文摘
本文的目的是研究的应用里奇曲率不平等扭曲产品累积量产品子流形的微分方程。更准确地说,通过分析博赫纳的公式对这些不平等,我们表明,在某些情况下,这些子流形的基础是欧几里得空间等距。我们还看某些微分方程的影响扭曲产品累积量产品子流形和显示,基本是一种特殊类型的等距扭曲一些几何条件下的产品。
1。介绍
主教和奥尼尔1评价集合管有负曲率的几何和注意到黎曼产品集合管有非负曲率。因此,他们想出了导管扭曲的推荐产品,描述如下。
考虑两个黎曼流形 和 与相应的黎曼度量和和 是一个积极的可微函数。如果和地图投影,这样吗 和 ,这被定义为 和 ,然后, 被称为扭曲产品歧管如果黎曼结构满足 对所有 这个函数代表的翘曲函数 扭曲的产品黎曼流形是一个特例产品翘曲函数的歧管 。主教和奥尼尔的研究1)透露,这些类型的集合管有一个广泛的应用在物理和相对论。众所周知,翘曲函数是一些偏微分方程的解决方案;例如,爱因斯坦场方程的方法可以解决扭曲产品(2]。扭曲的产品也适用于研究时空黑洞附近(3]。
另一方面,黎曼流形上微分方程的分析一些重要的几何和等距的内在属性。众所周知,分类微分方程的黎曼流形的一个主要对全球的影响分析。Tanno [4]探讨黎曼流形上微分方程的各个方面在1978年。微分方程的方法是使用的作者(5,6)来描述欧几里得球体。这些计算表明,一个非常数的函数在一个完整的黎曼流形 满足微分方程如下: 当且仅当 欧几里得空间一致吗 在哪里是恒定的。
此外,在一些几何条件下,Garcia-Rio et al。6]证明了黎曼流形是等距的扭曲的产品 在哪里是一个完整的黎曼流形,是欧几里得线,是翘曲函数。此外,翘曲函数是下面的微分方程的解决方案: 当且仅当存在一个非常数的函数 用一个特征值 满足下列微分方程:
黎曼流形上微分方程的分类变成了一个有吸引力的研究对象,探索了不同的研究人员,例如,(7- - - - - -11]。
Al-Dayel et al。7最近调查了微分方程的影响(3黎曼流形上的) 使用concircular向量场,证明了黎曼流形 是等距欧几里得廖吗 。通过使用梯度向量场正形,Chen等人。12发现黎曼流形 是等距的欧几里得空间 。然而,它已被证明在13),完成完全真正的子流形(复射影空间)与里奇曲率满足有界(4)等距双曲空间的一种特殊形式。
后来,阿里et al。8]扭曲产品特征Sasakian空间形式的子流形的微分方程的方法。本文的目的是研究影响扭曲产品累积量产品子流形的微分方程广义Sasakian空间的框架形式。
2。预赛
一个 - - - - - -维 - - - - - -廖据说几乎接触结构是否存在一个张量场的类型 一个向量场 ,和一个1令人满意的
几乎接触度规管汇 ,总有一个黎曼度量满足以下要求: 对所有
据说几乎接触度规管汇近Sasakian歧管,如果 对所有
在[14),全部等人给广义Sasakian空间形式的概念,几乎接触公制管汇 的曲率张量满足 对于任何一个向量场 和某些可微函数 在 广义Sasakian空间形态与功能 用 。如果 , 然后 是一种Sasakian空间(14]。如果 ,然后 是一种Kenmotsu空间(14),如果 然后 是一种cosymplectic空间(14]。
一子流形一个几乎接触公制管汇叫做累积量(接触CR-submanifolds)如果存在两个正交的子流形互补分布和满足下列条件:(我) ,在哪里是由结构向量场张成的分布(2) 是不变的分布,即 (3) 是anti-invariant,即
最近,我们(15]研究扭曲产品累积量产品子流形的类型 同分异构地沉浸在广义Sasakian空间形式承认近Sasakian结构是一个不变的子簇的尺寸吗和是一个完全真实的子簇的尺寸吗 。更准确地说,这些子流形的曲率计算里奇不平等是如下:
定理1。让
是一个扭曲的产品累积量子流形等度规地沉浸在广义Sasakian空间形式
近Sasakian结构。然后,对于每个正交单位向量场
正交
,要么切或
,里奇曲率满足如下不等式:(我)如果
,然后
(2)如果
,然后
平等的情况下,可以看到在15]。
让是一个实值微分函数的黎曼流形
,然后博赫纳公式(16是说,
在哪里表示里奇张量和函数的黑森吗
。
3所示。主要结果
在本节中,我们获得一些表征博赫纳的公式的应用。
定理2。让 是一个 - - - - - -空间扭曲产品累积量产品广义Sasakian空间形式的子流形 在哪里是一个- - - - - -维不变的子流形,是一个anti-invariant子流形。这样里奇曲率 如果 并满足以下平等: 然后,基子流形是等距的(欧几里得空间)。
证明。自
,由方程(9)
的假设
我们有
自从利玛窦曲率下面是有界的,
,然后通过定理迈尔斯(17),基本歧管紧凑。积分(9),使用格林公式
或
假设表示翘曲函数的麻绳
,然后我们有
经过计算,上述公式转向
把
和集成对最后一个方程(体积元),我们得到的
使用(11与事实)
我们有
合并(19)和(20.),我们得到
的假设
上述方程收益率
使用(16),过去的不平等导致
如果(12),然后上面的不平等产生
因此,我们有
因此,应用程序的田代的结果(18),纤维是等距的(欧几里得空间)。
如果我们考虑单位向量场
,然后我们有以下结果,可以证明定理采取类似的措施2☐。
定理3。让 是一个- - - - - -空间扭曲产品累积量产品广义Sasakian空间形式的子流形 在哪里是一个- - - - - -维不变的子流形,是一个anti-invariant子流形。这样里奇曲率 如果 并满足以下平等: 然后,基子流形是等距的(欧几里得空间)。
现在,我们接下来的结果是基于研究Garcia-Rio et al。6]。
定理4。让 是一个扭曲的产品累积量产品广义Sasakian空间形式的子流形承认近Sasakian结构 。这样里奇曲率 。如果 并满足以下关系: 为 ,然后等距扭曲产品的类型翘曲函数 满足微分方程
证明。翘曲函数 ,定义以下方程 : 但是我们知道 和 使用这些事实,导致上面的方程 让是一个与特征值对应的特征函数令人满意的 我们有 此外,使用 很容易看到 的集成提供了 因此,我们有 选择 在(32),我们有 此外,集成(9)和应用绿色引理,我们发现 从上面的两个表达式,我们有 在使用的假设 为 同样, 通过假设(26),我们有 这是不可能的;因此, 通过跟踪上面的方程,我们得到的 现在,应用结果证明了在6),连同这一事实 是重要的,我们推断是等距扭曲产品的形式 ,在哪里是完整的黎曼流形。此外,翘曲函数微分方程的解决方案吗 因此,☐完成证明
同样,我们可以证明以下定理的单位向量场切线 。
定理5。让 是一个扭曲的产品累积量产品广义Sasakian空间形式的子流形承认近Sasakian结构 。这样里奇曲率 。如果 并满足以下关系: 为 ,然后,等距扭曲产品的类型翘曲函数 满足微分方程
4所示。结论
本文研究常微分方程的几何行为扭曲的产品累积量产品子流形。更准确地说,我们获得特征定理扭曲产品累积量产品的广义Sasakian空间形式通过黎曼流形上微分和积分理论。因此,本文提供了一个美妙的相关性理论的扭曲产品子流形的微分方程。
数据可用性
没有数据被用来支持本研究。
的利益冲突
作者宣称没有利益冲突有关的出版。