排名 - 论方法解决多目标决策问题

抽象

该帕累托最优是针对多目标决策问题广泛使用的概念。然而，这个概念有一个显著的缺点，一组帕累托最优的选择通常是大的。相应地，选择特定的帕累托最优替代的决定实施的问题引起的。这项研究提出了一种新的方法来从一组帕累托最优的选择“适当”的选择。所提出的方法是基于用于体育赛事级别参与者排名理论方法。在该方法的框架下，我们建立了一个给定的多目标问题特别得分矩阵，它允许使用所提到的排名方法和选择相应的最佳排名的替代从帕累托集作为问题的解决方案。当没有决策权是可用的，或当各种标准的相对重要性还没有得到过评估所提出的方法是非常有用的。所提出的方法是在用于帆船桅杆一个材料选择问题的示例测试。

1.简介

本文考虑用于求解多标准决策（MCDM）的问题，具有有限数量的决策方案和标准的一种新的方法。所述多标准制剂用于的决策问题的理论和实际的分析典型的起点。因此，帕累托最优的定义和不同的帕累托优化方法一个巨大的军火库，可用于决策的目的。

然而，不同于单目标优化，帕累托最优的一个特点是，所述一组Pareto最优替代的（即，有效的替代品的组）通常较大。此外，所有这些帕累托最优的选择必须被视为数学相等。相应地，选择最适合执行特定的帕累托最优替代品的出现问题，因为最终的决定通常必须是唯一的。因此，更多的必须考虑的因素，以帮助决策者特定的或更有利的替代品的选择从一组帕累托最优解。

提出的方法是基于排名理论的方法，用于排名运动员在体育比赛。在该方法的框架下，我们为一个给定的多准则问题建立了一个特殊的得分矩阵，它允许我们使用上述排序方法，并从Pareto集合中选择相应的最佳排序方案作为问题的解决方案。请注意，分数矩阵是以非常自然的方式构建的，它是基于对每个标准中一个选择比另一个选择好多少次的简单计算而组成的。因此，有希望提出的方法产生一个“概念上客观”的排名方法，并提供了一个“准确的排名”的备选方案的多学科决策。当没有决策权，或以前没有评估各种标准的相对重要性时，拟议的方法特别有用。

为了证明可行性和适当的应用程序，该方法示出使用用于帆船桅杆一个材料选择问题的一个例子。这个问题已经通过使用各种方法，因此可以被看作是一种基准问题的一些研究人员解决。该图上的排名方法的适用性的MCDM问题揭示光。特别是，它表明，该说明性示例的由该方法获得的解决方案是相当有竞争力。

本文的其余部分结构如下。分段2，介绍了有关MCDM和排序问题的初步情况，并描述了建议的方法；第3考虑一个示例和部分4总结文章。

2.提出的方法

在接下来的内容中，对于一个自然数 ，我们表示 -维向量空间和 如果没有另外提及，我们将识别一个有限集带着那套 ，哪里 是该组的容量 根据需要，我们还可以识别矩阵 带着地图 。对于矩阵 ，我们用它的转用

2.1。预赛

2.1.1。背景多目标决策问题

下面的符号来自多准则优化理论的一般处理[五，6]。让我们考虑多目标决策问题 ，哪里 是一套备选方案和 是一组标准；即。， ，给出功能。不失一般性，我们可以假定较低值是优选的每个标准的（即，每个标准是nonbeneficial）和决策过程的目标是最小化同时所有标准[7]。

我们还认为说是一组可接受的备选方案和映射 是标准图（相应地， 是一组可接受的标准值）。以下概念还与标准映射和备选方案集相关联。另一种选择 如果不存在帕累托最优（即有效） 这样 对所有人 和 对一些人来说 该组中的所有有效的替代品表示为被称为Pareto集。相应地，被称为有效战线。

帕累托最优是针对多目标决策问题的解决一个适当的概念。但一般情况下，设定帕累托最优替代品是非常大的，而且，所有的替代品必须被视为“同样好的解决方案。”在另一方面，最终的决定通常必须是唯一的。因此，更多的必须考虑的因素从一组特定的援助或更优惠的替代品的选择 下面的小节描述了一种客观地处理这个问题的新方法。

2.1.2。排序方法

本节给出的排序理论的基本概念的简要概述。参考文献[8，9]更详细讨论排名的理论。对于一个自然数 ，该 矩阵 ，是一个记分矩阵如果 要强调的是，这个问题是在竞技体育音符的背景下制定也是我们可以解释的元素作为运动员（或团队）谁较量中匹配自己和每对运动员 ，联合比赛 包括游戏。我们的解释项 ，作为运动员的数量的总胜在比赛中 我们还说比赛的结果 是运动员的胜利运动员（亏损 ), 运动员的胜利运动员（亏损 ),和 平局。于是 ，可以解释为不以平局结束比赛的决定性的游戏数量 。我们也引入该功能 ，这反映了决定性的成果由运动员打所有比赛的数量 。

对于自然和得分矩阵 ，我们说这对 是排名问题。弱序（即，传递和完整）的关系 表示用于排名问题排序方法 矢量 是一个等级向量，其中，每个 ，是播放器的性能的措施 在排名问题上 对于排名问题 ，一个排序方法 是由评级向量引起的 如果 在这篇文章中，为了说明的目的，我们只考虑文献中讨论的许多排名方法中的一些（还注意，这里考虑的排名方法，基于国际象棋比赛中涉及的排名问题，回到了H.Neustadtl、E.Zermelo和B.Buckholdz的调查。有关详细说明，请参见，例如[9]及文献在其中引用的）。所有这些方法都由其相应的等级载体诱导。对于给定的分数矩阵 ，我们考虑下面的排名方法。

评分法。。评分法的评分向量， ，被定义为平均分

诺伊施塔特的方法。。Neustadt的评级向量， ，由等式定义 ，哪里 和

巴克霍尔兹的方法。。布赫霍尔茨的评级向量， ，由等式定义 ，哪里

公平投注方法。。为公平BET法的评价载体， ，被定义为线性方程的以下系统的独特的解决方案：

极大似然法。。最大似然法的评级向量， ，由等式定义 ，其中向量 是下列非线性方程组的唯一解：

2.2。评级方法以解决多目标决策问题

现在假设 是一个具有一组备选方案的MCDM问题 和一组标准nonbeneficial 和决策目标因此同时最小化的标准。让我们考虑的每个元素作为运动员（例如，棋手），并假定，对于每对运动员的 ，比赛 包括游戏。替代品的得分矩阵的特殊结构， ，定义如下： ，我们定义 因此，平等 意思是 对于标准 和替代（“运动员”）得到一分（即运动员赢得比赛 在比赛中 并且相应地， 表示运动员的总获胜次数在比赛中 明显， 我们说一个替代先后战胜了另一种如果 我们还说比赛的结果 是 选择的胜利替代的（损失 ), 选择的胜利替代的（损失 ）和数码打样 显然基质 是一组备选方案的得分矩阵，根据上一小节的定义。

以下程序用于解决MCDM问题 ：（一世）对于MCDM问题 ，得分矩阵 构造。（二）使用得分矩阵 ，从一套备选方案使用方法进行排名 。（ⅲ）帕累托集合的另一个选择， ，排名最好的方法被声明为所考虑的多目标决策问题的解决方案。

显然，这就够了，如果帕累托集是在所提出的程序开始知道排名帕累托集。然而，我们更喜欢上面的描述中给出的，因为它是在当帕累托集不知道（或部分/约已知的）的情况下，更方便，因为它发生通常是复杂的多目标决策问题。

很明显，不是MCDM问题 ，我们也可以考虑MCDM问题 显然，应用上述过程中的描述的MCDM问题 ，我们可以得到标准的排名。但是，我们在这里省略了相应的细节。

3.实施例

本节讨论解决的示例问题，以证明第节中建议的2.2款程序。所有必要的计算都在MATLAB计算环境中进行。这里考虑的例子是帆船桅杆材料的选择问题。这一问题已经被一些研究者用各种方法加以解决，因此可以被认为是一种基准问题。

将要优化的构件桅杆建模为承受轴向压缩的空心圆柱体。其长度为1000 mm，外径≤100 mm，内径≥84 mm，质量≤3 kg，总轴向压缩力为153kn[2]。以下条件被选择为在手排名问题：比强度（SS），比模量（SM），耐腐蚀性（CR），和成本类别（CC）[2]。的选择必须从15种替代材料制成。相应的决策数据列于表3附录和标准化决策矩阵的列于表4的附录。还要注意的是，对于所考虑的问题，被用于决策矩阵的归一化的上下限的方法[7]. 所考虑问题的Pareto集是

使用下面的方法来解决由以前的研究者的问题：WPM（加权特性的方法），VIKOR（通过折衷解决方案的概念多标准优化），CVIKOR（全面VIKOR），FLA（模糊逻辑的方法），穆拉（基于比率分析多目标优化），MULTIMOORA（穆拉的乘法形式），RPA（参考点的方法），和最近提出的博弈论方法GTM [1-4，10个，11个]。还需要注意的是材料的选择问题是多目标决策的一个重要应用[德意志北方银行，13个]。表五附录礼物的材料排名由除本文所提出的另一个方法。

直接计算表明，得分矩阵在考虑的情况下 使用得分矩阵 ，我们使用第节中描述的五种方法对材料进行排序2.1.2。排名结果列于表1. 这些结果表明材料14(环氧基的63％碳织物）由排名方法排名最好 ， ，和和材料13（环氧树脂–70%玻璃纤维）由排名方法排名最好和 。

表1也有时的情况时不属于帕累托集合替代被评为好于一些组有效的替代品的节目可以观察到（例如，有效的替代品11,3和效率不高的替代6）。然而，因为帕累托集和排序方法是独立的对象，只有在帕累托集排名方法的限制是必要的，我们不应该认为这是矛盾的。

用于比较，表2给出了用不同方法计算的备选秩的相关系数。如我们所见，所提出的排名方法的结果与FLA、CVIKOR和VIKOR获得的排名有很好的相关性；它们与MOORA、MULTIMOORA、RPA和WPM返回的排名有一定的相关性，与GTM获得的排名没有很好的相关性。同时，方法 ， ， ， ，和它们之间有很强的相关性。

四。结论

在这项研究中，我们提出了解决多目标决策问题的新方法。所提出的方法是基于其在竞争激烈的体育比赛中使用排序理论方法。在该方法的框架下，我们建立了一个给定的多目标问题特别得分矩阵，这使得我们可以使用适当的排序方法，并选择相应的最佳替代排名从帕累托集的多目标决策问题的解决方案。当没有决策权是可用的，或当各种标准的相对重要性还没有得到过评估所提出的方法是非常有用的。

为了证明该方法的可行性和适用性，以材料选择问题为例说明了该方法。结果表明，该方法得到的算例解具有很强的竞争性。还要注意，提议的方法似乎在数值上是有效的。也就是说，我们的初步数值实验（未发表）表明，该方法可以在几分钟内（约5分钟，计算在一台2.59GHz、8GB RAM的笔记本电脑上进行）解决1.5百个备选方案和10个备选方案的MCDM问题，64位操作系统，MATLAB环境，不做任何优化代码的努力）。

由于实现的简单性和灵活性，所提出的方法也可以用于一些有趣的方向。例如，如果考虑“转置”MCDM问题（即原问题的准则为备选方案，原问题的备选方案为准则的问题），所提出的方法还允许对准则进行排序，并确定一个“主导准则”。另一方面，标准的“客观”排序可能会刺激帕累托优化的其他工具的发展。所提出的方法似乎也有可能在（例如，进化）帕累托优化算法中找到应用。不过，我们在此仅限于提及这些进一步调查的方向。

附录

参见表3，4，和五。

数据可用性

先前报道的数据被用来支持这项研究。这些先前的研究在文中的相关地方被引用作为参考。

利益冲突

提交人声明他没有利益冲突。

参考

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