文摘
在线性微极弹性我们讨论新的有限元的发展和其在商业软件的实现。这里我们实现发达8-node混合等参元素到接触问题有限元分析并执行解决方案。我们考虑聚合物邮票的接触模型在微极弹性弹性衬底。造型的特点与用户定义的有限元接触问题有限元分析进行了讨论。提供比较解决方案获得的微极弹性和古典显示了微极特性对应力集中的影响附近的接触面积。
1。介绍
现在利息增长进一步发展和应用扩展模型的连续介质力学模型的微观和纳米材料与复杂的内部结构。增强的经典柯西连续模型的基本思想是添加额外的字段描述额外的自由度为本构方程或/和考虑变形的高阶渐变。这些广义模型中有弹性,表面微极连续体或Cosserat, microstretched和micromorphic媒体,媒体与内部变量,梯度弹性,等等。特别是,微极模型(1- - - - - -3]提出的Cosserat兄弟超过几百年前发现申请造型等材料多孔固体(4,5],骨头[6- - - - - -8],营造艺术[9,10),梁格(11),和其他复合材料;参见[1,12- - - - - -15)和参考。微极弹性具有size-effects的描述和可能有用等微观结构的描述固体泡沫,骨头,粉末,和土壤。特别是,微极属性可能是重要的影响分析孔附近的应力集中和等级或附近的接触面积。Cosserat内连续的平移和旋转确定运动学模型介质压力和夫妇介绍了应力张量。材料的微极特性可能是重要的奇点附近或描述观察到的实验尺寸效应(16- - - - - -19]。我们还要注意,对于这样复杂的媒体甚至更一般的模型等连续介质力学梯度弹性可能是有用的;见,例如,(20.- - - - - -24]。应用程序的扩展模型的连续开孔泡沫等结构的造型,梁晶格和pantographic系统是出于他们的复杂的内部结构。例如,在经典梁理论时刻扮演着重要的角色,他们的影响力是遗传的均相模型。我们还要注意,结构化和非齐次梁用作泡沫或晶格结构元素描述一些扩展模型提出了在25- - - - - -31日]。杆和梁有一些现象作为截面的翘曲,不稳定,与情感缺陷也很重要;见,例如,(32- - - - - -41]。考虑所有这些现象可能导致相当复杂的模型均质媒体。从这个角度来看微极弹性可能被视为第一步微结构材料的造型和他们接触。缩进问题的进一步扩展可以执行基于其他丰富的连续介质模型;见,例如,应变梯度模型(42,43]。
让我们注意,边值问题的有效解决方案的微极弹性以及其他增强模型需要先进的数字代码如有限元法。连续的广义模型通常需要比经典的弹性计算的努力因为存在更多的自由度。我们使用的微极连续isogeometric分析(44,45)作为高效的有限元策略一起混合混合配方申请广义连续和结构;见,例如,(46- - - - - -50]。目前商业有限元软件给人可能使用用户定义的元素和用户定义的非标准材料模型的程序实现。我们开发了新的有限元有限元分析和实现。
本文组织如下。节2我们现在的基本方程线性微极弹性。静态和运动边界条件,平衡方程和本构方程。我们在这里受到各向同性情况下使用沃伊特符号。节3讨论了微极固体的有限元模型。最后,在节4我们现在接触问题的解决微极抛物线邮票和一个弹性厚板。
2。基本方程的微极弹性
后(1- - - - - -3我们回忆在这里的基本方程的线性微极弹性各向同性固体。微极可靠的运动是由两个字段描述,即翻译领域和领域的旋转。后者负责时刻材料粒子的相互作用的描述。以下拉丁索引值1,2,3,我们使用爱因斯坦求和规则重复的指标。平衡方程形式 在哪里和分别是压力和应力张量,是Levi-Civita三阶张量,和外部力量和夫妇。不同于古典(Cauchy-type)连续,张量和不对称的。方程(1)构成了当地的动量和动量矩,平衡。
静态和运动边界条件有以下形式: 在哪里是外部的单位矢量边界正常吗,和外部力量和夫妻,和给出了在表面的平移和旋转。显然,不能加入其他混合边界条件。
在下面我们由各向同性情况下限制自己。对于一个线性各向同性微极固体本构方程 在哪里克罗内克符号,,,,,,弹性模。在(3我们还介绍了弹性张量和不快张量给出的公式
使用沃伊特符号修改微极弹性和引入应力和时刻应力向量与拉伸和不快向量的公式 我们代表在以下统一本构方程形式: 与对称刚度矩阵,在那里和three-diagonal是对称的给出的矩阵 与经典弹性刚度矩阵的地方沃伊特符号是对称的矩阵我们有更大的矩阵。可以找到的值使用微极弹性模从直接提供的实验4,5,8,14)或使用均化技术(6,7,9- - - - - -11,51]。让我们注意均匀微极模型可以从异构的基础上通过古典(柯西)连续使用段非均匀微极(Cosserat)材料;参见[52- - - - - -55]。一般的各向异性本构方程分析微极固体材料对称性的基础上执行组(2,56,57]。
从实验的角度更好地使用另一组材料参数(4,5,8,14)表中列出1。
边值问题的微极弹性各向同性也包含边值问题的古典弹性作为一个特例。这个巧合可以用于开发的代码的验证。第一种方法减少问题是假设或。事实上,如果模的耦合应力张量是对称的 因此,(1)1经典的平衡方程变换的线性弹性转动而独立的(1)2只包括旋转。我们还要注意,(1)2也有类似的形式(1)1但具有不同弹性模。所以在这种情况下,问题是解耦和microrotations翻译可以独立决定。
第二个减少是可能的如果一个假设microrotations是固定的,。在这种情况下(1)1又恰逢经典平衡方程的模和。接下来我们用两种方法来开发的代码的验证和确认。
3所示。微极弹性有限元软件的实现
高效的解决方案的大型边值问题需要应用先进的软件。在这个研究有限元分析商业程序扩展了用户的实现元素(联合环境)来解决微极弹性问题。用Fortran编写特殊代码与有限元分析软件允许用户实践所有的有限元分析功能没有一个关注他们的数值实现。从实用的角度来看最重要的功能是创建复杂的几何形状,应用程序的加载和边界条件,应用约束和接触条件,生成3 d网格,使用物质库,,最重要的功能,是非常有效的解决者。
在解算器调用执行联合环境过程中的每个元素为每个高斯点的两倍。在第一次调用元素刚度应该联合环境提供的过程。通常用户程序需要调用UELMAT代码元素(用户物质过程)必要获得应力应变增量之间的关系。联合环境过程的另一个电话是需要计算残余部队,元素节点力造成的压力,这是至关重要的收敛监测在解决非线性问题。设计自己的有限元素只是一个模糊的任务建议高级用户。应该提到联合环境程序应该非常仔细地测试和验证。有一些重要的缺点使用用户元素的有限元分析程序。首先,有限元分析不能识别的形状元素;组节点所代表的元素。例如,2 d四个节点的元素可以被定义为一个桁架结构,框架梁组成,或作为一个四边形平面元素。 In each of the mentioned cases different type of loads can be applied; for example, the pressure can be applied to quadrilateral element only, the bending moment can be applied to beam, and so forth. The visualization of obtained results is another matter. The visualization is not possible without detailed description of an element topology; the set of nodes does not provide this information. That is why only nodal displacements of the user elements can be displayed in ABAQUS postprocessor. Displaying strains and stresses requires developing own graphical programs or using uncomfortable techniques with “ghost” meshes made of ordinary ABAQUS elements constrained to meshes consisting of user elements.
提出了联合环境过程的典型的调用如下:子例程uelmat(园艺学会,amatrx,svars,能源,ndofel,nrhs,nsvars, 道具,nprops,坐标,mcrd,nnode,u,杜,v,一个,jtype,时间, dtime,kstep,kinc,jelem,参数个数,ndload,jdltyp,adlmag, predef,npredf,lflags,mlvarx,ddlmag,mdload,pnewdt, jprops,njpro,期,materiallib)
最重要的参数amatrx(元素刚度矩阵)和园艺学会(右边所必需的残差向量检查计算的收敛性)。在最简单的情况下的静态线性分析园艺学会参数可以省略,因为收敛(平衡方程在节点)是在第一个迭代中实现的。其他参数的意义是在有限元分析中描述文档。联合环境过程可以稍微简化如果它包含本构特性;没有必要UELMAT程序的调用,因此。
整个过程是典型的三维等参有限元公式的问题除了考虑自由度(微极弹性有三个位移分量和另外三个microrotations)、应变和应力的措施(应变和应力张量包含多个组件和不对称)。在联合环境实现微极弹性同样的形状函数用于位移和microrotations 在哪里,,节点坐标在当地坐标系统。Eringen应变测量矩阵的形状函数的衍生品 在哪里和是位移或microrotation组件th节点,分别。
等参元素形状函数(9)申请当地坐标的映射,,的坐标,,全球笛卡儿坐标系统
计算的衍生品需要应用链式法则;也就是说, 或 在哪里是雅可比矩阵 这可以从(9)和(11)。
开发了元素的刚度矩阵 本构刚度矩阵在哪里提出了在前一节中。集成在(15)执行循环高斯点。的使用高斯求积。
简短描述微极弹性8-node等参元素的实现包括几个步骤。过程根据用户元素(9)和(11)- (15不久,总结如下。(我)计算8-node等参元素的刚度矩阵微极弹性。在循环高斯点高斯(8分)(1)在每个高斯点找到形状函数及其衍生物对自然坐标(2)找到雅可比矩阵(14);数值计算它的逆矩阵和行列式(3)发现形状函数衍生品(13)对笛卡尔坐标,,(4)发现形状函数的矩阵衍生品(应变组件和节点位移之间的关系和microrotations)(5)发现本构矩阵(应力、应变张量之间的关系)(6)计算(2点高斯求积所有重量相等的),并将它添加的贡献刚度矩阵使用雅可比矩阵的行列式作为乘数(2)额外的计算(1)找到节点的元素力量元素所产生的压力和减去从节点外力为了计算残差(必要检查解决方案的收敛率)(2)让其他的计算;例如,更新应变能
4所示。抛物线邮票缩进
使用上面提到的3 d静态有限元分析的几个问题等固体与某些奇异性切口,洞,或小的接触面积两个固体的接触问题[17]。比较解决方案与我们使用的线性弹性的微极弹性提供了解决方案一样经典弹性假设特定形式的microrotations ()或为特定组没有耦合的弹性模)。
类似的结果获得的商业软件使用弹性的经典理论,结果被使用的用户元素而减少使用的材料数据数量证明解决方案获得的联合环境过程是可靠的。在这个研究赫兹接触被认为是抛物线戳半空间。古典赫兹弹性接触理论我们参考,例如,(58,pp。),给出应力分布公式。通过抛物线邮票我们指固体表面的形式一个表面的椭圆抛物面的方程,在那里是一个参数,,,分别是笛卡尔坐标;参见图1。主要问题出现在这种类型的分析是有限元分析程序不能识别用户元素的数量和面临(用户元素是由一组节点)。唯一可能的接触形成表面之间的接触(普通有限元素在有限元分析中实现)和组节点(联合环境元素),因此。精确的解决方案是小于的解决同样的问题考虑到接触的两个表面虽然足够致密网格可以实现合理的结果。
抛物线戳的接触平面弹性的聚苯乙烯泡沫板。泡沫是模仿作为微极材料。我们使用以下的泡沫材料数据5]:剪切模量MPa,泊松比,为扭转特征长度毫米,弯曲特征长度毫米,耦合数量,和极地比率。平均细胞大小的泡沫是约1毫米;它与特征长度。在同质化的常规晶格结构(11),泡沫细胞大小扮演重要角色的特征长度参数,和和依赖于它。的板我们认为经典的弹性材料相同的剪切模量和泊松比的泡沫。
在图1给出了有限元网格足够密集的接触区为了获得结果证实赫兹公式。•冯•米塞斯应力分布的有限元分析得到的线性弹性理论在古典图所示2。得到了非常相似的结果(分布和大小)使用用户开发了微极元素当microrotations是固定的。这说明优秀的收敛应力和应力分布的情况下使用了元素的经典解决方案。所以开发联合环境过程是可靠的。
在图3一些压力的分布附近的接触区显示;在这里是垂直轴。夫妇的压力只出现在邮票(模仿微极介质)在接触区附近。如预期的分布是反对称的。一些压力的大小(所有组件)是几个订单小于柯西应力的大小。因此,微极属性的影响仅限于区域与奇点突然变化等在正常应力在接触面积和自由表面。另一方面,微极弹性给出了可能性来捕获尺寸效应,观察等微观结构固体泡沫以及在文中对纳米压痕技术的测试案例。所有基准测试解决认为这表明,经典的区别和微极弹性的一个至关重要的领域特征长度的大小。等领域的压力是不对称的,有变形能量的再分配之间的平移和旋转自由度;一个可以旋转的显微结构的元素如泡沫的泡沫struts或谷物颗粒媒体。所以等本地行为与小面积接触问题的情况下和其他类型的应力集中器附近的变形在微观和纳米级微极性能的影响可能是重要的。
5。结论
我们讨论了有限元方法采用线性微极弹性以模型微观结构固体多孔材料和梁格等。新8-node混合微极等参元素及其实现有限元分析。在这里,我们分析了两个弹性固体之间的接触问题。基于古典和微极弹性的解决方案的比较仔细讨论。数值测试表明,一些压力几乎出现在接触区附近。
相互竞争的利益
论文的出版不会导致任何利益冲突。
确认
作者承认人的支持计划(居里夫人ITN转移)的欧盟第七框架计划的研究,技术开发和示范根据授权协议。pitn - ga - 2013 - 606878。