近奇异的动量空间绑定状态方程的误差估计

摘要

我们为势态绑定状态方程中的几乎奇异积分的正交规则存在误差，并给出了近奇异参数的临界值。我们给出了由动量空间束缚态方程的近奇点引起的展开法、Nyström法和谱法的误差估计。我们展示了近奇点之间的关系，特征障碍中的奇数现象，以及数值解决方案的不可靠性。

1.介绍

动量空间束缚态方程非常重要，如Schrödinger方程、Dirac方程、Klein-Gordon方程、无自旋Salpeter方程、无自旋Salpeter型方程的二次形式、Bethe-Salpeter方程等。除最简单的情况外，这些积分方程应采用数值方法求解。在采用数值方法时，可靠性，即计算结果中的误差分析，无疑是首要考虑和最重要的问题。误差估计和误差界与所得解的可靠性成反比。很少提到的奇怪现象与可靠性相反，可靠性往往以意想不到的方式出现。奇怪的现象(在这篇文章中,认为是奇怪的现象出现而不是内在属性的讨论系统,但不恰当的治疗动量空间的束缚态方程。)通常与计算结果的不可靠和作为一个不可靠的指标,如龙格现象(1那2，吉布斯现象[3.那4.]，数值特征碰撞中的海盗现象[5.-7.]和计算的特征值的异常会聚方向[8.]。

不像我们已知的普通奇点，接近奇点[9.-11.或数值奇点[5.-8.容易被忽视。虽然所讨论的问题在域内并非解析奇异，但近奇异性会影响数值解的精度，有时甚至会破坏结果的可靠性。我们经常陷入错觉，认为所得到的数值结果是可靠的，具有预期的精度。当我们在调整数值和物理参数时发现数值解是稳定的，这种错觉就会增强。计算结果中出现的奇怪现象提醒我们，数值结果是值得怀疑的。

本文的结构如下。在部分2，讨论了近似奇异积分和近似奇异动量空间束缚态方程的误差估计。讨论了近似奇异性与数值解的可靠性之间的关系。结论见章节3.。

2.接近奇点和误差估计

在这一节中，我们首先给出了近奇点的定义。然后，给出了近似奇异积分求积规则的误差。最后，我们讨论了动量空间束缚态方程中近奇点引起的误差、近奇点之间的关系、数值本征函数中的奇现象以及所得到解的不可靠性。

2．1．奇点附近

让 那在哪里是一个参数，是临界值。让 。如果 在附近几乎是单数作为 在哪里 。 是几乎奇异的点。为近似奇异参数。如果 那接近奇点变成普通奇点。近似奇异函数 奇点在哪里订单如果 满足 在哪里是非零数。近似奇异函数的阶类似于极点的阶。

我们专注于动量空间的束缚态方程，但结论将是一般的。在不失一般性的前提下，径向本征值积分方程可以写成 在哪里表示所有其他参数。通常的接近奇点(或数值奇点)是屏蔽库仑势中的对数接近奇点，屏蔽线性势和屏蔽康奈尔势中的代数接近奇点[5.-8.]：

方程(3.)表现不佳这是在附近因为内核 在数值积分中不能很好地处理，导致用数值方法求解方程(3.)．

2.2。正交规则的错误

考虑近似奇异积分:

直接应用牛顿-柯特求积法则在这可以看作是一个常数，我们有吗 在哪里 那 为 那和权重。

虽然大牛顿型互相规则有时会遭受灾难性的跑步的现象，我们想讨论牛顿-Cotes正交规则的错误[12.]： 在哪里 那 那和

经过计算，我们得到了

考虑几乎奇异的内核，它采用表格

核的导数的极大模(10.）[13.]读书

如果近似奇异核是对数的 核的导数的极大模(12.)读

使用等式（11.），（13.）， 和 （7.)，证明了由近奇点引起的误差(方程(10.） 和 （12.））将主导错误作为很小。也就是说,小导致数值结果的不可靠性。

使用等式（9.），（11.) ((13.)和斯特灵公式， 式()的有限误差7.)要求 在哪里是一个临界值。作为 那积分(5.）成为通常的积分而 那积分(5.)几乎是单数。

作为采用复合梯形规则和复合辛普森的规则，近似奇异积分的理论误差（5.)读 分别。对于奇点附近的代数，使用等式（11.） 和 （16.),我们有

因为不是太小 那将步长减小到，可以获得与公共积分相同的精度和分别为复合梯形法则和复合辛普森法则。对于接近奇点的对数，使用公式(13.） 和 （16.),我们有

将步长减小到，可以获得与公共积分相同的精度对于复合梯形法则和复合辛普森法则不是太小。

在高斯传奇正交规则的情况下，积分（5.)可以用 在节点是根吗Th Legendre多项式为 那

上式中，素数代表导数。区间上高斯-勒让德法则的理论误差公式 读(14.]。

使用等式（11.） 和 （14.），等式（21.)减少

显然，有限的误差要求 作为 。可以获得相同的结果对于奇异性附近的对数。等式（23.）与渐近误差估计不同 由等值线积分给出[15.]：

在实践中，小会影响准确性吗是有限的。

2．3．动量空间束缚态方程中近奇点引起的误差

对于近似方法，我们可以得到方程(3.)： 在哪里 那和

如果一组正交,成为了身份。在Nyström方法案例中，我们从等式(3.） 在哪里 那 那 求积法则的权重要乘以吗 。设置 我们可以获得 如果矩阵是对称的;那是，

上述等式仅仅是通过离散方程来产生的矩阵方程（3.)．对于谱法，由式(28.）也可以以等式的形式写（31.)．

在等式中（25.） 和 （31.），没有给出来自数值方法的常见误差。我们专注于近奇点造成的错误。为简单，等式（25.） 和 （31.)被改写为

当处理近奇点时，则特征值积分方程(3.)变得不那么接近奇点或没有接近奇点[5.-8.那16.-18.[所获得的矩阵方程对应于等式（32.)读 在哪里是由近奇点引起的额外误差。在本节中,和属于属于的无情的特征障碍是th特征值和 那分别。我们可以假设解，和 那(33.）表现良好并且是解决方案时实际解决方案的近似值，和 那到近似奇异方程(32.)是近似值和精确度低可能会很糟糕。如果方程(3.)不存在近奇点， 那 那和 。

让 那 那我们从等式（33.）[7.那19.]

让 ;然后，我们得到th特征障碍：

相同的过程适用于等式（32.)产生结果: 我们使用的公式（33.)．方程式（34.） - （37.)是准确的结果。由于采用了Nyström方法，将对角线。如果元素是小的，我们从方程式(36.） 和 （37.）

从方程(32.） - （39.)，我们可以看到它们与积分方程中的近奇点直接相关，并导致本征值和相应的本征函数的误差。或 可作为粗误差估计，并表示原方程(3.）可以通过数值方法直截了当地解决。如果很大，等式（3.)的处理，以削弱或消除其近奇点。

公式(37.） 和 （39.)可以用来解释为什么所得到的特征函数中会出现分岔现象[5.-7.]。重量的交替摆动导致交替摆动这导致摇摆不起作用的特征 - 即散发出来。方程式（36.） 和 （38.)给出了分岔现象与由特征值中的近奇点引起的误差之间的关系。随着分岔现象变得更强，会更大，被积函数更接近奇异;然后，误差会增加。数值本征函数中的分叉现象不仅表明了数值结果的不可靠性，而且也表明了积分方程(3.)．

结论

给出动量空间有界状态方程中近似奇异积分求积规则的误差。然后，给出了近似奇异参数的临界值。我们给出了由动量空间束缚态方程的近奇点引起的展开法、Nyström法和谱法的误差估计。我们证明了近奇点、本征函数中的奇现象与数值解的不可靠性之间的关系。

数据可用性

用于支持本研究结果的数据包括在文章中。

的利益冲突

作者声明他们没有利益冲突。

致谢

作者得到了山西省自然科学基金的支持，授予201901D111289。

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