文摘
我们学习三维紧凑和单连通trans-Sasakian繁殖并找到充分必要条件类似的这些导管Sasakian集合管。前两个处理结果发现在一个紧凑的必要和充分条件和单连通trans-Sasakian歧管是类似的一个爱因斯坦Sasakian歧管和第三结果处理找到充分必要条件一个紧凑和单连通trans-Sasakian Sasakian廖廖是类似的。
1。介绍
众所周知,对于一个几乎接触公制管汇 (cf。1),产品 几乎有一个复杂的结构吗 ,这与产品指标使 埃尔米特廖。的属性几乎埃尔米特廖 控制的属性度量歧管几乎接触 并提供一些结构比如Sasakian结构和quasi-Sasakian结构(cf。1- - - - - -3])。有16个不同类型的结构 (cf。4)),并使用结构类在 ,一个结构 介绍了在 ,叫做trans-Sasakian结构(cf。5]),概括Sasakian结构,Kenmotsu结构,cosymplectic结构在接触度规管汇(cf。2,3]),是真正的函数上定义 。
回想一下,trans-Sasakian歧管 被称为trans-Sasakain歧管的类型 ,和trans-Sasakian导管的类型 , ,和 被称为cosymplectic、 - - - - - -Sasakian, - - - - - -分别Kenmotsu集合管。它的结果证明(6]trans-Sasakian歧管的维度5或大于5降低cosymplectic歧管,a - - - - - -Sasakian歧管或 - - - - - -Kenmotsu歧管,所以有一个重点研究三维trans-Sasakian导管。
其他问题,发现条件一个紧凑的三维trans-Sasakian歧管 是类似的Sasakian歧管至关重要。的几何 - - - - - -维trans-Sasakian歧管也很重要由于瑟斯顿的猜想(cf。7]),获取环境三维trans-Sasakian多方面的 瑟斯顿之间的匹配它的八个几何图形变得更加有趣。值得注意的是,瑟斯顿的八个几何图形,首先占领的球面几何学 。
在((8- - - - - -13]),作者研究了紧凑的三维trans-Sasakian集合管和一些合适的限制功能出现在trans-Sasakian流形的定义的条件下,trans-Sasakian Sasakian廖廖是类似的。特别是,众所周知,一个三维紧凑单连通trans-Sasakian多方面的 满足泊松方程 和 ,分别是类似的Sasakian歧管(cf。10])。
发现一个有趣的工作在三维trans-Sasakian集合管(14,15),作者认为其他方面瑟斯顿的八个几何图形。在[10),这是问的函数在一个三维紧凑trans-Sasakian歧管 令人满意的 需要的trans-Sasakian Sasakian廖廖是类似的。在[15),结果表明,消极的回答这个问题。
爱因斯坦Sasakian繁殖非常重要,由于其几何重要性(cf。16])。在本文中,在我们的前两个结果中,我们发现在一个紧凑的必要和充分条件单连通三维trans-Sasakian歧管 爱因斯坦Sasakian廖是类似的,第三,我们找到一个充要条件单连通三维trans-Sasakian紧凑 Sasakian廖是类似的。
在第一个结果,我们考虑一个紧凑和单连通trans-Sasakian歧管 积极的恒定曲率标量 ,这个函数满足Fischer-Marsden方程显示功能有关的不平等 ,和里奇运营商满足Codazzi-type方程对向量场必然意味着 是一个类似的爱因斯坦Sasakian歧管。在第二个结果,我们表明,一个紧凑的单连通trans-Sasakian多方面的功能常数的积分曲线 ,标量曲率满足了不平等 ,和里奇运营商满足Codazzi-type方程对向量场必然意味着 是一个类似的爱因斯坦Sasakian歧管。最后,在最后的结果,我们表明,在一个紧凑和单连通trans-Sasakian歧管,函数满足微分不等式 ,和向量场 是正交的,这必然意味着什么 是类似的Sasakian歧管,协变导数在哪里 光滑的向量场在 。
2。预赛
让 几乎是一个度量歧管联系 ,在哪里作为一个 - - - - - -张量场,一个单位向量场光滑的 - - - - - -形成双对黎曼度量令人满意的 在哪里是切丛的平滑部分的空间吗(cf。1])。如果存在函数几乎接触度规管汇 令人满意的 然后 据说trans-Sasakian歧管,哪里 , ,和Levi-Civita连接的指标吗(cf。8- - - - - -15])。使用方程(1)和(2),它遵循
使用里奇张量黎曼流形的 ,里奇运营商被定义为 和 。我们有以下三维trans-Sasakian多方面的 :
因此,在紧凑的三维trans-Sasakian歧管 ,使用方程(6)和上面的方程,我们有
现在,我们国家以下结果的时候。
定理1。(17)让 黎曼流形。如果承认杀害向量场持续的长度满足 对于非零常数和任何向量场和 ,然后Sasakian廖是类似的。
为一个光滑函数在黎曼流形 ,然后操作员定义为 叫做黑森运营商吗 ,这是一个对称算子。此外,黑森的被定义为
拉普拉斯算子在 被定义为 ,我们也有
Fischer-Marsden黎曼流形的微分方程 (cf。18])
3所示。Trans-Sasakian集合管类似的爱因斯坦Sasakian流形
在本节中,我们发现一个紧凑的充分必要条件和单连通三维trans-Sasakian多方面的 爱因斯坦Sasakian廖是类似的。
定理2。一个紧凑和单连通三维trans-Sasakian歧管 积极的恒定曲率标量和功能Fischer-Marsden方程的解决方案满意 是类似的爱因斯坦Sasakian歧管的正曲率标量,当且仅当,里奇运营商吗满足
证明。假设 是一个紧凑的单连通三维trans-Sasakian歧管满足假设。然后,方程(13)给 在上面的方程,用方程,并跟踪(12),我们有
请注意,由方程(3),我们有 ,因此, 。使用这个方程和方程(17在方程()16),我们得到
现在,使用方程(5),我们有 。因此,上述方程变成了
使用方程(6),我们有 ,并插入它在上面的方程中,我们得出这样的结论
结合上面的方程,我们得到的
在声明中使用不平等,我们得出结论
自是单连通的,是连接,因此方程(22)意味着要么(我) 或(2) 。假设(2)持有,那么像是一个常数,我们得到了什么 ,针对方程(4)意味着 ;也就是说, 。因此,我们有
使用方程(6),我们有 ,,然后把它注入到上面的方程,我们得到
结合上面的方程,我们得到的
现在,使用上面(2)积分,我们有 由于曲率标量 ,通过以上积分,我们得出结论 。因此,使用方程(2),(3),(4)和(5),采取的形式
采取第二个方程的协变微分方程(28),我们得到 和使用方程(27在上面的方程,我们到达
现在,使用Codazzi方程类型条件的假设,我们得到的
在方程(使用第二个方程27),我们计算的谎言导数关于结论 也就是说,是一个杀害向量场的流由黎曼流形的等距 。因此,我们有 和使用方程(27),我们得出结论
结合上面的方程与方程(31日),我们有
的内积在上面的方程中,我们得出这样的结论
我们声称是单连通的, ;因为如果 ,然后由方程(27),我们看到是平行的,关闭了,这意味着什么呢是准确的;也就是说, 为一个光滑函数在 。这意味着 ,和紧凑,有一个点 这样 ,我们得到 ,一个矛盾的事实是一个单位向量场。因此, ,与方程(36)意味着 ;也就是说,是一个非零常数。
现在,方程(28)给 ,和协变微分方程中收益
使用假设的条件和方程(34), ,在上面的方程,我们得到的
操作在上面的方程在使用方程(1), ,我们得出这样的结论
这证明爱因斯坦是一个多方面的。最后,使用方程(27),一个非零常数,我们计算
因此,通过定理1,我们得出这样的结论:爱因斯坦是一个紧凑的类似的单连通Sasakian多方面的积极的标量曲率。反过来是微不足道的。
定理3。一个紧凑和单连通三维trans-Sasakian歧管 令人满意的 和标量曲率令人满意的 爱因斯坦Sasakian廖是类似的,当且仅当,里奇运营商吗满足
证明。假设 是一个紧凑和单连通三维trans-Sasakian歧管满足假设。然后,使用方程(4)和条件 ,我们得到了 。然而,如果 ,然后方程(3)意味着是封闭的,见过的吗证明定理2,我们得到一个矛盾由于简单的连通性 。因此, ,和连接 ,方程 意味着 。因此,方程(27)和(28)举行。现在,使用方程(28),我们有 ,这给了
协变导数在以上方程,我们有 和使用方程(27),我们得到
使用条件的假设,我们有
此外,方程(27)意味着是杀死向量场,因此,利用其结果方程(34)和方程(28),我们得出结论 也就是说,使用方程(1),我们有
因此,我们有 和集成上述方程,我们得到
使用假设的条件,我们有 ,当 ,我们得出这样的结论 。因此,方程(49)意味着 ,和紧凑,我们得出结论是一个常数。因此,在非零常数,方程(48)给
这证明是一个爱因斯坦流形,利用方程(27),我们看到单位向量场死亡满足
因此,针对定理1,我们得出这样的结论:是一个类似的爱因斯坦Sasakian歧管。反过来是微不足道的。
定理4。一个紧凑和单连通三维trans-Sasakian歧管 令人满意的 Sasakian廖是类似的,当且仅当,向量场吗 和是正交的。
证明。假设 是一个紧凑和单连通三维trans-Sasakian歧管满足假设。然后,使用方程(5),我们有 和协变导数方程对以上 ,在使用方程(3),我们得到
在以上跟踪方程(方程并注意以下的结果2), 为当地标准正交坐标系 在 ,我们得到了 我们已经使用 , , ,众所周知的公式
注意,使用方程(6),我们有 和
插入这些方程在方程(60),我们到达 和集成上述方程而记住方程(8),我们得到
使用条件的假设,我们得出这样的结论 和 ;也就是说, 。我们得到了 ,针对方程(6)意味着
整合上述方程的收益率 。因此,方程(27)和(28现在可以使用)。第二个方程的协变微分方程(28)对 ,我们得到了 我们使用第二个方程在方程(27)。现在,使用方程(27),注意 在上面的方程中,我们得出这样的结论
的内积在上面的方程,我们得到的
现在,使用方程(28),我们有 ,然后把它注入到方程(67年),我们得到
采取 在以上方程出发,采用假设的条件,我们的结论
请注意,紧凑和简单的连接,不允许为零。因此,上述方程意味着非零常数。因此,我们通过方程(27),
这证明Sasakian廖是类似的。反过来是微不足道的。
数据可用性
使用的数据来支持本研究的发现可以从相应的作者。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突。
确认
这项研究支持科研院长以来,伊玛目穆罕默德•伊本•沙特生育了众多伊斯兰大学,沙特阿拉伯,批准号20-13-12-001。