推广的(2+1)维KdV方程的混合有理团块孤立波解

摘要

基于双线性方法，通过三轴形式的辅助功能的不同假设构建延伸（2 + 1）-DimensionKDV方程的合理块和混合块孤波解。结果发现，在空间平面中的所有方向上的所有方向上的理性块衰减，并且其幅度具有一个最大和两个最小值。一种混合溶液描述了一个块和一条线孤波之间的相互作用，其在不同参数下表现出裂变和融合现象。另一种混合溶液显示出与两个平行线孤立波相互作用的一个块，其中块的进化产生了二维流氓波。这表明这三种有趣的现象存在于相应的物理模型中。

1.介绍

可积非线性系统的研究已成为波传播和数学物理研究的热点。可积系统大致描述了各种波在许多物理环境中的演化，包括具有弱非线性恢复力的浅水波、光纤和波导中的脉冲传播、密度分层海洋中的长内波和等离子体中的离子声波[1- - - - - -16.］．在积非线性波动方程的高维扩展，（2 + 1）维KdV方程或不对称广义Nizhnik-诺维科夫-Veselov（的AnnV）方程[17.］ 首先由Boiti等人在弱Lax对的意义上提出。该模型出现在不可压缩流体中，并被证明具有无穷多个守恒定律、多个孤子解和其他可积性[17.］．通过介绍两个术语和 在方程(1)，最近发展了一个广义的(2+1)维任意常系数KdV方程[18.］ 其描述了在等离子体中的离子声波，浅水波在海洋，和在大动脉脉冲波。这里， ， ，和是真正的常数。等式（2)简化为ANNV方程(1)当 和 变成经典的KdV方程 ．(2+1)维方程(2）通过的Painlevé测试调查，并通过简化算法广田推导其多孤子解[18.］．最近，Hirota双线性方法构造了大量有理块解、块波和扭结波组成的混合解、类环扭结呼吸解以及块与线孤子解相互作用[19.- - - - - -46.］．虽然这些结果也可以通过达布变换得到[47.- - - - - -50.，改进的扩展映射方法[1]，和直接代数方法[2]，双线性方法仍然是解决可积系统的有力工具。值得一提的是，Seadawy等。通过使用各种方法得到的许多积系统的一些新的精确解决方案，如延伸简单的等式方法和展开法(1- - - - - -16.］．对于Annv等式（1），该块的解决方案，混合一次性条纹的解决方案，和周期性块状解决方案已提交[19.］．

近年来，关于三线性形式的研究成为一个热点。三线性形式是Hirota双线性形式的扩展[51.］．一组研究可积系统的学者发现，非线性偏微分方程的一些新的解析解可以通过三线性微分方程得到[52.，53.］．因此，我们的目标是构建理性疙瘩和一次性孤立波解扩展（2 + 1）维KdV方程（2)通过三线性形式。

本文的其余部分安排如下。在部分2，我们首先转换扩展（2 + 1） - 二维KDV方程（2）通过某些可变变换和构建精确的合理块溶液的三线性形式。由一个块和一条线孤波组成的混合溶液是截面的3.．部分4致力于研究由一个团块和两个线孤波组成的相互作用解，它可以看作是由线孤波对激发的二维异常波。

2.块解决方案

通过因变量变换 ，扩展（2 + 1）维KdV方程（2）被变换为下面的三线性形式： 在哪里 和广田双线性运营商 ， ，和定义为[54.］

为了找到方程的合理块状解（2），我们设置了辅助变量在方程(3.）作为以下形式： 与

在哪里 为实际参数，将予以确定。基于符号计算，我们替换假设方程（6）进入三线性方程（3.），然后收集自变量的系数 ， ，和 ．因此，一个人有一组关于参数的代数方程 ．要解决这些等式，可以获得参数关系，如下所示：

这反过来导致理性的块状解决方案 在哪里的功能和式(6）参数的条件（8)和(9）.保证该功能是很好的定义和解决方案在方程(10.）衰变在各个方向 平面，这些参数受三个条件限制： 和 ．

对于当地分析，我们发现合理的块解决方案在方程(10.)具有最大振幅 ，它以点为中心

结果表明，该合理块体沿路线运动 ： 并与速度 和 ，分别。

特定块的结构和它的移动路径图中示出1．使用给定参数的值，如图1(一)显示有理肿块方程的三维图(10.)时间 ，和图1 (b)对应于在不同的时间，其表现出的块的移动轨迹的轮廓曲线。直接计算表示该图所示的块状1沿着直线运动 ，它的速度是 ， ，其最大振幅为 ．

3.由一个有理团块和一条线孤波组成的混合解

为了构建由一个有理块和一条线孤波组成的混合解决方案，我们使用以下假设功能 ： 在哪里 ， ，和 为实际参数，将予以确定。这里，Rational和指数函数分别负责理性块和线孤波。类似于纯粹合理的肿块的情况，一个需要收集系数 ， ，和而代方程后指数函数（12.)变成方程式(3.）.然后，我们有一组关于参数的代数方程 ， ，和 ，其中参数的关系如下: 与 为 ．这又导致了由一个团块和一个线孤波组成的混合溶液 在哪里

这里， ， ，和由方程定义（12.)与参数的关系(13.）, (14.)和(15.）.方程中的受限制条件（16.)能够形成块波，并保证函数的规律性 ．

在一个块和一条线孤立波之间的相互作用过程中，裂变和融合现象[55.，56.将显示在不同的参数下。如果我们将和为常数时，混合解方程的结构(16.）可以解释如下。当时间的时间分 ，指数术语是主导的，只有线孤立的波浪 ，而有理项占主导地位，有理块出现 ．因此，这种相互作用过程对应于裂变现象。相反，时间系数为负产生了融合的现象。为了说明这种类型的混合溶液的，我们通过图的三维绘图表现出裂变现象2和图中相应的轮廓图3.．可以清楚地看到，首先只有一条线孤波存在，然后逐渐出现一个有理团块。虽然本文研究的可积系统与文献中的可积系统不同。［55.，56.，它们有相似的聚变和裂变现象。

4.由一个有理团块和两条线孤立波组成的混合解

在这一节中，我们试图构造由一个有理块和两条线孤立波组成的混合解。这种类型的相互作用溶液将同时描述裂变和聚变现象。根据上一节，我们需要假设函数形式如下: 在哪里 ， ，和 为实际参数，将予以确定。这里，有理项和指数项分别支持有理块和线孤子对。如前所述，参数之间的关系如下: 与 为 ．这反过来又给出了由一个团块和两条线孤立波组成的混合解 与

这里， ， ，和由方程定义（18.)与参数的关系(19.）, (20.）, (21.)和(22.）.在此相互作用过程中，用方程(23.），裂变和融合现象将在某些参数的值下发生。因此，可以认识到，只在某个区域或特定时间段内观察到块。更确切地说，通过设置和作为混合溶液方程中的固定常数（18.），一个可以给简单的分析：

当时间趋近于无穷时，只有两条线孤波存在，当时间趋近于零时，团块出现并达到最大振幅。因此，块体的演化与异常涌浪的特征一致:发生时间短，振幅大。有理团块被识别为起源于线孤子对的二维异常涌波。这类混合溶液在不同时间点的三维图及相应的等高线图如图所示4和5,分别。可以看出，在演化过程中，团块表现为异常波，而线孤子对的形状保持不变。整个相互作用意味着一个二维流氓波是由两个平行的线孤立波激发的。

5。结论

在本文中，我们通过使用双线性方法构建了延伸（2 + 1）-dimensional KDV方程的合理块和混合块孤立波解。在适当的变换下，首先将延伸的（2 + 1） - 二维KDV方程变为三线性形式。然后，通过假设辅助功能作为二次和指数函数来导出三组精确解决方案。第一种溶液由纯合理形式给出，它具有一个最大和两个最小值，并且其峰值在空间平面中的所有方向上衰减。数字1显示直观明确地显示块波的这些特征。第二种解决方案是由混合的理性指数函数表示，其在一个块和一条线孤波之间表现出裂变和融合现象。等式（16.)给出了第二种解的具体数学表达式，并给出了图2和3.细说这些有趣的裂变和聚变现象。最后一个包含一次性和两行的孤波;在图所示的这些本地波相互作用5能够描述从Line Soliton对激发的二维流氓浪潮。因为扩展（2 + 1）的KDV方程描述了等离子体中的离子声波，海洋中的浅水波，以及大动脉中的脉搏，我们认为在相应的物理模型中存在裂变和融合现象。

数据可用性

没有数据来支持这项研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

基金会增强计划基金（2019-JCJQ-JJ-012）支持这项工作。

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