关联的分数运算符 -利用拉普拉斯变换推广马修级数

摘要

在本文中，我们的主要目标是将分数积分算子 -变换的 -扩展马修系列。我们证明了 -变换变成经典拉普拉斯变换;然后，我们得到与拉普拉斯变换相关的积分。作为推论和结果，许多有趣的结果暴露在我们的主要结果之后。此外，在本文中，我们已经转换 -通过改变变量来转换成经典的拉普拉斯变换 ；然后，我们得到包含拉普拉斯变换的积分。

1.介绍

分数阶微积分是一个快速发展的数学领域，它揭示了分数阶导数和积分的关系。分数微积分是研究许多复杂的现实系统的有效学科。近年来，许多学者研究了包含各种特殊函数的分数阶积分和微分算子的性质、应用和推广。

费尔南德斯和Baleanu [1证明了许多其他命名的分数阶微积分模型都可以适用于Prabhakar定义的算子类，并且该类同时包含奇异算子和非奇异算子。它们还完全刻画了这些算子是奇异或非奇异的情况，以及它们可以被写成黎曼-刘维尔差分积分的有限和或无限和的情况，最终得到了具有不同性质的子类的目录。

Atangana和Baleanu [2提出了一种新的具有非局部非奇异核的分数阶导数。他们给出了新导数的一些有用性质，并将其应用于分数传热模型的求解。

Atangana和Koca [3.给出了导数与积分变换算子的关系。给出了新的结果。他们把导数应用于一个简单的非线性系统。详细地证明了分数阶系统解的存在唯一性。它们得到了局部导数所不能得到的混沌行为。

Atangana和Baleanu [4]利用一种新提出的分数阶导数，扩展了地下水通过被称为含水层的地质地层移动的模型。给出了分数阶Caputo-Fabrizio的可选导数。给出了两种导数之间的关系。利用积分变换对新方程进行了解析求解。因此，将精确解与从南非自由国家大学的沉降中获得的实验数据进行了比较。数值模拟表明，实验数据与部分分数阶数值的解析解是一致的。

Manzoor等人[5]使用了带有Caputo (MSM)分数微分的Beta算子，将扩展的Mittag-Leffler函数用Beta函数表示。他们在右边的MSM分数微分算子和左边的MSM分数微分算子上应用了Beta算子。他们还将Beta算子应用于带有Mittag-Leffler函数的右侧MSM分数阶微分算子和带有Mittag-Leffler函数的左侧MSM分数阶微分算子。

•(6]研究了分数阶期权定价模型的新解及其基本数学分析。本文的新颖之处在于分析了欧式期权定价模型的存在性和唯一性，给出了欧式期权定价模型的基本解，并结合经典的和广义的Mittag-Leffler核讨论了相关的分析。Yavuz和Abdeljawad [7]提出了非线性分数阶正则长波模型的基本解方法。由于解析方法不易应用于求解此类模型，因此数值或半解析方法在文献中得到了广泛的考虑。

Jena等人[8]采用了双杂交技术，即: -同伦分析Elzaki变换方法 -用HAETM和迭代Elzaki变换方法得到了Caputo意义下时间分数阶Navier-Stokes方程在极坐标下的数值解。 -HAETM是同伦分析方法和Elzaki变换方法的结合，而IETM是两种可靠方法的结合，即迭代法和Elzaki变换方法。

亚乌兹和赛尼[9解决了不可压缩二级流体模型的求解问题。为了证明所提模型的物理解释的充分性，主要研究了解的基本定性性质。他们使用了刘维尔-卡普托分数阶导数及其广义版本，在分析和研究中给出了更全面的物理结果。

•(10]分析了近十年来定义的两个不同的分数阶导数算子的行为。其中一个用归一化sinc函数(NSF)定义，另一个用Mittag-Leffler函数(MLF)定义。它们都有一个非奇异核。Yavuz和Bonyah [11利用指数律核函数和mittage - leffler核函数在Liouville-Caputo意义下研究了血吸虫病的分数阶动力学模型。利用拉普拉斯变换和Sumudu-Picard积分技术，利用迭代格式得到了两个算子的一些特殊解。建立了两个算子的唯一性和解的存在性。两种算子的数值解都表明，当α值小于1时，可以得到理想的结果。

杨(12第一次讨论了一类常数阶和变量阶的分数阶导数。从数学的角度建立了常数阶和变阶的分数阶松弛方程。给出了不同分数阶导数异常松弛的比较结果。杨(13，首次提出了具有非奇异幂律核的一般Riemann-Liouville和Caputo-Liouville分数阶导数。在一般分数阶导数的框架内，详细考虑了新的一般变形定律。利用拉普拉斯变换得到了一般分数阶Voigt和Maxwell模型的蠕变和弛缓行为。

该系列 被称为马修系列。第一个提出这种顺序的人是马修[14］．Emersleben [15]以优雅的形式给出了整体论证的本质意义

上述级数也由Choi和Srivastava写成Riemann-Zeta函数的表达式[16]，如下: 在哪里 和 ．

Cerone和Lenard的Mathieu级数的广义形式[17]的内容如下所示 在哪里 和 ；也可由Pogány等写成Riemann-Zeta函数的表达式[18]，如下: 在哪里 和 ．

把上面的等式记在心里，让 -扩展的Mathieu系列，由Pogany和Parmar [19被定义为 在哪里 , , ,和代表了 -Chaudhry等人的广义黎曼ζ函数[20.它的定义是 在哪里 和 ．

Shah等人[21]研究了新型冠状病毒-19在Caputo分数阶导数作用下传播动力学的分室数学模型。利用Schauder和Banach的不动点理论，建立了所研究模型至少有一个解存在的必要条件及其唯一性。在此基础上，建立了一种基于Haar配置法的通用数值算法来计算模型的近似解。

Sher等人[22]研究了当今威胁全球的新型冠状病毒(2019-nCoV或COVID-19)。他们考虑了一个分数阶流行病模型，该模型描述了分数阶导数非奇异核类型下COVID-19的动力学。利用Banach和Krasnoselskii型不动点定理讨论了模型的存在性。

定义1。如Pohlen所述[23),让 和 为二幂级数;然后定义幂级数的阿达玛乘积为 在哪里 在哪里和表示上述级数的收敛半径和 ,分别。因此，一般来说，需要注意的是，如果幂级数是解析函数，那么阿达玛乘积的级数也与解析函数相同。

定义2。高斯超几何函数或普通超几何函数Rainville [24定义良好的像 是用超几何级数表示的特殊函数吗 为““既非零也非负整数;然后，上面的符号是 同时, 和 ．

定义3。函数的拉普拉斯变换在时间间隔 却把[25]被定义为 在哪里 和 ．

定义4。指数阶函数的Elzaki变换[26]被认为是集合中的函数 ；我们得到了 对于集合中为常数的函数 , ,它一定是一个有限的数，所以有可能和是有限的还是无限的呢下面给出: 在哪里 ．

定义5。函数在有限区间内可积， ；如果存在一个实数" ,那么下面的每一个陈述都是正确的，so, as , 趋近于有限极限 ；同时,在这里, , 趋近于有限极限 ；然后, -变换, 存在时 , ．
库马尔变换的幂函数[27]和Nadir和Khan [28]的内容如下:

2.的 -转换与 -扩展马修系列

这里，我们计算了 -与 -扩展的Mathieu级数和它的某些情况下的推论形式。

定理6。让 -扩展的Mathieu级数6), 在哪里 , ,和 和被称为 -扩展的黎曼函数。现在，通过应用 -变换的 -扩展的Mathieu级数，我们想证明一下 在哪里 , , , ,和是高斯超几何函数，在Rainville的《特殊函数》一书中[24］．

证明。考虑 由于一致收敛，我们改变了积分和求和的顺序: 现在,改变通过 ,我们得到了 这里，通过使用方程(16),我们得到 此外,使用(18),我们有 由Rainville [24),我们有 现在，通过使用6)和(10),我们有 我们已经证明了 在哪里 , , , ,和为高斯超几何函数。

推论7。让 , ,和 ；那么，下面的关系成立;我们有 在哪里 , , ,和为高斯超几何函数。

推论8。让 , ,和 ；那么，下面的关系也成立: 在哪里 , , ,和为高斯超几何函数。

备注9。值得注意的是 减少到 当 ,进一步为 ；在上面的方程中，我们有如下的关系， ．这里，我们已经看到 -Transform对 -推广的Mathieu级数，推广的Mathieu级数，也适用于Mathieu级数。

3.特殊情况

这里，我们转换了 -通过改变变量来转换成经典的拉普拉斯变换 ；然后，我们得到包含拉普拉斯变换的积分如下所示。

推论10。让 , , ,和 ；则拉普拉斯变换公式成立，得到如下结果:

证明。 由于一致收敛，我们改变了积分和求和的顺序: 现在,通过改变来 ,我们得到了 使用方程(16),我们得到 现在，Rainville [24),我们得到 使用(6)和(10),我们得到 因此，我们得到了所需的结果 在哪里 , ,和 ,和 ．

推论11。让 , , ,和 ；然后，拉普拉斯变换公式成立，我们得到

推论12。让 , , ,和 ；则拉普拉斯变换公式为

的话13。因此，要突出的是 -变换通过移动变量，立即化为Elzaki变换 成 ．

4.结论

值得注意的是 -扩展的Mathieu级数在本质上更为一般化，通过扩展的形式可以很容易地推导出文献中定义的各种广义的Mathieu级数类型。类似地, -由Kumar定义的[27分数积分算子帮助我们把拉普拉斯变换表和Elzaki变换表转换成相应的变换表，反之亦然。

数据可用性

没有数据支持本研究。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

参考文献

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