文摘
在多晶薄膜,形成晶界开槽调查广泛是由于对其属性的影响。无穷级数解晶粒间界面的开槽的表面扩散。本文用傅里叶变换,小说整体解决方案的晶界开槽的形象。数值例子来测试整体解决方案的性能。根据数值例子,我们发现小说的解决方案是按照无穷级数解。
1。介绍
在多晶薄膜晶界开槽通过膜的厚度是一种常见的失效模式,强烈影响它们的属性。晶界开槽的形成和发展收到了极大的关注,但几十年来(1- - - - - -6]。开槽形式和发展在交点晶界结束时在自由边界,以减少总自由能。在缺乏外部势场,开槽剖面通过表面扩散迁移。图1显示了晶界的AFM图像的开槽薄膜。大众运输表面扩散是由曲率拉普拉斯算子。凸面,质量流从高曲率部分低部分,而反过来凹表面。capillary-driven形状演化的理论最初是由马林斯[1),因此这类问题是所谓的马林斯问题。在他的研究中,他认为开槽是对称的两粒小斜率近似。假设地表能量是各向同性和地表通量可以表示为 在哪里是表面曲率梯度,表面扩散系数,是接口的弧长,各向同性表面能,是原子体积,是移动原子的数量单位,表层和是通常的意义。因此表面正常速度可以写成 定义接口配置和使用,我们可以得到 在哪里。在小斜率近似,它减少了
黄等。7]表明,电影资料在不同的时间被发现是自相似的。楔形接触角将改变在初始时间从楔角的平衡。因此,可以将偏微分方程转化为一个普通的微分方程积分法在解决之前。在本文中,我们主要寻求的整体解决方案(4)通过适当的初始和边界条件。剩下的纸是组织如下。节2,我们获得的主要接口的整体解决方案概要傅里叶变换。然后我们改变整体解决方案与一些变量替换成标准化的解决方案。节3小说,我们采取数值实验测试整体解决方案。节4,给出本文的结论。
2。整体解决方案
在下面,我们考虑对称的概要文件。由于对称轴,我们只考虑这个概要文件为。在[1),我们假设最初的表面是平的。同时,我们假设在槽根,通量为零,一个固定的二面角。因此,槽概要文件满足以下初始边值问题: 在哪里斜率相关二面角封闭的表面。
2.1。主要解决方案
根据偏微分方程理论和傅里叶变换,我们可以得到初始边值问题的整体解决方案(5)如下:
在下面,我们使用三个步骤获得的积分解决方案(6)。
让。然后我们只需要寻求解决方案下面的问题:
步骤1。我们首先考虑的解决方案 通过对傅里叶变换,我们可以获得的解决方案(11) 自从施瓦兹函数的傅里叶变换仍然是一个施瓦兹函数,我们推断出 变量是一个施瓦兹函数吗,二重积分的意义(12)当是一个多项式函数。事实上,我们可以参考文献[8]为进一步讨论的基本理论(11)。
步骤2。很容易验证 满足(7)- (10)。事实上,它是简单的证明满足(7),(9)和(10)。此外,我们可以验证也满足(8)通过选择
步骤3。最后,我们可以获得的解决方案(5)
2.2。归一化解决方案
让,和。变量替换,函数也可以表示为
让 施瓦兹函数的傅里叶变换。根据傅里叶变换的性质,仍然是施瓦兹函数和可积。通过简单的计算,我们到达 最后,我们得到规范化初始边界问题的解决方案(5)
3所示。数值试验
在本节中,我们用数值实验显示我们的整体解决方案的性能接口的晶界的开槽。所有数值测试实现戴尔台式机上4311年代(英特尔Core2双核CPU E7400 2.8 GHz 2.00 GB RAM)。使用Matlab软件计算所有数值解。
3.1。数值计算
我们首先计算施瓦茨函数。为了方便计算,我们扩展函数在(18在幂级数逐项积分。然后我们得到 在哪里是伽玛函数。自我们是一系列形式,使用有限的条款 近似在数值试验。截断剩余的是 我们考试的依赖截断误差和许多不同的术语在减少截断误差。表1说明了细节和表2列表的值和当截断误差。结果表明,术语的数量大爆炸截断误差降低。然而,我们不需要计算的价值对于那些远离零是一个施瓦兹函数。
3.2。整体解决方案
在下面,我们提供我们的积分的数值结果的解决方案。用于近似整数解。无限的集成截断为有限积分区间从0到20。计算数值积分,梯形积分公式。由于参数只有规模影响的解决方案,在这里,我们选择。我们把标准化的概要文件在图2。为了测试我们的整体解决方案的性能,我们也比较整体解决方案与马林斯系列解决方案(1)。这里马林斯接口的解决方案概要文件显示为 在哪里计算的递归关系 图2显示比较结果。实线是马林斯和虚线的解决方案是我们的整体解决方案。监测的发展深度和宽度的槽,我们发现我们的解决方案和马林斯同意很好'解决方案根据图。
这里我们没有比较了沟剖面因为两种解决方案可以很容易变得不稳定,由于有限的机器精度和截断。马林斯的解决方案,我们之间情节概要文件与不同截断无穷级数的人物3。无穷级数截断的选择,分别。从图3,我们发现42,马林斯曲线的解决方案正无穷和成长,44岁的曲线增长负无穷。这种现象出现在四年周期,经历和在协议与无穷级数的系数(25)和(26)。然而,对于我们的整体解决方案,与傅里叶变换的性质,我们有 因此,沟剖面在一个固定的时间。自是一个施瓦兹函数,我们可以很容易得出这样的结论:与上面的属性是稳定的,我们没有检查概要文件的吗。
3.3。整体解决方案的属性
最后,我们进行一些属性的整体解决方案(20.)。我们计算 ,发现最大的表面的第一次出现与 结合图中的数据2,最大的表面波。槽的深度测量方向的最大表面晶界是由 而两个极大值的分离 从这些表达式,我们有时间独立的比率
的空间振动槽概要文件在一个固定的时间如图4。解决方案显示了一个空间与快速指数衰减振荡振幅。除此之外,我们还可以得到槽根之间的间隔和图的尾巴的开始。
槽的曲率被定义为。然而,在小斜率近似,我们假设。因此,这里是规范化的曲率概要文件。结果是绘制在图5。所有这些属性与马林斯协议的解决方案。
4所示。结论
在这项工作中,我们主要是寻找一个新颖的解决方案接口概要的晶粒间开槽的表面扩散与小斜率近似。与傅里叶变换理论和偏微分方程的性质,我们得到一个整体的解决方案(6马林斯问题)。变量替换,我们得到了规范化的解决方案(20.)。根据数值测试,我们发现我们的解决方案是相同的与马林斯的解决方案。深度和宽度的增长率仍成正比。此外,我们可以得到槽配置文件的属性与理论分析,这些属性不再受机器影响精度和无穷级数的截断。
确认
王是由上海海事大学科技项目支持。20110054。h, c .陈和f .粉丝支持由中国国家自然科学基金批准号61078057和61078057。