浮动弹性板、水波和指数剪切电流之间的非线性水弹性相互作用

抽象

浮动弹性板之间的非线性相互作用水弹性，深水波的列车，并且与深度呈指数衰减的电流被分析研究。我们引入流函数来获取与表达的水动力之间的平衡，剪切流，弹性和惯性力的动态边界条件的控制方程。我们使用Dubreil-Jacotin改造，重新制定未知的自由表面作为计算的固定位置。为浮板偏转会聚分析系列溶液与同伦分析法（HAM）的辅助下获得的。剪切电流的影响进行了详细讨论。据发现，相速度与在相对当前涡度参数的增加而减小，而与涡参数在辅助电流的增加的相位速度增加。较大的涡度趋于提高水平速度。在相对的电流时，波峰的延迟下的水平速度更快速地随着深度的增加比波谷下波，而在辅助电流情况下，存在相反的效果。此外，较大的涡可以锐化水弹性波峰和平滑在相对电流的槽，而它产生上的辅助电流的相反的效果。

1.简介

浮动变形板与水流之间的水弹性相互作用为开发海洋资源和利用海洋空间的快速增长的需求下，是一个长期和热点问题。例如，水弹性相互作用设计一个非常大的浮动结构（VLFS）作为存储设施，移动式海上基础上，或甚至飞机机场，其也可用来分析浮冰片在极区期间成为不可缺少的因素，破冰与气垫车辆，海洋气候。

有在浮动弹性板和水波之间的非线性水弹性相互作用理论大量的文献。大多数相关研究的是假设，即在海洋环境中，如参考文献没有电流下。(1- - - - - -6]。事实上，产生洋流的原因多种多样，如风、热、地球自转、潮汐效应、海水盐度的垂直变化和温度等。有些作者考虑了水弹性波在电流上的传播问题。Schulkes等人[7[]首先建立了带有边界条件的控制方程，研究了底层水均匀流动对浮动冰板的影响。结果表明，恒速流对极短波长的冰分布有细微的影响，冰剖面不再与源速度一致，而是旋转了一个角度。Bhattacharjee和Sahoo [8[]在线性化理论假设下，分析了浮动弹性板产生的电流与弯曲重力波的相互作用，详细研究了电流对弯曲重力波波长、相速度、群速度的影响。Bhattacharjee和Sahoo [9]扩展研究[8]，以产生弯曲重力波由在某一点的初始扰动和导出的暂态弯曲重力在长距离和时间的渐近凹陷的平稳相位的方法的应用。Mohanty等人[10]研究了均匀的电流和压缩力对单和双层流体的两种情况下随时间变化的弯曲重力波运动的组合效果，并通过使用固定相的方法得到的格林函数和速度势的积分形式。Lu和杨[11]研究了在均匀的电流通过点负载产生不稳定水弹性波，并发现依赖于当前速度的相位或组的速度比弯曲重力波运动。王等人。(12]考虑非线性产生的水弹性波由于在底层均匀的电流浮动弹性板和非线性水弹性波分析研究了均匀的电流的影响。

上述文献均假设下垫流在流体中是均匀的，因此忽略了涡度分布的影响。但在很多情况下，垂直方向的流速大多是不均匀的，出现涡度(如风动流、潮流)。许多学者研究了具有线性剪切流或等涡量流的水弹性波。Bhattacharjee和Sahoo [13]分析了弯曲重力波的传播的线性剪切电流的效果在线性浅水理论的帧进行分析并导出基于能量通量的养护和的垂直变形的连续性的反射和透射系数冰盖。Gao等。(14]研究了水弹性孤波的线性剪切电流在深水的限制的存在，并且在无限深度的水行进孤立波计算了被发现涡的不同值和新广义孤波。最近，Gao等。(15]研究了在无粘性流的线性剪切电流相互作用有限深度的水水弹性波和导出用于准单色波列一个非线性薛定谔方程和通过使用共形讨论从在不同参数值的NLS非线性项的系数的各种行为映射技术。

值得注意的是同伦分析法(HAM) [16,17，它不依赖于任何小的物理参数，已被应用于解析求解非线性波流相互作用问题。郑等人[18[]研究了一组周期性的深水波，这些波传播在具有垂直涡度分布的稳定剪切电流上，并详细分析了指数剪切电流对一组波的影响。Cang等人[19扩展郑等人的研究[18通过引入测量背景切变流深度的新参数，研究了背景切变流对周期性水波的影响，并给出了深度参数对波相速度、速度剖面和最大波高的影响。这些工作鼓励我们将HAM应用于浮动弹性板、水波和指数剪切电流之间的水弹性相互作用的复杂非线性问题。

在这项工作中，我们的目的是为了获得产生的非线性水弹性波的精确的解析近似由于在与深度呈指数衰减的电流的浮动弹性板。在水弹性波轮廓，波的相速度，而水平速度分布的指数剪切电流的影响进行调查，并在细节与HAM的帮助下讨论的。在本文的其余部分安排如下：在第二节2在此基础上，建立了浮动弹性板、水波和指数剪切电流之间的非线性水弹性相互作用的数学模型，并引入杜布里-雅可丁变换将原始移动边界问题转化为固定边界问题。节3.中，我们提出的解决方案的程序和方案的在HAM的帧中的近似和迭代。节4给出了数值计算结果和剪切电流的影响。最后，在章节中给出结论5。

2.数学描述

考虑无粘性的不可流动，但有两个尺寸的情况下旋转流体，我们选择笛卡尔坐标在这一 -轴与未受扰动的流板界面重合，轴与未受扰动的流板界面重合 -轴线指向垂直向上。浮动弹性板延伸到沿无限远 -轴。当行波存在时，我们使用移动坐标 从流板区域消除时间，其中是波速度。质量为二维不可压缩流体的保护是 哪里 这些运动与波浪-电流的相互作用有关吗 方向，是指 -定向电流和波的速度显示为负由于坐标轴的平移。我们引入了流函数 ,完全满足

代流函数到由羔羊[导出的控制方程20]，我们表示涡量分布作为

在这里，我们有深入研究成倍剪电流衰减，并让 ,哪里是一个确定流体涡量强度的物理参数。当 ,这种电流与波传播的方向相同，因此被称为辅助电流。当 ,这种电流称为反向电流，它沿波传播的相反方向运动[21]。

在深水不可渗透底条件可被写为

假设流体与板之间不存在空化现象，在不存在牵伸的情况下，流体与板的界面是未知的 是一种简化。在不失一般性的前提下，运动学边界条件为 可以写成

将未知流板界面流线上的非线性动力学边界条件描述为 哪里是板-水界面上的压力，一个未知的伯努利在流体板接口流恒定，是流体的均匀的密度，并且是重力加速度。

作为表面压力等于该板的压力，我们浮动弹性板作为线性基尔霍夫-爱板进行建模[5]。 其中板的抗弯刚度表示为 与杨氏模量 ,不变的厚度 ,和泊松比的盘子，分别。平板的质量在单位长度和均匀密度下的弹性板。将式（7）代入式（6)得到动态边界条件的完整形式为

上述方程很难直接求解(3.), (4), (5)和(8），在该边界条件（5)和(8)满足未知的流板界面 。所以我们用Dubreil-Jacotion改造[18,19,21]转换成直角坐标在笛卡儿坐标在这一 -轴指向垂直向下，然后，未知的界面 被重新表述为固定位置 ,如图1。在这里，我们认为， 是一个周期函数在周期为2的方向π。

为了清楚起见，我们引入以下无量纲的量 其中有变数是无量纲。通过Dubreil-Jacotion转换和无量纲化(9),方程(3.), (8)和(4）被重新表述为（省略了后 ) 分别在两个 和 未知常数，和 已知线性相位速度没有任何背景电流。

3.基于哈姆的分析方法

3.1。解表达式

从物理的角度来看，我们的水弹性问题是由深水水弹性波列、由移动坐标引起的均匀电流和在深度上呈指数衰减的剪切电流组成的。对于纯深水水弹性波，周期波挠度可表示为 哪里为需推导的未知系数[5]。考虑到与涡分布剪切电流 ,方程（10）包含术语 ,所以它是合适的 应包含术语 ,哪里是一个整数。由于水弹性波在剪切流作用下仍具有周期性方向,然后 还应该包含术语吗 。此外，造成未来的坐标均匀电流不产生水弹性波和电流之间的相互作用。因此，我们考虑弹性波偏转为一体的解决方案表达 哪里是一个未知系数，需要导出。

根据解式(14)，我们可以构造水弹性波挠度的初始估计为 哪里要被衍生的未知量纲波高[18]。

3.2。变形方程

我们构造了三个homotopies , ,和 。这些同伦由以下控制方程的零阶变形方程(10）和两个边界条件（11)和(12）作为 分别随波高而变化 哪里 是嵌入参数。当从0增加到1， 从其初始估计是连续变化 精确解 , 从它的初始估计不断地变形精确解 ,和是来自至 。 是一个非零收敛控制参数。根据控制方程(10)及边界条件(11),和是由下式定义的非线性算子 分别。

如果我们只选择了独特的线性项 公式中（10)作为辅助线性算子 ,我们会得到一个解决方案 的幂级数不能满足不可渗透底条件（12)。我们可以服从解的表达式(14)在物理考虑下选择以下辅助线性算子 哪里 。

非线性边界条件(11）不包含任何线性项。在这里，我们仍然遵循解决方案表达式（14)来选择另一个辅助线性算子 哪里 。

扩大未知函数 还有两个未知常数和进入麦克劳林系列在 , 哪里

我们这些代系列（23), (24)和(25)转化为零阶变形方程(16)和(17）和分化的零阶形变方程次约 ,然后他们分开 。设置 ,我们可以得到线性的PDE（在HAM即高阶变形方程）为未知函数 未知常数和 。为了使我们的方程封闭，我们考虑 到了相关的解决方案和波高 。

3.3。最佳收敛控制参数

为了确保我们的基于HAM系列解决方案的准确性，我们定义的总方差如下： 哪里 哪里为方程的残差平方误差(10)和(11),分别。 。在本文中，我们选择 。最佳收敛，控制参数可以求出的最小值在残差图中，如图所示2

3.4。解决方案的迭代

代入水弹性波挠度的初始估计(15）成高阶变形方程，我们可以通过执行使用Mathematica 8.0符号计算获得从这些变形方程的每个订单解析解。首先，对未知函数的一阶解 由一阶变形方程得到: 其中，初始解的和的都还是未知数。我们使用的关系（27)为波幅和垂直位移确定和如下： 分别。一旦收敛控制参数和重要的物理参数 , , ,和给出，我们可以得到相应的解决方案，为水弹性问题。如果我们继续利用高次方程变形的一阶近似，高阶近似，可以反复获得。

4.结果分析

首先，我们说明总平方残差我们的解在几个不同的阶就…而言 , , , , （即，维  Pa), and 并且，除非另有说明在下文中把这些数据进行计算。如图2我们发现，公式（28）首先降低并然后增加在区间[-1.0，0]。而作为秩序增加，逐渐减小约-0.4。然后，的最佳值可选为−0.4。这说明我们基于hamm的级数解对于非线性水弹性相互作用是精确的和收敛的。

在波峰的板偏转和在的情况下，槽 和 示于图3(一个)和3 (b),分别。我们发现，对于一个给定的波高 ,辅助指数剪切电流( )倾向于磨尖波峰，磨平波谷，而相反的切变流( )具有相反的效果。和剪切电流对板变形的效果是在槽比在波峰更明显。这也许可以解释为什么辅助指数剪切电流趋于缩短最大波高而相对人们往往放大。

在图4，我们证明了四阶色散关系的相位速度 作为涡度参数的函数有几个给定的波高 。图5显示相位速度 作为波高的函数几个给定涡参数 。发现,对于一个反对当前和一个帮助当前,波高的大的值增加了波相速度,而相速度随反对当前的涡度参数的增加,但相速度增加而增加的涡度参数帮助电流。如图所示4和5中，相速度什么时候接近1是非常小的（线性波）和(目前没有)。结果表明，我们的结果与深水中的色散关系是相容的 (22]从水弹性波的没有电流的线性化的理论。

板的杨氏模量的影响如图所示6，从中我们可以看出，对于相反的电流和辅助电流，相速度随着杨氏模量增加。板厚的影响关于相位速度进行了研究。数字7显示一个更大的增加了相速度，这是类似的效果为杨氏模量在图板的6。

数字8显示水平速度剖面 对于不同的涡参数的辅助剪切电流 。我们发现，波峰下水平速度是在相同方向上，而从同一方向槽变成相对的方向上的波下的水平速度时的绝对值降低到约0.05。数字9显示了不同涡量参数下，相对切变流中的水平速度剖面 。我们观察到波谷是在相对的方向下的水平速度，而在来自相对的方向上的波峰的变化水平速度为相同方向时的值降低到约0.05。如图所示8和9，我们观察到，无论对一种相反的电流还是一种辅助电流，电流都要大一些趋向于增加水平速度 。此外，在相对的电流，水平速度在波峰延迟更迅速地为增加比波谷下波，而在辅助电流的情况下，我们观察到相反的效果。

5.结论

在这项工作中，我们关心的非线性水弹性波由一个浮动的弹性板与一个随深度指数衰减的剪切电流相互作用而产生。我们引入一个流函数来获得控制方程，其边界条件表示流体动力、剪切流、弹性和惯性力之间的平衡。为了简化算法，利用杜布里-雅可丁变换将非线性边值问题从未知自由曲面转化为已知边界。在有限元框架中，我们将水弹性波挠度的解表示为一组基函数的级数基于物理的观点。数值结果证明了基于汉的非线性水弹性耦合波流共存流体的解析解的有效性和收敛性。

详细考虑了一些重要的物理参数对平板偏转、相位速度和水平速度分布的影响。我们发现一个更大的援助剪切当前倾向于提高波峰和平和的槽板变形量,虽然对方剪切当前有相反的效果,和反对和协助当前板变形都有一个更明显的影响比在波峰波谷。

对于相反的电流和辅助电流，较大的波高增加波相速度 ,而辅助指数剪切流有增大波相速度的趋势，相反指数剪切流有减小波相速度的趋势。我们的结果与无水流水弹性波的线性化理论在深水中的色散关系是一致的。

剪切流下的水平速度方向相同，而速度方向随着涡度参数的取值而变化降低。但是，在相对的电流的情况下，波峰的延迟下的水平速度更快速地在波槽下，波浪的作用大于波浪的作用，而在助流情况下，则相反。这些结果有助于我们进一步理解海洋中浮动弹性板与波浪流之间的水弹性相互作用。

数据可用性

在研究过程中生成或使用的所有模型都将出现在提交的文章中。研究过程中生成或使用的所有代码均可向通信作者索取(王平，电子邮件:pingwang2003@126.com)。

利益冲突

有没有在我们的手稿任何利益冲突。作者自己命名的编程8.0数学符号计算软件分别获得这里所考虑的偏微分方程的近似解析解。

致谢

这项研究是由财政根据批准号ZR2017MA014山东省自然科学基金资助下号51674149.青岛博士后应用研究号020022034项目中国国家自然科学基金会也承认支持。

参考

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