文摘

在本文,通过考虑高斯方程代替Codazzi方程,我们得到新的最佳不平等CR-warped产品子流形的第二基本形式到一个通用Sasakian空间形式。此外,不等式推广了一些不平等对各种环境的空间形式。

1。介绍

扭曲的产品集合管的基本思想是首先发起的(1)负曲率的集合管。让和是两个黎曼流形具有黎曼矩阵和 ,分别,这样 是一个积极的光滑函数 。然后,扭曲的产品 产品特征是多方面的吗 装备与度量 。特别是,如果 ,然后转向产品黎曼流形;否则,被称为一个非凡的扭曲产品多方面的。让 是一个重要的扭曲产品多方面的。然后, 对于任何一个向量场 和 。如果我们考虑当地标准正交坐标系 这样 和 ,我们有

在[2陈),建立了不平等的平方平均曲率和翘曲函数的规范CR-warped产品 ,在哪里是一个完全真实的子流形和是一个全纯子流形,同分异构地沉浸在一个复杂的空间形式如下。

定理1(见[2])。 CR-warped产品到一个复杂的空间形式在恒定的截面曲率 。然后, 在哪里的拉普拉斯算符 。此外,平等拥有当且仅当完全是测地线和完全是脐在 。

此外,定理1被扩展以广义Sasakian CR-warped产品子流形空间形式通过使用相同的技术。

定理2(见[3])。让是一个接触CR-warped产品广义Sasakian空间形式的子流形 这样的结构向量场廖是切线基地。然后,以下不平等是满足: 在哪里表示的拉普拉斯算子 。相等当且仅当是一个全测地子流形的 ;在这种情况下,是一种广义Sasakian空间的 。

此外,穆斯塔法等。4CR-warped产品召回一些基本问题在Kenmotsu空间形式简单的第二基本形式之间的关系,利用高斯方程的主要内在的不变量。在[5- - - - - -7),建立了一些尖锐的不平等扭曲产品的截面曲率点态semislant等各种空间形式的子流形Sasakian空间形式,cosymplectic空间形式,Kenmotsu空间形式,和一个复杂的空间形式的拉普拉斯算子和翘曲函数的平方标准点态偏沉浸。之后,几位几何学家1,2,4,8- - - - - -18)获得类似的不平等为不同类型的扭曲的产品在不同的结构。

Al-Ghefari et al。3]证明CR-warped产品类型的子流形的存在在trans-Sasakian导管。他们得到了一个不平等的第二基本形式与常数截面曲率的翘曲函数。此外,CR-warped产品的不存在的形式在广义Sasakian空间形式被证明在19]。

在这篇文章中,我们应当建立Chen-type CR-warped产品的不平等在广义Sasakian空间形式的子流形的考虑到重要的情况 。我们还发现一些应用程序紧凑的黎曼流形中的不平等的集合管上使用集成理论。我们的未来工作是结合本文所做的工作和技术奇点理论提出了(20.- - - - - -23探索新的结果导管。

2。预赛

几乎接触度规管汇 是一个奇维流形 ,赋予一个字段啤酒切线空间上的自同态的向量场 ,一个1和承认黎曼度量令人满意的 对于任何 。几乎接触度规管汇 据说trans-Sasakian歧管(cf。12,13)如果

对于任何 ,在哪里黎曼连接吗 。如果我们更换 和 在(8),我们发现 ,这意味着 。trans-Sasakian歧管,(8)意味着

备注3。我们分类trans-Sasakian廖以下列方式:(一)如果 和 在(8),trans-Sasakian歧管成为cosymplectic歧管(7](b)如果 和 在(8),这是一个Sasakian歧管(5](c)如果 和 在(8),这是一个Kenmotsu歧管(6](d) - - - - - -Sasakian歧管和 - - - - - -Kenmotsu时可以来源于tans-Sasakian廖廖 和 在(8),分别

给定一个几乎接触公制管汇 ,据说是一个广义Sasakian空间形式 如果存在三个功能 ,和在这样曲率张量是 对于任何 (24]。

备注4。特点如下:(一)如果 和 ,然后是一种Sasakian空间(25](b)如果 和 ,然后是一种Kenmotsu空间(6](c)如果 ,然后是一种cosymplectic空间(26]

让和切丛上的感应黎曼连接和正常的包子流形的一个几乎接触公制管汇 与感应度规 。然后,给出了高斯和温嘉顿公式 为 和 ,在哪里和第二基本形式和形状运营商 。我们的关系: 为 和 。对于任何切向量 和法向量 ,我们有 在哪里和切向和正常的组成部分是什么 ,分别。如果等于零,那么子流形被称为一个完全真实的子流形。的高斯曲率张量方程和在和 ,分别定义 对于任何 。平均曲率向量当地一个帧 的切线空间在被定义为

标量曲率对于一个黎曼子流形是由 在哪里 是部分的截面曲率平面和跨越和 。让是一个 - - - - - -平面部分,让 是一个标准正交基 。然后,曲率标量的是由

同样,我们分类黎曼子流形据说完全脐和完全测地线如果 和 ,分别对任何 。

此外,如果 ,然后是最小的在 。如果保存任何切线空间的切线向量场结构 ,也就是说, ,为每一个 ;然后,被称为一个不变的子流形。同样的,被称为一个anti-invariant子流形啤酒的切线向量场如果 ,为每一个 。概括这些定义,我们给出以下定义。

定义5。一子流形包括结构向量场一个几乎接触公制管汇 特点是联系CR-submanifold正交分布的一对吗和存在这样(我) ,在那里 是 - - - - - -张成的空间分布(2)分布是不变的,即 (3)分布是anti-invariant,即

如果的尺寸不变的分布和anti-invariant分布接触CR-submanifold 是和 ,分别,这样 ,然后是不变的,anti-invariant如果 。它被称为一个适当的接触CR子流形如果既不 也不 。正常的包的接触CR-submanifold不变子空间下可以分解为

是一个紧凑的可定向的黎曼子流形没有边界。因此,我们有 在哪里的体积元素吗(27]。

3所示。主要CR-Warped产品的不平等

我们提到,在接下来的研究中,我们应当考虑结构字段切扭曲产品的基地廖廖。在这主要部分,我们将联系CR-warped trans-Sasakian歧管产品子流形。

引理6。让 是一个CR-warped trans-Sasakian歧管产品子流形。然后, 为 , ,和

证明。从(11)(我),(8)和(5),我们得到 自完全是测地线在与 ,(9☐)暗示的结果

引理7。让 是一个从一个等距浸 - - - - - -维接触CR-warped产品子流形trans-Sasakian歧管 这样是不变的子簇的尺寸吗 切线 。然后,总是 - - - - - -最小的子流形的 。

证明。我们跳过上面的引理的证明由于相似定理4.2的证明(4☐。

通过帮助以上引理,可获得以下结果如下。

8号提案。假设 是一个等距浸入式的- - - - - -维接触CR-warped产品子流形成一个trans-Sasakian廖 。因此,(我)第二基本形式的平方准则满意: 在哪里的维度anti-invariant子流形和的拉普拉斯算符(2)平等适用于(22)当且仅当完全是测地线和完全是脐在 。此外,是最小的子流形的

证明。它可以很容易地证明了定理4.4的证明(4]如果我们考虑一个黎曼子流形CR-warped产品子流形,和基地歧管trans-Sasakian歧管代替Kenmotsu多方面的。
现在,我们使用命题证明我们的主要定理8对于一个广义Sasakian☐空间形态

定理9。让 是一个从一个等距浸- - - - - -维接触CR-warped产品广义Sasakian空间形式的子流形 。然后,第二基本形式是由 在哪里 , ,和是拉普拉斯算符 。平等适用于(23)当且仅当和完全是测地线和全脐子流形在吗 ,分别,因此,是一个最小的子流形的 。

证明。替换 和 在(10),我们得到 总结的正交向量场 ,它可以来自上面的 至于一个 - - - - - -维CR-warped产品子流形切 ,一个可以推出 从(15)(ii);我们获得 另一方面,通过帮助框架的领域 ,我们有 同样,我们认为不变的子流形切吗 。然后,使用的框架向量场 ,我们从(24) 因此,使用(26),(27)和(28在命题8,我们得到所需结果。平等的情况下遵循从命题8。因此,☐完成证明

4所示。几何应用

备注10。考虑 和 在定理9。的推广定理4.6 (4]的结果联系CR-warped产品Kenmotsu空间形式。

备注11。如果我们把 和 在定理9,那么它概括推论4.6 (5]。

评论12。如果 在定理9,然后定理9恰逢定理1.2 (26]。

推论13。让是一个调和函数 。然后不存在任何CR- - - - - -扭曲的产品子流形到一个通用Sasakian空间形式 与 。

推论14。假设是一个非负本征函数积极与相应的非零特征值。然后,不存在有任何CR-warped产品子流形到一个通用Sasakian空间形式 与 。

定理15。让 是一个紧凑的面向CR- - - - - -扭曲的产品到一个通用Sasakian空间形式 。然后,如果是一个简单的黎曼产品 在哪里 和 。

证明。从定理9,我们得到 我们获得 现在,如果 然后,从(31日),我们发现 这是不可能的一个积极的积分功能,因此, ,也就是说,是一个常数函数 。因此,通过扭曲的定义产品管汇,是微不足道的。反过来☐部分是简单的

推论16。假设 是一个CR- - - - - -扭曲的产品广义Sasakian空间形式的子流形 。让是一个紧凑的不变的子流形拉普拉斯算子的非零特征值 。然后,

证明。从最低原则财产,我们获得 从(23)和(35),我们得到了所需的结果(34☐)。

数据可用性

没有数据用于此手稿。

的利益冲突

作者声明没有相互竞争的利益。

作者的贡献

所有作者都平等的贡献和定稿。

确认

作者扩展他们的感谢院长以来哈立德国王大学科研经费申请这项工作通过一个研究小组计划授予R.G.P.2/71/41数量。