raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AMP

数学物理进展

1687 - 9139<是年代npub-type="ppub"> 1687 - 9120

Hindawi

10.1155 / 2021/5523509

5523509

研究文章

关联的分数运算符 ք -利用拉普拉斯变换扩展Mathieu级数

https://orcid.org/0000-0002-9307-2171 Kahsay

Hafte Amsalu

https://orcid.org/0000-0002-1490-8576 汗

Adnan

汗

萨贾德

https://orcid.org/0000-0002-3312-4531 Wubneh

Kahsay Godifey

Salahshour

热天

^{1<一个ddr-line>
罗大学

自然科学学院

数学系

Dessie

埃塞俄比亚

wu.edu.et} ^{2<一个ddr-line>
国家工商管理与经济学院

拉合尔

巴基斯坦

ncbae.edu.pk}

2021

11<米onth> 6 2021

2021 3.<米onth> 3. 2021 6<米onth> 5 2021 11<米onth> 6 2021

这是一篇在知识共享署名许可下发布的开放存取的文章，它允许在任何媒体上无限制地使用、传播和复制，只要原始作品被适当地引用。

在本文中，我们的主要目标是将分数积分算子 P δ 变换的 ք 扩展马修系列。我们证明了 P δ -transform变成经典的拉普拉斯变换;然后，我们得到与拉普拉斯变换相关的积分。作为推论和结果，许多有趣的结果暴露在我们的主要结果之后。此外，在本文中，我们已经转换 P δ 通过改变变量，把-变换变成经典的拉普拉斯变换 ln δ − 1 年代 + 1 / δ − 1 ⟶ 年代；然后，我们得到包含拉普拉斯变换的积分。

1.介绍</tgydF4y2Baitle> <p>分数阶微积分是一个快速发展的数学领域，它揭示了分数阶导数和积分的关系。分数微积分是研究许多复杂的现实系统的有效学科。近年来，许多学者研究了包含各种特殊函数的分数阶积分和微分算子的性质、应用和推广。</p><p>gydF4y2Ba费尔南德斯和Baleanu [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B1"> 1</xref>gydF4y2Ba证明了许多其他命名的分数阶微积分模型都可以适用于Prabhakar定义的算子类，并且该类同时包含奇异算子和非奇异算子。它们还完全刻画了这些算子是奇异或非奇异的情况，以及它们可以被写成黎曼-刘维尔差分积分的有限和或无限和的情况，最终得到了具有不同性质的子类的目录。</p><p>一个t一个ng一个n一个和Baleanu [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B2"> 2</xref>gydF4y2Ba提出了一种新的具有非局部非奇异核的分数阶导数。他们给出了新导数的一些有用性质，并将其应用于分数传热模型的求解。</p><p>一个t一个ng一个n一个和Koca [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B3"> 3.</xref>gydF4y2Ba给出了导数与积分变换算子的关系。给出了新的结果。他们把导数应用于一个简单的非线性系统。详细地证明了分数阶系统解的存在唯一性。它们得到了局部导数所不能得到的混沌行为。</p><p>一个t一个ng一个n一个和Baleanu [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B4"> 4</xref>gydF4y2Ba]利用一种新提出的分数阶导数，扩展了地下水通过被称为含水层的地质地层移动的模型。给出了分数阶Caputo-Fabrizio的可选导数。给出了两种导数之间的关系。利用积分变换对新方程进行了解析求解。因此，将精确解与从南非自由国家大学的沉降中获得的实验数据进行了比较。数值模拟表明，实验数据与部分分数阶数值的解析解是一致的。</p><p>Manzoor等人[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B5"> 5</xref>gydF4y2Ba]使用了带有Caputo (MSM)分数微分的Beta算子，将扩展的Mittag-Leffler函数用Beta函数表示。他们在右边的MSM分数微分算子和左边的MSM分数微分算子上应用了Beta算子。他们还将Beta算子应用于带有Mittag-Leffler函数的右侧MSM分数阶微分算子和带有Mittag-Leffler函数的左侧MSM分数阶微分算子。</p><p>gydF4y2Ba•(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B6"> 6</xref>gydF4y2Ba]研究了分数阶期权定价模型的新解及其基本数学分析。本文的新颖之处在于分析了欧式期权定价模型的存在性和唯一性，给出了欧式期权定价模型的基本解，并结合经典的和广义的Mittag-Leffler核讨论了相关的分析。Yavuz和Abdeljawad [<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B7"> 7</xref>gydF4y2Ba]提出了非线性分数阶正则长波模型的基本解方法。由于解析方法不易应用于求解此类模型，因此数值或半解析方法在文献中得到了广泛的考虑。</p><p>耶拿等人[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B8"> 8</xref>gydF4y2Ba]采用了双杂交技术，即:<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-同伦分析Elzaki变换方法<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-HAETM)和迭代Elzaki变换方法(IETM)得到了Caputo意义下极坐标下时间分数阶Navier-Stokes方程的数值解。<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> 问</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-HAETM是同伦分析方法和Elzaki变换方法的结合，而IETM是两种可靠方法的结合，即迭代法和Elzaki变换方法。</p><p>gydF4y2Ba亚乌兹和赛尼[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B9"> 9</xref>gydF4y2Ba解决了不可压缩二级流体模型的求解问题。为了证明所提模型的物理解释的充分性，主要研究了解的基本定性性质。他们使用了刘维尔-卡普托分数阶导数及其广义版本，在分析和研究中给出了更全面的物理结果。</p><p>gydF4y2Ba•(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B10"> 10</xref>gydF4y2Ba]分析了近十年来定义的两个不同的分数阶导数算子的行为。其中一个用归一化sinc函数(NSF)定义，另一个用Mittag-Leffler函数(MLF)定义。它们都有一个非奇异核。Yavuz和Bonyah [<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B11"> 11</xref>gydF4y2Ba利用指数律核函数和mittage - leffler核函数在Liouville-Caputo意义下研究了血吸虫病的分数阶动力学模型。利用拉普拉斯变换和Sumudu-Picard积分技术，利用迭代格式得到了两个算子的一些特殊解。建立了两个算子的唯一性和解的存在性。两种算子的数值解都表明，当α值小于1时，可以得到理想的结果。</p><p>gydF4y2Ba杨(<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B12"> 12</xref>gydF4y2Ba第一次讨论了一类常数阶和变量阶的分数阶导数。从数学的角度建立了常数阶和变阶的分数阶松弛方程。给出了不同分数阶导数异常松弛的比较结果。杨(<xrefrefgydF4y2Ba-type="bibr" rid="B13"> 13</xref>gydF4y2Ba，首次提出了具有非奇异幂律核的一般Riemann-Liouville和Caputo-Liouville分数阶导数。在一般分数阶导数的框架内，详细考虑了新的一般变形定律。利用拉普拉斯变换得到了一般分数阶Voigt和Maxwell模型的蠕变和弛缓行为。</p><p>gydF4y2Ba该系列<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>被称为马修系列。第一个提出这种顺序的人是马修[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B14"> 14</xref>gydF4y2Ba］．Emersleben [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B15"> 15</xref>gydF4y2Ba]以优雅的形式给出了整体论证的本质意义<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> （2）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>上述级数也由Choi和Srivastava写成Riemann-Zeta函数的表达式[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B16"> 16</xref>gydF4y2Ba]，如下:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> （3）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p><p>CergydF4y2Baone和Lenard的Mathieu级数的广义形式[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B17"> 17</xref>gydF4y2Ba]的内容如下所示<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> （4）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；也可由Pogány等写成Riemann-Zeta函数的表达式[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B18"> 18</xref>gydF4y2Ba]，如下:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p><p>gydF4y2Ba把上面的等式记在心里，让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-扩展的Mathieu系列，由Pogany和Parmar [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B19"> 19</xref>gydF4y2Ba被定义为<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>代表了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-extended Riemann zeta函数的Chaudhry等[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B20"> 20.</xref>gydF4y2Ba它的定义是<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p><p>年代h一个h等人[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B21"> 21</xref>gydF4y2Ba]研究了新型冠状病毒-19在Caputo分数阶导数作用下传播动力学的分室数学模型。利用Schauder和Banach的不动点理论，建立了所研究模型至少有一个解存在的必要条件及其唯一性。在此基础上，建立了一种基于Haar配置法的通用数值算法来计算模型的近似解。</p><p>年代her等人[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B22"> 22</xref>gydF4y2Ba]研究了当今威胁全球的新型冠状病毒(2019-nCoV或COVID-19)。他们考虑了一个分数阶流行病模型，该模型描述了分数阶导数非奇异核类型下COVID-19的动力学。利用Banach和Krasnoselskii型不动点定理讨论了模型的存在性。</p><年代t一个te米entid="deff1"> <title>定义1。</tgydF4y2Baitle> <p>如Pohlen所述[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B23"> 23</xref>gydF4y2Ba),让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>为二幂级数;然后定义幂级数的阿达玛乘积为<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> （8）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> （9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> R</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> lim</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> →</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>表示上述级数的收敛半径<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,分别。因此，一般来说，需要注意的是，如果幂级数是解析函数，那么阿达玛乘积的级数也与解析函数相同。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff2"> <title>定义2。</tgydF4y2Baitle> <p>高斯超几何函数或普通超几何函数Rainville [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>gydF4y2Ba定义良好的像<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是用超几何级数表示的特殊函数吗<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> （10）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow></mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ！</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>为“<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>“既非零也非负整数;然后，上面的符号<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> （11）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⋯</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>同时,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff3"> <title>定义3。</tgydF4y2Baitle> <p>函数的拉普拉斯变换<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在时间间隔<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>却把[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B25"> 25</xref>gydF4y2Ba]被定义为<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> （12）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi> F</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff4"> <title>定义4。</tgydF4y2Baitle> <p>指数阶函数的Elzaki变换[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B26"> 26</xref>gydF4y2Ba]被认为是集合中的函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>；我们得到了<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> （13）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> Y</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> ：</米米l:mtext> <mml:mo> ∃</米米l:mo> <mml:mi> W</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mtext mathvariant="italic"> 我们</米米l:mtext> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> j</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对于集合中为常数的函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mi> Y</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> W</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>，它一定是一个有限的数，所以可能<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是有限的还是无限的呢<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mi> E</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>下面给出:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> E</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>．</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="deff5"> <title>定义5。</tgydF4y2Baitle> <p>函数<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在有限区间内可积，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> </mml:math> </inline-formula>；如果存在一个实数"<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>，那么下面的每一个陈述都成立，so, as<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ƛ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>趋近于有限极限<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> ƛ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>；同时,在这里,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ℏ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>趋近于有限极限<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:mi> ℏ</米米l:mi> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:math> </inline-formula>；然后,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>变换,<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> G</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>存在时<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mi> r</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>．</p><p>gydF4y2Ba库马尔变换的幂函数[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>gydF4y2Ba]和Nadir和Khan [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B28"> 28</xref>gydF4y2Ba]的内容如下:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> （16）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> η</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> </sec> <sec id="sec2"> <title>2.< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML " id = " M74 " > < mml: msub > < mml: mrow > < mml: mi > P < / mml: mi > < / mml: mrow > < mml: mrow > < mml: mi >δ< / mml: mi > < / mml: mrow > < / mml: msub > < / mml:数学> < / inline-formula >变换与< inline-formula > < mml:数学xmlns: mml = " http://www.w3.org/1998/Math/MathML "id = " M75 " > < mml: mi >ք< / mml: mi > < / mml:数学> < / inline-formula >扩展马修系列</tgydF4y2Baitle> <p>这里，我们计算了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>-transform与<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>扩展的Mathieu级数和它的一些特定情况下的推论形式。</p><年代t一个te米entid="thm1"> <title>定理6。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>扩展的Mathieu级数为(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 6</xref>gydF4y2Ba),<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>被称为<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>扩展的黎曼ζ函数。现在，通过应用<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>变换的<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-extended Mathieu级数，我们想证明一下<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> （18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>是高斯超几何函数，在Rainville的《特殊函数》一书中[<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>gydF4y2Ba］．</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="proof1"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p>考虑<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由于一致收敛，我们改变了积分和求和的顺序:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> （20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>现在,改变<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>通过<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>这里，通过使用方程(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 16</xref>gydF4y2Ba),我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>此外,使用(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq9"> 18</xref>gydF4y2Ba),我们有<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由Rainville [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>gydF4y2Ba),我们有<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ×</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在，通过使用<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 6</xref>gydF4y2Ba)和(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 10</xref>gydF4y2Ba),我们有<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们已经证明了<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> （26)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>为高斯超几何函数。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="coro1"> <title>推论7。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；那么，下面的关系成立;我们有<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>为高斯超几何函数。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="coro2"> <title>推论8。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；那么，下面的关系也成立:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> （28)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mrow> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:mi mathvariant="normal"> 最小值</米米l:mi> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mi> φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> </mml:math> </inline-formula>为高斯超几何函数。</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="rem1"> <title>备注9。</tgydF4y2Baitle> <p>值得注意的是<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>减少到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>当<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,进一步<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；在上面的方程中，我们有如下的关系，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> ζ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3.</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>．这里，我们已经看到<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>-transform对<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>扩展的Mathieu级数，广义的Mathieu级数，也适用于Mathieu级数。</p></年代t一个te米ent></sec> <sec id="sec3"> <title>3.特殊情况</tgydF4y2Baitle> <p>这里，我们转换了<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>通过改变变量，把-变换变成经典的拉普拉斯变换<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ⟶</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>；然后，我们得到包含拉普拉斯变换的积分如下所示。</p><年代t一个te米entid="coro3"> <title>推论10。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；则拉普拉斯变换公式成立，得到如下结果:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> （31)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</tgydF4y2Baitle> <p> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> （32)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ⋅</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>由于一致收敛，我们改变了积分和求和的顺序:<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> （33）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在,通过改变<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>来<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> （34)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使用方程(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 16</xref>gydF4y2Ba),我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq31"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>现在，Rainville [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B24"> 24</xref>gydF4y2Ba),我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> （36)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo movablelimits="false"> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ζ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使用(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 6</xref>gydF4y2Ba)和(<xrefgydF4y2Baref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 10</xref>gydF4y2Ba),我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mtext> l</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> H</米米l:mtext> <mml:mo> ．</米米l:mo> <mml:mtext> 年代</米米l:mtext> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此，我们得到了所需的结果<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq34"> <mml:mtd> <mml:mtext> （38)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> p</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ，</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>．</p></年代t一个te米ent><年代tatement id="coro4"> <title>推论11。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；然后，拉普拉斯变换公式成立，我们得到<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> （39)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="coro5"> <title>推论12。</tgydF4y2Baitle> <p>让<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> p</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>，<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi mathvariant="fraktur"> R</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>；则拉普拉斯变换公式为<d是p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq36"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40）</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi mathvariant="script"> l</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ；</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> Γ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∗</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mtable> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ，</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> σ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> ；</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ．</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="rem2"> <title>的话13。</tgydF4y2Baitle> <p>因此，要突出的是<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>-transform通过移动变量立即简化为Elzaki变换<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mi mathvariant="normal"> ln</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>成<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>．</p></年代t一个te米ent></sec> <sec id="sec4"> <title>4.结论</tgydF4y2Baitle> <p>值得注意的是<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-extended Mathieu级数在本质上更为一般化，文献中定义的各种广义Mathieu级数可以很容易地通过扩展形式导出。类似地,<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> P</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> δ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>-由Kumar定义的transform [<xrefgydF4y2Baref-type="bibr" rid="B27"> 27</xref>gydF4y2Ba分数积分算子帮助我们把拉普拉斯变换表和Elzaki变换表转换成相应的变换表，反之亦然。</p></年代ec><b一个ck> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</tgydF4y2Baitle> <p>没有数据支持本研究。</p></年代ec><年代ec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</tgydF4y2Baitle> <p>作者声明他们没有利益冲突。</p></年代ec><ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 费尔南德斯</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Baleanu</年代urn一个米e><given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 分数阶微积分中的算子类:一个案例研究</一个rticle-title> <source> <italic> 应用科学中的数学方法</gydF4y2Baitalic> <year> 2021</ye一个r><volume> 44</gydF4y2Bavolume> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / mma.7341</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Atangana</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Baleanu</年代urn一个米e><given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 新的非局部非奇异核分数阶导数:理论及其在传热模型中的应用</一个rticle-title> <source> <italic> 热科学</gydF4y2Baitalic> <year> 2016</ye一个r><volume> 20.</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是年代ue><fp一个ge>763</fp一个ge><lpage> 769</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2298 / TSCI160111018A</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84971631213</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Atangana</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Koca</年代urn一个米e><given-names> 我。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 具有分数阶Atangana-Baleanu导数的简单非线性系统中的混沌</一个rticle-title> <source> <italic> 混沌，孤子和分形</gydF4y2Baitalic> <year> 2016</ye一个r><volume> 89</gydF4y2Bavolume> <fpage> 447</fp一个ge><lpage> 454</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.chaos.2016.02.012</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84960970311</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Atangana</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Baleanu</年代urn一个米e><given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 卡普托-法布里齐奥导数在承压含水层地下水流动中的应用</一个rticle-title> <source> <italic> 工程力学学报</gydF4y2Baitalic> <year> 2017</ye一个r><volume> 143</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</是年代ue><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1061 /(第3期)em.1943 - 7889.0001091</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85016718442</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Manzoor</年代urn一个米e><given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Wubneh</年代urn一个米e><given-names> k·G。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Kahsay</年代urn一个米e><given-names> h·A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 扩展Mittag-Leffler函数的caputo型Marichev-Saigo-Maeda分数阶微分算子</一个rticle-title> <source> <italic> 数学物理进展</gydF4y2Baitalic> <year> 2021</ye一个r><volume> 2021</gydF4y2Bavolume> <lpage> 9</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1155 / 2021/5560543</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="publisher-id"> 5560543</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 由带有经典和广义Mittag - Leffler核的分数阶算子描述的欧洲期权定价模型</一个rticle-title> <source> <italic> 偏微分方程的数值方法</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 37</gydF4y2Bavolume> <fpage> 1</fp一个ge><lpage> 23</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1002 / num.22645</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Abdeljawad</年代urn一个米e><given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 应用于幂次和米塔格-莱夫勒核分数阶导数的新积分变换的非线性正则长波模型</一个rticle-title> <source> <italic> 差分方程的研究进展</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 2020</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><pub-id pub-id-type="publisher-id"> 367</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1186 / s13662 - 020 - 02828 - 1</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 耶拿</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Chakraverty</年代urn一个米e><given-names> 年代。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> Caputo时间分数Navier- stokes方程的双混合技术与积分变换</一个rticle-title> <source> <italic> 分数阶微分及其应用研究进展</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 6</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</是年代ue><fp一个ge>201</fp一个ge><lpage> 213</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.18576 / pfda / 060304</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 先尼</年代urn一个米e><given-names> N。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 描述流体流动模型的近似解的推广<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mi> ρ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-拉普拉斯变换法和热平衡积分法</一个rticle-title> <source> <italic> 公理</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 9</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是年代ue><fp一个ge>123</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.3390 / axioms9040123</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 两个不同的无奇异核分数算子的刻画</一个rticle-title> <source> <italic> 自然现象的数学建模</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ye一个r><volume> 14</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</是年代ue><fp一个ge>302</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1051 / mmnp / 2018070</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85062022411</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> •</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Bonyah</年代urn一个米e><given-names> E。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 血吸虫病模型分数阶动力学的新方法</一个rticle-title> <source> <italic> 物理A:统计力学及其应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ye一个r><volume> 525</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>373</fp一个ge><lpage> 393</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.physa.2019.03.069</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85063644134</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨</年代urn一个米e><given-names> X.-J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 常、变阶分数阶导数应用于传热问题的反常松弛模型</一个rticle-title> <source> <italic> 热科学</gydF4y2Baitalic> <year> 2017</ye一个r><volume> 21</gydF4y2Bavolume> <issue> 3.</是年代ue><fp一个ge>1161</fp一个ge><lpage> 1171</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2298 / TSCI161216326Y</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85025447847</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 杨</年代urn一个米e><given-names> X.-J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 含非奇异幂律核的一般分数阶导数的新流变问题</一个rticle-title> <source> <italic> 罗马尼亚学院文集a -数学、物理、技术科学、信息科学</gydF4y2Baitalic> <year> 2018</ye一个r><volume> 19</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>45</fp一个ge><lpage> 52</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="book"> <label>14</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 马修</年代urn一个米e><given-names> e . L。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 数学六-七:Pelasticite deessolides理论</gydF4y2Baitalic> <year> 1890</ye一个r><publisher-name> Gauthier-villars</pubgydF4y2Balisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Emersleben</年代urn一个米e><given-names> O。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 超级死Reihe<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ＝</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>．</一个rticle-title> <source> <italic> Mathematische年鉴</gydF4y2Baitalic> <year> 1952</ye一个r><volume> 125</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>165</fp一个ge><lpage> 171</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / bf01343114</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0040276444</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 崔</年代urn一个米e><given-names> J。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 斯利瓦斯塔瓦</年代urn一个米e><given-names> h . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 马提厄级数和与ζ函数有关的和</一个rticle-title> <source> <italic> 计算机与数学应用</gydF4y2Baitalic> <year> 2010</ye一个r><volume> 59</gydF4y2Bavolume> <issue> 2</是年代ue><fp一个ge>861</fp一个ge><lpage> 867</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.camwa.2009.10.008</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 72949089703</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 塞隆</年代urn一个米e><given-names> P。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 勒纳德</年代urn一个米e><given-names> c . T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义Mathieu级数的积分形式</一个rticle-title> <source> <italic> 纯数学和应用数学不等式杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2003</ye一个r><volume> 10</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是年代ue><fp一个ge>1</fp一个ge><lpage> 11</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="article"> <label>18</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pogany</年代urn一个米e><given-names> t·K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 斯利瓦斯塔瓦</年代urn一个米e><given-names> h . M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Tomovski</年代urn一个米e><given-names> Ž。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 马修的一些家庭<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>-级数和交替的马修<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>系列</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学与计算</gydF4y2Baitalic> <year> 2006</ye一个r><volume> 173</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>69</fp一个ge><lpage> 108</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.amc.2005.02.044</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 32244445657</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B19" content-type="article"> <label>19</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pogany</年代urn一个米e><given-names> t·K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Parmar</年代urn一个米e><given-names> r·K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 在<gydF4y2Bainline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mi> ք</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>扩展马修系列。Rad Hazu</一个rticle-title> <source> <italic> Mathematicke Znanosti</gydF4y2Baitalic> <year> 2018</ye一个r><volume> 22</gydF4y2Bavolume> <fpage> 107</fp一个ge><lpage> 117</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B20" content-type="article"> <label>20.</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 乔杜里</年代urn一个米e><given-names> m·A。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Qadir</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Boudjelkha</年代urn一个米e><given-names> m . T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> Rafique</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 祖拜尔</年代urn一个米e><given-names> s M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义黎曼函数</一个rticle-title> <source> <italic> 洛基山数学杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2001</ye一个r><volume> 3.</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>1237</fp一个ge><lpage> 1263</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B21" content-type="article"> <label>21</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 沙阿</年代urn一个米e><given-names> K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> z。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 阿里</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 阿明</年代urn一个米e><given-names> R。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于Caputo导数的Haar小波配置方法求解分数阶COVID-19模型</一个rticle-title> <source> <italic> 亚历山大工程杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 59</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</是年代ue><fp一个ge>3221</fp一个ge><lpage> 3231</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aej.2020.08.028</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B22" content-type="article"> <label>22</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 谢尔</年代urn一个米e><given-names> M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 沙阿</年代urn一个米e><given-names> K。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> z。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> H。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 基于米塔格-莱弗勒幂律的新型冠状病毒传播动力学计算与理论建模</一个rticle-title> <source> <italic> 亚历山大工程杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2020</ye一个r><volume> 59</gydF4y2Bavolume> <issue> 5</是年代ue><fp一个ge>3133</fp一个ge><lpage> 3147</gydF4y2Balpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.aej.2020.07.014</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B23" content-type="book"> <label>23</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Pohlen</年代urn一个米e><given-names> T。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 阿达玛乘积与广义幂级数</gydF4y2Baitalic> <year> 2009</ye一个r><publisher-name> 特里尔大学博士论文</pubgydF4y2Balisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B24" content-type="book"> <label>24</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Rainville</年代urn一个米e><given-names> e . D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 特殊功能</gydF4y2Baitalic> <year> 1971</ye一个r><publisher-loc> 美国纽约</pubgydF4y2Balisher-loc> <publisher-name> 麦克米伦公司</pubgydF4y2Balisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B25" content-type="book"> <label>25</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 却把</年代urn一个米e><given-names> i . N。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 积分变换的应用</gydF4y2Baitalic> <year> 1979</ye一个r><publisher-loc> 印度</pubgydF4y2Balisher-loc> <publisher-name> 麦格劳希尔</pubgydF4y2Balisher-name> </element-citation> </ref> <ref id="B26" content-type="article"> <label>26</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Elzaki</年代urn一个米e><given-names> t M。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 新的积分变换Elzaki变换</一个rticle-title> <source> <italic> 全球纯粹和应用数学杂志</gydF4y2Baitalic> <year> 2011</ye一个r><volume> 7</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>57</fp一个ge><lpage> 64</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> <ref id="B27" content-type="article"> <label>27</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 库马尔</年代urn一个米e><given-names> D。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 用一类路径型积分变换求解分数阶动力学方程</一个rticle-title> <source> <italic> 数学物理学报</gydF4y2Baitalic> <year> 2013</ye一个r><volume> 54</gydF4y2Bavolume> <issue> 4</是年代ue><fp一个ge>043509</fp一个ge><pub-id pub-id-type="doi"> 10.1063/1.4800768</pubgydF4y2Ba-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84877679849</pubgydF4y2Ba-id> </element-citation> </ref> <ref id="B28" content-type="article"> <label>28</gydF4y2Balabel> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 最低点</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> <name> <surname> 汗</年代urn一个米e><given-names> 一个。</ggydF4y2Baiven-names> </name> </person-group> <article-title> 广义Mittag-Leffler函数的若干分数算子</一个rticle-title> <source> <italic> 不等式与特殊函数学报</gydF4y2Baitalic> <year> 2019</ye一个r><volume> 10</gydF4y2Bavolume> <issue> 1</是年代ue><fp一个ge>12</fp一个ge><lpage> 26</gydF4y2Balpage> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>