba CgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25 b)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba βgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba EgydF4y2Ba wgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba jgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25度)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba +gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba pgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba ggydF4y2Ba rgydF4y2Ba pgydF4y2Ba βgydF4y2Ba pgydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25 d)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25 e)gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba αgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba rgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ngydF4y2Ba −gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba kgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 米gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25度)gydF4y2Ba ∑gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba hgydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba (25克)gydF4y2Ba μgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba βgydF4y2Ba 我gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ≥gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba 我gydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ngydF4y2Ba ,gydF4y2Ba ∀gydF4y2Ba lgydF4y2Ba ∈gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba …gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba hgydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 最多两个相邻gydF4y2Ba λgydF4y2Ba rgydF4y2Ba kgydF4y2Ba 是积极的。gydF4y2Ba

可以看出,线性近似的问题给出了方程(gydF4y2Ba 24gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba)可以有效地解决如果邻接限制是满意。此外,理论上已经证明,如果每个函数的目标函数是严格凸和每个函数约束凸为每一个相关的变量,然后线性近似的解决方案制定不邻接限制是可行的最初的问题(gydF4y2Ba 26gydF4y2Ba),然而,不是我们的问题的情况给出了方程(gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba)和(gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba)。在文献中有几种数值技术来克服这个问题,找到近似的解决方案(gydF4y2Ba 42gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 48gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba]。我们采用的方案马科维茨和曼勒gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba)来生成我们的计算结果。gydF4y2Ba

 4所示。计算结果gydF4y2Ba

我们实现了算法使用SageMath的混合整数规划模型。实验发生在许多图结构15顶点。特别是,我们测试了所有的连接图6顶点。至于维纳指数优化,尽管配方的琐事,一些观察是特别感兴趣的。例如,总重量总是分配给一个图的边缘。此外,这条边总是属于边缘控制图(表的集合gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba)。这是很自然的,因为边缘主要集中最重要的保持的连接强度图,图中每条边是在边缘控制集或相邻的至少一个边缘的边缘支配集。例如,当图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 在图gydF4y2Ba 1(一)gydF4y2Ba维纳指数被认为是优化的结果导出gydF4y2Ba CgydF4y2Ba 在方程(gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba)等于1,分配的最优解的总重量1边缘gydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。有趣的是,这一优势使得优势支配集。很容易看到相对应的顶点gydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba lgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 如图gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba让一组控制。同样的,gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (图gydF4y2Ba 1 (c)gydF4y2Ba),gydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba 在gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba (图gydF4y2Ba 1 (c)gydF4y2Ba)被选元素的支配集的线形图。gydF4y2Ba

最优权重分配最小化优势支配集的维纳指数图在图gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

图gydF4y2Ba 非零重量分配gydF4y2Ba 边缘控制设置gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba

三个示例图。(一)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba1gydF4y2Ba。(b)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba2gydF4y2Ba。(c)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

线图gydF4y2Ba lgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 。gydF4y2Ba

相比之下,在Randić索引优化,不同的权重被分配给不同的边缘。因此,人们很自然地问Randić索引优化处理图形对称性。特别是,它是很重要的,看看时边缘等价形式考虑分配权重。因此,我们研究了这些图的等值问题检查任何可能的边缘连接到最优加权赋值。边缘图的等价定义在全球的对称关系图表,同构的优势特点。这是定义在类似于代数同构的概念图理论。图的自同构群gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 是一组由所有还利用排列的顶点和用吗gydF4y2Ba autgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 。两个顶点gydF4y2Ba ugydF4y2Ba 和gydF4y2Ba vgydF4y2Ba 在gydF4y2Ba GgydF4y2Ba据说如果有一个自同构结构等效gydF4y2Ba σgydF4y2Ba 在gydF4y2Ba autgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 这样gydF4y2Ba σgydF4y2Ba ugydF4y2Ba =gydF4y2Ba vgydF4y2Ba 。图的自同构群gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 被定义为线形图的自同构群gydF4y2Ba lgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 的gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 定义为图通过将一个顶点与每个边缘gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 连接两个顶点和边,如果相应的边缘gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 有一个共同的顶点。因此,边缘的一个图形可以分为等价类,在全球对称的感觉。各自的分类三个图在图gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba可以看到图吗gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

线路图gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 和分类边集的等价类图如图gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。(一)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba1gydF4y2Ba。(b)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba2gydF4y2Ba。(c)gydF4y2Ba GgydF4y2Ba3gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

现在的问题因此可以重申如下:如果两个边缘结构上是等价的,最优Randić指数分配分配等于重量?如果是的,它总是区分两个非等值的双边缘?答案似乎是负的。例如,边缘的自同构群gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 是由gydF4y2Ba (26)gydF4y2Ba autgydF4y2Ba lgydF4y2Ba GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 3、4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 3、4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba 这意味着gydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba 结构等效边缘,如图gydF4y2Ba 3(一个)gydF4y2Ba。然而,根据表中gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba,他们分配不同的权重。相反,同样的重量分配到gydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba 和gydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba 尽管他们属于不同的等价类。因此,似乎Randić索引优化并不能反映全球的对称图形。已经说过,必须提到,在我们的实验中,我们遇到了许多图表Randić指数的优化非常和谐与边缘分类等价。例如,三个边的等价类gydF4y2Ba GgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba (图gydF4y2Ba 3 (b)gydF4y2Ba优化配置(表)是有区别的gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba),每一个类被分配自己的体重类所特有的。gydF4y2Ba

最优权重分配最小化Randić指数图的图表gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba。gydF4y2Ba

图gydF4y2Ba 重量gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
wgydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.6gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 3、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 2gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.4gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
wgydF4y2Ba 2、3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 2、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.2gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 3、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.2gydF4y2Ba
GgydF4y2Ba 3gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0 1gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 0,4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.25gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、2gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 1、3gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.125gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba
wgydF4y2Ba 1、5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.25gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 2、3gydF4y2Ba 0.3gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 3、4gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0.075gydF4y2Ba ,gydF4y2Ba wgydF4y2Ba 4、5gydF4y2Ba =gydF4y2Ba 0gydF4y2Ba
5。讨论gydF4y2Ba

出于流行病学应用程序和以前的工作由Ghosh et al。gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba)与电路有关,我们认为分配权重的问题边的图,总固定边的体重,目标是最小化的连接强度图,首先由维纳指数特征,然后由Randić指数。虽然这两种拓扑指数密切相关,特别是Randić指数的变化导致维纳指数的变化,我们考虑的两个优化问题远不同于彼此。维纳指数优化是微不足道的,因为它是一个线性公式,而Randić指数优化是一个非线性非凸优化问题。因此,我们采用了分离技术编程找到Randić指数近似解的优化。最后,我们提出了计算经验的感觉支配集和全球对称关系的图。gydF4y2Ba

在理论的角度来看,有趣的比较可以对不同拓扑指数的优化。回忆的优化代数连接(第一重要的拉普拉斯算子的特征值)是凸的,一个可以比较维纳指数优化,过程更简单的解决方案,和Randić索引优化,它的困难。这可能进一步延长通过考虑优化不同的拓扑指数如Balaban指数(gydF4y2Ba 51gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 52gydF4y2Ba],Harary指数[gydF4y2Ba 53gydF4y2Ba,gydF4y2Ba 54gydF4y2Ba],Graovac-Pisanski指数[gydF4y2Ba 55gydF4y2Ba],Hosoya指数(gydF4y2Ba 56gydF4y2Ba]。相反,有趣的是调查这些指标是如何相关的全球对称图。虽然拓扑指数从用图的角度广泛的研究,他们的同构关系并没有被重视。这将是一个有趣的未来的工作需要考虑如果权重的优化配置其他拓扑指数显示任何与边缘等价关系的图表。值得注意的是,最近的工作介绍维纳指数的一种变体,主持全球对称的图形特征的自同构群(gydF4y2Ba 57gydF4y2Ba]。自然是希望这个版本类似的全球对称图,验证是留给未来的研究。此外,不同的拓扑指数的关系优势支配集也可以调查。gydF4y2Ba

在实际的观点来看,不同的流行病学条件可能需要优化不同的拓扑指数。上下文中的快速传播的媒介传播疾病,正如我们感兴趣的问题,资源必须分配控制这种病边缘(互联)。相反,如果是一个慢慢传播疾病,资源可能被分配到顶点(地区),这可能是重申作为vertex-weighted版本的这些指标的优化,而不是edge-weighted版本我们已经考虑。尽管最近趋势的智能资源分配时控制流行病[gydF4y2Ba 58gydF4y2Ba- - - - - -gydF4y2Ba 61年gydF4y2Ba),只有有限的作品中可用的数学和计算流行病学文献利用的资源优化,以减少疾病的传播率。未来在这个方向上的研究可能有助于健康规划者,特别是在有流行倾向限制资源成为一个国家控制过程的主要障碍。gydF4y2Ba

 数据可用性gydF4y2Ba

使用的数据来支持本研究的结果包括在本文中。gydF4y2Ba

 信息披露gydF4y2Ba

这个手稿的结果被展示在第八届国际欧亚会议数学科学和应用程序。gydF4y2Ba

 的利益冲突gydF4y2Ba

作者宣称没有利益冲突。gydF4y2Ba

 确认gydF4y2Ba

这项工作是由格兰特rph / 2016 / D / 05年美国国家科学基金会,斯里兰卡。gydF4y2Ba

 维纳gydF4y2Ba H。gydF4y2Ba 结构测定石蜡沸点gydF4y2Ba 美国化学学会杂志》上gydF4y2Ba 1947年gydF4y2Ba 69年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 17gydF4y2Ba 20.gydF4y2Ba 10.1021 / ja01193a005gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 8544254107gydF4y2Ba Garcia-DomenechgydF4y2Ba R。gydF4y2Ba GalvezgydF4y2Ba J。gydF4y2Ba de Julian-OrtizgydF4y2Ba j . V。gydF4y2Ba PoglianigydF4y2Ba lgydF4y2Ba 一些新的化学图论的趋势gydF4y2Ba 化学评论gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 108年gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 1127年gydF4y2Ba 1169年gydF4y2Ba 10.1021 / cr0780006gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 42149095556gydF4y2Ba 汉森gydF4y2Ba p . J。gydF4y2Ba 文书期刊gydF4y2Ba p C。gydF4y2Ba 化学的应用图论。第一部分基础和拓扑指数gydF4y2Ba 《化学教育gydF4y2Ba 1988年gydF4y2Ba 65年gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 574年gydF4y2Ba 10.1021 / ed065p574gydF4y2Ba RandićgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba randić指数的历史和新兴敌意化学图论gydF4y2Ba 通信在数学和计算机化学相匹配gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 59gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 124年gydF4y2Ba 古特曼gydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba 莫豪尔gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba quasi-wiener和基尔霍夫指数相一致gydF4y2Ba 化学信息和计算机科学杂志》上gydF4y2Ba 1996年gydF4y2Ba 36gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 982年gydF4y2Ba 985年gydF4y2Ba 10.1021 / ci960007tgydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0010401244gydF4y2Ba OttegydF4y2Ba E。gydF4y2Ba 卢梭gydF4y2Ba R。gydF4y2Ba 社会网络分析:一个强大的战略,也为信息科学gydF4y2Ba 信息科学杂志》gydF4y2Ba 2002年gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 441年gydF4y2Ba 453年gydF4y2Ba 10.1177 / 016555150202800601gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0036944132gydF4y2Ba 伊姆兰gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba ‘gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba MailkgydF4y2Ba m . y . H。gydF4y2Ba 某些互连网络的拓扑指数gydF4y2Ba 应用数学和计算gydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 244年gydF4y2Ba 936年gydF4y2Ba 951年gydF4y2Ba 10.1016 / j.amc.2014.07.064gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84907317006gydF4y2Ba 戈什gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 博伊德gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 萨贝里gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 最小化的有效电阻图gydF4y2Ba 暹罗审查gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 50gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 37gydF4y2Ba 66年gydF4y2Ba 10.1137 / 050645452gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 40749116553gydF4y2Ba 拉曼gydF4y2Ba 诉。gydF4y2Ba MaranasgydF4y2Ba c, D。gydF4y2Ba 优化产品设计与拓扑指数与属性gydF4y2Ba 计算机与化学工程gydF4y2Ba 1998年gydF4y2Ba 22gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 747年gydF4y2Ba 763年gydF4y2Ba 10.1016 / s0098 - 1354 (97) 00257 - 3gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000735985gydF4y2Ba 漂煮锅gydF4y2Ba l . B。gydF4y2Ba 从化学指标的分子形状图gydF4y2Ba 药用研究评论gydF4y2Ba 1987年gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 417年gydF4y2Ba 440年gydF4y2Ba 10.1002 / med.2610070404gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000742117gydF4y2Ba CamardagydF4y2Ba k V。gydF4y2Ba MaranasgydF4y2Ba c, D。gydF4y2Ba 优化聚合物设计使用连接性指数gydF4y2Ba 工业化学与工程化学研究gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 1884年gydF4y2Ba 1892年gydF4y2Ba 10.1021 / ie980682ngydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0032947879gydF4y2Ba SiddhayegydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba CamardagydF4y2Ba K。gydF4y2Ba SouthardgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba ToppgydF4y2Ba E。gydF4y2Ba 药品使用组合优化产品设计gydF4y2Ba 计算机与化学工程gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 425年gydF4y2Ba 434年gydF4y2Ba 10.1016 / j.compchemeng.2003.08.011gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0742287045gydF4y2Ba MatamalagydF4y2Ba a。R。gydF4y2Ba 埃斯特拉达gydF4y2Ba E。gydF4y2Ba 普遍的拓扑指数:优化方法和物理化学的解释gydF4y2Ba 化学物理快报gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 410年gydF4y2Ba 4 - 6gydF4y2Ba 343年gydF4y2Ba 347年gydF4y2Ba 10.1016 / j.cplett.2005.05.096gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 21644443741gydF4y2Ba PreußgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 德gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba PicklgydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba HolzingergydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 地形覆盖优化通过使用网络上通用的基于数据挖掘和知识发现的方法gydF4y2Ba 学报》国际会议对大脑信息和健康gydF4y2Ba 2014年8月gydF4y2Ba 柏林,德国gydF4y2Ba 施普林格gydF4y2Ba 564年gydF4y2Ba 573年gydF4y2Ba HooshmandgydF4y2Ba F。gydF4y2Ba MirarabrazigydF4y2Ba F。gydF4y2Ba MirHassanigydF4y2Ba 美国一个。gydF4y2Ba 有效的弯管机分解为基于距离的关键节点检测问题gydF4y2Ba ωgydF4y2Ba 2020年gydF4y2Ba 93年gydF4y2Ba 102037年gydF4y2Ba 10.1016 / j.omega.2019.02.006gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 85062332969gydF4y2Ba 弯管机gydF4y2Ba j·F。gydF4y2Ba 分区程序解决mixed-variables编程问题gydF4y2Ba 计算管理科学gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba 10.1007 / s10287 - 004 - 0020 - ygydF4y2Ba 2 - s2.0 - 20444435524gydF4y2Ba 纳gydF4y2Ba H。gydF4y2Ba RathinamgydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba DarbhagydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 在最大化代数连接网络的各种工程应用gydF4y2Ba 学报2015年欧洲控制会议(ECC)gydF4y2Ba 2015年7月gydF4y2Ba 奥地利林茨gydF4y2Ba IEEEgydF4y2Ba 1626年gydF4y2Ba 1632年gydF4y2Ba 萨巴gydF4y2Ba H。gydF4y2Ba 淡水河谷gydF4y2Ba v . C。gydF4y2Ba MoretgydF4y2Ba m·A。gydF4y2Ba 米兰达gydF4y2Ba j·g·V。gydF4y2Ba 时空相关性网络登革热的巴伊亚的状态gydF4y2Ba BMC公共卫生gydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 14gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1085年gydF4y2Ba 10.1186 / 1471-2458-14-1085gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84941108836gydF4y2Ba DanongydF4y2Ba lgydF4y2Ba 福特gydF4y2Ba 答:P。gydF4y2Ba 房子gydF4y2Ba T。gydF4y2Ba 网络和传染病的流行病学gydF4y2Ba 跨学科视角传染病gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 2011年gydF4y2Ba 708年gydF4y2Ba 284909年gydF4y2Ba 10.1155 / 2011/284909gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 79955108361gydF4y2Ba 基林gydF4y2Ba m·J。gydF4y2Ba 埃姆斯gydF4y2Ba k t D。gydF4y2Ba 网络和流行病模型gydF4y2Ba 《英国皇家学会界面gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 295年gydF4y2Ba 307年gydF4y2Ba 10.1098 / rsif.2005.0051gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 33646893242gydF4y2Ba RandićgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 描述分子分支gydF4y2Ba 美国化学学会杂志》上gydF4y2Ba 1975年gydF4y2Ba 97年gydF4y2Ba 23gydF4y2Ba 6609年gydF4y2Ba 6615年gydF4y2Ba 10.1021 / ja00856a001gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 8644280181gydF4y2Ba De MeogydF4y2Ba P。gydF4y2Ba 墨西拿gydF4y2Ba F。gydF4y2Ba RosacigydF4y2Ba D。gydF4y2Ba SarnegydF4y2Ba g . M。gydF4y2Ba VasilakosgydF4y2Ba 答:V。gydF4y2Ba 通过randić指数估计图像的鲁棒性gydF4y2Ba IEEE控制论gydF4y2Ba 2017年gydF4y2Ba 48gydF4y2Ba 11gydF4y2Ba 3232年gydF4y2Ba 3242年gydF4y2Ba 埃斯特拉达gydF4y2Ba E。gydF4y2Ba Randić指数、不规则和复杂的生物分子网络gydF4y2Ba Acta Chimica SlovenicagydF4y2Ba 2010年gydF4y2Ba 57gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 597年gydF4y2Ba 603年gydF4y2Ba Riera-FernandezgydF4y2Ba P。gydF4y2Ba MunteanugydF4y2Ba C。gydF4y2Ba Martin-RomaldegydF4y2Ba R。gydF4y2Ba Duardo-SanchezgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba Gonzalez-DiazgydF4y2Ba H。gydF4y2Ba Markov-randic指数部分重新评估的代谢,寄生虫——主机,fasciolosis蔓延,大脑皮层和legal-social复杂网络gydF4y2Ba 目前的生物信息学gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 401年gydF4y2Ba 415年gydF4y2Ba 10.2174 / 1574893611308040003gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84882778686gydF4y2Ba CharnesgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba LemkegydF4y2Ba c, E。gydF4y2Ba 非线性可分凸泛函的极小化gydF4y2Ba 海军研究物流的季度gydF4y2Ba 1954年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 301年gydF4y2Ba 312年gydF4y2Ba 10.1002 / nav.3800010408gydF4y2Ba SinhagydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 数学编程:理论和方法gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 荷兰阿姆斯特丹gydF4y2Ba 爱思唯尔gydF4y2Ba JuvangydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 莫豪尔gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba GraovacgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba KlavzargydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba ZerovnikgydF4y2Ba J。gydF4y2Ba 维纳指数的快速计算fasciagraphs rotagraphsgydF4y2Ba 《化学信息和建模gydF4y2Ba 1995年gydF4y2Ba 35gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 834年gydF4y2Ba 840年gydF4y2Ba 10.1021 / ci00027a007gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000540148gydF4y2Ba 曼努埃尔gydF4y2Ba P。gydF4y2Ba RajasinghgydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba 拉詹gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba 拉詹gydF4y2Ba r S。gydF4y2Ba 一种新的方法来计算维纳指数gydF4y2Ba 计算和理论纳米科学杂志》上gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 1515年gydF4y2Ba 1521年gydF4y2Ba 10.1166 / jctn.2013.2882gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84879636998gydF4y2Ba 莫豪尔gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba PisanskigydF4y2Ba T。gydF4y2Ba 如何计算图表的维纳指数gydF4y2Ba 数学化学杂志gydF4y2Ba 1988年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 267年gydF4y2Ba 277年gydF4y2Ba 10.1007 / bf01167206gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000024686gydF4y2Ba KlavžargydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba 古特曼gydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba 维纳vertex-weighted图和化学应用程序的数量gydF4y2Ba 离散应用数学gydF4y2Ba 1997年gydF4y2Ba 80年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 73年gydF4y2Ba 81年gydF4y2Ba DošlićgydF4y2Ba T。gydF4y2Ba Vertex-weighted维纳多项式组合图gydF4y2Ba Ars Mathematica ContemporaneagydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 66年gydF4y2Ba 80年gydF4y2Ba 高gydF4y2Ba W。gydF4y2Ba 王gydF4y2Ba W。gydF4y2Ba 加权的顶点版本维纳数字双环分子结构gydF4y2Ba 计算和数学方法在医学gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 2015年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 418106年gydF4y2Ba 10.1155 / 2015/418106gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84948409143gydF4y2Ba MazorodzegydF4y2Ba j . P。gydF4y2Ba MukwembigydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba VetrikgydF4y2Ba T。gydF4y2Ba 古特曼指数和最小程度gydF4y2Ba 离散应用数学gydF4y2Ba 2014年gydF4y2Ba 173年gydF4y2Ba 77年gydF4y2Ba 82年gydF4y2Ba 10.1016 / j.dam.2014.04.004gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84900822507gydF4y2Ba 高gydF4y2Ba J。gydF4y2Ba 陆gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 单循环的randić指数的图表gydF4y2Ba 通信在数学和计算机化学相匹配gydF4y2Ba 2005年gydF4y2Ba 53gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 377年gydF4y2Ba 384年gydF4y2Ba 胡gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 李gydF4y2Ba X。gydF4y2Ba 元gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 树木与总体randić指数最低gydF4y2Ba 通信在数学和计算机化学相匹配gydF4y2Ba 2004年gydF4y2Ba 52gydF4y2Ba 119年gydF4y2Ba 128年gydF4y2Ba 陆gydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 张gydF4y2Ba lgydF4y2Ba 田gydF4y2Ba F。gydF4y2Ba 仙人掌的randić指数gydF4y2Ba 通信在数学和计算机化学相匹配gydF4y2Ba 2006年gydF4y2Ba 56gydF4y2Ba 551年gydF4y2Ba 556年gydF4y2Ba Rodriguez-VelazquezgydF4y2Ba j . A。gydF4y2Ba KamišalićgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba Domingo-FerrergydF4y2Ba J。gydF4y2Ba 在通信网络的可靠性指标gydF4y2Ba 计算机和数学与应用程序gydF4y2Ba 2009年gydF4y2Ba 58gydF4y2Ba 7gydF4y2Ba 1433年gydF4y2Ba 1440年gydF4y2Ba 10.1016 / j.camwa.2009.07.019gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 68749110967gydF4y2Ba KunavutgydF4y2Ba K。gydF4y2Ba SanguankotchakorngydF4y2Ba T。gydF4y2Ba 为异构Qos路由移动ad hoc网络基于多个指数加权连接性指数的定义gydF4y2Ba 学报2011年第七信号图像技术国际会议和网络系统gydF4y2Ba 2011年11月gydF4y2Ba 法国第戎gydF4y2Ba IEEEgydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 8gydF4y2Ba 古特曼gydF4y2Ba 我。gydF4y2Ba FurtulagydF4y2Ba B。gydF4y2Ba KatanićgydF4y2Ba V。gydF4y2Ba Randić指数和信息gydF4y2Ba AKCE国际杂志图和组合gydF4y2Ba 2018年gydF4y2Ba 15gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 307年gydF4y2Ba 312年gydF4y2Ba 10.1016 / j.akcej.2017.09.006gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 85031317053gydF4y2Ba BonchevgydF4y2Ba D。gydF4y2Ba TrinajstićgydF4y2Ba N。gydF4y2Ba 信息理论、距离矩阵,和分子的分支gydF4y2Ba 《物理化学》杂志上gydF4y2Ba 1977年gydF4y2Ba 67年gydF4y2Ba 10gydF4y2Ba 4517年gydF4y2Ba 4533年gydF4y2Ba 10.1063/1.434593gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0343071989gydF4y2Ba AraujogydF4y2Ba O。gydF4y2Ba 德拉朋纳gydF4y2Ba j . A。gydF4y2Ba 一些化学图的连通性指数范围gydF4y2Ba 化学信息和计算机科学杂志》上gydF4y2Ba 1998年gydF4y2Ba 38gydF4y2Ba 5gydF4y2Ba 827年gydF4y2Ba 831年gydF4y2Ba 10.1021 / ci980012sgydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0000740606gydF4y2Ba GrottegydF4y2Ba j . H。gydF4y2Ba 福尔克gydF4y2Ba j·E。gydF4y2Ba 麦科伊gydF4y2Ba p F。gydF4y2Ba 一个计算机程序求解可分离的非凸优化问题gydF4y2Ba 1978年gydF4y2Ba 美国弗吉尼亚州配发gydF4y2Ba 国防科技信息中心gydF4y2Ba 李gydF4y2Ba H.-L。gydF4y2Ba 余gydF4y2Ba c。gydF4y2Ba 一个非凸可分规划问题的全局优化方法gydF4y2Ba 欧洲运筹学杂志》上gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 117年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 275年gydF4y2Ba 292年gydF4y2Ba 10.1016 / s0377 - 2217 (98) 00243 - 4gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0032688610gydF4y2Ba 托马斯。gydF4y2Ba W。gydF4y2Ba BlakesleegydF4y2Ba lgydF4y2Ba 罗杰斯gydF4y2Ba lgydF4y2Ba WhittleseygydF4y2Ba N。gydF4y2Ba 分离程序在农场计划中考虑风险gydF4y2Ba 美国农业经济学杂志》上gydF4y2Ba 1972年gydF4y2Ba 54gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 260年gydF4y2Ba 266年gydF4y2Ba 10.2307 / 1238711gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 3042888267gydF4y2Ba 吟游诗人gydF4y2Ba j·F。gydF4y2Ba 福尔克gydF4y2Ba j·E。gydF4y2Ba 可分的编程方法的线性互补问题gydF4y2Ba 电脑与行动研究gydF4y2Ba 1982年gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 153年gydF4y2Ba 159年gydF4y2Ba 10.1016 / 0305 - 0548 (82)90014 - 4gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 0019928184gydF4y2Ba Abdel-MalekgydF4y2Ba L . L。gydF4y2Ba OtegbeyegydF4y2Ba M。gydF4y2Ba 可分编程/二元性的方法来解决多产品报童/园丁与线性约束问题gydF4y2Ba 应用数学建模gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 37gydF4y2Ba 6gydF4y2Ba 4497年gydF4y2Ba 4508年gydF4y2Ba 10.1016 / j.apm.2012.09.059gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84872597451gydF4y2Ba 哈桑gydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba AbdelghanygydF4y2Ba K。gydF4y2Ba 术语叫做动态需求评估使用分离的编程方法gydF4y2Ba 交通的发展研究gydF4y2Ba 2017年gydF4y2Ba 43gydF4y2Ba BazaraagydF4y2Ba m . S。gydF4y2Ba SheraligydF4y2Ba h . D。gydF4y2Ba 谢蒂gydF4y2Ba c . M。gydF4y2Ba 非线性规划:理论和算法gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 霍博肯,纽约,美国gydF4y2Ba 约翰威利& SonsgydF4y2Ba DantziggydF4y2Ba g . B。gydF4y2Ba 解决线性规划问题的意义与整数变量gydF4y2Ba 费雪gydF4y2Ba 1960年gydF4y2Ba 28gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 30.gydF4y2Ba 44gydF4y2Ba 10.2307 / 1905292gydF4y2Ba 马科维茨gydF4y2Ba h . M。gydF4y2Ba 曼勒gydF4y2Ba 答:S。gydF4y2Ba 在离散编程问题的解决方案gydF4y2Ba 费雪gydF4y2Ba 1957年gydF4y2Ba 25gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 84年gydF4y2Ba 110年gydF4y2Ba 10.2307 / 1907744gydF4y2Ba DevillersgydF4y2Ba J。gydF4y2Ba BalabangydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 拓扑指数和相关的定量构效关系和分子结构描述符中gydF4y2Ba 1999年gydF4y2Ba 英国伦敦gydF4y2Ba 戈登违反科学出版社gydF4y2Ba 周gydF4y2Ba B。gydF4y2Ba TrinajstićgydF4y2Ba N。gydF4y2Ba balaban指数范围gydF4y2Ba Croatica Chemica学报gydF4y2Ba 2008年gydF4y2Ba 81年gydF4y2Ba 2gydF4y2Ba 319年gydF4y2Ba 323年gydF4y2Ba LučićgydF4y2Ba B。gydF4y2Ba MiličevićgydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba NikolićgydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba TrinajstićgydF4y2Ba N。gydF4y2Ba Harary index-twelve年后gydF4y2Ba Croatica Chemica学报gydF4y2Ba 2002年gydF4y2Ba 75年gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 847年gydF4y2Ba 868年gydF4y2Ba PlavšićgydF4y2Ba D。gydF4y2Ba NikolićgydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba TrinajstićgydF4y2Ba N。gydF4y2Ba MihalićgydF4y2Ba Z。gydF4y2Ba harary指数表征的化学图形gydF4y2Ba 数学化学杂志gydF4y2Ba 1993年gydF4y2Ba 12gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 235年gydF4y2Ba 250年gydF4y2Ba Hakimi-NezhaadgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba GhorbanigydF4y2Ba M。gydF4y2Ba graovac-pisanski指数gydF4y2Ba Kragujevac科学杂志》gydF4y2Ba 2017年gydF4y2Ba 39gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 91年gydF4y2Ba 98年gydF4y2Ba 10.5937 / kgjsci1739091hgydF4y2Ba HosoyagydF4y2Ba H。gydF4y2Ba 拓扑指数。新提议的数量描述结构的拓扑性质饱和碳氢化合物的同分异构体gydF4y2Ba 《日本化学学会gydF4y2Ba 1971年gydF4y2Ba 44gydF4y2Ba 9gydF4y2Ba 2332年gydF4y2Ba 2339年gydF4y2Ba 10.1246 / bcsj.44.2332gydF4y2Ba 大家都会gydF4y2Ba H。gydF4y2Ba AshrafigydF4y2Ba a。R。gydF4y2Ba Symmetry-moderated维纳指数gydF4y2Ba 通信在数学和计算机化学相匹配gydF4y2Ba 2016年gydF4y2Ba 76年gydF4y2Ba 3gydF4y2Ba 18gydF4y2Ba 邓gydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 沈gydF4y2Ba 年代。gydF4y2Ba VorobeychikgydF4y2Ba Y。gydF4y2Ba 优化决策方法在疾病预防和疫情控制gydF4y2Ba 数学生物科学gydF4y2Ba 2013年gydF4y2Ba 246年gydF4y2Ba 1gydF4y2Ba 213年gydF4y2Ba 227年gydF4y2Ba 10.1016 / j.mbs.2013.09.007gydF4y2Ba 2 - s2.0 - 84887021973gydF4y2Ba KasaiegydF4y2Ba P。gydF4y2Ba KeltongydF4y2Ba w·D。gydF4y2Ba VaghefigydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba NainigydF4y2Ba 美国J。gydF4y2Ba 向最优资源分配的控制流行:一个agent-based-simulation方法gydF4y2Ba 学报2010年冬季模拟会议gydF4y2Ba 2010年12月gydF4y2Ba 美国马里兰州巴尔的摩gydF4y2Ba IEEEgydF4y2Ba 2237年gydF4y2Ba 2248年gydF4y2Ba 普雷西亚多gydF4y2Ba 诉M。gydF4y2Ba ZarghamgydF4y2Ba M。gydF4y2Ba EnyiohagydF4y2Ba C。gydF4y2Ba JadbabaiegydF4y2Ba 一个。gydF4y2Ba 帕帕斯gydF4y2Ba G。gydF4y2Ba 优化疫苗分配在任意网络控制疫情的爆发gydF4y2Ba 学报52 IEEE会议决定和控制gydF4y2Ba 2013年6月gydF4y2Ba 意大利的佛罗伦萨gydF4y2Ba IEEEgydF4y2Ba 7486年gydF4y2Ba 7491年gydF4y2Ba ZaricgydF4y2Ba g S。gydF4y2Ba BrandeaugydF4y2Ba m . L。gydF4y2Ba 动态资源分配多个人群的疫情控制gydF4y2Ba 数学医学和生物学gydF4y2Ba 2002年gydF4y2Ba 19gydF4y2Ba 4gydF4y2Ba 235年gydF4y2Ba 255年gydF4y2Ba 10.1093 / imammb / 19.4.235gydF4y2Ba