文摘
在本文中,我们定义和研究一种特殊的统治表面称为2型Smarandache统治表面2型主教帧相关 。从这个角度,根据2型主教曲率,我们提供必要和充分条件,允许这些表面在最少的时间内可展。此外,一个例子就是给明确的结果。
1。介绍
古典微分几何的理论统治表面是其分支之一已由一些研究人员开发的。一套直纹曲面通常定义为一个家庭的依赖于一个参数的直线提到直纹曲面的裁决。直纹曲面的参数表示 在哪里的基本曲线吗 和定义执政的方向(1,2]。曲面的可展性和极简主义的观念是他们最重要的属性。最有趣的一个点是统治的研究表面与不同的帧移动,看到在这个例子中(3- - - - - -7]。
Smarandache曲线在欧几里得和闵可夫斯基空间位置矢量的曲线是由Frenet框架向量在另一个正则曲线(8- - - - - -11]。一些研究人员(12- - - - - -20.闵可夫斯基]最近研究Smarandache曲线和欧几里得空间。
在这项工作 ,我们介绍的定义2型Smarandache统治表面使用2型主教框架,也就是说, , ,和2型Smarandache统治表面。我们的主要结果是定理给出了,看着这些表面的必要和充分条件可展和最小。在整个反应,与插图创建一个例子。
2。预赛
让是一个三维欧几里得空间提供的指标 在哪里 直角坐标系的吗 。
代表Frenet帧沿正则曲线移动通过 结合曲率函数和在 ,Frenet公式给出如下(1]:
在哪里 和 。
任意曲线与 在 ,的2型主教框架鉴于如下(21]: 在哪里和2型主教曲率和满足吗
在哪里 和
定义1。(21]。 2型Smarandache曲线的曲线通过 给出了作为
定义2。(21]。 2型Smarandache曲线的曲线通过 给出了作为
定义3。(21]。
2型Smarandache曲线的曲线通过
给出了作为
一个直纹曲面在可以reparametrized
在哪里是真的曲线和底部吗是它的单位,它定义了空间曲线特征直线的方向(22]。
单位法向量鉴于如下(23]:
在哪里
和
。的高斯曲率和平均曲率鉴于如下(23]:
在哪里
,
,
,
,
,和
。正常的曲率、测地曲率和短程挠率曲线连接在计算如下:
定义4。直纹曲面可展当且仅当 和最小当且仅当 。
3所示。主要结果
在本部分中,我们定义2型Smarandache裁定在欧几里得3维表面他指的是框架 。此外,我们评估的充分必要条件,使这些表面可展和最小。
3.1。2型Smarandache直纹曲面
定义5。常规曲线 在相关的框架 ,的2型Smarandache直纹曲面给出
定理6。让 是2型Smarandache直纹曲面定义为(13)。然后,我们有(1) 是一个可展曲面与渐近曲线(2) 是一个极小曲面当且仅当2型主教曲率满足以下方程 在哪里是真正的常数。
证明。考虑到2型Smarandache直纹曲面由(13),那么,的速度矢量给出如下: 从方程(15),我们就可以获得的大量的基本形式 因此,从以上数据,我们得到和的2型Smarandache直纹曲面给出如下: 同时,我们使用(12)法曲率,测地曲率和短程挠率联系起来在如以下: 因此,证明结束。
3.2。2型Smarandache直纹曲面
定义7。常规曲线 在相关的框架 ,的2型Smarandache直纹曲面给出
定理8。让 是2型Smarandache直纹曲面定义为(19)。然后,我们有(1)如果 ,然后,是一个可展曲面的测地线基地曲线呢(2) 是一个极小曲面的测地线基地曲线当且仅当2型主教曲率满足下列微分方程
证明。考虑到2型Smarandache直纹曲面由(19),那么,的速度矢量给出如下: 从方程(21),大量的基本形式
然后,和的2型Smarandache直纹曲面给出如下:
此外,从(12),我们有 回复上面的定理。
3.3。2型Smarandache直纹曲面
定义9。常规曲线 在相关的框架 ,的2型Smarandache直纹曲面给出
定理10。让 是2型Smarandache直纹曲面定义为(25)。然后,我们有(1)如果 ,然后,主要基地的可展曲面曲线吗(2)Ψ是一个极小曲面当且仅当2型主教曲率满足下列微分方程
证明。考虑到2型Smarandache直纹曲面由(25),那么,的速度矢量给出如下: 从方程(27),大量的基本形式 的和的2型Smarandache直纹曲面给出如下: 因此,证明结束。
而且,从(12),我们有
3.4。例子
让是一个圆柱螺旋线参数化 (见图1)。然后,我们有
然后, 和 。从(4),我们得到 , 。同时,我们有
的2型Smarandache直纹曲面 (见图2)
的2型Smarandache直纹曲面 (见图3)
的2型Smarandache直纹曲面 (见图4)
4所示。结论
统治的研究表面与不同移动帧是一种最有趣的点。研究人员发现,这些表面在最少的时间内可以开发。在这项工作中,我们描述和研究2型Smarandache统治表面,统治表面的一种具体形式。我们创造必要的和足够的情况下对这些表面在最少的时间内可展。
数据可用性
没有数据被用于这项研究。
的利益冲突
作者声明没有相互竞争的利益。
作者的贡献
所有作者都平等的贡献和完成这项研究。
确认
作者扩展他们的感谢院长以来伊玛目穆罕默德•伊本•沙特生育了众多伊斯兰大学科学研究资助这项工作通过研究小组。RG-21-09-04。