存在的全球解决方案,修改后的短波方程的行波

文摘

修改后的短波方程是在周期性边界条件。我们证明解的整体存在与有限的能源。我们还发现行波解椭圆函数的形式。

1。介绍

短的波长的非线性传播波的色散系统讨论了(1,2]。他们提出了简单的非线性短波方程可能描述Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine方程的渐近行为3,4]。短波方程,研究了在1)数值周期和非周期的边界条件。以下特征周期短波方程初值问题是讨论(5]: 与初始数据 实值函数在哪里满足周期性边界 并描述了一个小振幅波取决于空间变量和时间变量 。

傅里叶级数的解决方案被认为是在5]: 在哪里 对所有 。积分(1) ,他们获得了 这意味着,加上(3),

然后,他们得到 限制初始数据是保证实施 。让我们考虑一个齐次解 。满足(4),可能的齐次解 和 在初始数据赋予一个严重的约束。

目前的工作是出于初始数据的限制是否可以删除。为了合理的初值问题一个大范围的初始数据,这似乎是必须修改微分方程(1)。我们认为以下修改短波方程: 初始和边界条件 我们假设相容性条件在哪里 。我们实施第二个条件(8)以保证唯一性。注意,最初的数据(2)仅是不够的对初值问题解的唯一性(6- - - - - -11]。即使对于线性方程 我们有解决方案 ,在哪里是任何函数与 。解决方案(7)满意(8),我们有相容性条件,考虑 ,

我们将部分2更多信息(7)和(8)。

我们认为傅里叶级数的解决方案(3)。让我们表示的复杂的空间序列 : 标准在哪里定义的

第一个结果是关心的全球存在的解决方案。

定理1。对数据 和 令人满意的 ,问题(7)和(8)有一个独特的解决方案 的形式(3)。

备注2。(1)让 是一个方程解(7)。之后,我们可以带一些规律性属性通过应用相同的论证命题2.3 (5]。事实上,对于所有 ,傅里叶级数解决方案(3)一致收敛 。和是可微的几乎所有 。导数满足条件 和 。此外,是可微的 ,和(7适用于几乎所有 (2)这是一个有趣的问题来考虑一个初值问题(1整个线) 。我们指的是(7,10,11)的更多信息我们的下一个结果是关心的行波解的存在形式 请注意,任何常数函数 是一个稳定的解决方案(7)。我们知道,周期函数 , 在哪里是一个常数。用拟设(13)(7),我们得到 在哪里 。

定理3。有重要的行波解 (7) 或 。事实上,我们有椭圆函数的解决方案

我们将部分3进行精确的值 , , , ,和 。

变量的变化 和 ,方程(1)变成了半线性波动方程 和初始条件(2)成为数据特征线 。环上的柯西问题半线性波动方程 与初始数据 , 研究了在12,13]。稳定的周期波KdV,薛定谔,克莱因戈登方程研究了(14- - - - - -16]。这是一个很有趣的问题来研究上面的稳定或不稳定的行波解(7)。

节2,定理1是证明。节3,我们发现行波解(7)来证明定理3。我们将使用 表示形式的估计 ,在哪里是一个积极的常数。

2。定理的证明1

让我们介绍一下以下主要结果(5]。

定理4。如果 满足 然后问题(1)和(2)有且只有一个解决方案的形式(3)。对所有 ,傅里叶级数(3)一致收敛 。和是可微的几乎所有 。导数满足条件 和 。此外,是可微的 ,和(1适用于几乎所有 。

两个初始数据限制强加在定理4。让我们回顾的推导方程(1)。Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine方程读取

变量的变化 与 和 ,方程(19)成为

考虑小 ,一个渐近方程 获得可集成在吗给 在哪里是积分常数对变量 。零条件 被认为是在1]。

删除限制定理的初始数据4允许更多的解决方案,如行波解,我们考虑以下修改短波方程: 有条件 我们假设 , 和兼容性条件 。我们可以检查 在(22)。注意,最初的数据(23)仅是不够的独特性,和附加条件(24)是初值问题所需的特征6,7,17]。

用(3)(22),我们获得一个常微分方程组

为 ,的左边(22)是零。让我们计算的右边(22)。考虑到傅里叶级数的解决方案(3),我们有

然后,右边的22)成为 在哪里 使用。关系(24)意味着

因此,我们得出以下系统的常微分方程: 在哪里 。

我们说一个函数 是一个解决问题(22)- (24),如果傅里叶系数满足(29日)为所有 。为 ,我们定义一个操作符

我们将证明一个地方存在定理的一部分1通过应用一个标准的收缩映射定理。表示由 这个函数 并考虑空间 在哪里 和 。

命题5。让 和 。然后,映射(30.)是一个收缩的映射来足够小的 。

证明。我们遵循命题2.2的参数(5)与小修改来自不同的定义在(30.)(6)。为 ,我们有 我们也有 (在哪里32使用)。结合(32)和(33)和考虑 ,我们有 这是收缩映射为足够小 。

让 是一个解的方程 。然后,我们可以展示一些规律性属性的话2通过应用相同的论证命题2.3 (5]。我们跳过证明。我们将证明保护规范。

命题6。让 的解决方案(22)。然后,我们有

证明。乘双方(22)和集成 ,我们有 这意味着 此外,意味着直接计算 从中我们可以得出(35)。
从命题5,我们有一个当地的解决方案 (22)- (24)足够小 。由命题6,我们可以扩展一个本地解决方案全球完成定理的证明1。

3所示。旅行波

在这里,我们考虑一个行波解(7)的形式 在一个积极的常数以后再确定。注意,我们有周期函数 , 在哪里是一个常数。用拟设(39)(7),我们得到 在哪里 和 。我们整合(41)获得

我们会考虑的 或 。(1)为 , 有三个不同的真正的根源吗 ,在哪里

应用变化的变量 ,我们得到一个方程 在哪里 和 。众所周知在[18的解决方案(44)是由椭圆函数给出 。因此,我们有

期以来 是 ,我们对以下条件的时期(45)成为 : 可以写成

对于一个给定的 ,常数是由(47)。(2)为 , 有三个不同的真正的根源吗 ,在哪里

应用变化的变量 ,我们有一个方程 在哪里 和 。然后,我们有

使解决方案(50)周期,我们实施

对于一个给定的 ,常数是由(51)。

注7。为 ,我们有 它可以集成 在哪里是一个积分常数。我们知道 。如果 对于一些 ,我们有 这是一个矛盾。所以,我们有 或 。对于一个周期函数 ,我们有 。然后,我们得到 这是一个矛盾。类似的争论可以申请的情况 表明没有一个非平凡周期解 。

数据可用性

没有数据被用来支持本研究。

的利益冲突

作者宣称没有利益冲突有关的出版。

确认

这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(MSIT) (2020 r1f1a1a01072197)。