3 d可视化生产表面图

文摘

在过去40年的数据包络分析(DEA)或社区引起了相当大的关注。使用DEA效率前沿是构建基于假设关于生产可能性集合而不是先天的定义一个函数的输入和输出之间的关系。在这个贡献,我们提出一个算法可视化效率表面3 d图,提取有效船体的等产量曲线根据不同的RTS假设可能特别有用用于演示目的。在这一过程中,我们扩展了现有文献集中在生产领域的可视化在2 d图的可视化效率而不是完全有效的船体在3 d图。显示一个完全有效的船体,然而,并不能反映所有生产可能性的属性设置为弱有效边界部分人失踪。

1。介绍

从法雷尔和随后的出版物的开创性工作非参数效率测量(见[1- - - - - -4]),相当数量的应用效率测量研究使用非参数技术在科学文献中被发现(5]。

非参数效率测量方法依赖于假设有关的生产可能性集(PPS)而不是指定输入和输出之间的功能关系获得生产前沿,从而提供一种新的方式效率研究和比较。基本上,背后的想法非参数测量是获得一个未知的生产前沿效率分析的基础上可观察到的输入和输出数据的不同决策单位(研究)。特别是,使用非参数方法,生产前沿是PPS构造成一个信封。

基本的非参数效率度量往往说明了使用图来可视化PPS的推导过程和由此产生的生产边界。这些数据是基于生产前沿的插图对于单输入单输出的情况,因此,反映出单一输出的最大数量,从而有效,可以使用单个输入的特定数量生产。扩展的可视化生产可能性边界的两个单输入单输出和两个输出输入情况下,分别。这些图代表两个输入的有效组合生产特定数量的单一输出和两个输出的有效组合,可以产生特定数量的一个输入。3 d图中插图的生产前沿一直局限于充分有效的描述船体迄今为止(6]。

因此,本文的目的是提供一种算法,可以用来显示一组研究的有效的船体三维图,包括完全以及弱有效边界段。增加使用DEA技术,可视化的生产表面在两个输入,一个输出情况下一个输入和两个输出情况下,分别可以用于演示目的。特别是,等产量曲线的推导过程直接从生产表面使用说明数据集被认为是有价值的关于讨论的结果源于不同的收益成比例(RTS)的假设。本文的目的,然而,并不是降低计算机速度生产生产表面3 d图,而是提供一个算法,可以用来识别各自的生产表面包容性等产量曲线的不使用LP方法。在这一过程中,我们考虑两个变量以及常数RTS的假设。出于演示目的,方法推导等产量曲线为不同的输入和输出水平结合不同的RTS假设如此生产表面。

因此,本文的结构如下。首先,我们提供简要介绍非参数效率测量及其基本假设。接下来,我们提出的算法适合可视化效率船体在规模收益不变(CRS)和可变收益成比例(工具)的情况下两个输入和一个输出。最后,一个算法来提取等产量曲线不同产量水平和高效的船体的RTS的假设。所有算法在Matlab实现提供贡献。最后一节中给出了一些结论。

2。非参数效率测量和前沿可视化在2 d图

非参数效率测量分析的基础上可观察到的输入和输出数据不同的研究。这些输入输出对应构成了PPS。获得估计未知的生产前沿,特定的假设关于pp。

考虑一个DMU的多输入多输出设置使用输入向量产生的输出向量。可行的输入输出活动的集合被称为与下列属性(全面讨论看,例如,(742页)。(1)属于所有观察到的活动,也就是说,对所有研究。(2)如果活动属于、活动与属于通过这个属性我们假设CRS,我们获得。(3)如果活动属于,那么活动,,,和,属于。(4) 是最小的关闭,有界集符合上述假设。

使用矩阵表示法和,可以定义如下: 工具与技术要求额外的约束,e是一个行向量的所有元素等于团结导致以下的定义: 还有其他构建PPS的可能性,如非凸集源于自由处理船体(提出的方法8)或乘法提出的方法(9]。然而,这些方法都超出了这个范围的贡献。

考虑到各自的PPS, DMU的技术效率然后可以评估通过测量距离边境。在各种指标,面向equiproportionate是最常用的。假设CRS, input-oriented技术效率DMU 0可以评估通过求解以下线性规划: 假设工具需要添加约束。

考虑到最优解(2.3),它可以区分低效、弱有效和充分有效的研究。效率低下,以防发生下,这意味着DMU评价可以减少输入水平比例在保证给定的输出电平。弱势(或径向)表示,如果效率,但有些松弛的向量,输入过剩,和输出不足,,是积极的。全部(Pareto-Koopmans(见[10,11)))DMU 0盛行的效率,没有第一个向量的元素小于第二个向量的各个元素和至少一个元素的第一个向量大于各自元素的第二个向量。全效率因此需要弱效率,而相反的不一定是真的。

弱和完整的效率计算,区别是获得在一个两步过程。首先,我们解决(2.3)获得。第二,使用最优解决方案从(2.3),我们解决以下资讯: 在这一过程中,我们获得最优解(),显示完整的效率和。

根据上述定义,效率低下,弱,充分有效的研究,因此,我们可以确定PPS的三个不同的区域:低效率的研究躺在PPS,弱和完全有效研究位于边界。区分弱和充分有效的研究,有必要进一步区分弱和完全有效边界段。完全有效边界上段,它是不可能改善任何输入或输出没有恶化其他输入或输出,同时,在弱有效边界段,可以改善一个输入或输出不恶化其他输入或输出。

是很常见的PPS形象化和由此产生的前沿,特别是两个前沿领域之间的差异,在二维图。我们开始相应的工具与前沿15研究观察的基础上使用一个输入(),产生一个输出()。数据列于表1。

输入输出空间的边界是最小的凸集的信封包含15个研究的活动(见图1)。J研究B, C, D, E, A,我和H位于边境,因此至少弱有效。剩下的研究在PPS是低效的。边境上的研究中,C, D, E, A,我是完全有效的,,。另外两个有效的研究前沿,B和H,然而,显然是由研究C和我分别作为B使用相同的输入量生产不如C和H使用多个输入输出产生相同的输出水平比我,也就是说,B显示了积极的产出缺口和H正输入松弛。

添加第二个输入(见表2),它可以说明比例和nonproportionate输入变化通过计算单因素生产力和和描绘了隐式在输入inputspace(见图2)。

完全有效的研究现在D, L, N, O,和f .在低效率的研究中,我们发现DMU G显然减少了投入比例是位于边境。DMU K,然而,现在显示是弱有效的,也就是说,DMU K没有可能性没有减少的比例减少其输入输出。DMU K,然而,使用相同的输入生产一单位产出的DMU F但雇佣了一个更大数量的输入而DMU DMU f·K, nonproportionate减少输入是必要的生产完全有效,DMU K显示了积极的输入松弛输入,。相比DMU K,研究C,和J,稍微躺在里面。研究C和J情绪投射到前线使用input-oriented方法揭示了两个必要的输入按比例下降和以及nonproportionate减少输入因为这些研究投影到弱有效的边界。

显然,在两个输入和一个输出的情况下,大多数插图依靠等产量曲线解释和可视化测量非参数效率是如何工作的。将输入和通过各自的输出量CRS,然而,我们隐式假设和推导的等产量曲线并不能反映前工具的假设。豁免是由(12]说明基于不同RTS的等产量曲线和通用性的假设。总的来说,等产量曲线假设工具很少被发现,因为他们不能CRS下建造的。

然而,几乎没有尝试想象背后的想法非参数效率测量使用生产表面3 d图的插图生产表面3 d图并不在文献中找到。如果,这些生产表面被限制的充分有效的船体,类似[提供的6),复制图3使用中提供的数据表2。我们尝试,然而,是提供一种算法可用于可视化生产表面作为一个高效的船体(显示在图4),所有的属性(2.1)被可视化。推导的基础上生产表面3 d图中,我们还提出一个算法适合在CRS等产量曲线和工具直接从高效的船体。

3所示。非参数效率测量和前沿3 d可视化图

3 d可视化背后的想法非参数效率测量图与一个完全有效的船体如图3并不能反映所有属性PPS的介绍(2.1)。参考文献(13- - - - - -15),然而,提供算法来确定所谓的强大的定义超平面以及弱定义超平面一般情况下的输入和输出的定义相对应的超平面完全有效的超平面和疲软的定义相对应的超平面弱有效的超平面根据使用的术语在这贡献。尽管[13- - - - - -15)算法的一般情况下,据我们所知,它尚未用于可视化效率船体在3 d图。(13- - - - - -15]算法要求的解决方案(2.3)。中提供的算法(16),然而,假定解决(2.3)。

我们的第一个算法的主要思想是在3 d图中显示有效船体一组研究,产生一个输出与两个输入PPS满足所有属性(2.1)。目前,我们只考虑工具。

因此,我们进行如下。首先,我们表明,一组研究的全面高效的船体是同一组的凸包的一部分。推导出凸包,我们依靠众所周知Quickhull算法(见[17)而不是解决(2.3)作为Quickhull计算高效生产3 d图的凸包。在第二步中,我们构造弱有效的船体回落,Quickhull等。最后,我们将完全和弱有效的船体获得我们所说的高效的船体。

3.1。总论

定义3.1(凸包)。的凸包点集在一个向量空间最小凸集包含吗,也就是说,

定义3.2(超平面)。超平面在是一组的形式,在那里是一个非零向量和是一个标量。通常被称为正常或梯度。分成两个halfspaces,和。和两组点的形式和,。这个定义在[提供18]。

基于上述定义,我们可以以下状态。

定理3.3。一个完全有效DMU根据(2.3)是一个元素。

证明。不失一般性,我们假设DMU充分有效的和不是的一部分吗。因此,有两种情况。(一)DMU是在外面。(b)DMU是内在的。
广告(a):如果DMU是在外面,我们有一个矛盾凸包的定义的最小凸集包含所有研究。
广告(b):如果DMU是内在的,有一个超平面支持的研究。让DMU的凸组合研究(所谓的虚拟DMU)的超平面与不等号是严格的在至少一个组件。在这种情况下,DMU主导DMU这是一个矛盾DMU的事实吗是完全有效的。

定义3.4(完全有效的船体)。完全有效的船体是凸包的一部分。完全有效的超平面构成船体被称为完全有效的超平面。完全有效的超平面支持至少完全有效的研究根据(2.3),与消极的法向量组件对于输出向量和积极的法向量组件输入向量(见[13])。

定义3.5(弱有效的船体)。弱有效的超平面构成船体被称为弱有效的超平面。弱有效的超平面支持至少完全有效的研究和至少一个弱有效DMU根据(2.3)。法向量组件有关的输出向量都是非负的,关于输入向量和法向量组件是负值的至少一个组件的输入或输出向量等于零。

定义3.6(有效的船体)。船体有效的结合完全和弱有效的船体。

3.2。算法1:生产高效的船体的三维图

基于定义的部分3所示。1,我们现在进行的描述算法1 _vrs也可以用来产生高效的船体研究使用投入生产输出一个3 d图,仍然假设工具。

步骤1。与Quickhull计算凸壳。识别所有三角形(Quickhull使用三角形产生凸包在3 d)与法向量组件和删除所有其他三角形。

步骤2。每个三角形由三个向量。项目剩余的三角形飞机与和删除所有向量存在两次(在2 d船体)。

步骤3。其余向量分配给一个下面的组根据后续过程。

从最低开始输出DMU,顺时针到第一个向量和法向量组件;返回最小输出DMU;先逆时针方向的向量和法向量组件。关于向量在这个范围内,进行如下。(一)向量与向量组件预计到飞机与。(b)向量与向量组件预计到飞机与,第一,紧随其后的是投影飞机与。(c)向量与向量组件预计到飞机与,第一,紧随其后的是投影飞机与。

步骤4。去最大输出DMU,顺时针到第一个向量已分配给一组3 (a), 3 (b)或3 (c)在步骤3。返回到最大输出DMU,逆时针方向的第一个向量已分配给一组3 (a), 3 (b)或3 (c)在步骤3。关于向量在这个范围内,进行如下(一)顺时针方向:项目之间的向量最大输出DMU和第一个向量已指派给一个以上组3 (a), 3 (b)或3 (c)飞机与;(b)逆时针方向:项目之间的向量最大输出DMU和第一个向量已指派给一个以上组3 (a), 3 (b)或3 (c)飞机与。

第5步。在一个3 d图产生有效船体。

可视化算法1 _vrs,我们一些中间结果以图形方式显示。使用Quickhull, 15集的凸包假设工具与研究显示在图中5。接下来,三角形的法向量组件不符合条件删除。结果是显示在图6。根据步骤2,投射到剩下的三角形飞机与提出了图7。2 d内的向量船体已经被删除了。最小(最大)输出DMU由固体(虚线)箭头表示在图7。按照步骤3,我们从最低开始输出DMU和顺时针沿着B和一个向量的第一个D向量法向量组件。然后,我们回到最小输出DMU,沿着C向量逆时针走到第一个D向量和法向量组件。在这个范围内的向量组成一个向量法向量组件因此预计有哪些呢飞机与,第一,紧随其后的是投影飞机与与法向量组件B,这两个向量预计的吗飞机与,最后的三个C向量与向量组件预计的吗飞机与,其次是一个投影飞机与。下面的步骤4,我们现在进行的最大输出DMU和顺时针到第一个向量已分配给一组3 (a), 3 (b)或3 (c)。从图可以看出7,这个范围内是空的,这样我们保持在最大输出DMU,投影到飞机与在这种情况下是没有必要的。然后,我们返回到最大输出DMU和逆时针方向,在这种情况下,沿着四维向量的向量。在这个范围内,投射到D向量飞机与。图8可视化结果有效的船体,使用相同的字母如图7为了便于对比的船体二维图和船体的三维图。在步骤5,有效船体产生并显示在图中9。

考虑CRS,我们添加起源的研究之前,我们进行以下算法1 _crs。

步骤1。发现的最大向量的向量定义为组件,,计算每个DMU的统一法向量向量和的最大值向量。一步1仅用于演示目的,获取所有研究生产表面信封。

步骤2。比较每个DMU的统一法向量向量和统一最大的法向量向量,进行如下。(一)如果统一法向量组件DMU的向量小于统一法向量组件最大的向量,然后各自的规模DMU矢量平面平行飞机与。(b)如果统一法向量组件DMU矢量大于团结的法向量组件最大的向量,然后各自的规模DMU矢量平面平行飞机与。

步骤3。这些向量与Quickhull计算凸壳。识别所有三角形的法向量组件和删除所有其他三角形。

步骤4。项目剩余的三角形飞机与,保存值在一个单独的列表,删除所有向量(一)在2 d船体和(b)与法向量组件。

第5步。把剩下的两个向量根据类型的法向量向量,毗邻设在(即。,normal vector components),向量,毗邻设在(即。,normal vector components)。

步骤6。添加两个新的三角形通过加入(一)原点(0,0,0),这一点,向量、包容各自的根据步骤保存价值3;(b)原点(0,0,0),这一点,向量、包容各自的根据步骤保存价值3。

步骤7。在一个3 d图产生有效船体。

图10说明步骤的结果3。我们可以看到,每个DMU向量是比例最高的和分别取决于统一法向量组件各自的DMU比统一的法向量向量是小的或大的组件最大的向量。三角形的法向量组件已经被删除了。此外,图10显示,得来的高效的船体的一部分由六个不同的部分,包括一个弱有效段显示为三角形标记。这个结果是一致的CRS等产量曲线描绘图2包括五个完全有效的等产量曲线段。在图11结果,我们提供关于其余的投影三角形的飞机与和删除2 d船体内的向量和法向量组件。根据步骤5,我们可以确定一个向量的向量是相邻的设在和B向量向量是相邻的设在。根据步骤6我们现在添加两个新的三角形,通过加入原点(0,0,0),和向量中定义的步骤6(a)和其他通过加入原点(0,0,0),和向量中定义的步骤6(b)。弱有效船体由A和b两个三角形表示在图12。结果有效的船体终于重现图13。

3.3。算法2:生产等产量曲线在一个二维图

后构造一组研究使用算法的高效的船体1 _vrs和1 _crs,分别,我们现在继续提取结果的说明等产量曲线为不同产量水平下不同RTS的假设。在这一过程中,我们进行如下根据算法2。

步骤1。定义等产量曲线的水平显示。

步骤2。切断了高效船体从算法获得1 _vrs和/或1 _crs水平通过识别所有相交三角形的高效的船体。相交的三角形是三角形(一)至少一个顶点满足与其他两个顶点满意或(b)至少一个顶点满足与其他两个顶点满意。

步骤3。对于每个三角形相交,计算两个相交点的水平。

步骤4。显示等产量曲线(s)在一个二维图。

算法2后,我们现在显示四个不同的等产量曲线,一个用于输出电平在工具和CRS(见图14)以及输出电平假设工具和CRS(见图15)。从图可以看出14间隔,CRS等产量曲线看起来光滑而不是分段线性对比等产量曲线描绘图2。出于这个原因,我们放大特定区间的CRS等产量曲线,以方便比较。我们可以看到在图16,相关的等产量曲线由七个分段线性段对应的等产量曲线显示在图中2。

上面介绍的算法也可以用于可视化输出等产量曲线的推导给出两个输出一个输入如图17。

4所示。结束语

推导基于假设关于生产前沿生产可能性集合而不是先天的指定输入和输出之间的功能关系,执行效率比较在不同的研究在过去几十年已经吸引了相当大的关注。大部分的思想固有的非参数效率度量,以及非参数效率测量的结果,解释了使用不同类型的曲线,主要局限于插图在2 d图。在这个贡献,我们提出的算法可用于确定和可视化生产前沿的形式有效的船体在3 d图的情况下多个研究使用两个输入产生一个输出。介绍的算法可以很容易地调整两单输入输出情况。推导有效生产表面CRS以及工具的情况下,我们依靠Quickhull算法而不是解决DEA模型。此外,基于如此的外壳,我们介绍一种算法直接推导等产量曲线为特定输出(输入)水平和CRS和工具。接下来的步骤可以实现上述算法可用DEA软件程序和计算机速度的优化生产效率生产表面,等产量曲线。

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