raybet雷竞app|雷竞技官网下载|雷电竞下载苹果

AMP

数学物理的发展

1687 - 9139<我年代年代npub-type="ppub"> 1687 - 9120

Hindawi

10.1155 / 2021/2777265

2777265

研究文章

存在的全球解决方案,修改后的短波方程的行波

https://orcid.org/0000 - 0001 - 9844 - 845 x 哈

Hyungjin

梅

明

数学系

Chung-Ang大学

06974年首尔韩国 cau.ac.kr

2021年

3<米onth> 5 2021年

2021年 9<米onth> 4 2021年 26<米onth> 4 2021年 3<米onth> 5 2021年

这是一个开放的文章在知识共享归属许可下发布的,它允许无限制的使用,分布和繁殖在任何媒介,提供最初的工作是正确的引用。

修改后的短波方程是在周期性边界条件。我们证明解的整体存在与有限的能源。我们还发现行波解椭圆函数的形式。科技部、ICT和未来规划 2020年r1f1a1a01072197 韩国国家研究基金会 1。介绍</t我tle> <p>短的波长的非线性传播波的色散系统讨论了(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B2"> 2</xgydF4y2B一个ref>]。他们提出了简单的非线性短波方程可能描述Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine方程的渐近行为<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B3"> 3</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B4"> 4</xgydF4y2B一个ref>]。短波方程,研究了在<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)数值周期和非周期的边界条件。以下特征周期短波方程初值问题是讨论(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>]:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M1"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (1)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>与初始数据<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M2"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (2)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>实值函数在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M3"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>满足周期性边界<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M4"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>并描述了一个小振幅波取决于空间变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M5"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和时间变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M6"> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>傅里叶级数的解决方案被认为是在<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>]:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M7"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (3)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M8"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo stretchy="true"> ¯</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M9"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。积分(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M10"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,他们获得<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M11"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (4)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着,加上(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>),<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M12"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq1"> <mml:mtd> <mml:mtext> (5)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,他们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M13"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (6)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 6</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> ±</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 36</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>限制初始数据是保证实施<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M14"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 36</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。让我们考虑一个齐次解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M15"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。满足(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq4"> 4</xgydF4y2B一个ref>),可能的齐次解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M16"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M17"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>在初始数据赋予一个严重的约束。</gydF4y2B一个p> <p>目前的工作是出于初始数据的限制是否可以删除。为了合理的初值问题一个大范围的初始数据,这似乎是必须修改微分方程(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)。我们认为以下修改短波方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M18"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (7)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>初始和边界条件<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M19"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (8)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们假设相容性条件在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M20"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们实施第二个条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2B一个ref>)以保证唯一性。注意,最初的数据(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2B一个ref>)仅是不够的对初值问题解的唯一性(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2B一个ref>- - - - - -<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2B一个ref>]。即使对于线性方程<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M21"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq2"> <mml:mtd> <mml:mtext> (9)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi class="cond"> </mml:mi> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们有解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M22"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M23"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是任何<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M24"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>函数与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M25"> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)满意(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2B一个ref>),我们有相容性条件,考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M26"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M27"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq3"> <mml:mtd> <mml:mtext> (10)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们将部分<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2B一个ref>更多信息(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)和(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2B一个ref>)。</gydF4y2B一个p> <p>我们认为傅里叶级数的解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)。让我们表示的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M28"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>复杂的空间序列<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M29"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M30"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq4"> <mml:mtd> <mml:mtext> (11)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> <</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo stretchy="true"> ¯</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>标准在哪里定义的<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M31"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq5"> <mml:mtd> <mml:mtext> (12)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>第一个结果是关心的全球存在的解决方案。</gydF4y2B一个p> <statement id="thm1"> <title>定理1。</t我tle> <p>对数据<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M32"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M33"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>令人满意的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M34"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>问题(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)和(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq8"> 8</xgydF4y2B一个ref>)有一个独特的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M35"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的形式(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="rem1"> <title>备注2。</t我tle> <p> <list> <list-item> <label>(1)</gydF4y2B一个label> </list-item> </list></p> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M36"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个方程解(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)。之后,我们可以带一些规律性属性通过应用相同的论证命题2.3 (<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>]。事实上,对于所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M37"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>傅里叶级数解(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)一致收敛<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M38"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。和是可微的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M39"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>几乎所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M40"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。导数满足条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M41"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M42"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。此外,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M43"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是可微的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M44"> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>适用于几乎所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M45"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula></p> <list-item> <label>(2)</gydF4y2B一个label> <p>这是一个有趣的问题来考虑一个初值问题(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>整个线)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M46"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> R</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。我们指的是(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B10"> 10</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B11"> 11</xgydF4y2B一个ref>)的更多信息</gydF4y2B一个p> </list-item> <p></p> <p>我们的下一个结果是关心的行波解的存在形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M47"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (13)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>请注意,任何常数函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M48"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个稳定的解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)。我们知道,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M49"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>周期函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M50"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M51"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq6"> <mml:mtd> <mml:mtext> (14)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M52"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个常数。用拟设(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq13"> 13</xgydF4y2B一个ref>)(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>),我们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M53"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq7"> <mml:mtd> <mml:mtext> (15)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M54"> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="thm2"> <title>定理3。</t我tle> <p>有重要的行波解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M55"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M56"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M57"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。事实上,我们有椭圆函数的解决方案<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M58"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq8"> <mml:mtd> <mml:mtext> (16)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> b</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <p>我们将部分<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2B一个ref>进行精确的值<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M59"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M60"> <mml:mi> b</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M61"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M62"> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M63"> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>变量的变化<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M64"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M65"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>方程(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)变成了半线性波动方程<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M66"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq9"> <mml:mtd> <mml:mtext> (17)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> X</米米l:mi> <mml:mi> X</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>和初始条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2B一个ref>)成为数据特征线<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M67"> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> X</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。环上的柯西问题<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M68"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>半线性波动方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M69"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> Δ</米米l:mi> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>与初始数据<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M70"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M71"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>研究了在<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B12"> 12</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B13"> 13</xgydF4y2B一个ref>]。稳定的周期波KdV,薛定谔,克莱因戈登方程研究了(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B14"> 14</xgydF4y2B一个ref>- - - - - -<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B16"> 16</xgydF4y2B一个ref>]。这是一个很有趣的问题来研究上面的稳定或不稳定的行波解(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)。</gydF4y2B一个p> <p>节<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec2"> 2</xgydF4y2B一个ref>,定理<xgydF4y2B一个ref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xgydF4y2B一个ref>是证明。节<xgydF4y2B一个ref ref-type="sec" rid="sec3"> 3</xgydF4y2B一个ref>,我们发现行波解(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)来证明定理<xgydF4y2B一个ref rid="thm2" ref-type="statement"> 3</xgydF4y2B一个ref>。我们将使用<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M72"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>表示形式的估计<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M73"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mi> B</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M74"> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个积极的常数。</gydF4y2B一个p> </sec> <sec id="sec2"> <title>2。定理的证明< xref掉=“thm1”ref-type = "语句" > < / xref > 1</t我tle> <p>让我们介绍一下以下主要结果(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>]。</gydF4y2B一个p> <statement id="thm3"> <title>定理4。</t我tle> <p>如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M75"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>满足<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M76"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq10"> <mml:mtd> <mml:mtext> (18)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 72年</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>然后问题(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)和(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq2"> 2</xgydF4y2B一个ref>)有且只有一个解决方案的形式(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)。对所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M77"> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mo> ≥</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>傅里叶级数(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)一致收敛<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M78"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。和是可微的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M79"> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>几乎所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M80"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。导数满足条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M81"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ·</米米l:mo> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M82"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ·</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。此外,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M83"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>是可微的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M84"> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>适用于几乎所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M85"> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <p>两个初始数据限制强加在定理<xgydF4y2B一个ref rid="thm3" ref-type="statement"> 4</xgydF4y2B一个ref>。让我们回顾的推导方程(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq1"> 1</xgydF4y2B一个ref>)。Benjamin-Bona-Mahony-Peregrine方程读取<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M86"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (19)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> V</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>变量的变化<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M87"> <mml:mi> V</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> U</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>与<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M88"> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M89"> <mml:mi> τ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>方程(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq19"> 19</xgydF4y2B一个ref>)成为<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M90"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq11"> <mml:mtd> <mml:mtext> (20)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> ε</米米l:mi> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>考虑小<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M91"> <mml:mi> ε</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,一个渐近方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M92"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>获得可集成在吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M93"> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>给<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M94"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq12"> <mml:mtd> <mml:mtext> (21)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> U</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> U</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M95"> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是积分常数对变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M96"> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。零条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M97"> <mml:mi> H</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> τ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>被认为是在<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B1"> 1</xgydF4y2B一个ref>]。</gydF4y2B一个p> <p>删除限制定理的初始数据<xgydF4y2B一个ref rid="thm3" ref-type="statement"> 4</xgydF4y2B一个ref>允许更多的解决方案,如行波解,我们考虑以下修改短波方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M98"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (22)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>有条件<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M99"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (23)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mlabeledtr id="EEq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (24)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>我们假设<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M100"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M101"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>和兼容性条件<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M102"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。我们可以检查<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M103"> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>在(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)。注意,最初的数据(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq23"> 23</xgydF4y2B一个ref>)仅是不够的独特性,和附加条件(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xgydF4y2B一个ref>)是初值问题所需的特征<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B6"> 6</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B7"> 7</xgydF4y2B一个ref>,<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B17"> 17</xgydF4y2B一个ref>]。</gydF4y2B一个p> <p>用(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>)(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>),我们获得一个常微分方程组<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M104"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq13"> <mml:mtd> <mml:mtext> (25)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M105"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,左侧(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)是零。让我们计算的右边(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)。考虑到傅里叶级数的解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq3"> 3</xgydF4y2B一个ref>),我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M106"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq14"> <mml:mtd> <mml:mtext> (26)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>然后,右边的<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)成为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M107"> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M108"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq15"> <mml:mtd> <mml:mtext> (27)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M109"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mover accent="true"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo stretchy="true"> ¯</米米l:mo> </mml:mover> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>使用。关系(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xgydF4y2B一个ref>)意味着<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M110"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq16"> <mml:mtd> <mml:mtext> (28)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>因此,我们得出以下系统的常微分方程:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M111"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq29"> <mml:mtd> <mml:mtext> (29)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M112"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <p>我们说一个函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M113"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个解决问题(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)- (<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xgydF4y2B一个ref>),如果傅里叶系数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M114"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>满足(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq29"> 29日</xgydF4y2B一个ref>)为所有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M115"> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M116"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们定义一个操作符<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M117"> <mml:mi> Φ</米米l:mi> <mml:mo> :</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> →</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M118"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq30"> <mml:mtd> <mml:mtext> (30)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> 我</米米l:mi> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们将证明一个地方存在定理的一部分<xgydF4y2B一个ref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xgydF4y2B一个ref>通过应用一个标准的收缩映射定理。表示由<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M119"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>这个函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M120"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>并考虑空间<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M121"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq17"> <mml:mtd> <mml:mtext> (31)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="{" close="}"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> :</米米l:mtext> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ≤</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M122"> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M123"> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> <statement id="prop1"> <title>命题5。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M124"> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M125"> <mml:mi> g</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> C</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>。然后,映射(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq30"> 30.</xgydF4y2B一个ref>)是一个收缩的映射<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M126"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M127"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>足够小的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M128"> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <statement id="proof1"> <title>证明。</t我tle> <p>我们遵循命题2.2的参数(<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>)与小修改来自不同的定义<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M129"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>在(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq30"> 30.</xgydF4y2B一个ref>)(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq6"> 6</xgydF4y2B一个ref>)。为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M130"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M131"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq32"> <mml:mtd> <mml:mtext> (32)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munderover> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∞</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:munderover> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∣</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> ∣</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≲</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们也有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M132"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq33"> <mml:mtd> <mml:mtext> (33)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> <mml:mo> ≠</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> Φ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>(在哪里<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq32"> 32</xgydF4y2B一个ref>使用)。结合(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq32"> 32</xgydF4y2B一个ref>)和(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq33"> 33</xgydF4y2B一个ref>)和考虑<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M133"> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M134"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq18"> <mml:mtd> <mml:mtext> (34)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> Φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> v</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> Φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ω</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> F</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> g</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ∥</米米l:mo> <mml:mi> v</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> ω</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo> ∥</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这是收缩映射为足够小<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M135"> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M136"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是一个解的方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M137"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> Φ</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,我们可以展示一些规律性属性的话<xgydF4y2B一个ref rid="rem1" ref-type="statement"> 2</xgydF4y2B一个ref>通过应用相同的论证命题2.3 (<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B5"> 5</xgydF4y2B一个ref>]。我们跳过证明。我们将证明保护<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M138"> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>规范。</gydF4y2B一个p> <statement id="prop2"> <title>命题6。</t我tle> <p>让<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M139"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>的解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)。然后,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M140"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq35"> <mml:mtd> <mml:mtext> (35)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> f</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> </statement> <statement id="proof2"> <title>证明。</t我tle> <p>乘<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M141"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>双方(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)和集成<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M142"> <mml:mfenced open="[" close="]"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M143"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq19"> <mml:mtd> <mml:mtext> (36)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>这意味着<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M144"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq20"> <mml:mtd> <mml:mtext> (37)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>此外,意味着直接计算<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M145"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq21"> <mml:mtd> <mml:mtext> (38)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:munder> <mml:mrow> <mml:mo> ∑</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> Z</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:munder> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>从中我们可以得出(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq35"> 35</xgydF4y2B一个ref>)。</gydF4y2B一个p> <p>从命题<xgydF4y2B一个ref rid="prop1" ref-type="statement"> 5</xgydF4y2B一个ref>,我们有一个当地的解决方案<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M146"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> C</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfenced open="[" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> T</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> H</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq22"> 22</xgydF4y2B一个ref>)- (<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq24"> 24</xgydF4y2B一个ref>)足够小<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M147"> <mml:mi> T</米米l:mi> <mml:mo> ></米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。由命题<xgydF4y2B一个ref rid="prop2" ref-type="statement"> 6</xgydF4y2B一个ref>,我们可以扩展一个本地解决方案全球完成定理的证明<xgydF4y2B一个ref rid="thm1" ref-type="statement"> 1</xgydF4y2B一个ref>。</gydF4y2B一个p> </statement> </sec> <sec id="sec3"> <title>3所示。旅行波</t我tle> <p>在这里,我们考虑一个行波解(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>)的形式<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M148"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq39"> <mml:mtd> <mml:mtext> (39)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在一个积极的常数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M149"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>以后再确定。注意,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M150"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>周期函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M151"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M152"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq22"> <mml:mtd> <mml:mtext> (40)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M153"> <mml:mi> 米</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个常数。用拟设(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq39"> 39</xgydF4y2B一个ref>)(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq7"> 7</xgydF4y2B一个ref>),我们得到<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M154"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq41"> <mml:mtd> <mml:mtext> (41)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 3</米米l:mn> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M155"> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:mi> t</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M156"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 米</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。我们整合(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq41"> 41</xgydF4y2B一个ref>)获得<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M157"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq23"> <mml:mtd> <mml:mtext> (42)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 3</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≔</米米l:mo> <mml:mi> h</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>我们会考虑的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M158"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M159"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。<gydF4y2B一个list> <list-item> <label>(1)</gydF4y2B一个label> </list-item> </list></p> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M160"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M161"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有三个不同的真正的根源吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M162"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,在那里</gydF4y2B一个p> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M163"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq24"> <mml:mtd> <mml:mtext> (43)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> α</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <p></p> <p>应用变化的变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M164"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>,我们得到一个方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M165"> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M166"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq44"> <mml:mtd> <mml:mtext> (44)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M167"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M168"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。众所周知在[<xgydF4y2B一个ref ref-type="bibr" rid="B18"> 18</xgydF4y2B一个ref>的解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq44"> 44</xgydF4y2B一个ref>)是由椭圆函数给出<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M169"> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。因此,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M170"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq45"> <mml:mtd> <mml:mtext> (45)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> β</米米l:mi> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>期以来<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M171"> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>是<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M172"> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:math> </inline-formula>,我们对以下条件的时期(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq45"> 45</xgydF4y2B一个ref>)成为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M173"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>:<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M174"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq25"> <mml:mtd> <mml:mtext> (46)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 一些</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>可以写成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M175"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq47"> <mml:mtd> <mml:mtext> (47)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 8</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M176"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,恒<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M177"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是由(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq47"> 47</xgydF4y2B一个ref>)。<gydF4y2B一个list> <list-item> <label>(2)</gydF4y2B一个label> </list-item> </list></p> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M178"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M179"> <mml:mi> h</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>有三个不同的真正的根源吗<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M180"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,在那里</gydF4y2B一个p> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M181"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq26"> <mml:mtd> <mml:mtext> (48)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> <mml:mtr> <mml:mtd> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula> <p></p> <p>应用变化的变量<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M182"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>我们有一个方程<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M183"> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula> <disp-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M184"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq27"> <mml:mtd> <mml:mtext> (49)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> z</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M185"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>和<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M186"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,我们有<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M187"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq50"> <mml:mtd> <mml:mtext> (50)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> α</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> 年代</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> n</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> λ</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> k</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>使解决方案(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq50"> 50</xgydF4y2B一个ref>)<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M188"> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>周期,我们实施<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M189"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="EEq51"> <mml:mtd> <mml:mtext> (51)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:msubsup> <mml:mrow> <mml:mo> ∫</米米l:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> π</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo> </mml:mo> <mml:mo> </mml:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi mathvariant="normal"> 罪</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:mfrac> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 4</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 为</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mtext> 一些</米米l:mtext> <mml:mtext> </mml:mtext> <mml:mi> n</米米l:mi> <mml:mo> ∈</米米l:mo> <mml:mi> N</米米l:mi> <mml:mo> 。</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula></p> <p>对于一个给定的<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M190"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,恒<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M191"> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是由(<xgydF4y2B一个ref ref-type="disp-formula" rid="EEq51"> 51</xgydF4y2B一个ref>)。</gydF4y2B一个p> <statement id="rem2"> <title>注7。</t我tle> <p>为<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M192"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M193"> <mml:mi> c</米米l:mi> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> d</米米l:mi> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>它可以集成<d我年代p-formula> <mml:math display="block" xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M194"> <mml:mtable> <mml:mlabeledtr id="eq28"> <mml:mtd> <mml:mtext> (52)</米米l:mtext> </mml:mtd> <mml:mtd> <mml:mfenced open="|" close="|"> <mml:mrow> <mml:mfrac> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> −</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfrac> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> ,</米米l:mo> </mml:mtd> </mml:mlabeledtr> </mml:mtable> </mml:math> </disp-formula>在哪里<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M195"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>是一个积分常数。我们知道<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M196"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。如果<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M197"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>对于一些<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M198"> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M199"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow> <mml:mi> ξ</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>这是一个矛盾。所以,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M200"> <mml:mn> 0</米米l:mn> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> ≤</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 2</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>或<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M201"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mo> <</米米l:mo> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>。对于一个周期函数<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M202"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>,我们有<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M203"> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mn> 0</米米l:mn> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> u</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula>。然后,我们得到<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M204"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> l</米米l:mi> <mml:mo> +</米米l:mo> <mml:mi> 一个</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> e</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:msqrt> <mml:mrow> <mml:mi> c</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:msqrt> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula>这是一个矛盾。类似的争论可以申请的情况<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M205"> <mml:mi> 一个</米米l:mi> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mn> 1</米米l:mn> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mn> 16</米米l:mn> </mml:math> </inline-formula>表明没有一个非平凡周期解<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M206"> <mml:mi> u</米米l:mi> </mml:math> </inline-formula>。</gydF4y2B一个p> </statement> </sec> <back> <sec sec-type="data-availability"> <title>数据可用性</t我tle> <p>没有数据被用来支持本研究。</gydF4y2B一个p> </sec> <sec sec-type="COI-statement"> <title>的利益冲突</t我tle> <p>作者宣称没有利益冲突有关的出版。</gydF4y2B一个p> </sec> <ack> <title>确认</t我tle> <p>这项工作是由韩国国家研究基金会(NRF)授予由韩国政府资助(MSIT) (2020 r1f1a1a01072197)。</gydF4y2B一个p> </ack> <ref-list> <ref id="B1" content-type="article"> <label>1</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 伽马</年代urname> <given-names> s M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kraenkel</年代urname> <given-names> r。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 吗哪</年代urname> <given-names> m·A。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 短波Benjamin-Bona-Mahoney-Peregrine方程不稳定:理论和数字</一个rticle-title> <source> <italic> 逆问题</我t一个lic> <year> 2001年</ye一个r> <volume> 17</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 863年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 870年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1088 / 0266 - 5611/17/4/318</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0035419873</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B2" content-type="article"> <label>2</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 吗哪</年代urname> <given-names> m·A。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 默尔</年代urname> <given-names> V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 渐近短波在非线性色散模型的动力学方程</一个rticle-title> <source> <italic> 物理评论E</我t一个lic> <year> 1998年</ye一个r> <volume> 57</vgydF4y2B一个olume> <issue> 5</我年代年代ue><fpage> 6206年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 6209年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1103 / PhysRevE.57.6206</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 0032069680</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B3" content-type="article"> <label>3</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 便雅悯</年代urname> <given-names> t . B。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 博纳</年代urname> <given-names> j·L。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 马赫尼</年代urname> <given-names> J·J。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 长波浪模型方程在非线性色散系统</一个rticle-title> <source> <italic> 英国伦敦皇家学会哲学学报</我t一个lic> <year> 1972年</ye一个r> <volume> 272年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1220年</我年代年代ue><fpage> 47</fgydF4y2B一个page> <lpage> 78年</gydF4y2B一个lpage> </element-citation> </ref> <ref id="B4" content-type="article"> <label>4</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 游隼</年代urname> <given-names> d . H。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 长在海滩上</一个rticle-title> <source> <italic> 流体力学杂志</我t一个lic> <year> 1967年</ye一个r> <volume> 27</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 815年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 827年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1017 / S0022112067002605</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84958426983</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B5" content-type="article"> <label>5</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 伽马</年代urname> <given-names> s M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 斯米尔诺夫</年代urname> <given-names> G。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个短波方程的柯西问题</一个rticle-title> <source> <italic> 电子杂志的微分方程</我t一个lic> <year> 2009年</ye一个r> <issue> 8</我年代年代ue><fpage> 9</fgydF4y2B一个page> </element-citation> </ref> <ref id="B6" content-type="article"> <label>6</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Alexiewicz</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Orlicz</年代urname> <given-names> W。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一些评价双曲型方程的解的存在性和唯一性<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M207"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> ²</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mtext> x</米米l:mtext> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mtext> y</米米l:mtext> <mml:mo> =</米米l:mo> <mml:mi> f</米米l:mi> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> y</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mi> x</米米l:mi> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mi> x</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> <mml:mo> ,</米米l:mo> <mml:mfenced open="(" close=")"> <mml:mrow> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mi> z</米米l:mi> <mml:mo> /</米米l:mo> <mml:mi> ∂</米米l:mi> <mml:mi> y</米米l:mi> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:mrow> </mml:mfenced> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 皆Mathematica</我t一个lic> <year> 1955年</ye一个r> <volume> 15</vgydF4y2B一个olume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 201年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 215年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.4064 / sm - 15 - 2 - 201 - 215</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B7" content-type="article"> <label>7</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cabet</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 当地存在的半线性波动方程的一个解附近的初始超曲面特征</一个rticle-title> <source> <italic> 编年史de la将des科学数学图卢兹</我t一个lic> <year> 2003年</ye一个r> <volume> 12</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 47</fgydF4y2B一个page> <lpage> 102年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.5802 / afst.1044</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B8" content-type="article"> <label>8</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Cabet</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 当地的半线性波动方程的解的存在与梯度的初始超曲面的洛伦兹流形特征</一个rticle-title> <source> <italic> 通信在偏微分方程</我t一个lic> <year> 2008年</ye一个r> <volume> 33</vgydF4y2B一个olume> <issue> 12</我年代年代ue><fpage> 2105年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 2156年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 03605300802501335</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 57249084827</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B9" content-type="article"> <label>9</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Dossa</年代urname> <given-names> M。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Tagne Wafo</年代urname> <given-names> R。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 解决方案与一个统一的时间存在的一类半线性波动方程在特征<我nline-formula> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" id="M208"> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mi> 年代</米米l:mi> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo> +</米米l:mo> </mml:mrow> </mml:msup> </mml:math> </inline-formula> </article-title> <source> <italic> 通信在偏微分方程</我t一个lic> <year> 2019年</ye一个r> <volume> 44</vgydF4y2B一个olume> <issue> 10</我年代年代ue><fpage> 940年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 989年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 03605302.2019.1611845</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85067031669</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B10" content-type="article"> <label>10</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Jokhadze</年代urname> <given-names> O。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 全球解决方案的存在和不存在Cauchy-Goursat非线性波方程的问题</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个lic> <year> 2008年</ye一个r> <volume> 340年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 1033年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 1045年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2007.09.030</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 38049089404</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B11" content-type="article"> <label>11</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Jokhadze</年代urname> <given-names> O。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> Cauchy-Goursat一维半线性波动方程的问题</一个rticle-title> <source> <italic> 通信在偏微分方程</我t一个lic> <year> 2009年</ye一个r> <volume> 34</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 367年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 382年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1080 / 03605300902768966</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 68749120707</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B12" content-type="article"> <label>12</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 埃</年代urname> <given-names> 人类。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 在长时间的存在对小环上的半线性克莱因戈登方程的解决方案</一个rticle-title> <source> <italic> 杂志d分析数学</我t一个lic> <year> 2009年</ye一个r> <volume> 107年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 1</我年代年代ue><fpage> 161年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 194年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / s11854 - 009 - 0007 - 2</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 63849187758</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B13" content-type="article"> <label>13</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Kapitanskii</年代urname> <given-names> l . V。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 半线性波动方程的柯西问题。我</一个rticle-title> <source> <italic> 苏联数学杂志</我t一个lic> <year> 1990年</ye一个r> <volume> 49</vgydF4y2B一个olume> <issue> 5</我年代年代ue><fpage> 1166年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 1186年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1007 / BF02208713</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 34249956761</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B14" content-type="article"> <label>14</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Bronski</年代urname> <given-names> j . C。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 约翰逊</年代urname> <given-names> m·A。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Kapitula</年代urname> <given-names> T。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 一个索引的周期行波的稳定性定理Korteweg-de弗里斯类型</一个rticle-title> <source> <italic> 爱丁堡皇家学会学报》上</我t一个lic> <year> 2011年</ye一个r> <volume> 141年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 6</我年代年代ue><fpage> 1141年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 1173年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1017 / S0308210510001216</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 84863422044</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B15" content-type="article"> <label>15</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> Gustafson</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 勒因为</年代urname> <given-names> 年代。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 蔡</年代urname> <given-names> t P。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 稳定的周期波1 d立方非线性薛定谔方程</一个rticle-title> <source> <italic> 应用数学研究表达</我t一个lic> <year> 2017年</ye一个r> <volume> 2017年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 431年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 487年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1093 / amrx / abx004</gydF4y2B一个pub-id> <pub-id pub-id-type="other"> 2 - s2.0 - 85031095235</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B16" content-type="article"> <label>16</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 娜塔莉</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> <name> <surname> 卡多佐</年代urname> <given-names> E。</g我ven-names> <suffix> Jr。</年代uff我x></n一个米e> </person-group> <article-title> 轨道稳定性对数克莱因戈登的周期性的驻波方程</一个rticle-title> <source> <italic> 《数学分析和应用程序</我t一个lic> <year> 2020年</ye一个r> <volume> 484年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 2</我年代年代ue><fpage> 123723年</fgydF4y2B一个page> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.1016 / j.jmaa.2019.123723</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B17" content-type="article"> <label>17</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="journal"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 哈特曼</年代urname> <given-names> P。</g我ven-names> </name> <name> <surname> Wintner</年代urname> <given-names> 一个。</g我ven-names> </name> </person-group> <article-title> 双曲型偏微分方程</一个rticle-title> <source> <italic> 美国数学杂志》</我t一个lic> <year> 1952年</ye一个r> <volume> 74年</vgydF4y2B一个olume> <issue> 4</我年代年代ue><fpage> 834年</fgydF4y2B一个page> <lpage> 864年</gydF4y2B一个lpage> <pub-id pub-id-type="doi"> 10.2307 / 2372229</gydF4y2B一个pub-id> </element-citation> </ref> <ref id="B18" content-type="book"> <label>18</gydF4y2B一个label> <element-citation publication-type="book"> <person-group person-group-type="author"> <name> <surname> 鲍曼</年代urname> <given-names> F。</g我ven-names> </name> </person-group> <source> <italic> 介绍椭圆函数</我t一个lic> <year> 1953年</ye一个r> <publisher-loc> 纽约</gydF4y2B一个publisher-loc> <publisher-name> 威利</gydF4y2B一个publisher-name> </element-citation> </ref> </ref-list> </back> </article> </body> </html>