文摘

有效的声音速度的计算方法提出了一种一维声子晶体;它是有效当晶格常数远小于声波长度;因此,周期性介质可以被视为一个同质的。方法是基于位移场的扩张到飞机,满足了布洛赫定理。扩张使我们能够获得一个波动方程宏观位移场的振幅。从这个方程的形式我们识别的有效参数,即有效声音速度横向和纵向宏观位移均质一维声子晶体。结果,有效的显式表达式的参数中声波速度各向同性夹杂物在单位细胞得到:质量密度和弹性模。这些表达式用于研究有效的依赖,横向和纵向,声音速度对于一维声子晶体在二进制包含填充分数。的具体情况提出了由一维声子晶体研究W-Al Polyethylene-Si,扩展为固液。

1。介绍

目前制造人工材料很感兴趣,有非凡的属性,大大延长的天然材料。这样的一个新类的材料称为超材料。从一开始,光子超材料,具有负折射率,深入调查。成立这样一个不寻常的光学性质在周期结构光子晶体的介电函数是空间调制。光子超材料的特点是高介电组件之间的对比。负折射已经观察到在双重否定超材料同时负有效介电常数和磁导率1- - - - - -6]。然而,这一现象也体现在各向异性材料,简单一维(1 d)光子晶体或超晶格,在不同信号的有效介电常数张量元素(7- - - - - -10]。类似地,与常见的声学特性的超材料也搜索(pc),在声子晶体研究,材料周期性调制的弹性性质。在光子的情况下,声子晶体的有效参数的计算是一个重要的任务,弹性超材料谐振和声学透镜的设计;有一个极大的兴趣在调查的有效质量密度和遵从性张量,以及有效的声速。

几个均匀化理论,这是有效的,当声波波长更长的时间比声子晶体的晶格常数,提出了(11- - - - - -15]。在均匀化理论,我们可以识别出两种常用的方法。其中一个声学参数提供了有效的框架内多次散射(11- - - - - -13)的有效参数不是获得根据传播的方向;例如,对于一个声波水晶固体材料仅仅被认为是刚性;这项研究是在空气中声音的传播结构的矩阵,忽视了固体中传播的模式。第二,基于傅里叶形式,利用微观声场的扩张到飞机波浪和允许计算的有效参数的函数的方向传播(14,15]。后一种方法是特别感兴趣的,因为它可以应用于不同几何形状的晶胞内的夹杂物。这里,我们将精确地使用傅里叶形式来计算弹性波传播的有效速度在1 d固相固相流体结构声子晶体。第一个已知的实验观察时一维声子晶体研究Narayanamurti等人研究了高频声子的传播通过砷化镓/ AlGaAs超晶格;其他领域有潜在的应用一维声子晶体研究晶体传感器、波导和谐振传输(16- - - - - -19]。在一维光子晶体的情况下,这种固有各向异性弹性系统是一个潜在的超材料。然而,目前的工作的主要目的是建立的基础一般的均匀化理论的发展(1 d, 2 d或3 d)基于弹性声子晶体研究平面波扩张。

部分的工作划分如下:2傅里叶形式应用于二进制弹性超晶格。该方法计算有效声学声子超晶格参数,这是基于波动方程的推导过程的宏观位移场,节中描述3。最后,我们适用派生的显式公式有效的声音速度二进制组成的超晶格W-Al Polyethylene-Si,因此研究该参数的行为有效的晶体与高、低对比其组件的机械性能;还提出了固液。

2。一维声子晶体

让我们考虑一维声子晶体(或弹性超晶格)互层组成的各向同性弹性材料,a和B(图1)。他们的厚度分别是 和 ,在那里 晶格常数。假设 设在平行于超晶格生长方向,质量密度 ,以及纵向和横向速度, 和 ,是功能 协调。


图1
方案二元超晶格。

在这种情况下,第二个牛顿定律的位移矢量 在没有外力的情况下,获得的形式(20.,21]: 在这里,柯西应力张量 表示的应变张量 据的关系 在哪里 克罗内克的三角洲。用(2)和(3)(1),获得弹性不均匀介质的波动方程(22,23]:

由于周期性的函数 , , ,我们可以展开为傅里叶级数 在哪里 和 纵向和横向各向同性弹性介质的弹性常数,和组件表示为向量的倒格子 组件 给出了一个各向同性介质的关系:

根据我们的几何(见图1和2),傅里叶系数 出现在(5),可以计算公式 在哪里 是包含的形式因素, 和比例 是它的填充分数。类似地,傅里叶系数 和 扩张(6)和(7分别)可以写成


图2
晶胞的二进制超晶格。

周期系统,解决方案(4)应满足布洛赫定理24]。因此,我们可以把位移向量形式 在哪里 是一个周期函数与超晶格和同期吗 是频率。我们应该注意到组件 在这里,布洛赫波数和吗 是一个独立的向量平行 飞机。后扩展功能 为傅里叶级数,可以获得一个表达式 值得强调的是,傅里叶形式求解波动方程(4)让我们避免应用程序边界条件的位移矢量 ,因为系统的结构信息是显式地包含在傅里叶系数 。这是由于边界条件的事实 波动方程是一致的(4)。

用(5)- (7)和(14)(4),我们得到 我们可以重写(15在二元形式) 在哪里 和 是单位二元 。

逆υ 的矩阵 在情商。17)满足的关系 及其元素直接计算通过使用表达式 乘(17) (19),我们得到 我们已经介绍了二元在哪里 : 系统(20.)代表一个齐次代数方程组,这有一个非平凡解如果相关矩阵的行列式为零是一样的;也就是说,

条件(22)提供了色散关系 振动固有模式的电脑。应该注意的是,这样一个声子色散参数化取决于波矢分量 。因此,可以直接计算声子色散数值对角矩阵 。在这样做,我们应该使用有限矩阵的规模足够大,保证准确的结果。

3所示。有效声速

在声音的波长的情况下远远大于声子晶体的晶格常数,这个人工周期异质结构可以建模为均匀介质声学参数与有效。在本节中,我们将计算有效声音速度横向和纵向振动模式,沿着生长方向传播的超晶格这样考虑在前面的部分。

布洛赫定理,给出的(14),我们可以把位移场写成 假设 和 ,右边第一项(23)描述了平滑变化的位移矢量 坐标的函数,而其中第二项与快速振荡单元细胞(波动)。所以,我们可以定义平均(宏观)位移场 根据(20.),傅里叶系数 满足方程组 我们已经介绍了二元在哪里 一个可以表达系数 而言, 通过使用(25) 。因此, 在这里, 子矩阵,获得来自哪里 (26)在消除其块行(列) 。因为它是在25),子矩阵的逆 相关矩阵的逆 根据公式: 在哪里 是一个 块,从原始矩阵获得 (26无限的大小), 象征的倒数 矩阵块。

让我们重写(25) 作为 用(27)和(28)(29日),我们获得宏观波动方程: 有效的矩阵 是由 从宏观波动方程(30.),我们可以定义一个有效的二元代表克里斯托费尔张量,除以质量密度, 因此, 在这种情况下,考虑在这里,声波传播的发展方向,有效的张量(33)是对角线;也就是说, 与 。主值 和 实际上,横向和纵向声波速度的有效模式,分别。应该强调,公式(33)是有效的在长波极限下,也就是说,当两者 和 。

4所示。数值结果和验证

让我们应用推导公式(33)计算模式的有效声音速度沿着生长方向传播特定的二进制1 d结构声子晶体。首先,我们应当考虑Polyethylene-silicon超晶格周期 厘米。中使用的参数计算质量密度 gr /厘米3和 gr /厘米3声音,横向速度 厘米/秒, cm / s,并纵向声波速度 厘米/秒, 分别cm / s为硅和聚乙烯(材料参数取自[24])。300飞机波浪数值计算,需要实现良好的收敛结果。

数据3和4(实线)的横向的依赖关系 和纵向 有效的声音速度在硅填充分数 。看到,横向和纵向速度有效的声音慢慢随硅填充分数增加 到 。相比之下,在 山坡上的曲线 和 是相对较大的,因为大型声阻抗之间的对比吗 和 ( )的系统。


图3
有效声速横向振动模式传播沿生长方向Polyethylene-Si超晶格。在这里,实线是通过使用公式(33用公式(获得)和广场35)。

图4
有效的纵向振动模式传播声速沿生长方向Polyethylene-Si超晶格。在这里,实线是通过使用公式(33用公式(获得)和广场36)。

数据5和6(实线)展览数值计算有效的参数, 和 ,W-Al一维声子晶体。这里使用的参数(24] gr /厘米3和 gr /厘米3声音,横向速度 厘米/秒, cm / s,并纵向声波速度 厘米/秒, 分别cm / s为铝和钨。在这种情况下,有效声速横向(纵向)模式与Al填充分数降低 其最小值 。对于较大的值 (即。,in the interval )的有效参数 ( )增加 。


图5
有效声速横向振动模式传播沿生长方向W-Al超晶格。在这里,实线是通过使用公式(33用公式(获得)和广场35)。

图6
有效的纵向振动模式传播声速沿生长方向W-Al超晶格。在这里,实线是通过使用公式(33用公式(获得)和广场36)。

为了验证我们的数值结果数据3- - - - - -6(实线),我们使用有效nonlocal-response矩阵 在准静态极限( )。的块结构矩阵 对这样的系统形式(26] 在哪里 和 有效的质量密度和遵从性张量在长波极限。

图7矩阵中的非零元素的展示图 (只有主值 ), (只有有效刚度常数 和 )(34)W / Al和聚乙烯/ Si与一维声子晶体研究包含填充分数 。校长 设在一维声子晶体的取向平行于周期性的方向。因此,均质声子晶体获得正方对称区间 ,有效声速横向和纵向振动模式在低频极限传播沿生长方向是根据公式(参见[27],克里斯托费尔正方系统的方程可以被分解获得横向和纵向声波速度的解决方案): 应用公式(35)和(36),有效声速横向和纵向振动模式数据所示3- - - - - -6(广场)。我们发现我们的数值结果给出的公式(33),配合那些预测方程(35)和(36)。有效nonlocal-response基于矩阵求逆矩阵的方法 大小( :波飞机的数量);波飞机数量的增加,力学性能之间的对比声子晶体的成分很大,这代表了一个伟大的劣势数值收敛的方法。公式(33)表明,总结过去 和 快速收敛于矩阵与有限数量的面波反演;因此数值计算的金额不是一个非常耗时的过程。

(一)
(一)
(b)
(b)
(c)
(c)
图7
图的有效质量密度 (c)和有效刚度常数 (一)和 (b) Polyethylene-Si和W-Al超晶格。

否则,公式(33)可以申请决定的有效声速1 d-phononic晶体类型流体组件,剪切模量为零;这是可能通过一个很小的值 ( )为了避免数值错误。这个数学技巧,我们计算了有效声速water-aluminium超晶格的纵向振动模式时期 厘米(见图8)。用于水的参数 gr /厘米3和纵向声速 cm / s。图表显示了依赖的有效纵向声速的铝填充分数 ;注意,直到填充分数在0.8附近的值有效速度仍接近水,为以后提升迅速,直到达到固体的值,由于大不匹配的接口water-aluminium积木(由于高对比度的材料的声阻抗单元细胞)。


图8
依赖有效的纵向声速的均质铝的一维声子晶体嵌入在水的铝填充分数 。

5。讨论

发达的方法在这工作,达到均匀化的极限 , 克里斯托费尔张量和有效 计算波动方程的一个线性的弹性不均匀介质;这张量与弹性常数和弹性波的传播速度根据不同方向的轴是完全依赖于正常的波 对的方向 而不是它的大小,这样相速度定义为有效矩阵的特征值的平方根 。我们解决的有效矩阵的行列式考虑提出的解决方法(27]。应该注意的是,(27)不存在同质化的方法不同层的材料只有发展波传播的一般理论。这样,我们获得的传播速度方向之间的关系 弹性和机械均质性能的PC。因此,我们同时公式计算的有效速度横向和纵向弹性波传播的电脑。另一方面,当1 d-pc流体类型组件,安格尔接近零值 (横向弹性常数)计算有效声速纵向振动模式。这允许建立一个更一般的均匀化方法计算的有效传播速度与弹性声波在声子晶体研究固体和流体类型的成分,这是有用的定义方法对理论的发展有两个——和三维系统。在对比中给出的方法(14,15),提出了一种单独的分析来研究声波的传播在油和固相固相结构声子晶体,在这些研究中,第一种情况是基于解方程声波在气体中传播的纵向模式;在第二种情况下弹性介质的运动方程解决了只考虑横向模式。有效声速均相体系中获得的极限ω, ;在这个限制群速度等于相速度,计算 。使用上面的考虑,作者获得针对每种情况的公式有效声速;也没有显示结果为固液电脑。

6。结论

我们已经得到显式公式计算的有效的一维声子晶体中声波速度长波极限。公式是申请依赖的有效分析,横向和纵向,声音在包含灌装速度为二进制Polyethylene-Si组成的超晶格和W-Al分数。在后一种情况下,材料参数的对比相对较大,因此,在Al填充分数 ,有效声速横向( )和纵向( )模式,沿着超晶格生长方向传播,需要为每个组件值小于声速(W或铝)。出于这个原因,我们可以说均质1 d W-Al声子晶体超材料的行为。我们已经核实,我们的结果在准静态极限Polyethylene-Si和W-Al配合一维声子晶体研究结果预测的有效质量密度和遵从性张量的方法。最后,公式(33)也可以申请决定的有效声速1 d-phononic晶体类型流体组件有剪切模量为零。

虽然这里开发的均匀化理论是有效的只有与一维周期性结构声子晶体和各向同性夹杂物,它显示了有用的平面波展开法获得明确的理论表达式的结果有效声速。这种方法的泛化2 d和3 d周期性弹性结构与材料的各向异性夹杂物和任意的对比参数将在其他地方。

相互竞争的利益

作者宣称没有利益冲突。

确认

这项工作是支持的部分VIEP-BUAP(格兰特FOMJ-ING16-I)。作者还要感谢的支持,即程序(格兰特buap - ptc - 384协议。DSA / 103.5 / 15/7449)。