具有广义时间-非局部剪切应力的倾斜多孔圆柱管内磁流体动力脉动血流研究

抽象的

本文讨论了横脉络压力梯度在横向磁场的存在下通过倾斜锥形圆柱形管的非定常血流的影响。分数微积分技术用于提供分数衍生物的血流数学模型。使用整体变换（LAPLACE和UNITITE HANKEL TRANSFORMS）找到控制方程的解决方案。对于半角质解决方案，通过施蒂斯特和Tzou的算法发现了逆拉普拉斯变换。使用Mathcad软件执行数值计算。根据调查结果，通过Hartmann数，倾斜角度，分数参数，渗透率参数和脉动压力梯度频率显着影响。推导出它在雷诺数的大小小且大的情况下，在较高的时间内的流动速度存在显着差异。

1.介绍

血液流向动脉在医学研究中很重要。计算血流模拟跨血管是一种整合和解释临床结果的工具。可以预测特定的血流动力学，这有助于疾病的检测。通过决定血管的形状和设计，它还可以帮助开发模拟或改变血管的仪器。脉动压力梯度对多狭窄动脉血流运动的影响是流体动力学和生物物理学研究的难点之一。在Hatami等人进行的分析中[1，血液被认为是通过中空多孔血管输送金纳米颗粒的三级非牛顿流体，结果表明，MHD (megnotohydrodynamics)参数的大小的增加对应着速度分布的减少。Amlimohamadi等人研究了考虑血液非牛顿黏度和磁化力和洛伦兹力的狭窄几何形状下血液流动的瞬态流体动力学方程。[2］.他们研究了真实的心跳率，随时间变化的入口速度变化，以及磁场对不同心脏周期的影响。在外部磁场存在的情况下，Alimohamadi和Imani进行了有限元模拟[3.以观察狭窄动脉的搏动血流情况。

一种简单的理论，可以在罗伯特找到通过泵的磁力动力学血液流动的理论[4.， Korchevskii和Marochnik [5.)在一个明确的科学报告的影响磁场对血液流动,流的血分支动脉,用定期的身体血液流动加速,在倒塌的静脉血流,滑移速度的影响因素在微循环血液的流动,曲线边界对温度分布、代谢热产生和血液流动的综合影响已由[6.-11］.Tzirtzilakis [12在磁场存在下研究了血流的数学模型。与磁性流体动力学，铁流体动力学的原理一致，涉及电导率，Mekheimer [13讨论了均匀磁场对蠕动血流模型的影响。Jain等人提出了磁场影响下狭窄和狭窄动脉中血流的数学控制模型[14］.Varshney和Gaurav对磁场作用下狭窄管中的血流进行了数值研究[15］.许多其他论文在狭窄的动脉中讨论了血流量模型[16-19］.

夏尔马等人给出了磁场对通过圆形管存在磁颗粒时血液参数的影响[20.］.通过Zafar等人研究了通过磁性性质圆管的两相血流。[21］.他比较了经典模型的解析解和半解析解。Shah等人已经在柱状结构域找到了含有分数阶导数和磁性纳米颗粒的血液流动模型的精确解[22］.

通过多孔介质的流动具有广泛的工业应用。Sinha等人研究了在横向磁场的影响下，通过几个狭窄多孔动脉的血流[23］.Ramamurthy和Shanker研究了磁性流体力学MHD血液通过多孔血管的流动[24］.Eldesoky和Mousa介绍了蠕动非牛顿Maxwell流体通过多孔管的流动[25］.

在生物工程中，倾斜介质中的蠕动血流是一个有用的模型。因此，发表了许多关于蠕动血流模型的研究。通过引入通过多孔动脉介质的不稳定脉动血流的计算研究参见[26］.对所提到的主题的一些重要贡献在[27-30.］.一般情况下，分数阶导数模型是通过整数阶导数与非整数阶导数的交换得到的。

分数阶动力学系统在流体流动模型研究中具有广阔的应用前景。在建筑和制造中，分数阶微积分方法被用来获得物理概念的有用概括。许多学生对用分数动力学来解决经典动力学中的问题感兴趣。然而，Riemann-Liouville和Caputo分数阶导数是常用的，这种推广可以通过使用其他不同的分数阶方法/定义来实现[31那32］.

许多模型使用分数微积分来解决流体流动问题[33那34］.在2016年，Shah等人。[22]使用Caputo-Fabrizio衍生物在圆柱体中获得脉动血流的精确解。在该研究中，Laplace和Hankel变换成功地用于进一步解决动量和能量方程。在该研究中，忽略了MHD，多孔介质和倾斜表面的影响。Shah等人的激励。[28，得到了蠕动压力梯度下倾斜多孔管内非稳态磁流体血液流动的解析解和半解析解。利用拉普拉斯变换方法进行了分析，并进行了一些有价值的预测。对于半解析解，由于拉普拉斯变换的速度表达式为修正贝塞尔函数的复形式，因此通过Mathcad用数值包计算其拉普拉斯逆变换。因此，用解析法求拉普拉斯逆变换几乎是不可能的。为了证明我们得到的拉普拉斯逆变换结果的准确性，将这些结果与另外两种拉普拉斯逆变换数值算法作了比较，称为Stehfest [35]而Tzou [36)算法。最后，详细讨论了相关物理参数的影响。

2.问题的表述

考虑倾斜锥形轴对称圆柱管的半径在多孔介质中不稳定的脉动血液流动。

数字1说明受均匀横向磁场作用的流体在垂直于管的方向上的行为。没有考虑感应磁场和外加电场。柱坐标系 是由 -沿着动脉中心和动脉中心的轴横向于它。通过倾斜锥形动脉通过以下控制方程定义的倾斜锥形动脉的非定常磁力流体动力不可压缩的流动： 在哪里是流体的速度矢量，流体密度， 是物质时间衍生物，和是身体的外力。麦克斯韦方程写成 在哪里是磁导率，是目前的密度，是磁场，和是电场。电流密度可以用欧姆定律表示为[37] 在哪里为电导率。电磁力可以表示为 在哪里单位向量在吗方向,= 为血液沿圆柱管轴线的速度。柱极坐标下流动运动控制方程[20.-22那38是由 形式的压力梯度为 那 和脉动收缩压或舒张压的振幅是否有梯度是脉冲的频率。以上模型也可以写作

下面是动脉壁上血液必须满足的边界条件

让我们介绍以下无量纲变量： 在哪里是特征速度，和为特征时间。利用上述无量纲变量和参数，剔除后EQS中的符号。（6.），（7.）， 和 （8.）， 我们获得 在哪里 表示哈特曼数， 描述雷诺数，和 为倾角参数。

在下文中，我们开发了一个分数模型，其中古典构成型EQS。（9.） 和 （11)用本构剪应力方程进行了推广 由Scott-Blair提出[39］.Caputo阶分数阶导数公式被定义为[40] 在哪里表示伽玛函数。

使用eq。（12）在方程。（10）， 我们获得

3.分析解决方案

对Eq作拉普拉斯变换(13）， 我们获得

将有限Hankel变换应用于Eq. (16)，并利用Eq. (12）， 我们获得 在哪里 是函数的有限汉克尔变换吗 和 那 方程的正根是多少 那和是第一类零阶贝塞尔函数。

使用系列公式 ,情商。17）可以写成

将拉普拉斯逆变换应用于Eq. (18）， 我们获得 在这里表示和的卷积积 是Lorenzo和Hartley的广义g函数[41］.

对Eq进行汉克尔逆变换(19）， 我们获得

4.半角质解决方案

对Eq作拉普拉斯变换(13）， 我们获得

通过重新安排Eq. (22),我们有 在哪里 ．

上述非均匀二阶差分方程的溶液。（23)，利用初始和边界条件(12）在转换域中写入

通过编写 在合适而简单的形式下，我们可以用传统的方法求它的拉普拉斯逆变换，但Eq. (24)是一种复杂形式的修正贝塞尔函数，在一些实际应用中不容易使用。此外，数值拉普拉斯方法被认为是计算分数阶微分方程的有效工具。Sheng等[42]报道了数值拉普拉斯逆变换算法对分数阶微分方程是有效和可靠的。Stehfest的算法(31]成功地被Tong等人使用[43和Jiang等人[44］.因此，在本文中，我们将拉普拉斯逆变换法的数值算法应用于Eq. (24)，并分析流动特性。Stehfest的公式定义为 在哪里为正整数。 和表示整数值函数或括号函数。

邹氏公式可定义为

转化等式的数值解。（24)，通过使用算法(25） 和 （27)，结果以表格形式列出。

5.数值结果和讨论

在本节中，流体流动的物理参数分析如图所示2-6.．

在图2，我们呈现了分数参数的效果对于不同的小而大的时间值 ．从图2（a）结果表明，在较短的时间内，普通流体速度大于分数流体流速。而随着时间的增加，流体流速减小。在图2 (b)，影响与图相反2（a），因为它需要大量的时间。进一步尝试通过使用Animasaun和Pop提出的数据点的线性回归斜率来量化对速度剖面的影响[45］.在动脉之间( )，看到最佳效果 通过以已知的速度和Caputo分数衍生物的数据的数据倾斜 ．什么时候 那还注意到速度场的减小，并且使用与此方法相同的方法估计速率 ．由于奇异核的分数阶导数对于小值和大值的时间 那流动有相反的影响。值得注意的是，分数阶参数的影响如本研究报告的备份中报告的参考文献。[46[哪种情况下，在具有用非内衍生物与非线性衍生物的具有指数加热的无限垂直板上的分数粘性流体的热传递进行刻意。连续，雷诺数的影响如图所示3.，对于大大小小的时间值。推导出，当 和 ．在最初的时间( )，时，流速随Caputo分数阶导数的阶数而增大 和 那参见图3(一个)．值得注意的是，在雷诺数的较大值下获得最大速度场。在更大的时间值，有趣的是揭示保证速度场的减少，见图3 (b)．什么时候 那通过以已知的速度和Caputo分数衍生物的数据的数据倾斜 ．但是，当 那使用回归线的斜率量化速度场的减小速率。 ．

多孔性参数的影响如图所示4.，对于大大小小的时间值。在较短的时间内，可以看到，由于孔隙参数的大小的增加，速度增加 ．对于大的时间值，有趣的结果发现，在圆柱介质中分数阶参数因小于0.7而增大 那另一方面，速度增加，当分数参数大于0.7时，速度增加 那速度降低。数字5.揭示了哈特曼数的影响 ．据观察，通过增加的价值 那发现流体的速度是越来越多的函数 和函数下降 ．物理上，速度场中的可忽略不计的效果可以追溯到洛伦兹力在初始时间内没有完全实现的事实。倾斜参数的效果是表示的6.．从图中可以清楚地看出6(一)通过增加…的价值通过考虑较小的时间值，速度增加 ．通过增加时间的值 那影响的影响更多。

在表中1和2，我们在EQ中的分析解决方案进行比较。（21）使用数字算法，命名为stehfest的[35]而Tzou [36)算法。发现EQ中的分析解决方案。（21)与邹的算法基本一致。

6.结论

研究了均匀磁场对倾斜多孔管内蠕动压力梯度血流不稳定的影响。利用拉氏变换技术发现了解，分析得出了一些有用的预测。对于半解析解，由于拉普拉斯变换的速度表达式为修正贝塞尔函数的复形式，因此通过Mathcad计算了拉普拉斯逆变换。因此，用解析法求拉普拉斯逆变换是非常困难的。为了证明我们所得结果的准确性，我们将所得结果与另外两种拉普拉斯逆变换数值算法进行了比较，称为Stehfest [33]而Tzou [34)算法。详细讨论了相关物理参数的影响。以下是本研究的一些主要结果:（1）对于较小的时间值，采用分数参数与速度字段成反比，它显示了更大时间值的相反行为（2）当雷诺数的幅度小而大时，在较高的时间内的流动速度存在显着差异（3）渗透率和倾角的影响与速度场与磁场的影响相反。通过增大这些参数，得到了较高的速度场（4）Hartman号对流量的速度有双重影响，因为洛伦兹力在初始时间的影响是无穷无尽的（5）通过比较Eq. (21)，采用Stehfest算法和Tzou算法，发现Eq. (21)与邹的算法基本一致

数据可用性

用于支持本研究结果的数据可根据要求可从相应的作者获得。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者感谢哈立德国王大学科学研究系主任通过研究小组项目资助了这项工作。RGP.1/324/42。

参考

1. H.Tapami，J. Hatami和D.D.Ganji，“MHD血液输送金纳米颗粒的计算机模拟为3级非牛顿纳米流体中的空心多孔容器”生物医学的计算机方法和程序，卷。113，没有。2，pp。632-641,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术
2. H. Amlimohamadi, M. Akram, K. Sadeghy，“卡森流体通过局部狭窄多孔通道的流动:数值研究”，Korea-Australia流变学杂志，卷。28，不。2，pp。129-137,2016。视图:出版商的网站|谷歌学术
3. H. Alimohamadi和M. imani，“二维脉动血流的有限元模拟通过狭窄的动脉在外部磁场存在下，”国际工程科学与力学计算方法杂志，第15卷，第5期。第4页，第3 - 4页，2014。视图:出版商的网站|谷歌学术
4. v·c·罗伯茨(V. C. Roberts)，“磁流体动力泵血”，医学、生物工程和计算机，卷。10，没有。1，pp。57-59,1972。视图:出版商的网站|谷歌学术
5. M. Korchevskii和L. S. Marochnik，“血液运动的磁流体力学版本”，生物物理学，卷。10，pp。411-414，1965。视图:谷歌学术
6. V. a . Vardanyan，《磁场对血液流动的影响》生物物理学，第18卷，515-521页，1973年。视图:谷歌学术
7. P. K. Suri和R. Suri Pushpa，《动脉分支的血液流动》印度纯粹和应用数学杂志，第12卷，907-918页，1981。视图:谷歌学术
8. P. Chaturani和V. Palanisamy，《伴随着身体周期性加速的血液搏动》，国际工程科学杂志，卷。29，不。1，pp。113-121,1991。视图:出版商的网站|谷歌学术
9. K. W. Chow和C. C. Mak，“一个简单的二维血管崩溃血流模型，”数学生物学杂志号，第52卷。6，第733-744页，2006。视图:出版商的网站|谷歌学术
10. D. Pal, N. Rudraiah和R. Devanathan，“膜表面滑移速度对微循环中血液流动的影响”，数学生物学杂志，卷。26，不。6，PP。705-712,1988。视图:出版商的网站|谷歌学术
11. D. F. Jamil, S. Saleem, R. Roslan等，“Caputo-Fabrizio分数导数分析倾斜狭窄动脉中的非牛顿磁性卡森血流”，生物医学的计算机方法和程序，第203卷，第I106044条，第106044,2021年。视图:出版商的网站|谷歌学术
12. E. E. Tzirtzilakis，“磁场中血流的数学模型”流体物理学，卷。17，不。7，2005年第077103号。视图:出版商的网站|谷歌学术
13. K. S. Mekheimer，“磁场作用下非均匀通道内血液的蠕动流动”，应用数学与计算，卷。153，不。3，pp。763-777，2004。视图:出版商的网站|谷歌学术
14. M. Jain, G. C. Sharma和A. Singh，“非常狭窄毛细血管中MHD血流的数学分析”，国际米兰。j·英格。交易B， vol. 22, pp. 307 - 315,2009。视图:谷歌学术
15. V. K. G. Varshney, V. Katiyar, S. Kumar，“磁场对多发性狭窄动脉血流的影响:一项数值研究，”国际工程，科学技术杂志，卷。2，不。2，pp。67-82，2010。视图:出版商的网站|谷歌学术
16. K.S.Mekheimer，T. ElnaqeeB，M.A.EL KOT和F. Alghamdi，“通过重叠狭窄动脉的磁场和金属纳米颗粒同时效果”，通过重叠的狭窄动脉：血流模型，“物理论文，卷。29，不。2，pp。272-283,2016。视图:出版商的网站|谷歌学术
17. T. Elnaqeeb, K. S. Mekheimer，和F. Alghamdi，“通过导管导管的轻度狭窄动脉血栓形成的铜血流量模型，”数学生物科学，第282卷，135-146页，2016。视图:出版商的网站|谷歌学术
18. T. ElnaqeeB，N.A. Shah和K. S. Mekheimer，“金纳米粒子血流的血流动力学特性通过具有可变纳米流体粘度的锥形狭窄的血管，”Bionanoscience.，第9卷，第5期。2, pp. 245-255, 2019。视图:出版商的网站|谷歌学术
19. T. Elnaqeeb，“au (NPs)-在径向磁场下经导管狭窄动脉的血流模型，”欧洲物理杂志专题，卷。228，没有。12，pp。2695-2712,2019。视图:出版商的网站|谷歌学术
20. S. Sharma, U. Singh和V. K. Katiyar，“磁场和圆柱形管中的磁颗粒对血液流动参数的影响”，磁性与磁性材料学报， vol. 377, pp. 395-401, 2015。视图:出版商的网站|谷歌学术
21. A. A. Zafar，N. A. Shah和I. Khan，通过磁性特性圆管的两相流动，“磁性与磁性材料学报，第477卷，第382-387页，2019。视图:出版商的网站|谷歌学术
22. N. Ali Shah, D. Vieru，和C. Fetecau，“分数阶和磁场对圆柱形域内血液流动的影响”，磁性与磁性材料学报，第409卷，第10-19页，2016。视图:出版商的网站|谷歌学术
23. J.C.Misra，A. Sinha和G. C. Shit，“在外部磁场存在下具有双缩减的多孔容器中血流的数学建模”国际生物数学杂志，卷。4，不。2，pp。207-225，2011。视图:出版商的网站|谷歌学术
24. G. Ramamurthy和B. Shanker，“通过多孔通道的血液流动的磁流体力学效应”，医疗与生物工程与计算，第32卷，第2期6，第655-659页，1994。视图:出版商的网站|谷歌学术
25. I. M. Eldesoky和A.A.Mousa，“一个可压缩的非牛顿最长型液体流体通过管中的多孔介质，”国际生物数学杂志，第3卷，第2期。2，页255-275,2010。视图:出版商的网站|谷歌学术
26. I. M. Eldesoky，“对不稳定的MHD脉动血流通过在体内加速的动脉作用下通过多孔介质的血液流动，”国际数学和数学科学杂志， 2012，卷，文章编号860239,26页，2012。视图:出版商的网站|谷歌学术
27. K. Hosseinzadeh, S. Salehi, M. R. Mardani, F. Y. Mahmoudi, M. Waqas，和D. D. Ganji，“考虑MHD和热辐射的纳米生物对流流体运动微生物和纳米颗粒流动的研究”，医学信息学解锁2020年，第21卷第100462条。视图:出版商的网站|谷歌学术
28. K. Hosseinzadeh, S. Roghani, A. R. Mogharrebi, A. Asadi, D. D. Ganji，“通过辐射和磁场的影响，在八角形多孔介质中混合流体流动的混合纳米颗粒的优化”，热分析与量热计杂志，卷。143，不。2，pp.1413-1424,2021。视图:出版商的网站|谷歌学术
29. M. Inc和a . Akgul，“MHD挤压流体流动的一种新方法的近似解”，边值问题，卷。2014年，没有。1，2014年第18,18,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术
30. J. V. Ramana Reddy, D. Srikanth, and S. V. S. S. N. V. G. Krishna Murthy，“导管内不对称狭窄动脉搏动血流的数学模型——锥度和滑移速度的影响”，欧洲力学杂志 - B /液体，卷。48，pp。236-244,2014。视图:出版商的网站|谷歌学术
31. A. Akgul, D. Baleanu，和M. Inc，“关于分数阶微分方程的电流体动力学解的再现核方法”，开放的物理， vol. 128, pp. 218-223, 2017。视图:谷歌学术
32. r .帮助分数阶导数的三重介绍:反常输运， Wiley-VCHVerlag德国，2008。视图:出版商的网站
33. 王淑娟，“基于分数阶导数的非定常自然对流流动研究”，力学与工程学报，2017,35(4):594 - 598。计算与应用数学，第37卷，第2期4，第4931-4943页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术
34. N. a . Shah, T. Elnaqeeb, I. L. Animasaun，和Y. Mahsud，“利用Caputo时间分数导数深入了解垂直圆柱体的自然对流流动”，国际应用和计算数学杂志，卷。4，不。3，p。80,2018。视图:出版商的网站|谷歌学术
35. H. Stehfest，“算法368:拉普拉斯变换的数值反演[D5]，”ACM的通信，卷。13，不。1，pp。47-49，1970。视图:出版商的网站|谷歌学术
36. D. Y. Tzou，微尺度传热：滞后行为，泰勒和弗朗西斯，华盛顿，1997年。
37. S. S. Ardahaie, a . J. Amiri, a . Amouei, K. Hosseinzadeh，和D. D. Ganji，“研究在有磁场存在的多孔动脉血中添加纳米颗粒对血液流动的影响”，医学信息学解锁，第10卷，第71-81页，2018。视图:出版商的网站|谷歌学术
38. M.GHOLINIA，K.Hosseinzadeh和D.D.Ganji，“不同基础流体悬浮在具有正弦半径的垂直圆柱上的CNTS杂交纳米粒子”热工案例研究，第21卷，第100666页，2020。视图:出版商的网站|谷歌学术
39. A. Jaishankar和G. H. Mckinley，“散装中的权力法流变学和界面：准属性和分数构成方程”，“英国皇家学会学报A:数学、物理和工程科学，第469卷，第2期。2149，第20120284条，2012年。视图:出版商的网站|谷歌学术
40. M. Partohaghighi, M. Inc, M. Bayram，和D. Baleanu，“关于涉及atangana-baleanu-caputo导数的时间分数阶对流扩散方程的数值解”，开放的物理，卷。17，不。1，pp。816-822,2019。视图:出版商的网站|谷歌学术
41. c·f·洛伦佐和t·哈特利，分数阶微积分的广义函数, NASA / tp - 1999 - 209424 / REV1, 1999。
42. H. Sheng，Y. Li和Y. Q. Chen，“数值逆拉普拉斯变换算法在分数微积分”中的应用“富兰克林研究所杂志，第348卷，第2期。2, pp. 315 - 330,2011。视图:出版商的网站|谷歌学术
43. D. K. Tong，X. Zhang和X. Zhang，“广义oldroyd-B流体的不稳定螺旋流”非牛顿流体力学杂志CHINESE第一百五十六卷第一百五十六期1-2，第75-83页，2009。视图:出版商的网站|谷歌学术
44. 徐海峰，“超临界流体的电渗流特性研究”，中国科学(d辑:地球科学)微流体和纳米流体力学，卷。21，不。2017年1日。视图:出版商的网站|谷歌学术
45. I. L. Animasaun和I. POP，“催化表面反应在旋装抛光物的上水平表面上催化表面反应驱动的非牛顿古特流体流动的数值探索，在自由流处浮动和拉伸，”亚历山大工程杂志，卷。56，没有。4，pp。647-658,2017。视图:出版商的网站|谷歌学术
46. N. a . Shah, a . a . Zafar，和C. Fetecau，“垂直板上的自由对流对部分粘性流体施加剪切应力，”亚历山大工程杂志(第57卷)4, pp. 2529-2540, 2017。视图:出版商的网站|谷歌学术

版权

版权所有©2021 Nehad Ali Shah等。这是分布下的开放式访问文章创意公共归因许可证，允许在任何媒介上不受限制地使用、传播和复制，但必须正确引用原作。